4.2四分位数与箱线图、数据的离散程度（讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦数据的集中趋势和离散程度，系统梳理四分位数（含计算步骤、四分位距）、箱线图（五大构成与应用）、离差平方和、极差、方差、标准差等核心知识点，构建从概念到计算再到分析的学习支架。 资料通过即学即练、12类题型分类（如四分位数计算、箱线图绘制与解读）及典例变式结合，以学生成绩、身高数据等实例培养数据意识，通过方差推理与数据评价发展运算能力和应用意识，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺。

第四章 数据的集中趋势和离散程度 4.2 四分位数与箱线图、数据的离散程度 知识点一 四分位数 1. 定义：将一组数据从小到大有序排列，借助中位数将整组数据平均分成四等份，得到三个分界数值，这三个数值统称为四分位数，记为 2.三个四分位数： /（第一四分位数/第25百分位）：排序后，下半部分数据的中位数； /（第二四分位数/第50百分位））：整组数据的中位数； /（第三四分位数/第75百分位））：排序后，上半部分数据的中位数。 3.一组容量为n的数据的四分位数的计算步骤 ①先将一组数据从小到大排序； ②计算将结果记为； ③如果是整数，那么第个和第个数据的平均数就是；如果不是整数，设为的整数部分+1，那么第个数据就是； ④用类似的办法，依次求得其他四分位数。 4.四分位距公式：四分位距 意义：刻画一组数据中间50%数据的波动程度，不受极端最大值、极端最小值影响，精准反映主体数据离散程度。 即学即练 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（    ） A．众数是92 B．中位数是84.5 C．平均数是84 D．第三四分位数是87.5 2．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）已知4名学生的期中考试数学成绩（单位：分）按照从小到大排列分别为98，110，m，120，且第三四分位数为118，则m的值为___________． 知识点二 箱线图 1.定义：利用一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值这五个关键数值绘制的统计图，叫作箱线图（也叫盒形图）。 2.箱线图五大构成（从左至右） 3.图形区域数据含义 4.箱线图核心性质与作用 ①直观展示数据分布、集中趋势与离散程度； ②适合多组数据横向对比优劣、分布差异； ③规避极端值干扰，客观反映数据主体分布； ④可利用样本箱线图，估计总体数据分布规律； ⑤根据箱体内中位数位置，判断数据偏态分布。 即学即练 1．（2026·安徽六安·模拟预测）箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名，在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的上四分位数（分位数）和下四分位数（分位数）：整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值），体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如图2的箱线图.下列说法正确的是（     ） A．八（1）班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在八（2）班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 知识点三 离差平方和 1. 集中趋势与离散程度区别 平均数、中位数、众数、四分位数：描述数据集中趋势，反映数据平均、中等、集中水平； 离散程度：描述一组数据波动大小、偏离平均水平程度、分布疏密情况。 2. 核心规律：离散程度越小→数据越稳定、波动越小；离散程度越大→数据波动越大、数据越散乱。 3. 离差平方和：一组数据中各数据与平均数的差的平方和。 设个数据，，……，的平均数为，则这组数据的离差平方和为 4.离差平方和核心意义： ①离差有正有负，直接相加会正负抵消，总和恒等于 ，无法衡量波动大小； ②平方后全部变成非负数，相加后的结果能整体刻画：整组数据偏离平均数的总幅度； ③离差平方和越大 → 数据整体越分散、波动越大；反之数据越集中、稳定。 5.组内离差平方和：将整体数据分为若干小组，每组数据相对于本组平均数的离差平方和，就是单组组内平方和；所有小组的组内平方和相加，得到总组内离差平方和。 即学即练 1．（25-26八年级下·山东滨州·期中）某中学组织学生参加“黄河文化知识竞赛”，某小组8名学生的竞赛成绩（单位：分）分别为，，，，，，，．老师为了更好地分析学生对黄河文化知识的掌握分布，决定将这些成绩分为两组，分组方式为第一组，第二组，则组内离差平方和为___________． 知识点四 极差 1.定义：一组数据中最大值 − 最小值，叫作这组数据的极差。 公式：极差 = 最大值 − 最小值 2.优点：计算简单、直观快速判断数据波动。 3.缺点：只用到最值两个数据，极易受极端值影响，无法反映中间全部数据波动。 4.性质：极差越小，数据波动越小、稳定性越强；极差越大，数据波动越大。 即学即练 1．（2026·江苏盐城·二模）已知某班5名同学的身高（单位：厘米）分别是171，173，175，180，176．则这组数据的极差是（     ） A．2 B．4 C．5 D．9 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）某队员在射击训练中的成绩如下（单位：环）：9，6，8，8，10，他的成绩的极差是______环． 知识点五 方差 1.定义：设有一组数据，平均数为，各个数据与平均数差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，记作。 2.标准计算公式： 3.方差核心意义 ①方差衡量整组数据整体偏离平均数的波动大小； ②方差越大：数据波动越大、越不稳定； ③方差越小：数据波动越小、越整齐、稳定性越强； ④方差不受极端值干扰弱于极差，贴合全部数据，结果更精准。 4.方差变化规律 5.实际应用 运动员选拔：选择方差更小、成绩更稳定的选手； 产品质量检测：方差越小，产品尺寸、品质越统一； 成绩分析：方差小→班级成绩均衡；方差大→两极分化严重。 即学即练 1．（2026·江苏淮安·二模）一次数学测试中，甲乙两班平均分都是85分，方差分别为，，则下列说法正确的是（     ） A．甲成绩更稳定 B．乙成绩更稳定 C．甲乙一样成绩更稳定 D．不能确定 2．（2026·河南洛阳·三模）甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差（单位：）如表所示，根据表中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（     ） 甲 乙 丙 丁 平均成绩/秒 方差/ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 知识点六 标准差 1.定义：一组数据方差的算术平方根，叫做这组数据的标准差，记作。 2.公式： 3.核心特点 ①标准差单位和原始数据单位保持一致，实际应用更直观； ②波动规律、大小判断标准和方差完全一致； ③考试优选：实际应用题多用标准差，纯大小比较题直接用方差。 4.样本方差、样本标准差，可估计总体数据离散程度。 即学即练 1．（25-26九年级下·上海长宁·期中）数据90、91、92、93、94的标准差是________． 知识点七 极差、方差、标准差 对比总结 统计量 受极端值影响 精准度 计算难度 极差 极大 最低 最简单 方差 较小 最高 复杂 标准差 较小 最高 中等 即学即练 1．（2026·浙江台州·二模）测试五位同学的“一分钟跳绳”个数时，得到五个各不相同的数据．在统计时．出现了一处错误：将最低成绩85个写成了58个，则下列统计量中不受影响的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 题型01 求一组数据的四分位数 / （1）数据从小到大排序； （2）先求中位数（第二四分位数Q2），拆分左右两组数据，分别取两组中位数为下四分位数Q1、上四分位数Q3。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 2．（25-26八年级下·浙江金华·期中）样本数据5，9，1，3，7，6，10的是________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第三四分位数是（     ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班名同学视力检查数据如下表： 视力 人数 这名同学视力检查数据的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南许昌·期末）天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国工业天然气生产稳定增长，某段时间，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据的第三四分位数是_________． 4．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图是嘉淇某月1号到6号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的下四分位数是____分钟． 题型02 绘制箱线图 / （1）先求最小值、Q1、中位数Q2、Q3、最大值五数； （2）数轴定点，画箱体连接Q1、Q3，中线标中位数，线段连接箱体与最值。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·浙江台州·期中）为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100； 八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.5 m 65 八年级 85.2 n p (1)求统计表中的值； (2)补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校为了解八年级学生的身体健康情况，现从中随机抽取部分学生进行体育测试，并将成绩统计如图所示．请根据图表中所提供的信息，解答下列问题： 八年级学生体育测试成绩 体育成绩（分） 人数（人） 百分比（%） (1)本次测试抽取的总人数为______人；______； (2)本次测试成绩的中位数为______分，并在如图的箱线图中画出该中位数对应的线段； (3)已知该校八年级共有名学生，如果体育成绩达分以上（含分）为身体健康，请估计该校八年级学生身体健康的总人数． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·北京西城·期中）某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求a，m，b． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． (3)根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数，并绘制箱线图； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 3．（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c (1)上述表中，______，______，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 4．（25-26八年级上·河南开封·期末）2025年11月14日，因神舟二十号返回舱遭太空碎片撞击，原乘组转移至神舟二十一号返回，神舟二十二号调整为无人状态择机发射，承担应急救援备份及满载货物上行任务，展现了我国航天事业的伟大成就．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空·传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取两组参赛作品，两组成绩（百分制）如下： 甲组：60，70，70，80，89，91，92，96，100，98． 乙组：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 某同学想要利用四分位数分析两组成绩情况，下表是他制作的两组成绩的四分位数值表． 组别 甲组 a 90 b 乙组 80 90 93 根据以上信息，完成下列问题： (1)表中_____________，_____________； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 题型03 解读箱线图中的基础数据信息 / 箱体：数据集中区间；四分位距越小，数据越稳定；极值为最值；中位数看整体水平，箱体偏移判断数据分布疏密。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·山东济南·期中）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）学校体育检测中，记录了男、女各10名学生1分钟跳绳的个数，绘制了箱线图（如图），下列说法错误的是（    ） A．男生跳绳个数最多为208个 B．女生跳绳成绩更稳定 C．男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数 D．男生跳绳个数的平均数大于女生跳绳个数的平均数 3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况箱线图如图所示，身高最集中的是___队． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）小颖根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（   ）． A．最小值为47 B．中位数为73 C．上四分位数为83 D．平均数为73 2．（25-26八年级下·北京·期中）某地区年月和月的空气质量指数箱线图如下．值越小，空气质量越好，值超过，说明达到重度污染．则下列说法正确的有（     ） ①该地区年月有重度污染天气 ②该地区年月值的最小值比月小 ③该地区年月值比月值集中 ④从整体上看，该地区年月的空气质量略好于月 ⑤该地区年月和月值的中位数相同 A．④⑤ B．③⑤ C．②③⑤ D．②③④⑤ 3．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是根据甲、乙组跳绳成绩（单位：次／分）在同一幅图中画出两组数据的箱线图．下面有四个结论：①甲组的中位数比乙组的大；②甲组最小数据和乙组相差不多；③乙组最大数据比甲组的明显大；④乙组数据的波动明显比甲组的大．其中正确的是______．（填四个结论的序号） 4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）学习了箱线图分析数据后，小明对两地在7、8月每天最高气温这组数据进行分析，绘制了如下图的箱线图．则下列结论正确的是___________（填写序号）． ①在7至8月，B地每天最高气温的上四分位数为； ②在7至8月，B地每天最高气温的中位数小于A地每天最高气温的中位数； ③在7至8月，A地每天最高气温都高于B地每天最高气温； ④在7至8月，A地有超过一半的天数最高气温是不低于． 5．（25-26八年级下·浙江·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 题型04 根据四分位数与箱线图做数据分析与评价 / 箱体：数据集中区间；四分位距越小，数据越稳定；极值为最值；中位数看整体水平，箱体偏移判断数据分布疏密。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·山西太原·期末）为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查． 收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下： 86-90分评分的具体分值 88  90   87  86  89  88  90  87 线路B的评分情况 分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99 人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1 描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下： 线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差 A 86.5 92 b 18.05 B c a 86 62.9475 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中_________，_________． (2)求出统计表中c的值． (3)利用表中两个统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）郑州市某初中为选拔学生代表学校参加市级校园投篮比赛，从初二学生中选出甲、乙两名候选人，组织两人在相同条件下进行八轮投篮测试（每轮投10次，记录命中数），对甲、乙两名学生每轮的投篮成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将甲、乙两名学生八轮投篮成绩绘制成如下统计图 【数据分析】 （1）林宇利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，个，______个，可以看出，______（填甲或乙）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，______（填甲或乙）的投篮水平发挥更稳定； （2）李华利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析． ①处应填______个，②处应填______个，③处应填______个；基于四分位数或箱线图，可以发现甲命中球数的中位数______乙命中球数的中位数（填＞，＜或＝），且学生甲成绩明显比学生乙的投篮成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 6 ① ② 9.5 10 乙 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮投球成绩，从甲，乙两名学生中选拔一人参加市级校园投篮比赛，并说明理由． 2．（25-26八年级上·山西运城·期末）某直播平台统计了零食A类直播间和零食B类直播间近10天的商品上架平均审核耗时．（单位：分钟，耗时越短代表运营效率越高）具体数据如下： 类型 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 零食A类直播间 6 9 8 12 10 7 11 6 13 9 零食B类直播间 3 1 4 3 5 2 3 4 2 5 统计人员根据统计结果做了如下的表格和箱线图，请根据统计结果完成下列各题： 数据类型 平均数 方差 最小值 最大值 零食A类直播间 9.1 5.29 6 a b c 13 零食B类直播间 d 1.56 1 2 3 4 5 (1)补充上述表格中的空缺数据： ________  ________  ________  ________ (2)结合表格和箱线图就两直播间对商品上架平均审核效率进行分析： ①从平均数的角度分析可知________ ②从方差的角度分析可知________ ③从四分位数和箱线图的角度分析可知________ (3)请你对运营效率较低的直播间提出一条具体可操作的提升建议． 题型05 方差的计算 / （1）先算平均数；套公式：，分步计算； （2）易错：忘记平方；分母错用n-1；平均数计算失误；括号运算顺序出错。 典｜例｜精｜析 1．（2026·江苏常州·一模）小明这学期数学的五次测验成绩分别是：，，，，．这五次测验成绩的方差是（） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·福建莆田·二模）为了解智能机器人分拣快递的工作效率，某快递分拣站随机抽取10台不同型号的智能机器人，统计每台每周可分拣的快递数量（单位：万件），并绘制了折线统计图．下列有关智能机器人每台每周可分拣快递数量的描述，正确的是（   ） A．中位数是15万件 B．众数是15万件 C．平均数是14万件 D．方差是0 2．（2026·福建南平·一模）已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息，可知样本容量是（   ） A．30 B．38 C．39 D．41 题型06 极差的计算 / （1）极差=数据最大值−数据最小值，先筛选最值直接作差； （2）易错：找错最大、最小值；负数数据差值计算符号出错；忽略重复数据。 典｜例｜精｜析 1．（2026·山东菏泽·一模）已知一组数据6，1，4，6，8，则这组数据的极差是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 变｜式｜巩｜固 1．（2026·四川成都·二模）某中学为了解全校的耗电情况，抽查了10天中全校每天的耗电量，数据如表： 度数 90 93 102 113 114 120 天数 1 1 2 3 1 2 表中数据的极差是m度，中位数是n度，则m和n的值分别为（   ） A．30；3 B．24；3 C．30；113 D．30；102 2．（25-26七年级上·山西运城·期末）某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了至月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图．其中阅读课外书本数的最大值比最小值多_____． 题型07 标准差的计算 / （1）标准差为方差算术平方根：，先求方差再开二次根号； （2）易错：标准差、方差概念混淆；开方计算错误；保留小数不符合题干要求。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知一组数据，x，，3，1，6的中位数是1，则其标准差为______． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·浙江·模拟预测）计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·北京朝阳·模拟预测）小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的标准差S=_______． 题型08 求离差平方和 / （1）离差=原数据−平均数，全部离差平方后相加，无需除以数据个数； （2）易错：额外除以n混淆方差公式；离差正负号处理错误；平方运算算错。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·浙江·期中）某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75．这组数据的离差平方和是（   ） A．70 B．75 C．150 D．350 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·浙江·期中）在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．方差 2．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知分组：|，则其组内离差平方和是_____． 题型09 根据方差判断数据稳定性 / （1）方差越小，数据波动越小、越稳定；方差越大，数据波动越大、越离散； （2）易错：规律记反；混淆平均数、方差决策依据；忽略题干实际场景盲目判断。 典｜例｜精｜析 1．（2026·山东青岛·二模）某企业对员工进行综合素质测试，测试由位评委打分，每位评委最高打分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则根据图中信息，比较甲的方差与乙的方差的大小：______．（填“”“”或“”） 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河南开封·二模）某校为选拔田径队队员参加市运动会，对甲、乙、丙、丁四名同学进行了5次百米测试，每人成绩的平均数（单位：秒）和方差如下表： 学生 甲 乙 丙 丁 平均数 11.6 11.6 12.6 12.6 方差 0.32 0.18 0.2 0.25 如果学校要选择一名成绩优秀且稳定的选手代表学校参赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2026·山东青岛·三模）学校组甲、乙、丙、丁四名运动员参加运动会100米项目选拔赛，本周共进行了8轮选拔测试，平均成绩（单位：秒）和方差如表所示．根据表中数据，你认为应该推选运动员________去参赛，更有把握取得优异成绩． 甲 乙 丙 丁 平均成绩 3．（2026·山西太原·二模）如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是_______同学． 题型10 数据经过加减、数乘变换后，求新数据的方差 / 原方差：数据+a，方差不变；数据×k，新方差；kx+a，方差。 典｜例｜精｜析 1．（2026·江苏南京·二模）一组数据为7，8，9，将7改成8，改动前后的方差分别记为，，则______（填“”或“”或“”）． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·黑龙江佳木斯·二模）已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据的方差为， 则 的方差为___________． 题型11 已知方差，反求数据中的未知量 / 代入方差公式列方程求解；结合数据实际取值取舍未知数。 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽合肥·二模）为评选校园“十佳社团logo”，邀请5位老师对A、B两款社团logo设计作品进行打分（满分10分），A作品的平均分为8.6，方差为0.24，B作品得分分别为8，9，9，9，x（x为整数），若A作品的平均分低于B作品，且5位老师对B作品的评价相比A作品更一致，则x的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知一组数据的方差为：，则____． 2．（2025·北京石景山·二模）某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）进行了调查，记录如下： 甲组：10，11，12，13，14，15 乙组：12，13，14，16，15， 若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的的值可以为_________．（写出一个即可） 题型12 平均数、中位数、众数与方差综合分析题型 / （1）平均水平看平均数、中位数、众数；波动稳定性看方差；结合双维度对比数据做决策； （2）易错：统计量功能混用；极端值下不会优选统计量；答题缺少文字决策依据。 典｜例｜精｜析 1．（2025·贵州·中考真题）贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲队员成绩的众数为 环，乙队员成绩的中位数为 环； (2)如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是 （填“平均数”“众数”或“中位数”）； (3)若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可） 变｜式｜巩｜固 1．（2025·福建·中考真题）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； (3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 2．（2025·山东·中考真题）在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26． 乙基地水体的值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21． 【整理数据】 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)填空：______，______； (3)请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由； (4)已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求． 3．（2026·福建泉州·二模）为贯彻落实《健康中国行动（2019～2030）》规划，引导青少年养成健康的生活方式．某中学初三年级开展了为期4周的“科学减重”干预计划行动，并对参与学生进行数据追踪． 信息一：从参与学生中随机抽取了20名，统计了他们干预前的体重情况，如果以各组的组中值（每组两个端点值的平均数）代表组内各人的实际体重数据，绘制了如下频数分布表： 体重（） 人数（人） 4 8 6 2 信息二：若男生甲和男生乙干预前的体重均为上表中数据的平均值．在4周干预期内，如实记录了 这两人每周的减重量（单位：），具体数据如下： 男生甲：1.0，1.5，1.5，2.0；  男生乙：0.5，1.0，2.0，2.5． 根据相关信息，解答下列问题： (1)求这20名学生干预前的平均体重； (2)根据医学建议，该年龄段男生干预后的健康体重标准为．试判断甲、乙两位男生是否达到了健康体重标准？ (3)从健康科学的角度出发，若欲从甲、乙两人中推荐一名作为该校“科学减重标杆”，你认为推荐谁较为合适？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数据的集中趋势和离散程度 4.2 四分位数与箱线图、数据的离散程度 知识点一 四分位数 1. 定义：将一组数据从小到大有序排列，借助中位数将整组数据平均分成四等份，得到三个分界数值，这三个数值统称为四分位数，记为 2.三个四分位数： /（第一四分位数/第25百分位）：排序后，下半部分数据的中位数； /（第二四分位数/第50百分位））：整组数据的中位数； /（第三四分位数/第75百分位））：排序后，上半部分数据的中位数。 3.一组容量为n的数据的四分位数的计算步骤 ①先将一组数据从小到大排序； ②计算将结果记为； ③如果是整数，那么第个和第个数据的平均数就是；如果不是整数，设为的整数部分+1，那么第个数据就是； ④用类似的办法，依次求得其他四分位数。 4.四分位距公式：四分位距 意义：刻画一组数据中间50%数据的波动程度，不受极端最大值、极端最小值影响，精准反映主体数据离散程度。 即学即练 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（    ） A．众数是92 B．中位数是84.5 C．平均数是84 D．第三四分位数是87.5 【答案】D 【详解】解：首先将这组数据从小到大排列得：，数据总数． 对于A选项，∵数据中82出现次数最多，∴众数为82，A错误； 对于B选项，中位数为第个和第个数据的平均数，即，B错误； 对于C选项，平均数，C错误； 对于D选项，，因此第三四分位数为第个和第个数据的平均数，即，D正确． 2．（25-26八年级下·河南濮阳·期末）已知4名学生的期中考试数学成绩（单位：分）按照从小到大排列分别为98，110，m，120，且第三四分位数为118，则m的值为___________． 【答案】116 【分析】先根据数据个数确定第三四分位数的计算方式，再结合已知排好序的数据列方程求解即可． 【详解】解：由题意，数据个数，计算第三四分位数的位置， 因此第三四分位数为排序后第个数据与第个数据的平均数． 已知数据已按从小到大排序为，因此可得 ， 解得． 知识点二 箱线图 1.定义：利用一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值这五个关键数值绘制的统计图，叫作箱线图（也叫盒形图）。 2.箱线图五大构成（从左至右） ①最小值：图形最下侧线段； ②第一四分位数：矩形箱体下侧边界； ③中位数：箱体内部中间竖线； ④第三四分位数：矩形箱体上侧边界； ⑤最大值：图形最上侧线段。 3.图形区域数据含义 箱体（）：包含整组50%的核心数据； 下须（最小值）：占整体25%数据； 上须（最大值）：占整体25%数据； 箱体越窄：中间数据越集中；箱体越宽：中间数据越分散。 4.箱线图核心性质与作用 ①直观展示数据分布、集中趋势与离散程度； ②适合多组数据横向对比优劣、分布差异； ③规避极端值干扰，客观反映数据主体分布； ④可利用样本箱线图，估计总体数据分布规律； ⑤根据箱体内中位数位置，判断数据偏态分布。 即学即练 1．（2026·安徽六安·模拟预测）箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名，在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的上四分位数（分位数）和下四分位数（分位数）：整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值），体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如图2的箱线图.下列说法正确的是（     ） A．八（1）班跳绳次数更集中 B．跳绳次数最小值出现在八（2）班 C．两个班级跳绳次数的中位数相等 D．八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 【答案】D 【分析】根据箱线图读取两个班级的最小值、中位数、最大值及四分位数，对比数据的集中程度、极值及整体水平即可判断． 【详解】解：由图2可知： 八（1）班数据：最小值，下四分位数，中位数，上四分位数，最大值； 八（2）班数据：最小值，下四分位数，中位数，上四分位数，最大值， 八（1）班极差为，八（2）班极差为，且八（2）班箱体高度（四分位距）更小， 八（2）班数据更集中，故A错误； ， 最小值出现在八（1）班，故B错误； ， 两个班级中位数不相等，故C错误； 八（2）班的中位数、上下四分位数均高于八（1）班， 八（2）班整体成绩比八（1）班好，故D正确． 知识点三 离差平方和 1. 集中趋势与离散程度区别 平均数、中位数、众数、四分位数：描述数据集中趋势，反映数据平均、中等、集中水平； 离散程度：描述一组数据波动大小、偏离平均水平程度、分布疏密情况。 2. 核心规律：离散程度越小→数据越稳定、波动越小；离散程度越大→数据波动越大、数据越散乱。 3. 离差平方和：一组数据中各数据与平均数的差的平方和。 设个数据，，……，的平均数为，则这组数据的离差平方和为 4.离差平方和核心意义： ①离差有正有负，直接相加会正负抵消，总和恒等于 ，无法衡量波动大小； ②平方后全部变成非负数，相加后的结果能整体刻画：整组数据偏离平均数的总幅度； ③离差平方和越大 → 数据整体越分散、波动越大；反之数据越集中、稳定。 5.组内离差平方和：将整体数据分为若干小组，每组数据相对于本组平均数的离差平方和，就是单组组内平方和；所有小组的组内平方和相加，得到总组内离差平方和。 即学即练 1．（25-26八年级下·山东滨州·期中）某中学组织学生参加“黄河文化知识竞赛”，某小组8名学生的竞赛成绩（单位：分）分别为，，，，，，，．老师为了更好地分析学生对黄河文化知识的掌握分布，决定将这些成绩分为两组，分组方式为第一组，第二组，则组内离差平方和为___________． 【答案】 【分析】根据组内离差平方和的定义，先分别计算两组各自的平均数，再计算每组内每个数据与本组平均数的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加即可得到结果． 【详解】解：计算第一组的平均数 第一组的离差平方和为 计算第二组的平均数 第二组的离差平方和为 因此总的组内离差平方和为 知识点四 极差 1.定义：一组数据中最大值 − 最小值，叫作这组数据的极差。 公式：极差 = 最大值 − 最小值 2.优点：计算简单、直观快速判断数据波动。 3.缺点：只用到最值两个数据，极易受极端值影响，无法反映中间全部数据波动。 4.性质：极差越小，数据波动越小、稳定性越强；极差越大，数据波动越大。 即学即练 1．（2026·江苏盐城·二模）已知某班5名同学的身高（单位：厘米）分别是171，173，175，180，176．则这组数据的极差是（     ） A．2 B．4 C．5 D．9 【答案】D 【分析】找出数据中的最大值和最小值，计算二者的差即可得到结果． 【详解】解：∵本题给出的5个数据为171，173，175，180，176． ∴数据中最大值为，最小值为， ∴极差为 ． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）某队员在射击训练中的成绩如下（单位：环）：9，6，8，8，10，他的成绩的极差是______环． 【答案】4 【分析】根据极差的定义求解，先找出该组成绩中的最大值与最小值，再计算二者的差即可. 【详解】解：该组射击成绩为，，，，， 其中最大值为，最小值为， 可得极差为 . 知识点五 方差 1.定义：设有一组数据，平均数为，各个数据与平均数差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，记作。 2.标准计算公式： 3.方差核心意义 ①方差衡量整组数据整体偏离平均数的波动大小； ②方差越大：数据波动越大、越不稳定； ③方差越小：数据波动越小、越整齐、稳定性越强； ④方差不受极端值干扰弱于极差，贴合全部数据，结果更精准。 4.方差变化规律 数据全部加/减同一个数：方差不变；数据全部扩大倍：方差扩大倍。 5.实际应用 运动员选拔：选择方差更小、成绩更稳定的选手； 产品质量检测：方差越小，产品尺寸、品质越统一； 成绩分析：方差小→班级成绩均衡；方差大→两极分化严重。 即学即练 1．（2026·江苏淮安·二模）一次数学测试中，甲乙两班平均分都是85分，方差分别为，，则下列说法正确的是（     ） A．甲成绩更稳定 B．乙成绩更稳定 C．甲乙一样成绩更稳定 D．不能确定 【答案】B 【分析】方差反映数据的波动程度，当两组数据平均数相等时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，本题只需比较两方差的大小即可得出结论． 【详解】解：∵甲乙两班的平均分相同，且 ∴乙班成绩的波动更小，乙成绩更稳定． 2．（2026·河南洛阳·三模）甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差（单位：）如表所示，根据表中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（     ） 甲 乙 丙 丁 平均成绩/秒 方差/ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查利用平均数和方差做决策，100米短跑中，平均成绩越小代表成绩越好，方差越小代表发挥越稳定，先比较平均数筛选出成绩更好的选手，再比较方差得到发挥稳定的选手即可求解． 【详解】解：∵平均成绩越小，运动员成绩越好，甲、乙的平均成绩为秒，小于丙、丁的平均成绩秒， ∴从甲和乙中选择一人参赛， ∵方差越小，运动员发挥越稳定，甲的方差为，乙的方差为，， ∴乙的发挥更稳定，因此应选择乙． 知识点六 标准差 1.定义：一组数据方差的算术平方根，叫做这组数据的标准差，记作。 2.公式： 3.核心特点 ①标准差单位和原始数据单位保持一致，实际应用更直观； ②波动规律、大小判断标准和方差完全一致； ③考试优选：实际应用题多用标准差，纯大小比较题直接用方差。 4.样本方差、样本标准差，可估计总体数据离散程度。 即学即练 1．（25-26九年级下·上海长宁·期中）数据90、91、92、93、94的标准差是________． 【答案】 【分析】先计算这组数据的平均数，再计算方差，最后求出方差的算术平方根即为标准差． 【详解】解：首先计算这组数据的平均数，得， 再根据方差的计算公式计算方差，得 ， 标准差是方差的算术平方根，因此该组数据的标准差为． 知识点七 极差、方差、标准差 对比总结 统计量 受极端值影响 精准度 计算难度 极差 极大 最低 最简单 方差 较小 最高 复杂 标准差 较小 最高 中等 即学即练 1．（2026·浙江台州·二模）测试五位同学的“一分钟跳绳”个数时，得到五个各不相同的数据．在统计时．出现了一处错误：将最低成绩85个写成了58个，则下列统计量中不受影响的是（     ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 【答案】B 【详解】解：选项B，∵一共有5个各不相同的数据，将数据从小到大排序后，中位数是排序后第3个数据， 本次修改只改变了最小数据的大小，修改后原最低数据仍然是排序后最靠前的数，不改变中间第3位数据的大小和位置， ∴中位数不受影响，故选项B符合题意； 选项A，C，D，∵平均数的计算与所有数据有关，方差和标准差的计算都依赖平均数， ∴修改数据后，平均数、方差、标准差都会发生改变，故选项A，C，D均不符合题意． 题型01 求一组数据的四分位数 / （1）数据从小到大排序； （2）先求中位数（第二四分位数Q2），拆分左右两组数据，分别取两组中位数为下四分位数Q1、上四分位数Q3。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 【答案】C 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 2．（25-26八年级下·浙江金华·期中）样本数据5，9，1，3，7，6，10的是________． 【答案】9 【分析】先将样本数据从小到大排序，再计算分位数的位置，最后根据百分位数的定义得到结果． 【详解】解：将样本数据从小到大排列，得，，，，，， 样本容量，计算分位数位置 因为不是整数，将向上取整，得，即该分位数为排序后第个数据 故该样本的为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第三四分位数是（     ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据位于数据序列位置处的数，也称为上四分位数，通过排序、计算位置、确定对应数据三步求解． 【详解】解：数据重新排序为：5，5，6，7，8，9， ∵第三四分位数即第75%位置的数，， 当计算结果为非整数时，取比该数大的最小整数对应的位置，即第5个数据， ∴这组数据的第三四分位数是第5个数8． 2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班名同学视力检查数据如下表： 视力 人数 这名同学视力检查数据的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查第三四分位数的计算方法，先根据数据总数计算第三四分位数的位置，再通过累计人数确定对应位置的数值，即可求解． 【详解】解：∵共有个数据，第三四分位数对应的位置为，为整数， 第三四分位数为从小到大排列后，第个和第个数据的平均数。 按从小到大累计人数：视力，累计人；视力，累计人；视力，累计人；视力，累计人；视力，累计人； 可知第个到第个数据均为， 即第、个数据都是， 第三四分位数为． 3．（25-26八年级下·河南许昌·期末）天然气是洁净燃气，供应稳定，能够改善空气质量，因而能为地区经济发展提供新的动力，带动经济繁荣及改善环境．多年来，我国工业天然气生产稳定增长，某段时间，天然气日均产量（单位：亿立方米）依次为6.1，6.1，5.9，5.8，6.0，6.1，6.6，6.7，6.9，7.0，6.6，6.5，这组数据的第三四分位数是_________． 【答案】6.65 【分析】将这组数据从小到大重新排列，根据百分位数的计算规则计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，，， ∵数据共有个，第三四分位数即分位数， ∴， ∴第三四分位数为排列后第个数据与第个数据的平均数，即． 4．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图是嘉淇某月1号到6号用于体育锻炼的时间的折线统计图，则该组数据的下四分位数是____分钟． 【答案】40 【分析】从折线统计图中提取1号到6号每天的体育锻炼时间，得到6个原始数据，将提取到的6个数据按照从小到大的顺序排列，根据下四分位数的计算方法，计算，其中，，根据是否为整数，选择对应方法确定下四分位数． 【详解】从折线图读取1号到6号锻炼时间（单位：分钟）为：， 从小到大排序得：，共个数据， 下四分位数是第25百分位数，位置， 根据计算规则，不是整数时，向上取整，取排序后第2个数据，因此该组数据的下四分位数为． 题型02 绘制箱线图 / （1）先求最小值、Q1、中位数Q2、Q3、最大值五数； （2）数轴定点，画箱体连接Q1、Q3，中线标中位数，线段连接箱体与最值。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·浙江台州·期中）为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100； 八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.5 m 65 八年级 85.2 n p (1)求统计表中的值； (2)补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 【答案】(1)，，，见详解 (2)箱线图见详解，八年级学生晨读打卡积分更集中、更稳定，理由见详解 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）先求七年级积分的下四分位数、上四分位数，然后补全箱线图，最后比较两个箱线图作出判断即可． 【详解】（1）解：七年级积分按照从小到大排序后，中间两个数分别为85，88，所以中位数为； 八年级积分按照从小到大排序后，中间两个数分别为88，90，所以中位数为，并且数据91出现的次数最多，所以众数； （2）解：由七年级积分数据可知下四分位数为，上四分位数为． 据此补全箱线图如图所示． 观察统计图，八年级的箱体比七年级的箱体明显更扁，因此八年级学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校为了解八年级学生的身体健康情况，现从中随机抽取部分学生进行体育测试，并将成绩统计如图所示．请根据图表中所提供的信息，解答下列问题： 八年级学生体育测试成绩 体育成绩（分） 人数（人） 百分比（%） (1)本次测试抽取的总人数为______人；______； (2)本次测试成绩的中位数为______分，并在如图的箱线图中画出该中位数对应的线段； (3)已知该校八年级共有名学生，如果体育成绩达分以上（含分）为身体健康，请估计该校八年级学生身体健康的总人数． 【答案】(1)， (2)，见解析 (3)约人 【分析】本题考查了频数与频率、中位数以及用样本估计总体的统计知识，熟练掌握相关概念和计算方法是解答本题的关键． （1）利用已知频数和对应百分比，通过除法求出抽取的总人数，再根据总人数和指定百分比计算对应频数； （2）将所有成绩按顺序排列后，根据数据个数确定中位数的位置，进而求出中位数； （3）先计算样本中体育成绩达分以上（含分）的人数所占比例，再用该比例乘以八年级总人数，估计身体健康的总人数． 【详解】（1）解：本次测试抽取的总人数为：（人）， ； （2）解：把人的成绩从小到大排列，排在中间的两个数为分和分，故本次测试成绩的中位数为：（分）， 如图所示： （3）解：（人）， 答：估计该校八年级学生身体健康的总人数约人． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·北京西城·期中）某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下． 甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数） 某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示． 分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 甲 a m b 乙 80 90 93 (1)根据甲组数据，求a，m，b． (2)在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y． (3)根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法 【答案】(1)，， (2)； 或93， (3)甲、乙两组成绩中位数相同，甲组成绩的差距（波动）大于乙组 【分析】（1）利用四分位数的定义进行求解即可； （2）先根据甲组的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值绘制甲组箱线图；再结合乙组给出的四分位数和箱线图的极值，先将乙组已知数据排序，根据第二四分位数为90确定x和y的位置关系，再结合第一四分位数、第三四分位数的取值和的条件，求出x和y的值； （3）从两组箱线图的中位数判断平均水平高低，从极值判断最高分、最低分情况，对比分析两组成绩差异即可． 【详解】（1）解：将甲组成绩从小到大排列为： 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 则第一四分位数：，向上取整为第3个数据，则， 第二四分位数： 第三四分位数：，向上取整为第8个数据，则； （2）解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96， 由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93， 则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93， 第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90， 将乙组成绩（除外）从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，95，96 若在第4个位置，则中位数为，不符合题意； 若在第5个位置，则中位数为，即，由于，则不可能位于第5个位置上， 若在第6个位置，则中位数为，即， 若在第7个位置，则中位数为，此时可以为93， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，92，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 当时： 乙组成绩从小到大排列为： 70，75，80，82，88，92，93，93，95，96， 此时乙组中位数为，符合题意， 因此，或93、； （3）解：由于甲、乙两组成绩的中位数相同，均为90，整体中等水平相当；但甲组成绩范围更大（最低60，最高100），成绩分布更分散，两极分化更明显；乙组第一四分位数高于甲组，且成绩更集中，说明乙组中等及偏下水平的成绩更好，整体成绩更稳定，乙组整体成绩优于甲组． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c (1)上述表中，_______，_______，_______； (2)小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数，并绘制箱线图； (3)根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【答案】(1)，40和25，； (2)； 绘制箱线图如图所示： (3)社区应该挑选阅览室A． 理由：因为阅览室A的众数和中位数大于阅览室B，且从箱线图看B阅览室预约人数的差距大，A阅览室预约人数的差距小，更稳定，所以社区应该挑选阅览室A． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据完成表格即可； （2）结合数据和图表确定第25、50、75百分位数对应的位置，计算得到对应的四分位数，在B的位置标注最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，画出箱线图即可； 【详解】（1）解：A阅览室预约人数的平均数； 根据数据， B阅览室预约人数为25和40的出现次数最多，因此众数b为25和40； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第5个数为40，第6个数为55，因此中位数为； （2）略 （3）略 3．（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号A、B、C星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，92，94，95，96． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 a 70 八年级 m b c (1)上述表中，______，______，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩m； (3)若该校八年级有800名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数． 【答案】(1)，，见解析； (2)； (3)估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为400人． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出，，，补全箱线图即可； （2）根据平均数的概念求解即可； （3）用800乘以成绩超过90分的人数所占的比例即可． 【详解】（1）解：∵共有12个数据， ∴中位数为第6个数据和第7个数据的平均数， ∴八年级所抽取学生的中位数； ∵出现的次数最多， ∴八年级所抽取学生的众数； 七年级所抽取学生的中位数； 补全七年级的箱线图如下： （2）解：八年级所抽取学生的平均成绩（分）； （3）解：（人）， ∴估计该校此次活动中八年级学生成绩超过90分的人数为400人． 4．（25-26八年级上·河南开封·期末）2025年11月14日，因神舟二十号返回舱遭太空碎片撞击，原乘组转移至神舟二十一号返回，神舟二十二号调整为无人状态择机发射，承担应急救援备份及满载货物上行任务，展现了我国航天事业的伟大成就．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空·传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取两组参赛作品，两组成绩（百分制）如下： 甲组：60，70，70，80，89，91，92，96，100，98． 乙组：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 某同学想要利用四分位数分析两组成绩情况，下表是他制作的两组成绩的四分位数值表． 组别 甲组 a 90 b 乙组 80 90 93 根据以上信息，完成下列问题： (1)表中_____________，_____________； (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中（合理即可）． 【分析】本题考查了中位数和四分位数，掌握中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）根据“四分位数”的定义解答即可； （2）结合（1）的结论解答即可； （3）根据箱线图和对四分位数解答即可． 【详解】（1）解：把甲组成绩从小到大排列：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100． 故； 故答案为：，； （2）解：如图所示为所求： （3）解：根据箱线图，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中（合理即可）． 题型03 解读箱线图中的基础数据信息 / 箱体：数据集中区间；四分位距越小，数据越稳定；极值为最值；中位数看整体水平，箱体偏移判断数据分布疏密。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·山东济南·期中）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法不正确的是（     ） A．这组数据的第一四分位数是4 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的第三四分位数是15 D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13 【答案】B 【详解】解：A、箱线图的箱体的左端竖线的对应值为4，所以这组数据的第一四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B、箱线图的箱体中部的竖线在10与11之间，所以这组数据的中位数大于10，说法错误，故该选项符合题意； C、箱线图的箱体的右端竖线的对应值为15，所以这组数据的第三四分位数是15，说法正确，故该选项不符合题意； D、箱线图最左侧的竖直线段表示该组数据的最小值是3，最右侧的竖直线段表示该组数据的最大值，是18， ∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数可能是13，说法正确，故该选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）学校体育检测中，记录了男、女各10名学生1分钟跳绳的个数，绘制了箱线图（如图），下列说法错误的是（    ） A．男生跳绳个数最多为208个 B．女生跳绳成绩更稳定 C．男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数 D．男生跳绳个数的平均数大于女生跳绳个数的平均数 【答案】D 【分析】观察箱线图，提取最大值、中位数及数据离散程度信息，结合统计量的意义进行判断即可. 【详解】解：A、左侧箱线图最大值为，故男生跳绳个数最多为208个，原说法正确； B、右侧箱线图（女生）的极差和四分位距均小于左侧（男生），女生成绩波动小，更稳定，故女生跳绳成绩更稳定，原说法正确； C、左侧箱线图中位数线低于右侧，故男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数，原说法正确； D、通过箱线图无法确定平均数，故不能得到男生跳绳个数的平均数大于女生跳绳个数的平均数，原说法错误. 3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况箱线图如图所示，身高最集中的是___队． 【答案】乙 【分析】根据箱线图分析即可得到答案． 【详解】解：乙队队员的身高差距最小，身高较为集中． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）小颖根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（   ）． A．最小值为47 B．中位数为73 C．上四分位数为83 D．平均数为73 【答案】D 【分析】本题考查箱线图和中位数的定义，根据箱线图逐项分析即可． 【详解】解：对于A：由图可知，这组数据的最小值为47，故A正确； 对于B：由图可知，这组数据的中位数为73，故B正确； 对于C：由图可知，这组数据的上四分位数为83，故C正确； 对于D：根据箱线图不能直接得到平均数，故D不正确． 故选：D． 2．（25-26八年级下·北京·期中）某地区年月和月的空气质量指数箱线图如下．值越小，空气质量越好，值超过，说明达到重度污染．则下列说法正确的有（     ） ①该地区年月有重度污染天气 ②该地区年月值的最小值比月小 ③该地区年月值比月值集中 ④从整体上看，该地区年月的空气质量略好于月 ⑤该地区年月和月值的中位数相同 A．④⑤ B．③⑤ C．②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了箱线图的理解与应用，通过观察箱线图的特征，结合的定义，对每个选项逐一分析判断，熟练掌握箱线图的特征是解题的关键． 【详解】解：由箱线图可得，年月的箱线图最上方的横线表示的最大值，低于； ∵值超过，说明达到重度污染， ∴年月没有重度污染天气， ①错误； 箱线图最下方的横线表示数据的最小值， 由箱线图可得，月箱线图的最下方横线的位置高于月箱线图的最下方横线位置， ∴月值的最小值比月大； ②错误； 由箱线图可知，箱线图看起来“扁”，则表明数据波动小，分布集中； 由图可得，月的箱线图比月的箱线图扁， ∴月值比月值集中； ③正确； 月的箱线图，最大值，最小值都在月箱线图的上方， ∴月的值高于月， ∴月的空气质量比月的好； ④错误； 由箱线图可得，箱线图中间的横线表示中位数， 由图可得，月和月值的中位数相同； ⑤正确； 正确的为：③⑤． 3．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图是根据甲、乙组跳绳成绩（单位：次／分）在同一幅图中画出两组数据的箱线图．下面有四个结论：①甲组的中位数比乙组的大；②甲组最小数据和乙组相差不多；③乙组最大数据比甲组的明显大；④乙组数据的波动明显比甲组的大．其中正确的是______．（填四个结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了箱线图，根据甲、乙组的箱线图，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①甲组的中位数比乙组的大，故①正确； ②甲组最小数据和乙组相差不多，故②正确； ③乙组最大数据比甲组的明显大，故③正确； ④乙组数据的波动范围比甲组大，故④正确． 故答案为：①②③④． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）学习了箱线图分析数据后，小明对两地在7、8月每天最高气温这组数据进行分析，绘制了如下图的箱线图．则下列结论正确的是___________（填写序号）． ①在7至8月，B地每天最高气温的上四分位数为； ②在7至8月，B地每天最高气温的中位数小于A地每天最高气温的中位数； ③在7至8月，A地每天最高气温都高于B地每天最高气温； ④在7至8月，A地有超过一半的天数最高气温是不低于． 【答案】②④ 【分析】本题考查箱线图的统计意义，掌握箱线图各部分对应的统计量含义是解决问题的关键．根据箱线图各部分含义，逐个判断结论对错即可． 【详解】解：结论①：箱线图中，上四分位数对应箱的右边界，B地的箱右边界为，则上四分位数是，故①错误； 结论②：中位数对应箱内的线，B地的中位数（箱内线）低于A地的中位数，故②正确； 结论③：A地的最高气温高于B地的最高气温，并非“每天都高于”，故③错误； 结论④：A地的箱线图中，数据的中位数（箱体中间线）是，且中间线左右两侧的箱体大小相同，因此有超过一半的天数最高气温是不低于，故结论④正确． 综上所述，正确的结论是②④． 故答案为：②④． 5．（25-26八年级下·浙江·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 【答案】③ 【分析】根据箱线图的信息解答即可． 【详解】 解：箱线图的箱体越窄、数据分布越集中，方差越小．甲班的箱线图最紧凑，所以方差最小，①正确； 乙班的箱线图的须最长，数据分布最分散，波动最大，②正确； 丙班的中位数（箱体中间的线）大于80，说明有一半以上的学生得分，所以得分低于80的人数少于得分高于80的人数，③错误； 每班42人，第11名是从高到低排列的第11个，属于上四分位数（前），丙班的上四分位数（箱体的上沿）最高，所以丙班的第11名分数最高，④正确． 故答案为：③． 题型04 根据四分位数与箱线图做数据分析与评价 / 箱体：数据集中区间；四分位距越小，数据越稳定；极值为最值；中位数看整体水平，箱体偏移判断数据分布疏密。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·山西太原·期末）为优化旅游体验，山西省文旅局在2025年国庆假期后，随机抽取了部分游客，对两条经典旅游线路：A：“晋商文化探秘”线（平遥古城、乔家大院等），B：“黄河风情体验”线（壶口瀑布、碛口古镇等）的满意度进行了百分制评分调查． 收集与整理：每条线路收集了20份有效评分，初步计算的部分统计量如下： 86-90分评分的具体分值 88  90   87  86  89  88  90  87 线路B的评分情况 分数（分） 75 78 82 86 90 94 97 99 人数（人） 3 2 4 2 3 2 3 1 描述与分析：两条经典旅游线路评分的平均数、众数、中位数、方差如下： 线路 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 方差 A 86.5 92 b 18.05 B c a 86 62.9475 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计表中_________，_________． (2)求出统计表中c的值． (3)利用表中两个统计量及箱线图对线路A，B的评分情况进行分析． 【答案】(1)82；87 (2)统计表中c的值为86.45分 (3)见解析 【分析】（1）线路B收集的评分中出现次数最多的数得到众数a，结合扇形图将线路A收集的评分排序， 通过中间两个数的平均数求出中位数b； （2）根据平均数公式计算线路B评分的平均数c； （3）从平均数、中位数、众数、方差中任选一个统计量，对比两个路线评分的差异，再结合该统计量的意义提出合理化建议． 【详解】（1）解： 线路B收集的评分中出现次数最多的是， ， （2）解：（分） 答：统计表中c的值为86.45分． （3）解：从平均数来看，线路A略优于线路B，说明线路A平均满意程度略高于线路B； 从众数来看，线路A中92分>82分，说明线路A大众满意度优于线路B； 从中位数来看，88分>86分，在箱线图中也能说明线路A的中等水平好于线路B； 从箱线图可以看出：A线路中位数高，箱子短，数据集中，说明A线路整体口碑好，游客评价高；B线路中位数低，箱子长，数据分散，整体评分不高，评价差异较大． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）郑州市某初中为选拔学生代表学校参加市级校园投篮比赛，从初二学生中选出甲、乙两名候选人，组织两人在相同条件下进行八轮投篮测试（每轮投10次，记录命中数），对甲、乙两名学生每轮的投篮成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将甲、乙两名学生八轮投篮成绩绘制成如下统计图 【数据分析】 （1）林宇利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，个，______个，可以看出，______（填甲或乙）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，______（填甲或乙）的投篮水平发挥更稳定； （2）李华利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析． ①处应填______个，②处应填______个，③处应填______个；基于四分位数或箱线图，可以发现甲命中球数的中位数______乙命中球数的中位数（填＞，＜或＝），且学生甲成绩明显比学生乙的投篮成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 甲 6 ① ② 9.5 10 乙 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮投球成绩，从甲，乙两名学生中选拔一人参加市级校园投篮比赛，并说明理由． 【答案】（1）9，乙，乙；（2），9，10，相等．（3）选择乙选手参加市级校园投篮比赛，理由见解析 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、方差等知识点，正确理解相关定义是解题的关键． （1）先根据平均数的公式即可求得，即可确定谁的平均成绩略高；再根据方差的意义，即可确定谁的投篮水平发挥更稳定； （2）先把选手甲、乙的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义即可解答； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】解：（1）， ， ∴乙的成绩略高， ∵， ∴乙的投篮水平发挥更稳定， 故答案为：9，乙，乙． （2）选手甲的数据从小到大排列为， ∴下四分位数为，即，中位数为，即， 选手乙的数据从小到大排列为， ∴上四分位数为， 基于四分位数或箱线图，可以发现学生甲的投篮成绩比学生乙的投篮成绩波动大， 故答案为：，9，10，相等． （3）选择乙选手参加市级校园投篮比赛，理由如下： ∵甲、乙两名选手的中位数相等，但乙选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． ∴选择乙选手参加市级校园投篮比赛． 2．（25-26八年级上·山西运城·期末）某直播平台统计了零食A类直播间和零食B类直播间近10天的商品上架平均审核耗时．（单位：分钟，耗时越短代表运营效率越高）具体数据如下： 类型 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天 第9天 第10天 零食A类直播间 6 9 8 12 10 7 11 6 13 9 零食B类直播间 3 1 4 3 5 2 3 4 2 5 统计人员根据统计结果做了如下的表格和箱线图，请根据统计结果完成下列各题： 数据类型 平均数 方差 最小值 最大值 零食A类直播间 9.1 5.29 6 a b c 13 零食B类直播间 d 1.56 1 2 3 4 5 (1)补充上述表格中的空缺数据： ________  ________  ________  ________ (2)结合表格和箱线图就两直播间对商品上架平均审核效率进行分析： ①从平均数的角度分析可知________ ②从方差的角度分析可知________ ③从四分位数和箱线图的角度分析可知________ (3)请你对运营效率较低的直播间提出一条具体可操作的提升建议． 【答案】(1)，，， (2)①见解析；②见解析；③见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平均数、方差，四分位数，箱线图，掌握定义及其计算公式是解题的关键． （1）根据四分位数和平均数的定义解答即可； （2）分别根据平均数、方差和箱线图的意义解答即可； （3）根据统计表数据解答即可（答案不唯一）． 【详解】（1）解：由题意可知，零食A类直播间近10天的商品上架平均审核耗时从小到大排列为6，6，7，8，9，9，10，11，12，13， 故， ． 故答案为：，，，； （2）解：①零食B类直播间审核平均耗时小于零食A类直播间，说明零食B类直播间整体审核效率较高；②零食B类直播间审核耗时的方差小于零食A类直播间，说明零食B类直播间每天审核耗时的波动范围较小，工作效率更稳定；③零食B类直播间审核平均耗时的最大值与最小值差小、箱子短，中位数明显低于零食A类直播间，说明零食B类直播间工作效率更高且每天审核耗时差异不大； （3）解：建议零食A类直播间精简审核环节、明确各项目的审核时限等（答案不唯一，合理即可）． 题型05 方差的计算 / （1）先算平均数；套公式：，分步计算； （2）易错：忘记平方；分母错用n-1；平均数计算失误；括号运算顺序出错。 典｜例｜精｜析 1．（2026·江苏常州·一模）小明这学期数学的五次测验成绩分别是：，，，，．这五次测验成绩的方差是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方差的计算，按照方差计算步骤，先求出五次成绩的平均数，再代入方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴方差 变｜式｜巩｜固 1．（2026·福建莆田·二模）为了解智能机器人分拣快递的工作效率，某快递分拣站随机抽取10台不同型号的智能机器人，统计每台每周可分拣的快递数量（单位：万件），并绘制了折线统计图．下列有关智能机器人每台每周可分拣快递数量的描述，正确的是（   ） A．中位数是15万件 B．众数是15万件 C．平均数是14万件 D．方差是0 【答案】A 【分析】根据折线统计图读出这10台机器人的分拣数量，分别计算出众数、中位数、平均数和方差，然后对各选项进行判断即可 【详解】解：由折线统计图可知，这10台机器人每周分拣快递数量（单位：万件）分别为： ， 数据共有10个，排序后第5个和第6个数据均为15 中位数为，故选项A正确； 14和16均出现了3次，出现次数最多 众数是14和16，故选项B错误； 平均数 平均数是15万件，故选项C错误； 方差，故选项D错误． 2．（2026·福建南平·一模）已知一组样本数据的平均数为，利用方差公式计算：，由公式提供的信息，可知样本容量是（   ） A．30 B．38 C．39 D．41 【答案】A 【分析】根据方差的计算公式，分子中各项的系数为对应数据出现的频数，样本容量等于所有频数之和，将各频数相加即可得到样本容量． 【详解】解：在方差计算公式中，公式分母的为样本容量，分子中各项的系数是对应数据的频数，样本容量等于所有频数的和， 又∵本题中各频数分别为13，14，3， ∴ ，即样本容量为30． 题型06 极差的计算 / （1）极差=数据最大值−数据最小值，先筛选最值直接作差； （2）易错：找错最大、最小值；负数数据差值计算符号出错；忽略重复数据。 典｜例｜精｜析 1．（2026·山东菏泽·一模）已知一组数据6，1，4，6，8，则这组数据的极差是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据极差的定义，找出这组数据的最大值和最小值，计算二者的差值即可得到答案． 【详解】解：∵极差是一组数据中最大数据与最小数据的差， 在数据，，，，中， 最大数据是，最小数据是， ∴极差为． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·四川成都·二模）某中学为了解全校的耗电情况，抽查了10天中全校每天的耗电量，数据如表： 度数 90 93 102 113 114 120 天数 1 1 2 3 1 2 表中数据的极差是m度，中位数是n度，则m和n的值分别为（   ） A．30；3 B．24；3 C．30；113 D．30；102 【答案】C 【详解】解：表格中的所有数据按照从小到大的顺序排列为：90、93、102、102、113、113、113、114、120、120． 最小值为90，最大值为120，所以极差； 中位数为第5个和第6个数据的平均数，所以中位数； 综上可知，． 2．（25-26七年级上·山西运城·期末）某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了至月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图．其中阅读课外书本数的最大值比最小值多_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了折线统计图，利用数形结合的方法从折线统计图获取相关信息是解本题的关键．从折线图中获取信息，可得从到月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值相差多少． 【详解】解：由折线图可知：月份阅读课外书本数最大，最大值为， 月份阅读课外书本数最小，最小值为， ∴， 从到月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多， 故答案为： 题型07 标准差的计算 / （1）标准差为方差算术平方根：，先求方差再开二次根号； （2）易错：标准差、方差概念混淆；开方计算错误；保留小数不符合题干要求。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知一组数据，x，，3，1，6的中位数是1，则其标准差为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了根据中位数求未知数据的值，求一组数据的标准差，根据中位数的定义，数据个数为偶数时，中位数是排序后中间两个数的平均值，由此求出x的值，再计算数据的平均值，进而求出方差，即可求出标准差． 【详解】解：∵一共有6个数， ∴把这组数据按照从小到大的顺序排列后，第3位和第4位这两个数的平均数为中位数， ∵， ∴1要么是第3位数，要么是第4位数， ∵中位数为1， ∴第3位数和第4位数的平均数为1， ∴第3位数和第4位数的和为， ∴第3位数和第4位数都是1， ∴， ∴这组数据为，，1，1，3，6， ∴这组数据的平均数为， ∴这组数据的方差为， ∴这组数据的标准差为， 故答案为：3． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·浙江·模拟预测）计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据方差、平均数、标准差的定义逐一判断每个结论的正误即可． 【详解】解：①原式中共有5个数据项，分母为5，因此一共有5个数据，①正确； ②方差公式中每个数据减去的是平均数，原式中每个项均为，因此平均数为10，②正确； ③已知方差，标准差为方差的算术平方根，因此标准差为，③正确； ④由原方差得原平方和为，添加数据10后，新数据总和为，新数据个数为6，因此新平均数为，新平方和为，新方差为，因此方差改变，④错误． 综上，正确的结论共3个，因此选C． 2．（2025·北京朝阳·模拟预测）小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的标准差S=_______． 【答案】 【分析】本题主要考查标准差的计算，解题的关键是从题干得到这组数据． 根据题意可知这组数据为6，8，8，10，计算均值，再代入方差公式计算即可． 【详解】根据题意可知这组数据为6，8，8，10， ， ， ． 故答案为：． 题型08 求离差平方和 / （1）离差=原数据−平均数，全部离差平方后相加，无需除以数据个数； （2）易错：额外除以n混淆方差公式；离差正负号处理错误；平方运算算错。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·浙江·期中）某班进行了一次数学小测，6名同学的成绩（单位：分）分别是：65，85，85，70，70，75．这组数据的离差平方和是（   ） A．70 B．75 C．150 D．350 【答案】D 【分析】先求出这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方的和即可得到结果． 【详解】解：这组数据的平均数为：， 则这组数据的离差平方和为： ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·浙江·期中）在某次演讲比赛中，9位评委给选手小欣打分，得到互不相等的9个分数．同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．离差平方和 D．方差 【答案】B 【分析】根据平均数、中位数、离差平方和、方差的意义即可判断结果； 【详解】解：∵9个互不相等的数从小到大排序后，中位数是排在中间位置的第5个数，去掉一个最高分和一个最低分后，剩余7个分数重新排序，中位数仍是原数据中的第5个数， ∴中位数一定不会发生改变， 平均数受极端值影响，去掉两端分数后会改变，离差平方和与方差反映数据波动程度，数值也会发生改变． 2．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知分组：|，则其组内离差平方和是_____． 【答案】10 【分析】按照组内离差平方和的定义，先分别计算每组的组平均数，再计算每组内数据的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加得到结果． 【详解】解：第一组： 该组的平均数为， 则第一组离差平方和为； 第二组： 该组的平均数为， 则第二组离差平方和为， 因此，总组内离差平方和为：． 题型09 根据方差判断数据稳定性 / （1）方差越小，数据波动越小、越稳定；方差越大，数据波动越大、越离散； （2）易错：规律记反；混淆平均数、方差决策依据；忽略题干实际场景盲目判断。 典｜例｜精｜析 1．（2026·山东青岛·二模）某企业对员工进行综合素质测试，测试由位评委打分，每位评委最高打分，评委给甲、乙的打分的折线图如图：则根据图中信息，比较甲的方差与乙的方差的大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】观察折线的起伏幅度判断即可． 【详解】解：据图可知，甲员工的分数波动更大，则甲的方差大于乙的方差． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河南开封·二模）某校为选拔田径队队员参加市运动会，对甲、乙、丙、丁四名同学进行了5次百米测试，每人成绩的平均数（单位：秒）和方差如下表： 学生 甲 乙 丙 丁 平均数 11.6 11.6 12.6 12.6 方差 0.32 0.18 0.2 0.25 如果学校要选择一名成绩优秀且稳定的选手代表学校参赛，应选择（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】百米成绩中平均用时越短说明成绩越优秀，方差越小说明成绩越稳定，根据两个统计量的意义筛选即可． 【详解】解：∵百米测试中，平均用时越短，成绩越优秀，观察表格可得，甲、乙的平均数为，小于丙、丁的平均数， ∴先排除丙、丁，在甲、乙中选择． ∵方差越小，成绩越稳定， 甲的方差为，乙的方差为，且， ∴在甲、乙两人成绩同样优秀的情况下，乙的成绩更稳定，故乙的成绩优秀且稳定． ∴选择乙选手代表学校参赛． 2．（2026·山东青岛·三模）学校组甲、乙、丙、丁四名运动员参加运动会100米项目选拔赛，本周共进行了8轮选拔测试，平均成绩（单位：秒）和方差如表所示．根据表中数据，你认为应该推选运动员________去参赛，更有把握取得优异成绩． 甲 乙 丙 丁 平均成绩 【答案】丙 【分析】要选出更有把握取得优异成绩的运动员，需先结合100米项目的特点，根据平均成绩判断整体成绩优劣，再根据方差判断成绩稳定性，100米项目用时越短成绩越好，方差越小成绩越稳定，据此筛选即可得到结果． 【详解】解：在100米项目中，平均成绩越小，代表运动员整体成绩越好． 比较四名运动员的平均成绩，可得，甲、丙的平均成绩小于乙、丁的平均成绩，因此优先考虑甲、丙两人． 方差反映了一组数据的波动大小，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定． 甲的方差为，丙的方差为，，因此丙的成绩更稳定． 综上，甲、丙的平均成绩相同，但丙的成绩更稳定应推选丙参赛． 3．（2026·山西太原·二模）如图是八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学抛实心球10次训练成绩（单位：米）的方差与平均数．若要从中选出一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，最合适的是_______同学． 【答案】丙 【分析】根据平均数越高的成绩越好，方差越小发挥越稳定，故选择平均数高的且方差小的同学去参加比赛即可． 【详解】解：∵， ∴丙同学和丁同学抛实心球10次训练成绩的平均数高， ∵， ∴丙同学和丁同学抛实心球10次训练成绩的方差相比，丙同学的方差较小，发挥稳定， ∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加年级体测项目友谊赛，应该选择丙． 题型10 数据经过加减、数乘变换后，求新数据的方差 / 原方差：数据+a，方差不变；数据×k，新方差；kx+a，方差。 典｜例｜精｜析 1．（2026·江苏南京·二模）一组数据为7，8，9，将7改成8，改动前后的方差分别记为，，则______（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】先分别计算改动前后两组数据的平均数，再根据方差公式计算两组数据的方差，最后比较方差的大小即可． 【详解】解：改动前数据为，，，改动前平均数：， ； 改动后数据为，，，改动后平均数：， ， ． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·黑龙江佳木斯·二模）已知一组数据1，3，5，7，9的方差是8，则另一组数据11，13，15，17，19的方差为 ____________． 【答案】8 【详解】把数据1，3，5，7，9每个数加10得到新数据11，13，15，17，19， 因为一组数据加上同一个常数，方差不变，故方差仍为8． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据的方差为， 则 的方差为___________． 【答案】12 【分析】先设这组数据，，，，的平均数为，方差，则另一组新数据，，，…，的平均数为，方差为，代入公式计算即可． 【详解】解：∵数据，，，…，的方差为3， 设这组数据，，，…的平均数为，则另一组新数据，，，…，的平均数为， ∵， ∴另一组数据的方差为 ． 题型11 已知方差，反求数据中的未知量 / 代入方差公式列方程求解；结合数据实际取值取舍未知数。 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽合肥·二模）为评选校园“十佳社团logo”，邀请5位老师对A、B两款社团logo设计作品进行打分（满分10分），A作品的平均分为8.6，方差为0.24，B作品得分分别为8，9，9，9，x（x为整数），若A作品的平均分低于B作品，且5位老师对B作品的评价相比A作品更一致，则x的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】先根据A平均分低于B的条件求出x的范围，再利用方差的意义：方差越小，评分越一致，计算x可能值的方差，筛选出符合条件的x． 【详解】解：∵A作品平均分低于B作品，B作品5个得分总和为 ∴B作品平均分为 ， 解得． ∵x是满分10分以内的整数， ∴x的可能取值为9或10． 又∵B作品评价比A作品更一致，方差越小数据越一致， ∴ ． 当时， ，符合条件； 当时， ， ，不符合条件， ∴ ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）已知一组数据的方差为：，则____． 【答案】14 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和平均数的定义． 由可知平均数和数据数量，从而得出答案． 【详解】解：由方差表达式可知，数据的平均数为10． 数据包括11，13，4，m，8，共5个数据． 根据平均数的定义，有： 解得 故答案为：14． 2．（2025·北京石景山·二模）某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）进行了调查，记录如下： 甲组：10，11，12，13，14，15 乙组：12，13，14，16，15， 若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的的值可以为_________．（写出一个即可） 【答案】11或17（写出一个即可） 【分析】本题考查方差公式，法一，利用方差的定义结合甲组和乙组除了外，每个数据之间的特征求解即可，法二，根据方差公式列方程求出a的值即可． 【详解】解：法一，∵甲组的每个数据之间相差，而乙组除了外，每个数据之间也是相差， 又∵甲、乙两组病人康复时间的方差相同， ∴乙组按照顺序排列：a、12、13、14、15、16或者12、13、14、15、16、a，两组数据都是连续的相差只有1， ∴或者； 法二，甲组：， ∴， 乙组：， ∴， 解得或， 故答案为：或（写出一个即可））． 题型12 平均数、中位数、众数与方差综合分析题型 / （1）平均水平看平均数、中位数、众数；波动稳定性看方差；结合双维度对比数据做决策； （2）易错：统计量功能混用；极端值下不会优选统计量；答题缺少文字决策依据。 典｜例｜精｜析 1．（2025·贵州·中考真题）贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲队员成绩的众数为 环，乙队员成绩的中位数为 环； (2)如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是 （填“平均数”“众数”或“中位数”）； (3)若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可） 【答案】(1)， (2)甲；平均数 (3)见解析 【分析】本题考查了众数、平均数、中位数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据众数和中位数的定义计算即可得解； （2）求出甲、乙队员成绩的平均数和方差，比较即可得解，再结合中位数、众数的定义求解即可； （3）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可． 【详解】（1）解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，故甲队员成绩的众数为环； 乙队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，乙队员成绩的中位数为环； （2）解：， ， ， ， 故，， ∴甲队员射击的整体水平高一些， 如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩为、、、、、、、、、、， 此时平均数为，众数为，中位数为， 故会发生改变的统计量是平均数； （3）解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，故甲队员成绩的中位数为环，甲队员成绩的众数为环， 由（2）可得， ∵丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员， ∴补全丙队员的成绩如下： 此时丙队员10次成绩的众数为、中位数为、平均数为，均大于甲队员． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·福建·中考真题）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； (3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】(1)， 因为， 所以， 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． (2) 甲， 由已知得，获奖分数线的平均数为， 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． (3)选甲更合适． 理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适． 【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键． （1）先求出乙的方差，然后比较即可； （2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可； （3）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可． 【详解】（1）， 即． （2）略 （3）略 2．（2025·山东·中考真题）在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的值进行了整理、描述及分析． 【收集数据】 甲基地水体的值数据： 7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26． 乙基地水体的值数据： 7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21． 【整理数据】 甲 2 5 7 7 3 乙 4 2 9 a 2 【描述数据】 【分析数据】 平均数 众数 中位数 方差 甲 7.79 b 7.81 0.10 乙 7.78 7.77 c 0.13 根据以上信息解决下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)填空：______，______； (3)请判断甲、乙哪个基地水体的值更稳定，并说明理由； (4)已知两基地对水体值的日变化量（值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的值是否符合要求． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)甲基地水体的值更稳定，理由见详解； (4)甲符合要求，乙不符合要求． 【分析】本题考查了直方图与统计表，中位数及众数，方差等知识点． （1）先求得a的值，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数及众数的定义求解即可； （3）根据方差的意义求解即可； （4）计算值最大值与最小值的差即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 补全频数分布直方图如图； ； （2）解：甲基地水体的值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多， 则； 乙基地水体的值数据中，由小到大排列中间两个数为7.77和7.81： 则； 故答案为：；； （3）解：∵甲的方差为0.10，乙的方差为0.13，， ∴甲基地水体的值更稳定； （4）解：甲基地对水体值的日变化量：， 乙基地对水体值的日变化量：， ∴该日两基地的值甲符合要求，乙不符合要求． 3．（2026·福建泉州·二模）为贯彻落实《健康中国行动（2019～2030）》规划，引导青少年养成健康的生活方式．某中学初三年级开展了为期4周的“科学减重”干预计划行动，并对参与学生进行数据追踪． 信息一：从参与学生中随机抽取了20名，统计了他们干预前的体重情况，如果以各组的组中值（每组两个端点值的平均数）代表组内各人的实际体重数据，绘制了如下频数分布表： 体重（） 人数（人） 4 8 6 2 信息二：若男生甲和男生乙干预前的体重均为上表中数据的平均值．在4周干预期内，如实记录了 这两人每周的减重量（单位：），具体数据如下： 男生甲：1.0，1.5，1.5，2.0；  男生乙：0.5，1.0，2.0，2.5． 根据相关信息，解答下列问题： (1)求这20名学生干预前的平均体重； (2)根据医学建议，该年龄段男生干预后的健康体重标准为．试判断甲、乙两位男生是否达到了健康体重标准？ (3)从健康科学的角度出发，若欲从甲、乙两人中推荐一名作为该校“科学减重标杆”，你认为推荐谁较为合适？请说明理由． 【答案】(1) (2)甲、乙两位男生均达到健康体重标准 (3)推荐男生甲；理由：甲的减重过程更平稳、循序渐进，符合健康科学的减重原则，不易反弹且对身体负担更小 【分析】（1）根据平均数的定义求解即可； （2）分别计算两位同学干预后的体重，再与比较； （3）根据计算甲乙的方差，即可求解． 【详解】（1）解： 答：这20名学生干预前的平均体重是 （2）解：甲干预后的体重为： 乙干预后的体重为： 答：甲、乙两位男生均达到健康体重标准； （3）解：推荐甲，理由如下： ， ， ， ∵ 说明甲的减重过程更平稳、循序渐进，符合健康科学的减重原则，不易反弹且对身体负担更小，更适合作为标杆，故推荐甲． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $