解题大招08 直击恒成立与能成立（有解）问题的十大热点题型（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦恒成立与能成立问题，构建“方法-题型-典例”三维体系，通过根的判别式、分离参数等四大方法破解十大热点题型，培养数学思维与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根的判别式法|典例1+3跟踪训练|一元二次不等式在R上恒成立/有解充要条件|从二次函数图像性质推导判别式应用规则| |分离参数法|典例2+3跟踪训练|“大于最大，小于最小”等最值关系简记|通过参数分离转化为函数最值问题| |双分离参数法|典例7-9+跟踪训练|双变量“任意-任意”“任意-存在”等四类关系|基于单变量最值拓展到双变量逻辑关系| |变更主元法|典例5+3跟踪训练|多变量问题主元转换简化运算|打破常规主元逻辑，降低分类讨论复杂度|

解题大招08 直击恒成立与能成立问题的十大热点题型 方法01 根的判别式法 此法适用于一元二次不等式在R上恒成立或有解的问题,解题规律如下： (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上恒成立的充要条件是 (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的充要条件为 (3) 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在R上恒成立的充要条件是 (4)一元二次不等式ax2＋bx＋c0在R上恒成立的充要条件为 (5)设a>0,则一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上有解的充要条件是 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在R上有解的充要条件是或 方法02 分离参数法 分离参数法是解决不等式恒成立与有解问题的最常用方法,此法的基本思路是：将所求变量与其他变量分离开，通过研究式中另外一个变量的已知范围来确定所求变量的范围. (1)当f(x)存在最值时，恒成立； 恒成立.简记为：“大于最大的，小于最小的. 有解；有解. 有解；有解. 简记为：大于最小的，小于最大的. (2)当函数f(x)不存在最值时，则一般转化为寻找函数f(x)的相应上界或下界值，此时有: 若f(x)的值域为(A，B)（即下界值为A,上界值为B）， 恒成立；恒成立； 恒成立.恒成立. 有解，有解， 有解则，有解则. 方法03 双分离参数法 当f(x),g(x)均存在最值时，有以下结论成立： (1)∀x1∈[m,n],∀x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)max. (2)∀x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min. (3)∃x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)min. (4)∃x1∈[m,n],∀x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max. (5)∀x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)=g(x2)成立,则f(x)的值域g(x)的值域. 方法04 变更主元法 1．定义：处理多变量代数问题的特殊方法，指打破常规主变量选取逻辑，将原问题中的参数设为新主元以简化运算的技巧. 2．操作原理：通过主元换位，将复杂的含参、高次问题转化为关于新主元的低次常规问题，规避复杂分类讨论. 题型01 一元二次不等式在R上恒成立 对于一元二次不等式在R上恒成立的问题，一般用根的判别式法求解： (1)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上恒成立的条件为 (2)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件为 【典例1】（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围 . 【跟踪训练】 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·上海·课堂例题）若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 3.（25-26高三上·上海·单元测试）已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为 题型02 一元二次不等式在某区间上恒成立 一元二次不等式在某区间上恒成立的两种求解策略： (1)分离参数法，先分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，在某区间上恒成立；在某区间上恒成立. (2)当a>0时，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在区间[m,n]上恒成立的条件是 (3)当a<0时，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在区间[m,n]上恒成立的条件是 【典例2】（25-26高三上·重庆·阶段练习）对于所有的正实数，都有成立，则整数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练】 1.（25-26高三上·辽宁·期末）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川眉山·期末）函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高三下·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 . 题型03 一元二次不等式有解 1.关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上有解的条件为 2.关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上有解的条件为为 3．对于一元二次不等式在某区间上有解的问题，则往往利用分离参数法，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数存在最值时，有解；有解. 【典例3-1】（25-26高三上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【典例3-2】（25-26高三下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ． 【跟踪训练】 1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ． 3．（25-26高三上·北京·阶段练习）若存在，有成立，则实数a的取值范围是 . 4．（25-26高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 题型04 单变量不等式恒成立 求解单变量不等式恒成立问题的常见策略： (1)分类讨论法：构造函数，分类讨论； (2)分离参数法：完全分离，函数最值； (3)换元法：换元分离，简化运算 【典例4-1】（分类讨论法）已知函数，当时，恒成立，则的值为（  ） A．0 B． C．1 D．2 【典例4-2】（分离参数法）（2026高三下·全国·专题练习）已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【典例4-3】（图象法）若不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 【跟踪训练】 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为____________ 3．(多选)（2026高三下·全国·专题练习）已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，． (1)若函数是定义在上的奇函数，求常数的值； (2)若，若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 题型05 变更主元法破解不等式恒成立问题 在高中数学学习中，“变更主元法”主要解决以下几类问题： (1)含参不等式问题：当不等式中含有参数和变量时，若按照常规以变量为主元求解困难，可将参数视为变量（主元），变量视为常数，将不等式转化为关于参数的函数问题，进而求解参数的取值范围或证明不等式. (2)多元函数最值问题：对于含有多个变量的函数，通过变更主元，将函数转化为关于某一主元的函数，利用一元函数求最值的方法求解，或者通过确定主元与其他变量的关系，进一步分析函数的最值情况. (3)方程问题：在含有多个未知数的方程中，变更主元后可将方程转化为熟悉的一元方程形式，便于求解未知数的值或分析方程的性质. 【典例5】已知对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【跟踪训练】 1．已知对于任意，不等式恒成立，则x的取值范围为 2. 若不等式对于满足的所有都成立，求的取值范围. 3. 对于任意，函数的值恒大于，则的取值范围为 题型06 单变量不等式有解 求解单变量不等式能成立问题的常见策略： (1)分类讨论法：构造函数，分类讨论； (2)分离参数法：完全分离，函数最值； (3)换元法：换元分离，简化运算. 【典例6-1】 若存在正数，使成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·江苏·模拟预测）若函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.若存在满足，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型07 任意-任意型双变量不等式成立 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]，若∀x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，总有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)min； 特别地对任意总有成立等价于h（x）在[-1，1]内满足其最大值与最小值的差小于等于即可. 【典例7】已知函数的定义域为，若任意，满足，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邯郸·二模）已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，设函数．若对任意都有成立，求实数的取值范围 ． 题型08 任意-存在型双变量不等式成立 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]， (1)若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)max； (2)若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)min. 【典例8】（2026·四川宜宾·一模）已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（2026·辽宁大连·模拟预测）设函数满足对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·模拟预测）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是________. 4．（2026·上海·三模）若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 5．（2026·广东·模拟预测）已知函数满足，，，，，在区间上单调递减． (1)设函数，求证是周期函数并求的最大值； (2)给定，证明：对，，使得； (3)若，使得，对恒成立，求实数c的最小值． 题型09 存在-存在型双变量不等式成立 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]，若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)max． 【典例9】（25-26高二上·广东深圳·期末）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·海南·阶段检测）已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则n的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．已知，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型10 任意-存在型双变量等式成立问题 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]， 记y=f(x),x∈[a,b]的值域为A,y=g(x),x∈[c,d]的值域为B, (1)若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊆B； (2)若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊇B； (3)若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，故A∩B≠∅. 【典例9】已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（24-25高一上·福建福州·阶段检测）已知函数，有成立，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）函数，，，对任意的，总存在，使得成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数，．若，且，，使得成立，则的最大值为______． 1．（2025·陕西汉中·一模）若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆·期中）不等式在上恒成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏南通·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习），记表示，二者中较大的一个，函数， ，，使成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）已知函数，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 9．(多选)（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 10．已知函数，，若对任意，存在，使得，则的取值范围 ． 11．（2026·重庆·模拟预测）已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，若对，，都有，则实数的取值范围是______． 13．（2026·天津北辰·二模）若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 14．（2026·天津河西·二模）若a，，若对任意实数x，都有恒成立，则的最大值为_______. 15．（2026·天津和平·二模）已知，，当取得最大值时，此时有函数，函数，且对任意，有不等式恒成立，则实数p的取值范围为__________. 16．（2026·四川广安·二模）设函数．当时，的值域为____________；若存在，使得关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是____________． 17．（2026高三·全国·专题练习）若存在实数使得对于任意的恒成立，则最小值为____________． 18．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数，若，则的最小值为__________． 19．（25-26高一上·浙江金华·期末）已知不等式恒成立，则的最大值是__________. 20．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数. (1)设的图象恒过点，求点的坐标； (2)试判断的奇偶性，并说明理由； (3)当时，不等式在上恒成立，求的取值范围. 21．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式. (2)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象. （i）求函数的单调递减区间； （ii）已知函数，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招08 直击恒成立与能成立问题的十大热点题型 方法01 根的判别式法 此法适用于一元二次不等式在R上恒成立或有解的问题,解题规律如下： (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上恒成立的充要条件是 (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的充要条件为 (3) 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在R上恒成立的充要条件是 (4)一元二次不等式ax2＋bx＋c0在R上恒成立的充要条件为 (5)设a>0,则一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上有解的充要条件是 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在R上有解的充要条件是或 方法02 分离参数法 分离参数法是解决不等式恒成立与有解问题的最常用方法,此法的基本思路是：将所求变量与其他变量分离开，通过研究式中另外一个变量的已知范围来确定所求变量的范围. (1)当f(x)存在最值时，恒成立； 恒成立.简记为：“大于最大的，小于最小的. 有解；有解. 有解；有解. 简记为：大于最小的，小于最大的. (2)当函数f(x)不存在最值时，则一般转化为寻找函数f(x)的相应上界或下界值，此时有: 若f(x)的值域为(A，B)（即下界值为A,上界值为B）， 恒成立；恒成立； 恒成立.恒成立. 有解，有解， 有解则，有解则. 方法03 双分离参数法 当f(x),g(x)均存在最值时，有以下结论成立： (1)∀x1∈[m,n],∀x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)max. (2)∀x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min. (3)∃x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)min. (4)∃x1∈[m,n],∀x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max. (5)∀x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)=g(x2)成立,则f(x)的值域g(x)的值域. 方法04 变更主元法 1．定义：处理多变量代数问题的特殊方法，指打破常规主变量选取逻辑，将原问题中的参数设为新主元以简化运算的技巧. 2．操作原理：通过主元换位，将复杂的含参、高次问题转化为关于新主元的低次常规问题，规避复杂分类讨论. 题型01 一元二次不等式在R上恒成立 对于一元二次不等式在R上恒成立的问题，一般用根的判别式法求解： (1)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上恒成立的条件为 (2)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件为 【典例1】（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围 . 【答案】 【解析】当恒成立， 当时，且， 解得：， 当时,成立， 所以， 命题“，不等式恒成立”是假命题 所以的取值范围为：或． 【跟踪训练】 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 2．（25-26高三·上海·课堂例题）若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【解析】将不等式整理可得， 即不等式对任意实数x均成立， 当，即时，不等式变为，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得实数a的取值范围是.故选：B 3.（25-26高三上·上海·单元测试）已知关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为 【答案】 【解析】当时，有，故时符合要求； 当时，则有，即，即； 题型02 一元二次不等式在某区间上恒成立 一元二次不等式在某区间上恒成立的两种求解策略： (1)分离参数法，先分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，在某区间上恒成立；在某区间上恒成立. (2)当a>0时，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在区间[m,n]上恒成立的条件是 (3)当a<0时，关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在区间[m,n]上恒成立的条件是 【典例2】（25-26高三上·重庆·阶段练习）对于所有的正实数，都有成立，则整数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】令，将问题化为，在上恒成立，讨论、，结合二次函数性质列不等式组求参数范围，即可得最小整数值. 【解析】由题设，令，则， 所以，在上恒成立， 当，则，不满足题设； 当，对称轴为，只需，可得. 综上，，故整数的最小值为2. 故选：B 【跟踪训练】 1.（25-26高三上·辽宁·期末）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法1：利用绝对值不等式性质转化求解； 方法2：将不等式两边平行，利用不等式恒成立求解． 【解析】解析：方法1：不等式化为， 使成立， 则，故选：A. 方法2：将两边平方整理得，对恒成立， 则有， 解得，故选：A． 2．（25-26高三上·四川眉山·期末）函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用参数分离得出，再应用换元法应用指数函数值域结合二次函数计算最小值求解. 【详解】函数对恒成立， 则，即 设，，则， 当时，， 则实数的取值范围. 故选：A. 3.（25-26高三下·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 . 【答案】4（答案不唯一） 【分析】将问题转化为对任意正实数x恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【解析】不等式对任意正实数x恒成立， 即对任意正实数x恒成立， 当时，不等式，即，不符合对任意正实数x恒成立， 当时，令， 若对任意正实数x恒成立， 则，无解，或，解得. 所以的一个值可以是. 故答案为： 题型03 一元二次不等式有解 1.关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在R上有解的条件为 2.关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0在R上有解的条件为为 3．对于一元二次不等式在某区间上有解的问题，则往往利用分离参数法，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数存在最值时，有解；有解. 【典例3-1】（25-26高三上·天津武清·期中）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，关于的不等式有解，则对应二次函数的判别式，解关于的不等式即可. 【详解】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C 【典例3-2】（25-26高三下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可. 【解析】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【跟踪训练】 1．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论，利用二次函数的性质计算即可求解. 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 2．（2026高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据命题为真结合二次函数值域应用判别式计算即可. 【解析】由题意可知，不等式有解， 实数m的取值范围为． 3．（25-26高三上·北京·阶段练习）若存在，有成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】参数分离可得，设，将存在问题转化为，求出函数的最大值，即可得到实数a的取值范围. 【解析】将原不等式参数分离可得，设， 已知存在，有成立，则， 令，则，， 由对勾函数知在 上单调递减，在上单调递增， ，， 所以，即， 4．（25-26高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数． (1)若，解关于的不等式； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用因式分解法求解含参一元二次不等式即可. （2）利用分离参数法结合基本不等式求解参数范围即可. 【解析】（1）易得 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为． （2）若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 进而知，令，则， 设， 当且仅当时取等号，所以． 题型04 单变量不等式恒成立 求解单变量不等式恒成立问题的常见策略： (1)分类讨论法：构造函数，分类讨论； (2)分离参数法：完全分离，函数最值； (3)换元法：换元分离，简化运算 【典例4-1】（分类讨论法）已知函数，当时，恒成立，则的值为（  ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】分为与两种情况讨论，分离出参数，结合函数的单调性求解. 【解析】当时， ，故恒成立，即恒成立， 令，因为在上均是增函数， 所以在上是增函数， 故时， ，所以， 当时，，故恒成立，即恒成立， 在上是增函数， 故时， ，（当时取等号），所以， 综上，． 故选：A. 【典例4-2】（分离参数法）（2026高三下·全国·专题练习）已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质求出的值域，即可得到，从而得解. 【详解】当，则， 所以，则， 因为对于，不等式恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 【典例4-3】（图象法）若不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为，分类讨论底数范围作出函数图象，数形结合计算参数即可. 【解析】不等式在内恒成立，等价于在内恒成立， ①当时，在内，，，∴不成立； ②当时，作出函数与的图象， 由图可得，要使在内恒成立， 必须满足，解得， 实数的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪训练】 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 当时，，则， 此时函数在上单调递增，故当时，； 当时，即当时，， 因为函数、在上均为增函数，此时函数在上单调递增， 故当时，； 当时，，则， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 故当时，. 综上所述，当时，， 因为不等式对恒成立，故. 即实数的取值范围是 2．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为____________ 【答案】 【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，，最后结合基本不等式计算求解即可 【解析】, , 所以为奇函数, 为单调增函数, , ,恒成立, , . 故答案为： 3．(多选)（2026高三下·全国·专题练习）已知函数可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和，若不等式对恒成立，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先利用奇函数与偶函数的定义，求出与，将不等式进行化简变形，然后由参变量分离，将问题转化为，由基本不等式求解最值，即可得出的可能取值. 【详解】由， 则， 解得，， 因为对恒成立， 则对恒成立， 所以对恒成立， 故对恒成立， 可得对恒成立， 又， 当且仅当时取等号，所以． 4．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，． (1)若函数是定义在上的奇函数，求常数的值； (2)若，若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若函数是定义在上的奇函数， 则对任意恒成立， 即 即对恒成立． 即对恒成立． 因此．又，故． 因此，若函数是定义在上的奇函数，常数的值为； （2）若，则， 由题意，即对任意恒成立． 令，即 ， 由， 可知函数在内的两个驻点为，， 比较，，，的大小， 可知函数在上的最小值为． 因此，实数a的取值范围为. 题型05 变更主元法破解不等式恒成立问题 在高中数学学习中，“变更主元法”主要解决以下几类问题： (1)含参不等式问题：当不等式中含有参数和变量时，若按照常规以变量为主元求解困难，可将参数视为变量（主元），变量视为常数，将不等式转化为关于参数的函数问题，进而求解参数的取值范围或证明不等式. (2)多元函数最值问题：对于含有多个变量的函数，通过变更主元，将函数转化为关于某一主元的函数，利用一元函数求最值的方法求解，或者通过确定主元与其他变量的关系，进一步分析函数的最值情况. (3)方程问题：在含有多个未知数的方程中，变更主元后可将方程转化为熟悉的一元方程形式，便于求解未知数的值或分析方程的性质. 【典例5】已知对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】或. 【详解】观察不等式，发现它含有两个变量和.按照常规以为主元求解较为困难，所以我们将视为主元，视为常数，构造关于的函数. 设，此时原不等式就转化为在上恒大于的问题. 因为是关于的一次函数（当时，，不满足恒大于，所以），根据一次函数的单调性，要使在上恒大于，则需要满足. 计算：，由可得，因式分解为，解得或. 计算：，由可得，因式分解为，解得或. 综合得，取交集得到的取值范围是或. 【跟踪训练】 1．已知对于任意，不等式恒成立，则x的取值范围为 【答案】. 【详解】设，因为在上恒大于等于，所以. ，对于二次函数，，图象开口向上，恒大于. ，由得，即，解得或. 所以的取值范围是. 2. 若不等式对于满足的所有都成立，求的取值范围. 【答案】. 【详解】设，因为在时恒小于，所以. ，由得，解得或. ，由得，解得. 综合得. 3. 对于任意，函数的值恒大于，则的取值范围为 【答案】或. 【详解】设，因为在上恒大于，所以. ，由得，解得或. ，由得，解得或. 综合得或. 题型06 单变量不等式有解 求解单变量不等式能成立问题的常见策略： (1)分类讨论法：构造函数，分类讨论； (2)分离参数法：完全分离，函数最值； (3)换元法：换元分离，简化运算. 【典例6-1】 若存在正数，使成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为存在正数，使，利用函数单调性求的值域即可. 【解析】由得到，则， 因均在上单调递增， 则在上单调递增，则， 因存在正数，使成立，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【典例6-2】（2026·江苏·模拟预测）若函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原题意等价于与在内有交点，可转化为在有解，构造，利用单调性并求值域，即可求的取值范围. 【详解】由题意可知：，即在内恒成立，则， 因为直线关于轴对称的直线为， 原题意等价于与在内有交点， 即在内有解，可转化为在有解， 令，， 因为在上单调递增，故函数在上单调递增， 则，且趋近于时，趋近于， 可知在内的值域为，可得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 【跟踪训练】 1.若存在满足，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离可得存在满足，令，，利用函数的单调性求出，即可得解. 【解析】因为存在满足， 即存在满足， 令，， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：A 2．（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问题进行解答. 【详解】函数， 令函数，即， ，故是奇函数， 因为是上的增函数， 所以是上的减函数，是上的减函数， 因此是上的减函数，也是上的减函数， 将代入不等式， 即，化简可得， 因为是奇函数，所以， 代入可得， 因为是减函数，，所以， 令，，故，， 是对勾函数，在上单调递增， 因此当时，，当时，， 即，则， 在上有解，即大于在上的下确界， 因此实数的取值范围是. 3．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为，再利用基本不等式求最值. 【详解】由题意可知，有解，即， 因为，所以， 那么 ， 当且仅当，即时等号成立， 故，则的最小值为. 故选：D. 题型07 任意-任意型双变量不等式成立 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]，若∀x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，总有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)min； 特别地对任意总有成立等价于h（x）在[-1，1]内满足其最大值与最小值的差小于等于即可. 【典例7】已知函数的定义域为，若任意，满足，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合函数的单调性可求的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解. 【解析】令，且在单调递减，所以的最小值为， 可得，且， 所以在上单调递增，所以 因为存在，满足， 则， 所以 解得：， 故选：A 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·广东东莞·阶段检测）已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，然后分离常数，再令，结合基本不等式和反比例函数性质，用表示出函数值域，结合列不等式求解可得. 【详解】设，则， 令，则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ， ，函数在上单调递减，则， 所以，时，，， 由于对任意的，都有成立， 所以，，解得， 的取值范围为. 2．（2026·河北邯郸·二模）已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的单调性与对称性，结合函数性质得到的最小值，进而求解小于的最小值，再解一元二次不等式得到的取值范围. 【详解】已知，由于在R上单调递减，故是上的增函数. 对任意，有 . 已知，即，由是增函数得：， 因此：，即恒大于. 不等式恒成立，等价于： 整理得，即， 解得：，即的取值范围是. 3．已知函数，设函数．若对任意都有成立，求实数的取值范围 ． 【答案】或 【分析】首先由题意转化为，讨论两个函数的单调性，求函数的最值，即可求解. 【解析】， 若对任意都有成立，则， ， 当时，，设， ， 当，，，则，即， 则，即， 所以在区间上单调递增，即， 所以的值域为， 即在区间的最大值为2， ， 当时，在单调递增，的最小值为， 当时，函数的图象如下图，函数在上单调递增，的最小值为，      当时，的图象如下图，    当时，函数在上单调递增，的最小值为， 当时，函数的最小值为， 所以，当时，的最小值为，， 即，解得：或，即； 当时，函数的最小值为，，即 ，解得：或，即； 综上可知，或 故答案为：或 题型08 任意-存在型双变量不等式成立 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]， (1)若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)max<g(x)max； (2)若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)min. 【典例8】（2026·四川宜宾·一模）已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出给定命题的否定，再利用辅助角公式化简并换元得，由周期性探讨函数在上的最大值中的最小值，建立不等式求出范围，然后否定结论即得答案. 【详解】命题“，存在，使得成立”的否定为： ，对，不等式恒成立， 而，，令， 函数，函数的最小正周期为，不妨令， 当时，，此时，则； 当时，，函数在上递减，在上递增， ； 当时，，； 当时，，函数在上递减，在上递增， ； 当时，，， 由，对，不等式恒成立，得， 即，而，解得， 因此当，存在，使得成立时，， 所以的最大值为. 【跟踪训练】 1．（2026·辽宁大连·模拟预测）设函数满足对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用余弦函数的值域结合题意转化任意及存在为最值列式求解参数. 【详解】对于函数，对任意固定的取遍一切实数，． 要存在使得，只需． 该条件需对一切成立，故不小于的最大值，即． 因此的取值范围是． 故选：B. 2．（2026·河南·模拟预测）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为：在上的最大值不大于在上的最大值，然后根据导数及二次函数的性质求最值即得. 【详解】由题意，在上的最大值不大于在上的最大值. 对：因为，所以， 由， 所以函数在上单调递增， 又，所以在上单调递增，所以在上的最大值为. 对：当时，，因为，故满足题意； 当时，因为的对称轴为，所以在上单调递增，所以在上的最大值为， 由.所以； 当时，在上单调递减，所以在上的最大值为， 由，结合得. 综上可知，实数的取值范围为. 3.已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据分段函数解析式分析函数性质，并画出大致图象，随变化，的图象只在轴上平移，结合题设条件，只需保证，时有，即可求参数范围. 【解析】由在上单调递增，且过点， 在上，在上单调递减，在上单调递增， 结合解析式，其大致图象如下图， 随变化，的图象只在轴上平移， 令过且平行于的直线为， 则，所以，故， 联立与，消去y得， 所以或， 对任意，都有成立， 由图知，在上不单调，必有， 需保证，时有， 所以， ，整理得，所以， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 4．（2026·上海·三模）若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】求出命题的否定对应的参数，其补集即所求. 【详解】对关于的命题：对任意的，总存在，使得， 其否定为：存在，，使得， 若为真，由，得， 则， 所以且， 所以，得， 由上，若为真，则，即的取值范围是. 5．（2026·广东·模拟预测）已知函数满足，，，，，在区间上单调递减． (1)设函数，求证是周期函数并求的最大值； (2)给定，证明：对，，使得； (3)若，使得，对恒成立，求实数c的最小值． 【答案】(1)证明见解析；最大值为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求得，得到的周期为，推得，证得是周期函数，设，得到，令，得到，得到在或或或时，取得最大值，结合赋值法，即可求解. （2）根据函数的周期性，不妨设，得到，分，和，三种情况讨论，分别得证得，即可得证； （3）当时，由（1）知，函数；当时，证得，使得恒成立，进而得到，即可求解. 【详解】（1）由，可得函数是偶函数，其图像关于轴对称， 又因为，即，可得的图像关于点对称， 由，可得， 则，所以函数的周期为， 对于函数， 可得， 因为函数的周期为，所以， 所以， 所以函数是周期函数，且周期为， 要考虑函数的最大值，不妨设， 可得， 由函数在区间内上单调递减，可得， 所以令，则， 又因为， 所以或，即或， 所以在或或或时，取得最大值， 因为，可得且， 所以， ， 所以的最大值为. （2）由（1）知，函数是周期为4的偶函数，且的图像关于对称， 且在上单调递减，则在上单调递增， 所以是的最小值， 根据函数的周期性，不妨设，显然的长度， 若，则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当取时，满足； 若，则且， 当时，取，有； 当时，取，有； 同理可证，当时，，使得， 综上可得，对任意，存在，使得. （3）当时，由（1）知，函数， 当时，下面证明：，使得成立， 令，则，此时恒成立， 由（2）知，，使得， 所以，存在， 使得成立，所以， 综上可得，实数的最小值为. 题型09 存在-存在型双变量不等式成立 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]，若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)<g(x2)成立，故f(x)min<g(x)max． 【典例9】（25-26高二上·广东深圳·期末）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 【跟踪训练】 1．（25-26高三下·海南·阶段检测）已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则n的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】关于双变量的恒成立问题，本题利用结论：,若恒成立，则解题. 【详解】因为，且定义在上的单调函数， 所以设，其中为常数， 所以，即，故， 解得，所以，是上的单调函数， 由，使得 所以 因为时，， 时，， 则， 所以，即, 则n的最小值为. 2．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，根据函数单调性得到，，得到不等式，求出实数的取值范围是. 【解析】若，，使得， 故只需， 其中在上单调递减，故， 在上单调递增，故， 所以，解得：， 实数的取值范围是. 故选：C 3．已知，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出求解即可. 【解析】，，所以，， 在上单调递减，所以， 当时，，即，取成立. 当时，，即，得，所以 当时，，即，得，所以， 综上： 的取值范围是. 故选：A 题型10 任意-存在型双变量等式成立问题 一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]， 记y=f(x),x∈[a,b]的值域为A,y=g(x),x∈[c,d]的值域为B, (1)若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊆B； (2)若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊇B； (3)若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，故A∩B≠∅. 【典例9】已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两个函数的值域，再根据题意判断两值域间的包含关系解得. 【解析】因为，对，有. 同理，对，有. 由，，使得，得 ，得. 【跟踪训练】 1．（24-25高一上·福建福州·阶段检测）已知函数，有成立，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对数型函数的单调性求出的值域，令，根据值域关系建立不等式求解，解指数不等式即可求解. 【详解】令，则该函数在上单调递减， 又在定义域上单调递增，所以函数在上单调递减， 所以，即函数在上的值域为， 令，则，令，， 因为，，有成立， 所以值域为值域的子集，即为函数值域的子集， 当时，，显然不满足题意； 当时，的对称轴，且开口向上， 所以在上单调递增，且， 所以，，即，所以，所以， 所以或（与矛盾舍去），所以， 所以，即实数的取值集合为. 故选：B 2．（2025高三·全国·专题练习）函数，，，对任意的，总存在，使得成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数单调性得，，根据题意列不等式即可求解. 【详解】在上单调递增，则，即， 当时，在单减， 则，即， ，解得. 故选：B． 3．（25-26高一上·河北承德·期末）已知函数，．若，且，，使得成立，则的最大值为______． 【答案】6 【分析】根据的单调性求出，结合的单调性以及即可求出. 【详解】． ∵函数在上单调递增，函数在上单调递减， ∴函数在上单调递增． ∴当时，，即． 因为，，使得成立， 所以， ， 由对勾函数的性质得，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为． 令，即，解得或， 则，故的最大值为． 故答案为： 1．（2025·陕西汉中·一模）若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，解出即可求解. 【详解】将题中条件转化为不等式，在区间上至少有一个解， 这等价于的值大于该区间上x的最小值， 因为当时，x的最小值为， 所以必有，解得以. 故选：B. 2．（25-26高三上·重庆·期中）不等式在上恒成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若不等式在上恒成立， 则当时，恒成立，满足题意； 当时，，解得：； 若不等式在上恒成立，则； 对于A，，， 是不等式在上恒成立的充分不必要条件，A正确； 对于B，是不等式在上恒成立的充要条件，B错误； 对于C，，， 是不等式在上恒成立的既不充分也不必要条件，C错误； 对于D，，， 是不等式在上恒成立的既不充分也不必要条件，D错误. 故选：A. 3．（25-26高三上·江苏南通·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图象抛物线对称轴为， 时，函数开口向上，且在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，函数开口向下，且在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D 4．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为对任意实数x恒有求解. 【详解】 正数满足，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒有， 对任意实数x恒成立， 对任意实数x恒成立， 又， ，即实数的取值范围是， 故选：A 5．（25-26高三·全国·一轮复习）若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数将问题转化为有解，计算即可. 【详解】由题知，而，所以， 又，所以. 因为关于的不等式有实数解， 即有实数解，所以，即. 故选：A 6．（2024高三·全国·专题练习），记表示，二者中较大的一个，函数， ，，使成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得两函数值域，由题意可知两函数值域交集非空集即可求解. 【详解】由题设，的值域与的值域交集非空， 因为为单调减函数,为单调增函数， 又当且仅当时. 由题意，，故的值域为， 又的值域为， 只需，即，则的最大值为． 故选：B． 7．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求在给定区间的值域，再根据的单调性分类讨论，确保的值域包含的值域，解不等式组得到的范围. 【详解】因为，最小值在处为， 根据题目，函数在区间上的值域为， 对任意的，存在，使得等价于要求的值域是的值域的子集， 由于是一次函数，需要满足： 当时，单调递增，值域为，要求且，解得， 当时，单调递减，值域为，要求且，解得 ​， 综上，的取值范围为​或，即， 故选：A. 8．（24-25高三上·上海宝山·阶段检测）已知函数，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，则问题变成一元二次不等式存在性问题. 【详解】①当时，等价于，即， 依题意在上有解， 开口向上，对称轴， 当时，， ，即，此时的取值范围为； ②当时，等价于，即， 依题意在上有解 ，当且仅当，即时等号成立， ，解得，此时的取值范围为； 综上所述，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是， 故选：D． 9．(多选)（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 【答案】BC 【分析】求出函数的定义域，即可判断A；判断出在上的单调性，即可判断B；先求出的值域，若恒成立，分析出要小于等于的下确界，即可判断C；若，分析出要小于的上确界，即可判断D. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以的定义域为， 故A错误； 因为函数在上单调递增，则也单调递增，因此单调递减， 则单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 因为，则，所以， 所以，所以，即. 若恒成立，则要小于等于的下确界，即， 所以实数的最大值为，故C正确； 若，则要小于的上确界，即， 所以实数没有最大值，故D错误. 10．已知函数，，若对任意，存在，使得，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】由题意可判断，由此求出，可得相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可. 【解析】由题意知； 当时，， 故需同时满足以下两点： ①对时， ∴恒成立， 由于当时，为增函数， ∴； ②对时，， ∴恒成立， 由于，当且仅当，即时取得等号， ∴， ∴， 故答案为： 11．（2026·重庆·模拟预测）已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______. 【答案】4 【分析】由题设可得，随后讨论的取值可得，，最后由基本不等式可得答案. 【详解】由得， 故当时，， 当时，，故， 故当时，， 即，故， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为4. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，若对，，都有，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】因为对，，都有，所以，解得单调性求出，从而得到的取值范围. 【详解】因为对，，都有，所以， 因为在上是单调递减函数， 所以， 因为在上是单调递增函数，是单调递增函数， 所以在上是单调递增函数， 所以时，， 因为，得，．即实数的取值范围为． 13．（2026·天津北辰·二模）若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 【答案】 【分析】把不等式化为，先由右侧非负得到，从而，从而原不等式恒成立问题可转化为在上恒成立，.通过分析函数的最大值和最小值可求参数的取值范围. 【详解】不等式整理为.因，两边同除以得. 该式成立要求，即.故，否则在时无解. 故在上恒成立， 即存在实数，使得在上恒成立（▲）， 设，，其中， 因单调递增，故 . 在处取得最小值，在单调递减，在单调递增. ①时， . 由▲可得，解得，即，故. ②时， . 由▲可得，化简得，解得. 结合，得. 综上，实数的取值范围为 14．（2026·天津河西·二模）若a，，若对任意实数x，都有恒成立，则的最大值为_______. 【答案】 【分析】先利用等价于且，把含绝对值的不等式转化为两个一元二次不等式恒成立问题；再用一元二次不等式在上恒成立的判别式条件，得到与的约束；最后令，将化为关于的二次函数并配方求最大值． 【详解】由题意，对任意实数，都有恒成立． 因为等价于且，所以原条件等价于对任意实数，都有且． 先整理第一个不等式，得对任意实数恒成立． 因为该式左边是关于的二次函数，且二次项系数为，所以需判别式不大于， 即，整理得，即， 故． 再整理第二个不等式，得对任意实数恒成立． 同理，需判别式不大于，即． 因为，所以必须有，即； 并且由，得． 结合与，可得． 令，则，且． 由，得． 因此． 当时，，且取，解得．此时，并满足上述两个判别式条件，所以原不等式对任意实数恒成立． 综上，的最大值为． 15．（2026·天津和平·二模）已知，，当取得最大值时，此时有函数，函数，且对任意，有不等式恒成立，则实数p的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先根据基本不等式求出，再根据分段函数求出的最小值，最后解关于的二次函数，利用对数函数的单调性从而求出实数p的取值范围. 【详解】当， ，当且仅当， 即等号成立，故， 故函数，函数， 当时，，最小值为（时取到）， 当时，， 故的最小值为， 对任意，有不等式恒成立等价于对任意，有不等式恒成立， 即，解得或， 所以或， 因为函数在单调递减， 所以解得. 16．（2026·四川广安·二模）设函数．当时，的值域为____________；若存在，使得关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】由同角三角函数的平方关系，换元法及正弦函数的值域即可求解时，的值域；当、时，令，利用一次函数不等式在上恒成立，可得出关于实数的不等式组，可求出实数的取值范围，可得出集合、，当时，分析得出，由此可得出实数的取值集合为． 【详解】当时，，， 设，不妨设， 所以当时，的值域为； 当时，即恒成立时的取值集合为， 则a的取值范围为． ①当时，， 令， 则对恒成立，所以， 解得，即； ②当时，， 令， 则对恒成立， 所以， 解得，即； ③当时，易知， 若，即， 则 即，所以. 综上所述，的取值范围为． 17．（2026高三·全国·专题练习）若存在实数使得对于任意的恒成立，则最小值为____________． 【答案】 【分析】解法一：多点控制，先利用区间端点 代入不等式，得到关于 的约束条件，再通过三角不等式进行放缩，直接求出 的下界； 解法二：数形结合，利用将不等式 转化为两个函数图像的位置关系，即 的图像始终在 的图像下方解答即可； 解法三：平口单峰，利用将原不等式变形为 ，问题转化为求函数 在区间 上的最大值的最小值即可. 【详解】解法一：多点控制：由题意知当，代入得： 则， 所以，即， 结合，所以， 所以，即， 当且仅当时取等号，故 的最小值为 . 解法二：数形结合：当 时，函数 关于 轴对称， 原不等式等价于 的图像始终在 的图像下方， 画出及的图象， 可得右端点值，顶点值（函数图象在处交点），即． 解法三：平口单峰：由题意得对任意的恒成立， 根据平口单峰函数可得，令，易得，所以， 所以函数 在区间 上的最大值为 ，这就是满足条件的最小 ， 所以 . 18．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数，若，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】先化简函数，求出函数在所给条件下的值域，根据，问题转化为求，分析求解即可. 【详解】当时，即时， ， 当时，即时， ， 所以， 当时，，令 此时在上单调递增，所以， 在上的值域为， 由题意可得，所以， 因为在上单调递减，且， 所以要使得，则，即的最小值为， 故答案为：. 19．（25-26高一上·浙江金华·期末）已知不等式恒成立，则的最大值是__________. 【答案】 【分析】先分析出有两个符号相异实根，然后比较其正根和的大小，分情况讨论求解. 【详解】令，由，则方程有两根，又，不妨设 （1）若，当时，，矛盾 （2）若，当时，，矛盾 （3）若，当时，，矛盾 （4）故只可能，又因为，所以， 从而， 当且仅当时取到等号， 经检验，此时显然成立， 故最大值是. 20．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数. (1)设的图象恒过点，求点的坐标； (2)试判断的奇偶性，并说明理由； (3)当时，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数是奇函数，理由见解析 (3) 【分析】（1）由，代入计算即可求解. （2）根据奇函数定义判定即可； （3）由题意可得，根据函数单调性，计算即可求解， 【详解】（1）令，则，可得， 故函数的图象恒过点； （2）函数是奇函数，证明如下： 由题意得函数的定义域为， 且， 因为，即， 所以函数是奇函数； （3）当时，函数， 不等式在上恒成立， 即当时，， 因为在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递减， 当时，函数有最大值，即， 所以的取值范围为. 21．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式. (2)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象. （i）求函数的单调递减区间； （ii）已知函数，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【分析】（1）根据周期性可得，结合最值可得，代入点可得，即可得结果； （2）（i）根据图象变换可得，结合正弦函数单调性运算求解；（ii）求相应的值域，，分析可知，结合包含关系运算求解. 【详解】（1）设的最小正周期为，则，解得， 且，则，解得， 由图可知，则， 又因为，即， 且，则， 则，解得，所以. （2）（i）因为， 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，； （ii）设在内的值域为，在内的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 因为，则， 可得，即，可得， 当时，则， 可得，则，即， 由，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $