证明数列不等式恒成立问题、数列不等式恒成立求参数问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列不等式恒成立证明与参数求解，通过分层例题与变式构建系统训练，强化推理与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |证明数列不等式恒成立问题|6题（3例+3变式）|含前n项和、通项公式的不等式证明，涉及放缩、归纳等方法|从数列概念推导到不等式证明，形成“概念-推理-论证”逻辑链| |数列不等式恒成立求参数问题|6题（3例+3变式）|结合函数、数列单调性求参数范围，需转化为最值问题|从通项公式到前n项和，再到参数范围确定，构建“运算-转化-应用”逻辑链|

数列：证明数列不等式恒成立问题、数列不等式恒成立求参数问题专项训练 数列：证明数列不等式恒成立问题、数列不等式恒成立求参数问题专项训练 考点一 证明数列不等式恒成立问题 考点目录 证明数列不等式恒成立问题 数列不等式恒成立求参数问题 例1.(25-26高三上辽宁沈阳阶段检测)已知函数/)=s ta “的所有正零点从小到大排列组成数列 ian (1)求”的通项公式. .3 (②)若数列，}的前n项和s,=a,数列，的前n项和为Tn,若Tn≤m对任意的n∈N恒成立，求整数m的最小值. an+2,证明： ∑9<ln(g+l,neN 例2.(2526高三上福建福州阶段检测)已知数列a,}的前”项和，=（口+小3” lim 4 ()求Sn: @证明：是+受+…+号 +>3" n 数列：证明数列不等式恒成立问题、数列不等式恒成立求参数问题专项训练 例3.(2526高=下辽宁抚顺期末)已知数列a满足4=2，且24 日2a+1=an+4 (1)证明： {a。-4是等比数列： 2求a}的通项公式。 8)冷.=4，数列b}的前n项和为，证明，。>文Y 2. 变式1，(2526高三上四川自贡阶段检测)己知数列a满足4=2，且对任意n∈N都有=心-a,+1. 111 (1)证明：anan-1aaH-1; 11 (2)求数列anJ的前n项和Sn; 51<1 (3)证明：对任意neN,都有台ak 数列：证明数列不等式恒成立问题、数列不等式恒成立求参数问题专项训练 变武2，(2326商三上江西九江阶假检测)已知数列a}满起：4=2，日对在意nEN,有，经号 an+2· ds da (1)求，，并比较大小 a-1 (2)证明：数列an+1是等比数列： 1 (3)记数列an的前n项和为Sn,证明：Sn>n-1. 变式3.(2026山东聊城·一模)对于函数 （冈，若存在6∈R,使化）=七成立，测称为函数” ，使 的不动点。 己知函数f()=1-si 的不动点为，数列a}满足fa）,neN,它的前”项和为 )i证明：1>1 2: (②)若4=2，证明：当n为偶数时，Sn<m: e诺4：证明：当≥7时，<S<0 数列：证明数列不等式恒成立问题、数列不等式恒成立求参数问题专项训练 考点二 数列不等式恒成立求参数问题 9+1-9 例1，(2526商二下辽宁朝阳期末)已知数列a}清足4=3,34+3a+3a++3a-8. (1)求数列 a}的通项公式： 「1 泥=g,4,数列b2的前n项和为，若对mEN,元-2>T恒成立，求实效2的最小 例2.(2526高三上四川成都阶段检测)设函数=因的定文域为全体实数R,当<0时，)1，且对任 1 意的实数xyeR,有f(+)=fr0)成立.数列a,}满足4=f0,且儿a小/2-a (n∈N) (1)求证： y=(冈是R上的减函数： (2)求证： {a}是等差数列，并求通项“； 6防不特式+：-+》小2对N药成，求的条大数 数列：证明数列不等式恒成立问题、数列不等式恒成立求参数问题专项训练 例，56南三上广东价拉D已知面数定义在区内，（引，次，y川时， 恒有+-f0】 1证明：f儿国为奇函数： ②法数列a满起0<a<1,8,- a+1 （1)证明：数列a》为等比敬孙，并求出数列a川的通项公式： 1 2,3 )设8fa)a十7a)+7a,若（←r么+2]2<2对咖eN恒威成立，求2的取值范国. 3 变式1,2526高≥下四川资阳期末)已知数列@的首项44，且满足122十口∈ 1 (1)证明：数列an 是等比数列； 2n-1 (2)记数列a」的前n项和为Tn, 0求7 数列：证明数列不等式恒成立问题、数列不等式恒成立求参数问题专项训练 (ii)若不等式 (r+n-n)+2n-3>2n-3 an对任意正整数n都成立，求几的取值范围. 数列：证明数列不等式恒成立问题、数列不等式恒成立求参数问题专项训练 变式2.(25-26高三上湖南株洲阶段检测)已知数列 ,}的前”项和满足 4S,=6a -3m+I n (1)证明数列3 为等差数列 ②求数列a的前”项和。 (3)若不等 4n-8m-5<1a对任意neN恒成立，求的取值范围. 变式3。(2526高三上江苏泰州阶段检测)设S为数列a,的前”项和，从下面三个条件中选择-个，使得数列 a,满是4-=2,05。=2-2，②-a,=2:@=2"- ()求数列a的通项公式： (2)设 Q-3,8,若对任意”eN,都有2<6，求实数2的取值范日 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分： 个数列：证明数列不等式恒成立问题、数列不等式恒成立求参数问题专项训练 数列：证明数列不等式恒成立问题、数列不等式恒成立求参数问题专项训练 考点目录 证明数列不等式恒成立问题 数列不等式恒成立求参数问题 考点一 证明数列不等式恒成立问题 例1．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数的所有正零点从小到大排列组成数列． (1)求的通项公式． (2)若数列的前项和，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求整数的最小值． (3)若，证明：． 【答案】(1) (2)4 (3)证明：设， 则，即在上单调递增， 所以，即 ，令，那么， 构造函数，其中，那么导函数， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以（1），即，当且仅当时，等号成立， 令，得，即， 整理得， 则，即 所以，，，， ，累加如下， 得到 ，故，． 【分析】（1）因为正弦函数零点满足，所以，得，，取正的零点并按从小到大排列，即可得到的通项。 （2）首先根据数列前项和与通项的关系，分和两种情况求出的表达式，然后对进行裂项变形，使用裂项相消法求出的表达式，分析的单调性，得到的取值上界，结合恒成立的条件，确定最小整数. （3）首先利用常用不等式，对进行放缩，得到的上界，再利用对数不等式，对放缩后的通项进行二次放缩，对放缩后的和式进行裂项相消求和，化简后即可得到要证明的结论. 【详解】（1）因为函数的所有正零点从小到大排列组成数列， 所以令，可得，，解得，， 则的所有正零点可表示为，， 故的通项公式为． （2）因为数列的前项和，所以当时，， 当时，， 所以两式相减可得， 因为满足上式，所以， 所以， 所以， 又因为，所以，所以， 又因为，且对任意的恒成立， 所以，即整数的最小值为4． （3）略 例2．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知数列的前项和． (1)求； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明：当时，； 当时， 所以，当时，． 【分析】（1）根据与的关系，结合极限的运算求解即可. （2）根据与的关系，结合放缩法证明即可. 【详解】（1）， 又， 所以． （2）略 例3．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）已知数列满足，且． (1)证明：是等比数列． (2)求的通项公式． (3)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)由，得， 所以，即， 又，所以是首项为，公比为的等比数列． (2) (3)由（2）知， 则 设， 则． 上面两个等式相减得， 所以，所以， 因为，所以， 【分析】（1）利用已知等式得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）由（1）中的结论结合等比数列的定义可求得数列的通项公式； （3）求得，利用分组求和法以及错位相减法可化简的表达式，即可证得结论成立. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以． （3）略 变式1．（25-26高三上·四川自贡·阶段检测）已知数列满足，且对任意都有． (1)证明：； (2)求数列的前项和； (3)证明：对任意，都有． 【答案】(1)由，得， 所以，即. (2) (3)， 由，有，即 所以，即对任意，都有． 【分析】（1）由已知得，代入中可证得结论； （2）利用和，裂项相消求数列的前项和； （3）证明，可得，得到结论. 【详解】（1）略 （2）由（1）知， 则 又，所以 （3）略 变式2．（25-26高三上·江西九江·阶段检测）已知数列满足：，且对任意，有. (1)求，，并比较大小； (2)证明：数列是等比数列； (3)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)，，； (2)证明：由， 又， 故数列是以为首项、为公比的等比数列. (3)证明：由（2）得，故. 所以， 则 【分析】（1）依次计算出，作差法比较大小； （2）计算出，证明出结论； （3）由（2）得，故，由等比数列求和公式可得. 【详解】（1），由题意，， ， 则，故. （2）略 （3）略 变式3．（2026·山东聊城·一模）对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点．已知函数的不动点为，数列满足，，它的前项和为． (1)证明：； (2)若，证明：当为偶数时，； (3)若，证明：当时，． 【答案】(1)证明：由题意，有，即． 记，则， 求导得，于是在上单调递增． 而，， 由零点存在定理，得，即． (2)证明：已知，先证明，即证明， 记，则，于是在上单调递增． 当时，，即；当时，，即. 易知在单调递减． 因为，所以， 即，于是， 因，，则． 依次反复操作，易推得，，且，①． 于是当为偶数时，． (3)先证明，，②． 由已知可得，假设，， 易知在单调递减，于是，即， 于是，即，于是结论②成立． 由（1）可知，在上单调递增， 又，于是，结合（1）可知． 由（2）知，在上单调递增， 因为，，所以，即，即． 因为，所以，即，即． 当且为偶数时， ， ； 当且n为奇数时， ， ． 综上，当时，． 【分析】（1）构造单调函数，利用零点存在与单调性锁定零点区间，快速证得; （2）先归纳得到数列奇偶项分处两侧，再构造递增函数证相邻两项和小于，偶数项求和放缩即得结论； （3）根据(2)问结论，构造函数，借助函数的单调性得到相邻两项和上下界，再分奇偶对分类放缩求和，结合的范围完成不等式证明. 【详解】（1）略. （2）略. （3）略. 考点二 数列不等式恒成立求参数问题 例1．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）∵， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，满足上式， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∴， ∵，∴， 又因对，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1． 例2．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）设函数的定义域为全体实数，当时，，且对任意的实数，有成立．数列满足，且． (1)求证：是上的减函数； (2)求证：是等差数列，并求通项； (3)若不等式对一切均成立，求的最大值． 【答案】(1)证明：令，，得，由题意知，所以， 故． 当时，，，进而得． 设且，则，， ． 即，所以是上的减函数． (2)证明：由，得，所以． 因为是上的减函数，所以，即， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列． 所以． (3) 【分析】(1)赋值求，分区间判断函数值范围，作差法证明单调递减； (2)利用指数型函数性质化简递推式，借助单调性消去f，得到等差递推； (3)分离参数构造新数列，作商判定递增，取数列最小值得到k上限. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由对一切均成立． 知对一切均成立． 设， 知且 又． 故为关于的单调增函数，． 所以，的最大值为． 例3．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知函数定义在区间内，，，时，恒有． (1)证明：为奇函数； (2)若数列满足，，． （ⅰ）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （ⅱ）设，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明：由题意知的定义域为，关于原点对称．且， 令 ，则，故． 再令，则， 所以，故为奇函数． (2)（i）证明：由题意得， 又， 所以，即，所以， 故是首项为，公比为2的等比数列，所以； （ii） 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义即可证明； （2）（i）根据得到，进而得到是等比数列，从而得到数列的通项公式； （ii）再利用错位相减法得到．代入恒成立求解. 【详解】（1）略； （2）（i）略； （ii）因为， 所以， 所以， 两式相减得， 所以． 则对恒成立，即恒成立， 即恒成立． 设，则， 所以数列单调递增． 当n为奇数时，，当时，有最大值，故 ； 当n为偶数时，，当时，有最小值，故． 综上，的取值范围是． 变式1．（25-26高二下·四川资阳·期末）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列的前项和为， （i）求； （ii）若不等式对任意正整数都成立，求的取值范围． 【答案】(1)由，得， 则，即， 又， 所以，是首项和公比均为的等比数列 (2)（i）；（ii）． 【分析】（1）只要证为常数即可； （2）由（i）知，分组求和即可； （ii）由，得，所以．设，利用作差法，判断出数列的单调性，即可求解. 【详解】（1）略 （2）（i）由（1）得， 则． 则 令， 相减可得， 整理得， 故． （ii）由，得， 所以．设， 则． 当时，；当时，；当时，， 可得； 故当或4时，有最大值为， 所以． 变式2．（25-26高三上·湖南株洲·阶段检测）已知数列的前项和满足． (1)证明数列为等差数列． (2)求数列的前项和． (3)若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) 由题意知：当时，，得， 当时，，又， 两式相减得，即， ，又， ∴数列是以为首项，1为公差的等差数列. (2) (3) 【分析】（1）当时，代入可得，当时，根据，整理化简，结合等差数列的定义，即可得证. （2）由（1）可得的通项公式，根据错位相减求和法，即可得答案. （3）由条件得，令，分析的单调性，即可得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）知：，即， 则， ， . （3）不等式等价于， 记，则，所以， 时，， ∴当时，，即， 当时，，即得， 所以. 变式3．（25-26高三上·江苏泰州·阶段检测）设为数列的前项和.从下面三个条件中选择一个，使得数列满足，①；②；③. (1)求数列的通项公式； (2)设，若对任意，都有，求实数的取值范围. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) 选①：时，，则， 又，则是首项、公比均为2的等比数列，则； 选②：时， ，显然也满足，则； 选③：时，，与题设矛盾； (2). 【分析】（1）根据所选条件①②，应用的关系、等比数列的定义或累加法求数列通项，选③只需验证是否成立即可； （2）由（1）得，作差法研究数列的单调性，结合不等式恒成立求参数范围. 【详解】（1）略 （2）由（1），则， 所以时，时，则， 所以上，要使恒成立，只需. 2 学科网（北京）股份有限公司 $