精品解析：陕西咸阳市淳化县马家初级中学2026-2027学年度第一学期阶段检测九年级数学

2026—2027学年度第一学期阶段检测 九年级数学（北师大版A） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】含有一个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：选项A的方程含有两个未知数，不是一元二次方程； 选项B的方程含有两个未知数，不是一元二次方程； 选项C中的方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程； 选项D中的方程是一元二次方程． 2. 如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形中求角度，涉及矩形性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．先由矩形性质得到，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ， 故选：B． 3. 将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 去括号，得， 合并同类项，得，即， 两边同乘，得． 4. 根据表格信息，判断关于的方程（）的一个解的十分位是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中代数式的正负变化，确定方程解的取值范围，即可判断解的十分位． 【详解】解：当时，， 当时，， 则方程的一个解在和之间， 故该解的十分位是． 5. 在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的判定，根据矩形的判定性质得出四边形是矩形是解决问题的关键．一组邻边相等时矩形为正方形．对角线垂直的矩形是正方形． 根据四边形中，，得出四边形是矩形，进而利用正方形的判定定理得出需要添加的条件．一组邻边相等时矩形为正方形． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 当一组邻边相等时，矩形为正方形，这个条件可以是：． 故选：A． 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 移项后根据根的判别式判断即可． 【详解】解：， ， ， 即关于的一元二次方程的根的情况是没有实数根． 故选：C． 7. 如图，在中，，．点D是的中点，，过点D作交于点E，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出和的长，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出 的长 ． 【详解】解： 在  中，，， 是  的中点 ， ，， ， ， ， 又 ， ， ， ∵， ∴， ． 故选： D． 8. 如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，，则的长为（ ） A. B. 15 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用菱形推得邻角，结合设，则，进而菱形边长；由折叠性质得；作辅助线延长线于F构造含角的，应用角所对直角边性质得；在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：过点E作交延长线于点，则， ， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， 在菱形中，， ，  ， 由翻折可知：， 在中，，， ， 解得（不符合题意，舍去）  . 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一元二次方程的一次项系数是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：一元二次方程中，一次项为，因此一次项系数是． 10. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC，BD相交于点O,若AC=6，BD=8,则菱形ABCD的周长是_____． 【答案】20 【解析】 【分析】直接利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案． 【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8， ∴∠AOB=90°，AO=3，BO=4， ∴AB=5， ∴菱形ABCD的周长=4×5=20． 故答案为20． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形的性质是解题关键． 11. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知是原方程的解，将其代入原一元二次方程，可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入原方程，得， 解得 ． 12. 如图，在矩形中，、分别为，边上的点，且，，与的交点为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，设，，利用线段的和差关系分别表示出和，然后在 和中利用勾股定理建立 与的数量关系，进而求解． 【详解】解：四边形是矩形， 由题意可设，，， ， 在  中，由勾股定理得 ，即， 在  中，由勾股定理得 ，即， ， ． 13. 砗磲是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本平均日生长速率（m/天）与年龄（岁）近似满足关系．观测得某砗磲样本的平均日生长速率为35.6m/天，则该砗磲的年龄为__________岁． 【答案】 【解析】 【分析】将代入给定的函数关系式，得到关于的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果. 【详解】解：将代入，得 解得，（不合题意舍去）， 故该砗磲的年龄为岁. 14. 如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接．若，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点P，连接，根据正方形的性质得到，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，最后利用三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点P，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点，分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点H为的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴. 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ， 即， ， 解得：，． 16. 用公式法解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先确定，再求出，然后根据求根公式解答即可． 【详解】解：整理，得， 由题意，得， ∵， ∴， ∴． 17. 用因式分解法解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】移项后提取公因式，将原方程转化为两个一元一次方程求解 ． 【详解】解：       因此  或  ， 解得 ，． 18. 如图，四边形是矩形，请用尺规作图法作菱形，使点分别落在边上．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 如图所示， 【解析】 【分析】根据菱形的判定和性质即可求解． 【详解】解：尺规作图法作菱形，即对角线为， ∴（1）连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点； （2）连接，交于点，交于点； （3）连接，，交于点， ∵是线段的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形即为所求图形． 【点睛】本题主要考查尺规作图，矩形的性质，菱形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 19. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用正方形的性质即可得到结论． 【详解】略 20. 如图，小明同学要给长城风景画安装一个四周宽度相等的白色画框，制成一个矩形工艺品，该工艺品的长为，宽为．若该工艺品中间风景画的面积为，求白色画框的宽度是多少？ 【答案】画框的宽度是 【解析】 【分析】设画框的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解设画框的宽度为，由题意可知， ． 解得，． ∵，且，即， ∴． 答：画框的宽度是． 21. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小明家有一个中国结挂饰（如图①），他想求两对边间的距离，于是利用所学的知识抽象出如图②所示的菱形，对角线，交于点，测得，，过点且与垂直，分别与边，交于点，，求中国结挂饰两对边间的距离． 【答案】． 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到长度，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， 在中，． ∵， ∴． ∴． 22. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，求该方程的解． 【答案】（1）的取值范围为 （2）该方程的解为， 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，结合判别式列不等式求解； （2）先确定符合条件的最小整数，代入方程后求根． 【小问1详解】 解：已知有两个不相等的实数根， 可得， 解得． 【小问2详解】 解：根据题意可知， 则方程为，即， 则， 可得或， 解得，． 23. 如图，平行四边形中，，延长至点，使得，连接，点为的中点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，且，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）180 【解析】 【分析】（1）证明，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得四边形是矩形； （2）求解，，可得，结合四边形的面积四边形的面积三角形的面积，从而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 点为的中点，， ， ， ，， 四边形的面积四边形的面积三角形的面积． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理的应用，熟记平行四边形的判定方法与矩形的判定方法是解本题的关键． 24. 为全面贯彻党的教育方针，把劳动教育与德育、智育、体育、美育相融合，紧密结合社会发展变化和学生生活实际，各学校应积极探索特色的劳动教育模式，创新体制机制，注重教育实效，实现知行合一．某学校积极开展劳动课程，准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图①，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，边和由篱笆围成，其中，，篱笆总长为． （1）若生态园的面积为，求生态园的边的长； （2）如图②，为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）解：生态园的面积不能达到．理由如下： 设，则，于是，根据篱笆总长为，可以得到． 即，继而得到，于是，， 若生态园的面积可以达到，得， 整理得：， ∵， ∴一元二次方程无实数根， 假设不成立， ∴生态园的面积不能达到． 答：生态园的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设，则，于是，根据篱笆总长为，可以得到． 即，继而得到，于是，，由生态园的面积为可得出关于x的一元二次方程，即可确定答案； （2）设，则，于是，根据篱笆总长为，可以得到． 即，继而得到，于是，，由生态园的面积为可得出关于x的一元二次方程，即可确定答案. 【小问1详解】 解：设，由矩形性质得，， ∴， 由篱笆总长为，可以得到． 即，则， ∴，即， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 根据题意，得， ， 故不符合要求，舍去， 故， 答：生态园的边的长为． 【小问2详解】 解：略． 25. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别是边，的中点，连接并延长，交于点，交的延长线于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：点，分别是边，的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可证明四边形是菱形； （2）首先证明四边形是平行四边形，再利用菱形的性质，勾股定理，求的长即可． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：点，分别是边，的中点， ， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是菱形 ，， ，， ， ， ， 根据勾股定理，得． 26. 在正方形中，点在对角线上，连接． 【问题提出】 （1）如图①，连接，若，则的长为__________； 【问题探究】 （2）如图②，过点作，交边于点，试探究线段，与之间存在的数量关系； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是正方形观景平台，对角线为平台的检修通道，检修通道上有一点，从点安装护栏，，使得，，护栏端点，分别落在平台边缘，上，连接，并加装护栏，为统计管材用料，试探究护栏与之间存在的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，证明，再根据全等三角形的性质求解即可； （2）过点作于，作于，证明四边形是正方形，可得，，证明，可得，再根据等量代换即可得解； （3）过点作于，作于，连接，，证明是等腰直角三角形，得到，根据等腰三角形三线合一结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，得到，由（1）知；由（2）知，推出，，证明，即可得到． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于，作于， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， 点在对角线上， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：如图，过点作于，作于，连接，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴，即， ∴， 由（1）知，； 由（2）中可得， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期阶段检测 九年级数学（北师大版A） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（ ） A. B. C. D. 3. 将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据表格信息，判断关于的方程（）的一个解的十分位是（ ） A. B. C. D. 5. 在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 如图，在中，，．点D是的中点，，过点D作交于点E，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，，则的长为（ ） A. B. 15 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一元二次方程的一次项系数是__________． 10. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC，BD相交于点O,若AC=6，BD=8,则菱形ABCD的周长是_____． 11. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为__________． 12. 如图，在矩形中，、分别为，边上的点，且，，与的交点为，若，则______． 13. 砗磲是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本平均日生长速率（m/天）与年龄（岁）近似满足关系．观测得某砗磲样本的平均日生长速率为35.6m/天，则该砗磲的年龄为__________岁． 14. 如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接．若，则的长度为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用配方法解方程：． 16. 用公式法解方程：． 17. 用因式分解法解方程：． 18. 如图，四边形是矩形，请用尺规作图法作菱形，使点分别落在边上．（保留作图痕迹，不写作法）． 19. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，．求证：． 20. 如图，小明同学要给长城风景画安装一个四周宽度相等的白色画框，制成一个矩形工艺品，该工艺品的长为，宽为．若该工艺品中间风景画的面积为，求白色画框的宽度是多少？ 21. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小明家有一个中国结挂饰（如图①），他想求两对边间的距离，于是利用所学的知识抽象出如图②所示的菱形，对角线，交于点，测得，，过点且与垂直，分别与边，交于点，，求中国结挂饰两对边间的距离． 22. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小整数，求该方程的解． 23. 如图，平行四边形中，，延长至点，使得，连接，点为的中点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，且，求四边形的面积． 24. 为全面贯彻党的教育方针，把劳动教育与德育、智育、体育、美育相融合，紧密结合社会发展变化和学生生活实际，各学校应积极探索特色的劳动教育模式，创新体制机制，注重教育实效，实现知行合一．某学校积极开展劳动课程，准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园．如图①，生态园的一边由墙和一节篱笆构成，另一边由墙和一节篱笆构成，边和由篱笆围成，其中，，篱笆总长为． （1）若生态园的面积为，求生态园的边的长； （2）如图②，为了进出生态园方便，现决定在边上留出宽的门，此时生态园的面积能否达到？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 25. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别是边，的中点，连接并延长，交于点，交的延长线于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 26. 在正方形中，点在对角线上，连接． 【问题提出】 （1）如图①，连接，若，则的长为__________； 【问题探究】 （2）如图②，过点作，交边于点，试探究线段，与之间存在的数量关系； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是正方形观景平台，对角线为平台的检修通道，检修通道上有一点，从点安装护栏，，使得，，护栏端点，分别落在平台边缘，上，连接，并加装护栏，为统计管材用料，试探究护栏与之间存在的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $