陕西西安高级中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

2026-2027学年西安高级中学上学期9月阶段检测 高三年级数学试题 测试范围：集合与常用逻样用语；函数与导数；解三角形与三角函数 武卷合计4页，150分，120分钟 第I卷（选择题共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1.命题vxER,点2<0的否定是() A.ER,2之0 B.x∈R,x≥2 C.3xeR,是220 D.x∈R,x≥2 2.记以长方体ABCD-A1B1C1D1的四个顶点为顶点的一个三棱锥的体积为V,若AA1=1,AB=2,AD=3, 则V的取值集合为() A.{1 B.{1,2} C.{1,3) D.{1,2,3} 3.己知函数f(x)=ex-e-x,则不等式f(6-x2)>f(2x-2)的解集为() A.(-4,2) B.(1,2) C.(-4,1) D.(-∞，-4)U(2,+ 00) 4.已知集合M={xx2-2mx-3m2≤0}，N={xx2+mx-2m2≤0}，定义b-a叫做集合{xa≤x≤b} 的长度，若集合MnN的长度为2，则MUN的长度为() A.3 B.4 C.5 D.4或5 5.若A、B是全集U的真子集，则下列五个命题：①A∩B=A:②AUB=A:③A∩(CuB)=O:④A∩B=U; ⑤x∈B;是x∈A的必要不充分条件.其中与命题ASB等价的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.若lg(9a2+4b2)=0(a>0,b>0),则lga+lgb-lg(3a+2b-1)的最大值为() A.lg B.-g6 C. D.-21g2 7.对于函数f(),若在定义域内存在实数x,满足f(目=-f(),则称f()为“局部反比例对称函数”.若 f()=x3-mx2+(m2-3)x+5的导函数f(x)是定义在区间[2，+o)上的“局部反比例对称函数”，则 实数m的最大值与最小值之差为() A.子 B. C. D.} 8.己知函数f(n)=ln-1+lm-2+…+ln-9引，n∈N,命题p:x∈[1,3]，f(n)<ax2-(a+1)x+a+ 1 19恒成立”是假命题，则实数a的取值范围为() A.(-∞，2] B.(∞，2 c.+m) D.[2,+o) 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求， 全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分) 9.己知曲线C:y=e*,C在x=t处的切线与x轴，y轴分别交于点A,B,记线段AB:的中点为P,则(). A.P的轨迹与x轴仅有一个交点 B.P的轨迹与y轴仅有一个交点 C.P的轨迹在第二象限仅有一个最高点 D.P的轨迹在第四象限仅有一个最低点 10.已知函数f(x)=(x-c)2(x-2)的极大值为4，则下列结论正确的有() A.c=5 B.函数f(x)有3个零点 C.f(x)的对称中心为(4,2) D.过点(2,0)有且仅有1条直线与函数f(x)的图象相切 11.己知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(2+x)+g(-x)=1,则下列说法正确的是() A.g(x)的图象关于直线x=-2对称 B.g(x)是以4为周期的周期函数 C.f(2)=2 D.26f(4k+2)=2026 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计 算，16人参加绘图.测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参 加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了，这支测绘队有 人 13.已知函数f)=Asin(wx+p)(A>0,ω>0，lol<的部分图象如图所示，则f(目= 2元 .2 3 14.已知集合A={sin0,sin20,sin38},B={cos0,cos28,cos38},且A=B,请写出满足条件的一个 2 四、解答题：（本题共5小题，共77分；15题13分；16-17题15分；18-19题17分；解答 应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤) 15.已知函数f(x)=sin2x+2V3 sinxcosx-cos2x+m的最大值为3， (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间： (2)若f()=号x∈[0，，求cos(2xo+)的值. 16.富平尖柿采摘季，合作社安排工人采摘柿子。设x为单日采摘柿子的质量（单位：kg,x>0)。 根据生产经验：集合A:柿子保鲜要求下，单日采摘量的可行范围，满足不等式(x-1)(5-x)>0; 集合8：人工成本管控下，单日采摘量的可行范围。满足不等式≤0，实数m为生产调配参数。 (1)求集合A;当m=0.5时，求AnB; (2)若“xEA”是“xEB”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)合作社新增冷链仓储限制，对应单日采摘量集合C=xx2-(3m+3)x+2m2+4m≤0。 若满足AUC=(0,5],且BnC≠D,求实数m的取值范围。 17.△ABC的内角A,B,c的对边分别为a,bc,已知asim生=bsinA.. (1)求B: (2)若△ABC为锐角三角形，且c=1,求△ABC周长的取值范围. 3 18.己知函数f(x)=e-1+ke1-x(k∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若g(x)=(x-1)3 ①当k=-1时，求证曲线ux)=f(x)·g(x)是轴对称图形： ②当k=0时，试探究曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的公切线的条数. 19.已知函数fx)=xlnx,gx)=x3-(2-)x2,x>0。 (1)当2时，求曲线=x)一(x)在x=1处的切线方程； (2)若对任意x>0,x)上g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)若函数Fx)=8(x)x)存在两个不同零点x1,x2,且满足Fx1)十Fx2)0,求证：x1x2>1。 4 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 B A B A B A ABC AC 题号 11 答案 AD 12.44 13.V3 14.不唯一)【详解】A=B,即两个集合中元素相同， 若sim0=cos6,则6=km+,k∈Z,但此时20=2km+爱sin20≠cos26,sin20≠cos36, 因此考虑sin20=c0s20,20=km+,k∈Z,日=经+，k∈z, 0+30=2km+,所以sin0=cos38,sin30=cos0, 例如取k=0,日=晋（答案不唯一）. 15.【详解】(1)f(x)=sin2x+2V3 sinxcosx-cos2x+m=V3sin2x-cos2x+m =2sin(2x-爱)+m,因为函数的最大值为3，所以2+m=3,解得m=1,所以f()=2sin(2x-)+1, 则f)的最小正周期为T-受=亚由2km-≤2x-言≤2km+号，ke2,得km-营≤x≤km+5k∈z, 所以函数的单调递增区间为[m-,km+到，kEz: (2)因为f(9)=号，即2sinx0-8)+1=号，所以sin(x,-8)=号 又因为∈[0引，所以x-君e[-引，所以cosx。-名)=1-sim2(x。-名)=手所以cos(2x+)= cos26。-3)+引]=-sin200-8)=-2sn(0-8)cos(08)=-2××音-若 16.(1)不等式(x-1)(5-x)>0变形：(x-1)x-5)<0解得A=x1<x<5 当m=05时，B的不等式：器≤0分式不等式：分子分母异号，分母不为0解得8=x055x<25 求交集：AnB=x1<x<2.5 (2)先化简集合B:≤0→B=xm≤x<m+2xEA是xEB"的必要不充分条件 翻译逻辑：B→A,A不能推出B,等价BA区间真包含，注意端点取舍：解得：1<m≤3，即m∈(1,3] (3)对集合C的不等式因式分解： 两根：x1=2m,x2=m+2,需要分情况比较两根大小。 已知A=(1,5),条件：AUC=(0,5],说明集合C需要补齐区间(0,1]，且C右端点不能超过5。 ①当2m=m+2,即m=2,此时C=4。AUC=(1,5)≠(0,5]，舍去； 1 ②当2m>m+2,即m>2,C=[m+2,2m]。区间起点m+2>4,无法补齐(0,1]，舍去； ③当2m<m+2,即m<2,C=[2m,m+2]。 由AUC=(0,5]列出不等式组 解得0<m≤0.5。再附加条件：BnC≠0，其中B=[m,m+2),C=[2m,m+2] 在范围0<m≤0.5内：m≤2m<m+2,区间一定相交，满足BnC≠0。 综上第三问结果：0<m≤0.5 17【详解11)解法一：最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度，由三角形的内角和定理得A生= :-号因为asin4=bsinA,.所以asin(（传-)=bsinA.所以acos号=bsinA. 在△ABC中，由正弦定理知a=2 RsinA,b=2 RsinB,所以sinAcos号=sinAsinB, 因为Ae(0,m,所以sinA>0,所以cos号=sinB,所以cos号=2sin号cos号 BB 因为B∈(0，m,所以e(0,),cos号>0，故sim号=解得号=云所以B=于 解法二：因为asin生=bsinA,.所以由正弦定理得sinAsin4生9=sinAsinB, 因为A∈(0，D,所以sinA>0,故sim牛S=sinB,两边平方得sin24+S=sin2B,即l-os(4+C=sinB. 2 2 因为A+B+C=180°，所以cos(A+C)=-cosB,所以1+cosB=2sin2B,所以1+cosB=2(1-cos2B), 即2c0S2B+c0sB-1=0,解得cosB=或-1，因为BE(0,m,所以cosB≠-1，cosB=子又B∈(0，m, 因此B=解法三：利用正弦定理结合三角形内角和为π求得A,B,C的比例关系， 因为asin4S=bsinA,所以由正弦定理得sin4sin4+S=sinBsinA, 2 因为A∈(0，m,故simA>0,所以sm生=sinB。 因为0<B<,0<4牛<，故=B或者+B=元， 2 而根据题意A+B十C=m,故生+B=不成立，所以=B, 又因为A+B+C=元，代入得3B=,所以B=写 (2)解法一（正弦定理+正切函数的单调性）：因为△ABC是锐角三角形，又B=青所以<A<行，：<C< 景正弦定即，得：品品一品衣4=年ca=他6-器-品 1 sinC sinC 展开a:a= d0吧g周长LE+h+c=a+b+1士 1=9= 2 <京< 6 因为一月内单洞送减·点=1，品一的 1 1+tanstan =+5=2+V3. -3-1 所以1<高<2+，所×1+<L<+同+9<1<3+，即Le(,3+同) 解法二（正弦定理+分式型正余弦函数几何意义：斜率）： 因为△A8C是锐角三角形，又B=青所以<A<受，言<C<气由正弦定理，得：品=品。=c=C 1 sinC sinc sinc 周长L-a+b+c=a+b+1-温++温+1-9+号 -D可以看成单位圆上点P(cos(传-C）,sin(传-C》与0，-1)连线的斜率， sinc Cos(2-C)-0 因为△ABC是锐角三角形，又B=子所以<A<5,<C<号 所以0<号C<号所以1=C<k<上=2+V5, cos0-0 cos3-0 所以L=a+b+c=a+b+1=92+c(停+，2+V同+) 2 sinC 即Le(53+v3) 18.【详解】(1)因为f(x)=ex-1-kel-x, 当k≤0时，f(x)>0恒成立，所以f(x)在R上单调递增： 当k>0时，令f(x)=0,得x=1+lnk, x∈(-o,1+hk)时，f'(x)<0;x∈(1+lnk,+o)时，fx)>0: 故f(x)在(-o,1+lnk)上单调递减，在(1+lnk,+o)上单调递增. 综上，当k≤0时，f(x)在R上单调递增： 当k>0时，fx)在(-∞，1+nk)上单调递减，在(1+nk,+o)上单调递增. (2)①略 ②当k=0时，f(x)=e-1, 设公切线与f(x)相切于（化，e←1），与g(x)相切于(s,(s-1)3) 因为f(x)=e-1,g(x)=3(x-1)2, 故f(x)在点(t,e-1)处的切线方程为y-et-1=e-1(x-t), 即y=et-1x+(1-t)e-1 g(x)在点s,(s-1)3)处的切线方程为y-(s-1)3=3(s-1)2(x-s), 即y=3(s-1)2x-(s-1)2(2s+1), 3 所以 et-1=3(s-1)2 '11-t)e-1=-(s-1)2(2s+1)）' 消去t得3(s-1)21n[3(s-1)2]=(s-1)2(2s+1), 因为s=1时，et-1=0无解，故s≠1， 因此原方程可化为3[3(s-1)2]=2s+1, 令m=s-1,方程变形为3n(3m2)-2m-3=0, 取h()=3n(3x2)-2x-3(x≠0)，h(x=6-2s 当xe(-o,0),h(x)<0,h(x)单调递减： 当x∈(0,3)，h(x)>0,h(x)单调递增； 当x∈(3，+oo),h(x)<0,h(x)单调递减： 而h(3)=9n3-9>0, 当x→-o时，h(x)→+o,x→0-时，h(x)→-o, 当x→0+时，h(x)→-o,x→+o时，h(x)→-o, 结合各区间端点处的极限值与单调性可知，h(x)在(-∞，0)上有且仅有1个零点： 在(0,3)上，有1个零点： 在(3，+00)上，有1个零点， 一共3个零点， 所以方程3(s-1)2n[3(s-1)2]=(s-1)2(2s+1)一共有3个根， 即f(x)与g(x)一共有3条公切线. 19.(1)a=2,y=2xnx-x3 y'=2lnx+2-3x2,x=1,y=-1,y1x=1=-1切线：y+1=-(x-1),即y=-x。 (2)Hx>0,;axnx≤x3-(2-a)x2,x>0两边除以x:alnx≤x2-(2-a)x 整理：x2-2x+a(c-lnx)≥0，x>0。记p(y)=x-lnx,p(y=1-p()mm=p(1)=1>0。 变形：a之品令c)-求G)a G的=-2x-2=u32化简：G的=-2-2X-h-----2-+ (x-In x)2 (x-In x)2 (x-In x)2 =-X2h+2记u()=x-2nx+2,u(y)=1-是u(mm=u2)=4-2h2>0. (x-In x)2 故x>1,G'(x)<0；0<x<1,G(x)>0。G(x)在(0,1)↑，(1，+∞)L,G(x)max=G(1)=1。 所以a≥1. (3) 4 F(x)=x3-(2-a)x2-axlnx,Fx1)=0,F(x2)=0,F(x1)+Fx2)=0→F(x1)=F(x2)=0。 即x1,x2>0,约去x1,x2两式相减：x1-x3-(2-a)(x1-x2)-a(Inx1-lx2)=0 (1-)1+为-2+a)=号设t=号>0，t≠1，x1=tx.代入做齐次化，目标证明x12>1口 tx22>1。做变量替换，构造对称函数，利用单调性完成证明 5