1.1探索勾股定理教学设计-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

1.1 探索勾股定理（教学设计） 课题 1.1 探索勾股定理 单元 第一章 勾股定理（1.1 探索勾股定理 第1课时） 学科 初中数学（北师大版） 年级 八年级 学习目标 1、经历“测量—数格子—猜想—验证”的探索过程，发现并理解勾股定理，知道直角三角形中勾、股、弦的含义； 2、会用含字母的式子表示勾股定理（a²+b²=c²），能运用勾股定理由直角三角形的两边求第三边； 3、经历用“割补法”和“赵爽弦图”验证勾股定理的过程，体会“出入相补”原理，发展推理能力和几何直观； 4、了解勾股定理在我国的悠久历史，感受中国古代数学的成就，增强民族自豪感和数学学习兴趣。 5、【核心素养】发展几何直观、推理能力和运算能力，在拼图验证中体会“出入相补”的思想方法。 教材分析 1、内容地位：本节是第一章“勾股定理”的起始课，也是整个初中几何中最重要的定理之一。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是“由形到数”的典范。 2、编写思路：教材以“电线杆拉钢索”的实际问题（图1-1）引入，提出“需要多长的钢索”；接着通过“思考·交流”的三个活动——动手测量、方格纸数格子（图1-2、图1-3）、用 1.6 和 2.4 再检验——引导学生从特殊到一般地发现规律；然后在重点框中给出勾股定理的完整表述和三边命名（勾、股、弦），并写成 a²+b²=c²；随后用“尝试·思考”的割补法（图1-4、图1-5、图1-6）和赵爽弦图完成验证；最后用“军事演习”例题（图1-9）落实应用，并通过“思考·交流”讨论钝角、锐角三角形是否也满足这一关系。 3、课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生“探索勾股定理”“经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观”“了解勾股定理的文化价值”。 4、前后联系：本节是在学生学习了三角形、全等三角形和面积计算的基础上展开的，是后续学习勾股定理的逆定理、勾股定理的应用以及“证明”一章的重要基础，也为高中学习三角恒等变换、解析几何作铺垫。 学情分析 1、已有基础：学生已掌握三角形的有关概念、全等三角形、面积的计算方法，会用平方运算求值，具备一定的动手操作和合作交流能力。 2、主要障碍： （1）从“测量的具体数据”抽象出“a²+b²=c²”这一般结论，对由特殊到一般的归纳过程感到困难； （2）在方格纸上用“数格子”求斜边上正方形的面积时，不会把倾斜的正方形转化为若干个直角三角形和小正方形的和或差； （3）对“割补前后面积不变”理解不深，看不懂弦图的拼法； （4）运用定理时容易把斜边与直角边混淆，出现“两直角边平方和”与“斜边平方”对应错误。 3、教学策略：坚持“动手测量—数格子—猜想—验证”的活动主线，让结论从学生自己的操作中来；用“补成大正方形”和“割成四个三角形加小正方形”两种割补方式突破面积转化这一难点；用“先找直角，再定斜边”的口诀规范应用。 教学重点 勾股定理的探索与理解；用勾股定理求直角三角形的边长。 教学难点 用割补法（赵爽弦图）验证勾股定理；由特殊到一般地归纳结论。 教学准备 多媒体课件（PPT）；方格纸、直尺、三角板（每人一份）；四个全等的直角三角形纸片（每组一套，用于拼图验证）；计算器。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【情境引入：需要多长的钢索】 教师：如图1-1，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6 m，那么需要多长的钢索？ 教师：请同学们先在图上找一找，这个问题中的三条线段构成了一个什么图形？ 学生：钢索、电线杆和地面构成了一个直角三角形，其中电线杆与地面垂直。 教师：在直角三角形中，任意两条边确定了，第三条边是否也就随之确定了？三条边之间会不会存在某种特定的数量关系呢？ 学生：猜想应该有某种关系。 教师：事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方之间存在一种特殊的关系。今天我们就一起来探索它。（板书课题） 1、读图，找出问题中的直角三角形； 2、明确已知的是两条直角边的长度，所求的是斜边的长度； 3、对“三条边之间是否存在数量关系”作出猜想。 以生活中的钢索问题引入，既让学生感受数学的实用价值，又自然提出本课的核心问题，激发探索欲望。 探究 新知 【活动一：量一量——从测量中发现规律】 教师：请同学们在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三条边长度的平方之间有着怎样的关系。与同伴进行交流。 学生（动手画图、测量、计算后汇报）： · 三边约为 3、4、5，3²+4²=9+16=25=5²； · 三边约为 6、8、10，6²+8²=36+64=100=10²； · 三边约为 5、12、13，5²+12²=25+144=169=13²。 教师：大家测量的数据不同，但都得到了同样的关系。是哪两条边的平方和等于哪一条边的平方？ 学生：两条较短边（直角边）的平方和等于最长边（斜边）的平方。 教师：测量难免有误差，我们再用方格纸来验证一下。 1、在纸上画出若干个形状、大小不同的直角三角形； 2、测量三边长度并计算各边的平方； 3、与同伴比较数据，寻找共同的规律。 让学生通过测量获得初步的感性认识，经历“从特殊数据中找规律”的过程，同时暗示测量存在误差，需要更精确的方法。 探究 新知 【活动二：数格子——用面积验证猜想】 教师：如图1-2，方格纸中每个小方格的边长均为 1。请分别算出以直角三角形三条边为边的正方形的面积，它们满足上面猜想的数量关系吗？ 教师：两条直角边上的正方形面积很容易数出来，斜边上的正方形是倾斜的，怎么求它的面积？ 学生：可以把这个斜的正方形分割成四个直角三角形和中间一个小正方形，分别算面积再相加。 学生（汇报）：每条直角边为 3、4，斜边上的正方形面积为 25， 两条直角边上的正方形面积分别是 9 和 16，9+16=25，正好等于斜边上正方形的面积。 教师：如果直角三角形如图1-3 所示，结果又如何？ 学生：形状变了，但结论不变，仍然是两条直角边上正方形的面积和等于斜边上正方形的面积。 教师：请同学们再用两条直角边长分别为 1.6 和 2.4 的直角三角形检验一下，上面猜想的数量关系还成立吗？说说你的理由。 学生：1.6²+2.4²=2.56+5.76=8.32，斜边为 √8.32≈2.884，仍然成立。 教师：通过上面的活动，你一定已经发现——直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。 教师：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此人们把上面的结论称为勾股定理。 教师：如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么勾股定理可以写成——a²+b²=c²。 教师（回到引入）：现在能算出钢索的长度了吗？ 学生：斜边的平方 = 8²+6² = 64+36 = 100，所以斜边 = 10，钢索长 10 m。 1、在方格纸上用“割补”的方法算出斜边上正方形的面积； 2、比较三个正方形的面积关系，验证猜想； 3、用 1.6 和 2.4 再次检验，体会结论的一般性； 4、用含 a，b，c 的式子表示勾股定理，并解决引入问题。 用方格纸把“平方”转化为“面积”，使抽象的平方关系变得直观可见；通过三个层次的验证，让学生完整经历“由特殊到一般”的归纳过程，落实几何直观。 探究 新知 【活动三：拼一拼——用割补法验证勾股定理】 教师：为了计算图1-4 中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到图1-5、图1-6。 （1）将所有三角形的面积和正方形的面积用含 a，b，c 的式子表示出来。 （2）图1-5、图1-6 中正方形 ABCD 的面积分别是多少？你有哪些表示方式？ （3）你能分别利用图1-5、图1-6 验证勾股定理吗？ 教师：请同学们以小组为单位，用手中的四个全等直角三角形拼一拼，边拼边想。 学生（小组汇报图1-5 的思路）：大正方形 ABCD 的边长是 a+b，所以它的面积是 (a+b)²； 另一方面，它由四个全等的直角三角形（每个面积 ab/2）和中间以 c 为边的大正方形组成，所以面积又是 4×ab/2 + c²； 因此 (a+b)² = 2ab + c²，即 a²+2ab+b² = 2ab+c²，两边同时减去 2ab，得 a²+b² = c²。 学生（小组汇报图1-6 的思路）：斜边上的大正方形面积为 c²； 它由四个全等的直角三角形和中间以 (b−a) 为边的小正方形组成，所以 c² = 4×ab/2 + (b−a)² = 2ab + b² − 2ab + a²，即 c² = a²+b²。 教师：两种割补方式都验证了勾股定理。它们的共同点是什么？ 学生：都是利用“割补前后图形的面积不变”。 教师：这就是中国古代数学中非常重要的“出入相补”原理。 教师（数学史料）：勾股定理在我国有着悠久的历史。汉末三国初数学家、天文学家赵爽（3 世纪初）在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述—— “勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。” 教师：他用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理，后人通常把图1-7 称为“赵爽弦图”，2002 年国际数学家大会会标的主要图案（图1-8）就取材于此图。 1、小组合作，用四个全等直角三角形拼出图1-5、图1-6 两种图形； 2、用含 a，b，c 的式子分别表示大正方形面积的两种算法； 3、通过代数变形完成勾股定理的验证； 4、了解赵爽弦图的来历，体会“出入相补”原理。 让学生亲手拼图、动手推导，把定理的验证过程变成自己的发现；同时用赵爽弦图和 2002 年国际数学家大会会标进行数学文化教育，增强民族自豪感。 例题 精讲 【例题精讲：军事演习中的速度问题】 例 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路 400 m 处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距 400 m；过了 10 s，测得汽车与他相距 500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这 10 s 的平均速度吗？ 【分析】你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？ 教师：请同学们先自己画图，把题目中的三个位置标出来。 学生：点 A 表示王叔叔所在位置，点 C、点 B 表示两个时刻汽车的位置。 教师：图中有直角三角形吗？哪条边是斜边？ 学生：因为王叔叔距离公路 400 m，所以他到公路的垂线段就是 AC，∠C 是直角，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边。 【解】由勾股定理，可得 AB²=BC²+AC²，也就是 500²=BC²+400²。 所以 BC²=500²−400²=250000−160000=90000，BC=300 m。 蓝方汽车 10 s 行驶了 300 m，那么它平均每秒行驶 300÷10=30（m）。 因此，蓝方汽车这 10 s 的平均速度为 30 m/s。 教师：这道题的关键是什么？ 学生：把实际问题画成图形，找出直角三角形，明确哪条边是斜边。 教师强调：勾股定理中的 a，b 是两条直角边，c 是斜边；已知斜边求直角边时，要用“斜边的平方减去已知直角边的平方”。 教师（思考·交流）：如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“最长边长的平方等于另外两边长的平方和”吗？ 学生（借助图1-10 数格子后回答）：不满足。钝角三角形中 a²+b²<c²，锐角三角形中 a²+b²>c²。 教师：很好。这说明“两边的平方和等于第三边的平方”是直角三角形特有的性质。（也可以用数学软件验证你的判断） 1、独立把实际问题画成几何图形，标出已知与所求； 2、判断直角所在的位置，确定直角三角形和斜边； 3、用勾股定理求线段长，进而求速度； 4、借助方格纸研究钝角、锐角三角形三边平方的关系。 以军事演习为背景，训练“实际问题→几何图形→直角三角形→计算”的建模过程；通过钝角、锐角三角形的对比，加深对勾股定理适用条件的理解。 巩固 练习 【随堂练习（教材第3页）】 1、求图中字母所代表的正方形的面积。 （1）两条直角边上的正方形面积分别为 225、400，斜边上的正方形面积记为 A； （2）两条直角边上的正方形面积分别为 81、B，斜边上的正方形面积为 225。 【答案】（1）A=225+400=625；（2）B=225−81=144。 2、小明家买了一台 55 in 的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 121.5 cm 长和 68.5 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？（1 in = 25.4 mm） 【答案】不同意。屏幕的对角线长约 √(121.5²+68.5²)=√(14762.25+4692.25)=√19454.5≈139.5（cm）。 而 55 in = 55×2.54 = 139.7（cm），与屏幕对角线长度基本一致。 所以“55 in”指的是屏幕对角线的长度，售货员并没有搞错。 【随堂练习（教材第6页）】 3、右图是某沿江地区交通平面图的一部分（单位：km）。该地区拟修建一条连接 M，O，Q 三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是 5 000 万元/km，该沿江高速公路的建设成本预计是多少？ （图中 MN=30，NO=40，OP=50，PQ=120，N、P 处均为直角） 【答案】在 Rt△MNO 中，MO=√(30²+40²)=√2500=50（km）； 在 Rt△OPQ 中，OQ=√(50²+120²)=√16900=130（km）。 所以高速公路总长 MO+OQ=50+130=180（km）， 建设成本预计为 180×5 000=900 000（万元），即 90 亿元。 1、独立完成第1题，说清“用加法还是减法”； 2、第2题先算对角线长，再与 55 in 换算后的长度比较； 3、第3题分段求 MO、OQ，再计算总长与成本。 练习覆盖“由图求面积”“生活中的电视机尺寸”“工程成本估算”三类情境，全面巩固勾股定理的直接应用，并训练单位换算与分段计算。 课堂 小结 教师引导学生完成知识梳理： 一、勾股定理：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方 二、三边命名：较短的直角边叫勾，较长的直角边叫股，斜边叫弦 三、符号表示：a，b 为两条直角边，c 为斜边，则 a²+b²=c² 四、探索过程：测量 → 数格子（面积法）→ 猜想 → 割补验证 五、验证方法：割补法（图1-5 大正方形边长 a+b；图1-6 中间小正方形边长 b−a），依据是“出入相补”原理 六、适用条件：只有直角三角形才满足 a²+b²=c²（钝角三角形 a²+b²<c²，锐角三角形 a²+b²>c²） 1、对照板书口头梳理知识结构； 2、复述勾股定理的完整表述，说清勾、股、弦分别指哪条边； 3、完成学习任务单上的自我评价。 以“定理—符号—探索方法—验证方法—适用条件”为线索梳理全课，把知识和方法同时结构化。 布置 作业 【分层作业】 1、基础题：教材第8页 习题1.1 知识技能 第1、2、3题。 2、提升题：教材第8页 习题1.1 数学理解 ※第4题（在“勾股树”图形中找出面积之和等于最大正方形面积的若干图形，给出两种以上方案）。 3、实践题：教材第9页 习题1.1 联系拓广 第8题——复制四个全等直角三角形拼图验证勾股定理，说说你的方法与课堂上的方法有什么联系与区别。 4、阅读：教材第6—7页“阅读·思考——漫话勾股世界”，了解商高“勾三股四弦五”、出入相补原理、青朱出入图与“无字的证明”。 5、预习：阅读教材1.2《一定是直角三角形吗》，想一想“反过来还成立吗”。 1、记录作业内容； 2、拼图验证题要保留拼图痕迹，写出验证过程； 3、认真阅读数学史料，在笔记中记下一条自己最感兴趣的史实。 作业分层：基础题巩固定理的直接应用，提升题在“勾股树”中体会面积关系，实践题让学生再次经历拼图验证，阅读题落实数学文化的育人价值。 板书 设计 1.1 探索勾股定理 一、探索过程：测量 → 数格子 → 猜想 → 验证 二、勾股定理：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方 　　勾（较短直角边）、股（较长直角边）、弦（斜边） 　　a² + b² = c² 三、验证（出入相补）： 　　图1-5：(a+b)² = 4×ab/2 + c² ⇒ a²+b² = c² 　　图1-6：c² = 4×ab/2 + (b−a)² ⇒ c² = a²+b² 四、应用：8²+6²=100 ⇒ 钢索长 10 m （副板书：学生拼图作品展示区） 教学 反思 1、成功之处：全课以“测量—数格子—猜想—割补验证”为主线，学生始终在动手操作中思考，勾股定理是学生自己“发现”的而不是被告知的；用四个全等三角形拼图推导 (a+b)²=2ab+c²，学生对“出入相补”的理解比较到位。 2、不足之处：方格纸上求斜边上正方形面积时，仍有学生不会分割；用字母进行代数变形（尤其是 (b−a)² 的展开）时出错较多；应用定理时个别学生把斜边当成了直角边。 3、改进设想：下次教学可在数格子环节先集体示范一次“割补”的分法，再放手让学生独立完成；代数变形部分可先复习完全平方公式；应用环节增加“先判断哪条边是斜边”的口头训练。 学科网（北京）股份有限公司 $