精品解析：陕西延安新区外国语学校2026-2027学年第一学期第一次学情自测九年级数学试卷

2026—2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，答题卡交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：反比例函数的一般形式为（为常数，）， A、分母为，不符合反比例函数形式，不是关于的反比例函数； B、符合反比例函数形式； C、是正比例函数； D、是二次函数． 2. 若是关于的二次函数，则的值是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，需同时满足自变量最高次数为2，二次项系数不为0，联立求解a的值． 【详解】解：∵是关于的二次函数． ∴，且， 由得 ． 由得 ， ∴． 3. 将一元二次方程配方后化为的形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ， ，即． 4. 已知反比例函数则下列各点不在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由得． A、B、C选项中点的横纵坐标乘积均为6，在函数图象上． D选项：，不在函数图象上． 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， ∴， ∴． 6. 若二次函数（为常数）的最大值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ∵ 二次项系数为，对称轴为, ∴抛物线开口向下， 当 时,函数取得最大值，为， 由题意得，解得． 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则该方程的解为（ ） A. ， B. C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题中两根的和与积的等量关系，结合一元二次方程的根与系数的关系求出的值，再解方程即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得． 8. 若二次函数的图象如图所示，则的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象．根据二次函数图象与轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在轴左边可得同号，故，再根据的符号，即可得出的大致图象． 【详解】解：根据二次函数图象与轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在轴左边可得同号，故， 所以的图象大致是：抛物线开口向上，图象与轴的负半轴相交，对称轴在轴右边，故选项B符合题意． 故选：B． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若二次函数的图象开口向下，则的值可以是_________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 （答案不唯一，任意满足的数均可） 【解析】 【分析】根据二次函数图象开口方向与二次项系数的关系，得到的取值范围，任取范围内一个符合要求的数即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴二次项系数， 解得， ∴可以取，答案不唯一． 10. 已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则______（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了反比例函数的性质．先判断反比例函数比例系数的符号，再结合反比例函数的增减性比较和的大小． 【详解】解：∵对于任意实数，都有， ∴， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点和的横坐标都为正，两点都在第一象限，且， ∴． 11. 某社区图书室6月初的借阅人次为3000次，通过增设便民服务和开展阅读推广活动，8月初的借阅人次达到4320次．设该社区图书室6月至8月借阅人次的月平均增长率为，根据题意可列方程为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】已知6月初初始借阅人次和8月初实际借阅人次，月平均增长率为，按照平均增长率的计算规则推导8月初借阅人次的表达式，即可列出对应方程． 【详解】解：∵6月初借阅人次为，月平均增长率为， ∴7月初借阅人次为， ∴8月初借阅人次为， 又∵8月初借阅人次为， ∴可列方程． 12. 关于x的方程有实数根，则m能取的所有正整数的和为_____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出m的取值范围，进而求出结果． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故m能取的正整数值为2，3，其和为5． 故答案为：5． 13. 如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知，结合已知面积求出，再根据图象所在的象限确定的符号． 【详解】解：， ， ． 由图象可知，反比例函数图象位于第二象限， ， ． 14. 如图，抛物线（、为常数，）经过菱形的三个顶点、、，点是坐标原点，点在轴正半轴上，点在第二象限，若＝120°，BC=2，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，从而确定点的坐标，再利用求出点的坐标，最后将、两点坐标代入抛物线解析式即可求出的值． 【详解】解：四边形是菱形，， ， 点在轴正半轴上， 点的坐标为， 过点作轴于点， ， ， 在中，，， ， ， 点在第二象限， 点的坐标为， 将，代入， 得 ， 解得， 的值为． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴． 16. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的新抛物线是否经过点，请说明理由． 【答案】经过点，理由如下： 原抛物线解析式为． 又抛物线向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度， 新抛物线解析式为，即． 当时，． 新抛物线经过点． 【解析】 【分析】将原抛物线化为顶点式，结合平移规律得新抛物线解析式，代入点的横坐标验证纵坐标． 【详解】略． 17. 学校准备将一块长，宽的矩形绿地进行扩建，如果长和宽都增加，扩建成一个大矩形，设增加的面积是，求与之间的函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得长和宽增加后矩形的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即与之间的函数解析式为． 18. 已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得： ， ∴该反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，． 19. 某家庭微信群玩抢红包游戏，规定群内的每个人都要发一次红包（一次可以发多个红包），并保证群内其他人恰好都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包游戏结束后，群内所有人共收到90个红包，求该家庭微信群一共有多少人？ 【答案】该家庭微信群一共有10人． 【解析】 【分析】以总收到红包数为等量关系，结合每人发出的红包数比总人数少1，列一元二次方程求解． 【详解】解：设该家庭微信群一共有人． 每人不能抢自己发的红包，且群内其他微信群成员能收到自己发的红包， 每人发出个红包． 群内共人， 总发出红包数为个． 总收到红包数等于总发出红包数，且总收到90个红包， ． 整理得． 因式分解得， 解得，． 为正整数， 不符合题意，舍去． ． 答：该家庭微信群一共有10人． 20. 已知等腰三角形的三边长分别为、、2，且、是关于的一元二次方程的两根，求的值． 【答案】的值为 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再分三种情况：①，②和③，结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴，． ①当时，则，此时这个等腰三角形的三边长分别为2，4，2， ∵， ∴不满足三角形的三边关系，舍去； ②当时，则，此时这个等腰三角形的三边长分别为4，2，2， ∵， ∴不满足三角形的三边关系，舍去； ③当时，则，此时这个等腰三角形的三边长分别为3，3，2， ∵， ∴满足三角形的三边关系， ∴； 综上，的值为． 21. 金秋收获季，芳林甘蔗喜获丰收，工人们平均每天砍甘蔗的速度为y（吨/天）与砍完这片甘蔗地所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图： （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果工人们每天砍甘蔗40吨，那么这片甘蔗要砍多少天？ 【答案】（1） （2）天 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数解析式． （1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）把代入函数解析式求出函数解析式即可． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为， 依题意得：， ∴与的函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得：， 答：这片甘蔗要砍10天． 22. 在画二次函数（c为常数）的图象时，列表如下． x … 0 1 … y … 0 m 0 … （1）c的值为_______，表中的=_______； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出这个二次函数的大致图象，并根据图象写出当时，y的取值范围． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）把代入解析式求出c的值，则可得到二次函数的解析式，再求出时的函数值即可得到m的值； （2）先画出函数图象，再根据函数图象即可得到y的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 当时，，即； 【小问2详解】 解：函数图象见答案， 由函数图象可知，当时，y的取值范围． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，，）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点是线段上的点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，若点的坐标为，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入，得出，把代入，求出，即可得出答案； （2）把代入求出，把代入求出，即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点是线段上的点，点的坐标为， ∴， 解得， ∴， ∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点， ∴点纵坐标为， ∵反比例函数的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， ∴． 24. 某园林部门准备在一块长50米、宽40米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图），，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺设草坪．设小路的宽度为（）米． （1）用含的代数式表示亭子的边长为___________米； （2）若小路的占地面积为180平方米，求小路的宽度． 【答案】（1） （2）3米 【解析】 【分析】（1）根据亭子的边长是小路宽度的5倍可得答案； （2）小路的面积可以看成是两个小矩形的面积之和，其中一个矩形的长为，宽为，另一个矩形的长为，宽为，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵小路的宽度为米，亭子的边长是小路宽度的5倍， ∴亭子的边长为米； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵， ∴， 答：小路的宽度为3米． 25. 某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【小问1详解】 解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，，，点D是边上的动点（不与端点重合），于点E，设，的面积为S． ①用含t的代数式表示的长为___________； ②求S关于t的函数解析式． 【问题解决】 （2）如图2，菱形是某广场的示意图，已知，，连接，现计划对这个广场进行绿化。在和区域种植绿植，且满足点、、分别在、、上（不与端点重合），，，为了节省成本，要求种植绿植的区域面积尽可能的小，问与的面积之和是否存在最小值？若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，再由线段的和差关系可求出的长；②根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）过点E作于点H，可证明，得到；设，由（1）得，则，同理可得；证明四边形是平行四边形，可推出；根据平行线的性质得到，则可推出，据此利用二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：①∵在中，，，， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2所示，过点E作于点H， ∵四边形是菱形， ∴，； ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴； 设， 由（1）得， ∴， 同理可得； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即； ∵，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴与的面积之和存在最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，答题卡交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的二次函数，则的值是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 2或 3. 将一元二次方程配方后化为的形式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数则下列各点不在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 若二次函数（为常数）的最大值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则该方程的解为（ ） A. ， B. C. ， D. 8. 若二次函数的图象如图所示，则的图象大致是（　　） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若二次函数的图象开口向下，则的值可以是_________．（写出一个符合题意的数即可） 10. 已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则______（填“＞”“＜”或“=”） 11. 某社区图书室6月初的借阅人次为3000次，通过增设便民服务和开展阅读推广活动，8月初的借阅人次达到4320次．设该社区图书室6月至8月借阅人次的月平均增长率为，根据题意可列方程为__________________． 12. 关于x的方程有实数根，则m能取的所有正整数的和为_____ ． 13. 如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 14. 如图，抛物线（、为常数，）经过菱形的三个顶点、、，点是坐标原点，点在轴正半轴上，点在第二象限，若＝120°，BC=2，则的值为__________． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 解方程： 16. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的新抛物线是否经过点，请说明理由． 17. 学校准备将一块长，宽的矩形绿地进行扩建，如果长和宽都增加，扩建成一个大矩形，设增加的面积是，求与之间的函数解析式． 18. 已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． （1）求该反比例函数的解析式； （2）当时，求的值． 19. 某家庭微信群玩抢红包游戏，规定群内的每个人都要发一次红包（一次可以发多个红包），并保证群内其他人恰好都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包游戏结束后，群内所有人共收到90个红包，求该家庭微信群一共有多少人？ 20. 已知等腰三角形的三边长分别为、、2，且、是关于的一元二次方程的两根，求的值． 21. 金秋收获季，芳林甘蔗喜获丰收，工人们平均每天砍甘蔗的速度为y（吨/天）与砍完这片甘蔗地所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图： （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果工人们每天砍甘蔗40吨，那么这片甘蔗要砍多少天？ 22. 在画二次函数（c为常数）的图象时，列表如下． x … 0 1 … y … 0 m 0 … （1）c的值为_______，表中的=_______； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出这个二次函数的大致图象，并根据图象写出当时，y的取值范围． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，，）的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点是线段上的点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，若点的坐标为，求线段的长． 24. 某园林部门准备在一块长50米、宽40米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图），，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺设草坪．设小路的宽度为（）米． （1）用含的代数式表示亭子的边长为___________米； （2）若小路的占地面积为180平方米，求小路的宽度． 25. 某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，，，点D是边上的动点（不与端点重合），于点E，设，的面积为S． ①用含t的代数式表示的长为___________； ②求S关于t的函数解析式． 【问题解决】 （2）如图2，菱形是某广场的示意图，已知，，连接，现计划对这个广场进行绿化。在和区域种植绿植，且满足点、、分别在、、上（不与端点重合），，，为了节省成本，要求种植绿植的区域面积尽可能的小，问与的面积之和是否存在最小值？若存在，请求出其最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $