1.1探索勾股定理（第2课时）教学设计 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦勾股定理的面积法证明与逆运用判断三角形形状，通过回顾上一课测量发现，引导学生用图1说明定理正确性，搭建新旧知识联系的学习支架。 以割补法面积推导为核心，学生自主表示图4、图5中图形面积并验证定理，培养推理能力，融入赵爽弦图历史增强民族自豪感，军事演习测距例题将定理应用于实际，分层作业兼顾基础与拓展，助力教师高效教学，提升学生逻辑推理与应用意识。

§1.1 探索勾股定理（第2课时） 课时：1课时 年级：八年级 教师： 日期：________ 一、教学目的 （知识与技能）掌握勾股定理的证明方法，能运用面积法验证勾股定理；了解勾股定理的逆运用及三角形形状的判断。 （过程与方法）通过割补法证明勾股定理，体会面积法的核心思想，培养逻辑推理能力。 （情感态度与价值观）感受中国古代数学家赵爽的贡献，增强民族自豪感；体会数学的文化传承价值。 二、教学重点 用面积法证明勾股定理；勾股定理的逆运用判断三角形形状。 三、教学难点 割补法中面积表达式的推导与代数恒等变形；从特殊到一般的面积法思维。 四、教学过程 【环节一：导入新课】（约5分钟） 在上一课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。如图1，分别以直角三角形的三条边(a<b)为边向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何说明的？与同伴进行交流。 图1 【环节二：新课讲授】（约25分钟） 方法一：割正方形C，如图2。 方法二：补正方形C，如图3。 尝试实践，证明定理 为了计算图1中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到图4、图5。 活动内容： （1）将所有三角形的面积和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来。 （2）图4、图5中正方形ABCD的面积分别是多少？你有哪些表示方式？ （3）你能分别利用图4、图5验证勾股定理吗？ 由2ab＋c²＝a²＋b²＋2ab c²＝a²＋b²。 由c²－2ab＝b²＋a²－2ab c²＝a²＋b²。 尝试总结 勾股定理的证明主要是通过在正方形中割出原直角三角形，再利用各部分面积之间的关系得以证明，或者用原直角三角形补出正方形，再用不同的方法计算面积公式。因此用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形（如直角三角形、正方形、梯形），使其面积之和等于整个图形的面积，从而完成定理的证明。 畅谈历史 勾股定理在我国有着悠久的历史。汉末三国初数学家、天文学家赵爽（3世纪初）在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理。后人通常把该图称为“赵爽弦图”，2002年国际数学家大会会标的主要图案就取材于此图。 学生阅读：漫话勾股世界（教材第6-7页内容），并谈谈感受。 【环节三：巩固练习】（约10分钟） 尝试应用，巩固定理 例题：在一次军事演习中，红方侦查员王叔叔在距离一条东西向公路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m；过了10 s，测得汽车与他相距500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗？ 分析：你能根据题意画出图形吗？ 从题目中提取已知量，并在上述图形中用字母、数据表示出来。根据图9的几何模型，解决实际问题。 解：根据题意，可画出图8，其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置。由于王叔叔距离公路400 m，因此∠C是直角。由勾股定理，可得 AB²＝BC²＋AC²， 即500²＝BC²＋400²。 所以BC＝300 m。 蓝方汽车10 s行驶了300 m， 那么它平均每秒行驶300÷10＝30 m。 图9 因此，蓝方汽车这10 s的平均速度为30 m/s。 引发讨论，深学拓展 思考·交流：如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边长的平方等于另外两边长的平方和”吗？以图10为例（方格纸中每个小方格的边长均为1），说说你的判断和理由，并与同伴进行交流。 （1）分组计算正方形的面积，判断三条边长度的平方之间的关系，先猜想：三角形如果不是直角三角形，那么三条边长度的平方不满足勾股定理。 （2）利用方格纸任意画出锐角三角形和钝角三角形，再次计算正方形面积，发现结论： 当较长边长的平方小于另外两边长的平方和时，三角形是锐角三角形； 当较长边长的平方大于另外两边长的平方和时，三角形是钝角三角形。 （3）通过几何画板及大数据分析，进一步证实（2）中三角形的形状与三条边长度的平方之间的关系。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么 当a²＋b²＞c²时，三角形是锐角三角形； 当a²＋b²＜c²时，三角形是钝角三角形。 自主训练，查缺补漏 1.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快 经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城 市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成 本是5000万元/km，该沿江高速公路的建设成本 预计是多少？ 解：由图可知MO和OQ为直角边，MQ为斜边。利用勾股定理求出MQ长度，再计算总成本。 2.飞机在空中水平飞行，飞机距离某建筑的竖直高度为4 km，过了20 s，飞机与该建筑的距离为5 km，求飞机每小时飞行多少千米？ 解：在Rt△ABC中，AB＝5 km，AC＝4 km，由勾股定理得 BC²＝AB²－AC²＝25－16＝9， 所以BC＝3 km。 又因为20 s＝ h， 所以飞机速度＝3÷ ＝540 km/h。 因此，飞机每小时飞行540 km。 【环节四：课堂小结】（约5分钟） （1）这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ （2）对这些内容你有什么体会？请与你的同伴进行交流。 小结：验证勾股定理及应用。首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理。步骤：拼出图形→写出图形面积的表达式→找出相等关系→恒等变形→导出勾股定理。 五、教学小结 六、作业 必做：基础作业：习题1.1 第3题。 选做：拓展提升作业：习题1.1问题解决 第6，7题。 预习：下一节“一定是直角三角形吗”。 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $