3.3 相似三角形判定定理的证明 讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.3 相似三角形判定定理的证明 考点1: 平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.  几何语言：如图，∵l3∥l4∥l5，∴＝，＝，＝.  · ①对应线段是指两条平行线所截的线段，如AB与DE，BC与EF. ②所有的成比例的线段是指小注意被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关. 考点2: 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.  如图，若DE∥BC，则有＝，＝，＝. 练习1. 1. 如图，直线l1∥l2∥l3，下列各式不一定成立的是(　D　). A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 2. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E ，F，AC与DF相交于点H.如果AB＝5，BH＝1，CH＝2，那么 的值等于(　D　). A． B． C． D． 3. 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上.若线段AB＝4cm，则线段BC的长为(　C　). A．10cm B．9cm C．8cm D．6cm 4. 已知线段a、b、c，求作第四比例线段x，则以下正确的作图是(　D　). A． B． C． D． 5. 如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，，且AD∶DB＝3∶5，则CF∶CB＝(　A　). A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 6. 如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是 6 ． 7. 如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，AB＝12cm，DE＝5cm，则线段BF的长为 10 cm． 8. 如图，五线谱是一种记谱法，通过在五条等距离的平行线上标以不同时值的音符及其他记号来记录音乐.同一条直线上的三个点A，B，C分别在五线谱的三条平行线上，若线段BC＝4cm，则线段AC的长是 6 cm． 9. 如图，在7×7方格纸中，点A，B，C都在格点(网格线的交点)上，请用无刻度的直尺作图． 解：(1)如图，△CMN即为所作； (2)如图，点D即为所作．   (1)在图1中作一个格点△CMN，使得△CMN∽△CAB． (2)在图2中的线段AC上找一点D，使得＝． 10. 如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC. (1)求证：＝； (2)若AB＝15，AD∶BD＝2∶1，求DF的长. 解：(1)证明：∵EF∥CD，∴＝，∵DE∥BC，∴＝，∴＝.(2)DF＝ 考点3: 相似三角形的判定定理 1. 定理1：两角分别相等的两个三角形相似 几何语言：∵ ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′；∴△ABC∽△A′B′C′ 证明 ：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD＝A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，＝.(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例) 过点D作AC的平行线，交BC于点F， 则＝(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)，∴＝ ∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形 DFCE 是平行四边形.∴DE＝CF ∴＝. ∴＝＝. 而∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC ∵∠A＝∠A′，∠ADE＝∠B＝∠B′，AD＝A′B′ ∴△ADE≌△A′B′C′，∴△ABC∽△A'B'C' 2. 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 几何语言：∵ ∠A＝∠A′，＝；∴△ABC∽△A′B′C′ 证明 ：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD＝A′B′， 过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED， ∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似)，∴＝ ∵＝，AD＝A′B′，∴＝.∴＝.∴AE＝A′C′ 而∠A＝∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A'B'C'. 3. 定理3：三边成比例的两个三角形相似 几何语言：∵＝＝；∴△ABC∽△A′B′C′ 证明 ：在△ABC的边AB，AC(或它的延长线)上分别截取AD＝A′B′，AE＝A′C′，连接DE ∵＝，AD＝A′B′，AE＝A′C′. ∴＝，而∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE.(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似) ∴＝，又＝，AD＝A′B′.∴＝. ∴＝ ∴DE＝B′C′， ∴△ADE≌△A′B′C′. ∴△ABC∽△A'B'C' 练习2. 1. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有(　C　). A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是(　C　). A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝ 3. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则＝　　　 .  4. 已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，D，E分别是直线AC和AB上的点，且AD＝3，要使△ADE∽△ACB，则BE＝ 4或8 . 5. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠ADE＝∠C，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.若＝，的值为　　1　 . 6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，动点P以2 cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1 cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动.设P，Q两点的移动时间为t s(0＜t＜2.5). (1)CQ＝ t cm，CP＝ (5－2 t) cm(用含t的式子表示)； (2)当t的值为多少时，△CPQ与△CAB相似？ 解：(2)t为或时，△CPQ与△CAB相似. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 相似三角形判定定理的证明 考点1: 平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.  几何语言：如图，∵l3∥l4∥l5，∴＝，＝，＝.  · ①对应线段是指两条平行线所截的线段，如AB与DE，BC与EF. ②所有的成比例的线段是指小注意被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关. 考点2: 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.  如图，若DE∥BC，则有＝，＝，＝. 练习1. 1. 如图，直线l1∥l2∥l3，下列各式不一定成立的是(　 　). A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 2. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E ，F，AC与DF相交于点H.如果AB＝5，BH＝1，CH＝2，那么 的值等于(　 　). A． B． C． D． 3. 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上.若线段AB＝4cm，则线段BC的长为(　 　). A．10cm B．9cm C．8cm D．6cm 4. 已知线段a、b、c，求作第四比例线段x，则以下正确的作图是(　 　). A． B． C． D． 5. 如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，，且AD∶DB＝3∶5，则CF∶CB＝(　 　). A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 6. 如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是 ． 7. 如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，AB＝12cm，DE＝5cm，则线段BF的长为 cm． 8. 如图，五线谱是一种记谱法，通过在五条等距离的平行线上标以不同时值的音符及其他记号来记录音乐.同一条直线上的三个点A，B，C分别在五线谱的三条平行线上，若线段BC＝4cm，则线段AC的长是 cm． 9. 如图，在7×7方格纸中，点A，B，C都在格点(网格线的交点)上，请用无刻度的直尺作图．   (1)在图1中作一个格点△CMN，使得△CMN∽△CAB． (2)在图2中的线段AC上找一点D，使得＝． 10. 如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC. (1)求证：＝； (2)若AB＝15，AD∶BD＝2∶1，求DF的长. 考点3: 相似三角形的判定定理 1. 定理1：两角分别相等的两个三角形相似 几何语言：∵ ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′；∴△ABC∽△A′B′C′ 证明 ：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD＝A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，＝.(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例) 过点D作AC的平行线，交BC于点F， 则＝(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)，∴＝ ∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形 DFCE 是平行四边形.∴DE＝CF ∴＝. ∴＝＝. 而∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC ∵∠A＝∠A′，∠ADE＝∠B＝∠B′，AD＝A′B′ ∴△ADE≌△A′B′C′，∴△ABC∽△A'B'C' 2. 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 几何语言：∵ ∠A＝∠A′，＝；∴△ABC∽△A′B′C′ 证明 ：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD＝A′B′， 过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED， ∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似)，∴＝ ∵＝，AD＝A′B′，∴＝.∴＝.∴AE＝A′C′ 而∠A＝∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A'B'C'. 3. 定理3：三边成比例的两个三角形相似 几何语言：∵＝＝；∴△ABC∽△A′B′C′ 证明 ：在△ABC的边AB，AC(或它的延长线)上分别截取AD＝A′B′，AE＝A′C′，连接DE ∵＝，AD＝A′B′，AE＝A′C′. ∴＝，而∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE.(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似) ∴＝，又＝，AD＝A′B′.∴＝. ∴＝ ∴DE＝B′C′， ∴△ADE≌△A′B′C′. ∴△ABC∽△A'B'C' 练习2. 1. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有(　 　). A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是(　 　). A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝ 3. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则＝ .  4. 已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，D，E分别是直线AC和AB上的点，且AD＝3，要使△ADE∽△ACB，则BE＝ . 5. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠ADE＝∠C，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.若＝，的值为 . 6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，动点P以2 cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1 cm/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动.设P，Q两点的移动时间为t s(0＜t＜2.5). (1)CQ＝ cm，CP＝ cm(用含t的式子表示)； (2)当t的值为多少时，△CPQ与△CAB相似？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $