陕西省西安市第一中学2026-2027学年高三上学期第一次质量检测数学试题

2026-2027学年第一学期西安市第一中学 第一次质量检测数学 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.测试范围：集合及逻辑用语：函数与导数；解三角形与三角函数；数列 第I卷（选择题共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1.设集合A={-2,1,a,B={-1,a2),若A∩B≠0，则由实数a构成的集合为() A.{-1,0} B.{-1,0,1 C.{-V2,-1,0} D.{-2,-1,0,1 2.已知命题p:x>0,tan(x->0,则p为() A.≤0，tan(x-)≤0 B.3x≤0，tan(x-)≤0 c.x>0,tan(x-)≤0 D.3x>0,tan(x-9≤0 3.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t(单 位：h)和放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式C=It,其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数)，在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为48h;当放电电流为25A时，放电 时间为12h,则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）() A.1.14 B.1.15 C.1.16 D.1.17 4.函数f(x)=x2+cosx-3-nx2的大致图象为() 5.己知函数f)=2sin(wx+p)(w>0,0<p<D,f()=0,对任意x∈R恒有f)≤/（引，且在区 间（侣，丑上有且只有一个xo使f(xo)=-2,则ω的最大值为（） 试卷第1页（共4页） A.9 B.9 C. D. 6.设函数f(x)=sinx·si3x,若关于x的方程f(x)=a在[0，m上有奇数个不同的实数解，则实数a=（) A.-1 B.0 C.1 D.1或-1 7.在直角△ABC中，AB=BC,P是△ABC内一点，PA=2PB=V2PC=4,则△ABC的面积为() A.6 B.8 C.10 D.12 8。已知等差数列a小，的前n项和分别为s,和7：若产-号且会是整数，则加的值为《) 02 A.13 B.14 C.15 D.16 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分， 选对但不全得部分分，有选错的得0分) 9.通常把导函数y=f(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数，记作y=f(x),类似地，函数y=f(x) 的n-1阶导数的导数叫做函数y=f(x)的n阶导数，记为y=fm(x).若f(x)=xex+sin3x+cos3x,则 下面选项正确的是() A.f'(1)=3e-9sin3 B.f3)(1)=4e-27cos3+27sin3 C.f2024(0)=2024+32024 D.f2025)(0)=2024+32025 10.己知函数f(x)=x3+3ax+a3+3(a∈R)恰有一个零点o,且xo<0,则a的取值可能为() A.-2 B.-1 C.0 D.1 11.已知函数f(x)=x3-x+a(a∈R)分别在点A(-x1,f(-x1),B(x1,-f(-x1)处取极大值和极小值， 曲线y=f(x)和x轴的三个交点依次为C,D,E（xc<xD<xE),P为曲线y=f(x)上异于C,D,E的动点， 则() A.a=0 B.四边形ACBE为平行四边形 C.在曲线y=f(x)上存在三个不同的点的切线与直线AB平行 D.PC,PD,PE的斜率之和与曲线y=f(x)在P处的切线斜率相等 第Ⅱ卷非选择题共92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.某厂生产某产品x（万件)的总成本C()=1200+石x(万元)，己知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100万件这样的产品单价为50万元，产量定为 万件时总利润最大 13.设f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且fx)为单调函数，f(1)>1.若对任意x∈R有f(g(x)-x)=a (a为常数)，g(f(x+2)+gf(x)=2x+2,则∑欢=1f(4)=. 14.已知集合A={a1,a2,a3,,a2026}中的最大元素为2，且0∈A,对任意的1≤i<j≤2026，|a- aEA,则集合A中所有元素的和为一 试卷第2页（共4页） 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤) 15.已知数列{an}的前n项和为Sm,且5n=3n2+2m+1.(13分) (1)求{an}的通项公式，并证明{a+1-2n+1}为等差数列： (2若bn=am+a-2可求b2+bg+…+b1o0 1 16.已知函数f(x)=sin2x+2acos2x-a.(15分) (1)当a=V3时，求f(x)在(0，D上的单调递减区间； (2)若函数f(x)的图象关于直线x=对称，求不等式f()≥0的解集。 17.已知函数f(x)=2+log3x,g(x)=3x.(15分) (1)若F()=f(g(o)·gf(-),求函数F(o)在区间-2，-引上的值域： a若H)-品求H()+H(G品)+H()++H(二》的值： (3)令G(x)=f(x)-2)2+(4-)f(x)-1),已知函数G(x)在区间[1,9]上有零点，求实数k的取值范围. 试卷第3页（共4页） 18.固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬 链线问匙”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为cosx=“二，相应的双曲 正弦函数的表达式为sink=“(I7分) (1)求(coshx)2-(sinhx)2的值； (2)证明：当x∈[0，+o)时，xcoshx≥sinhx: (3)若函数f)=sn在区间[m,m<m上的值域是[2e2m,2e2m](2∈R,求实数的取值范围. coshx 19.已知函数f()=n(民-1)+a(x-1)3+b,a,b∈R.(17分) (1)当a=b=0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程： (2)证明：函数f(x)的图象是中心对称图形： (3)若函数f(x)为减函数，求实数a的取值范围. 试卷第4页（共4页） 2026-2027学年高三第一次月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A 0 B B B A C BC CD 题号 11 答案 ABD 1.A 【详解】若AnB={-1),则a=-1,此时A={-2,1,-1),B={-1,1,满足题意： 若AnB={1,则a2=1,解得a=士1， 当a=1时，则A={-2,1,1},不满足集合元素的互异性，故舍去： 当a=-1时，满足题意： 若AnB={a,则a2=a,解得a=1或a=0: 当a=1时，满足题意： 当a=0时，A={-2,1,0},B={-1,0},满足题意； 综上所述：由实数a构成的集合为{-1,0. 2.D 【详解】因为命题p为x>0,tan(x-)>0, 所以p为3x>0,tan(x-)≤0. 3.B 【n解】由题意得-必智数25×12=75×侣，所以2575×本（得骨=4 两边取带用对数得A1-)=1g4,所以==00≈115 4.B 【详解】由x2>0,得x≠0，所以f(x)的定义域为{xx≠0}，定义域关于原点对称， f(-x)=(-x)2+cos(-x)-3-In(-x)2=x2+cosx-3-Inx2 f(x), 所以f(x)为偶函数，f(x)的图象关于y轴对称，故排除选项A,C: 当x→+o时，f(x)→+o,故排除选项D.只能选B. 5.B 【分析】根据f()的零点及最值点列方程组，可得0，ω的关系式，根据在区间（侣，）上有且只有一个x使 f(xo)=一2，得f)在区间（侣，习）上有且只有一个最小值，从而求得ω的取值范围，得到ω的最大值， 【详解】因为对任意x∈R恒有f()≤f(得引所以f)在x=处取得最值， 6 所以w·严+p=5+mr,meZ, 2 答案第1页（共11页） f(-君)=0，得ω：（君）+p=n,nez, =+3m- 所以 ,m,n∈Z 令m-n=k,m+n=t,则k∈Z,t∈Z f()在区间（侣到上有且只有一个x0使fo)=-2,所火导-是=≤27=铝 所以0<ω≤24， 所以号+3k≤24，解得k≤5，又k∈Z,0<p<, 若k=7,则a=艺此时取p=华可使 ·晋+p=+mr,mcZ 成立， w·()+9=mnEZ 当x(侣时，空x+e(),其中空x+誓=或时，fxo)=-2,不合题意，所以k≠7 2 若k=6,w=翌此时取9=可使 0君+p=+mimEZ 成立 o:(君)+p=nnez 当xe(侣到时，翌x+∈(，告)，当且仅当x+=时，fxo)=-2,所以k=6满足题意 故a的最大值为} 6.A 【分析】由题意可得f(侣+x)=f(侣-x),从而可得()关于直线x=对称，据此求解即可. 【详解】因为f(任+xy)=sin(号+x)sin3(号+x]=-cosxcos3x, f(-x=sin(-x)sin[3(-x)]=-cosxcos3x 所以fG+x)=f(G-x),故fx)关于直线x=对称， 设y=f(x)与y=a的图象在x=处有m(m∈{0,1)个交点， y=f(x)与y=a的图象在[0，)上有nm∈N)个交点， 则y=f()与y=a的图象在（凭，可上也有n个交点， 所以y=f(x)与y=a的图象在[0，可上共有m+2n个交点， 由于关于x的方程f(x)=Q在[0，刊上有奇数个不同的实数解， 故y=f(x)与y=a的图象在[0，上交点的个数为奇数，即m+2n为奇数， 因此只能m=1,即y=f()与y=a的图象在x=处有1个交点，故a=f(囹=-1. 7.C 答案第2页（共11页） 【分析】借助图像的旋转与己知条件求出三角形面积. 【详解】已知在直角△ABC中，AB=BC,所以△ABC为等腰直角三角形， 因为PA=2PB=V2PC=4,所以PA=4,PB=2,PC=2V2,将△PAB绕点B顺时针旋转90°，使AB 与BC重合，得到△CBP,连接PP, 由旋转性质知：BP=BP=2,PC=PA=4,△PBP是等腰直角三角形， 因为在△PPC中，PP=PC=2V2,PC=4,所以△PP'C是等腰直角三角形， 所以∠BPC=∠BPP'+∠PPC=45°+90°=135°， 在△BPC中，由余弦定理：BC2=BP2+PC2-2 BP.PC.cosLBPC=22+(2V2-2×2×2W2×cos135°= 4+8+8V2×2=20, 所以△ABC的面积为S=3×AB×BC=×BC2=×20=10 8.C 析】先得到吗13，设等差数Q,.也，的公差分别为d,山，利用醉2得到方程组，求出！二Z亮 b T2 进而表达出会-为整数，设智-k又。求出1-寺≥1求出k的取位范围，从而得到答 b2n 2n+1 案 【详解】由题意得2=产=答-13. b1 1+3 设等差数列{an3,{bmn的公差分别为d1,d2, Sn =n(aitan) Tn=n01+,故=+a=2a1+m-)4 2 2 Tn b1+bn 2b1+(n-1)d2 故g=2a1+,又2=1445=59， T22b1+d2 T22+3-5 故2a1+d=59 即10a1+5d1=118b1+59d2, 2b1+d2 Γ5 53=2a1+2d41, 2b1+2d2 ---11， 6 2at2d=11,即a1+d1=11b1+11d2, 2b1+2d2 答案第3页（共11页） 10a1+5d1=118b1+59d2 联立 =1山，化尚得2的十10解得低-2： a1=13b1 又是整数，即1+-)=1+m-)=+1)迪=7+19是整数， 020 b1+(2n-1)d2b1+(2n-1)d2 (2n+1)d2 2n+1 设智=kez么。故7m+19=2m+k,即(2k-7)n=19-k解得n=是 2n+1 令≥1，解得号<k<总且kez 当k=4时，n=9=15满足要求， 2k-7 当k=5时，n=不合要求， 当k=6时，n=号不合要求， 当k=7时，n=号不合要求， 当k=8时，n=号不合要求， 综上，n的值为15. 9.BC 【详解】f(x)=xe+sin3x+cos3x,则f'(x)=(x+1)ex+3cos3x-3sin3x, f(x)=(x+2)e*+32(-sin3x-cos3x), f(3)(x)=(x+3)ex+33(-cos3x+si3x), f(4)(x)=(x+4)ex+34(sin3x +cos3x), f5)(x)=(x+5)e*+35(cos3x-sin3x) 依此类推： f2024(x)=(x+2024)ex+32024(sin3x+cos3x) f2025)(x)=(x+2025)e*+32025(cos3x-sin3x), 所以f(2029(0)=2024+32024,f(2025)(0)=2025+32025 f'(1)=(1+2)e+32(-sin3-cos3)=3e-9sin3-9cos3, f3)(1)=(1+3)e+33(-cos3+sin3)=4e-27cos3+27sin3, 10.CD 【详解】对函数求导f(x)=3x2+3a, 当a≥0时，f(x)≥0，所以f(x)在R上单调递增，由于f(0)=a3+3>0,所以f(x)在区间(-∞，0)必有 一个零点，符合题意： 当a<0时，令f(x)=0,即3x2+3a=0→x=士√-a, 答案第4页（共11页） 当x∈(-∞，-√一QU(V-a,+o),f(x)>0,则f(x)在(-∞，-V一@、(V一a,+∞)上递增， 当x∈(-=a,√-a,f(x)<0,则f(x)在(-V-a,V-回上递减， 故要使f(x)恰有一个负零点，只需满足极小值f(一@>0， 即2a√-a+a3+3>0, 令t=-a√-a∈(0，+o),故t2+2t-3<0,解得0<t<1,所以-1<a<0. 综上a>-1. 11.ABD 【分析】利用导数的意义求得极大值和极小值，进而计算求得a可判断A;计算可得AC=EB,AC与AB不 共线，可判断B:由题意得f)=3x2-1=-子计算可判断C:设P(G,3-),计算得ke+kpD+kp= 3t2-1,结合导数的意义可判断D 【详解】对于A,由f(x)=x3-x+a(a∈R),得f(x)=3x2-1, 令f=0,得3x2-1=0,解得x=±号 当x<-时，f'>0,所以函数f)在(-∞，-)》上单调递增， 当号<x<时，f<0,所以函数f在（马，9）上单调递减， 当x>时，f>0,所以函数)在（气，+∞）上单调递增。 所以x=-是函数f)的极大值点，x=是函数f)的极小值点， 所以极大值f(-x)=f(写=（9)-(-写+a=兽+a, 极小值f(图=（图-（图）+a=-29+a, 所以-29+a=-29-a,解得a=0,放A正确： 对于B,由A知f(x)=x3-x,令f(x)=0,解得x=-1或x=0或x=1, 从而可得曲线y=f(x)和x轴的三个交点为C(-1,0),D(0,0),E(1,0), 又A(,)B(原，-2) 所以4c=(1+9,-29)丽=(1+9-2)，正-(9，-) 所以AC=EB,AC与AB不共线，所以四边形ACBE为平行四边形，故B正确： 对于C,自A(得9)，（停.9可得k阳商 2W52w3 g 9 令f)=3x2-1-子，解得x=± 所以在曲线y=f(x)上存在两个不同的点的切线与直线AB平行，故C错误； 答案第5页（共11页） 对于D,设P(t,t-t), 则kc-器=2-tk如告=2-1，ke-告=2+ t+1 t-1 所以kpc+kpD+kpB=t2-t+t2-1+t2+t=3t2-1, 又曲线y=f(x)在P处的切线斜率为f(t)=3t2-1, 所以PC,PD,PE的斜率之和与曲线y=f(x)在P处的切线斜率相等，故D正确. 12.25 【分析】根据产品单价的平方与产品件数x成反比，可得单价关于x的关系式，再由利润=售价一成本，列 出关系式即得函数，求导，根据导数的符号即可分析函数的单调性，进而即可求解 【详解】设单价为a,由题意知a2=(k为比例系数)， 且502=0，则k=502×100=25×104, 所以a2=25x10,即a=500 所以总利润为y=aX-C)=20·x-(（1200+元x)）=500y-元2-120， 则y=250x-品2，令y=0,得x=25, 当x∈(0,25)时，y'>0,函数单调递增；当x∈(25，+∞)时，y'<0,函数单调递减， 所以当x=25时，y取极大值，且为最大值， 所以产量定为25万件时总利润最大， 13.2m2+2n 【分析】先利用奇函数的性质与f(x)的单调性求出g(x)=x,代入条件得到f(x)的递推式；构造辅助函数 推出f(x+4-f(x)=4,判定f(4k)}为等差数列，最后用等差数列求和公式算出结果， 【详解】f(x),g(x)都是R上奇函数，故f(O)=0,g(O)=0, 因为f(g(x)-x)=a,令x=0,得f(g(0)-0)=f(0)=0=a, 所以f(g(x)-x)=0=f(0), 因为f(x)为单调函数，因此g(x)-x=0,得g(x)=x, 因为g(f(x+2)+g(f(x)=2x+2,所以f(x+2)+f(x)=2x+2, 构造h(x)=f(x)-x,则f(x)=h(x)+x,得h(x+2)+(x+2)+h(x)+x=2x+2, 所以h(x+2)+h(x)=0,得h(x+2)=-h(x),则h(x+4=-h(x+2)=h(x), 故h(x)是周期为4的函数，即f(x+4)-(x+4)=f(x)-x,得f(x+4)-f(x)=4, 因为f(x+2)+f(x)=2x+2,令x=0,得f(2)+f(0)=2,得f(2)=2, 令x=2,得f(4+f(2)=6,得f(4=4, 由f(x+9-f(x)=4,取x=4k,得f(4(k+1)-f(4k)=4, 答案第6页（共11页） 数列{f(4)是首项f(4=4,公差d=4的等差数列， 所以f(4k)=4+(k-1)·4=4k, 所以1f(4k)=g-14k==2m2+2n 14.2026 【分析】利用构造等差数列思想，解决任意性问题，从而可求得通项并求和 【详解】将集合A的元素从小到大排列为：A={b1,b2,b3,,b2o26}, 因为对任意的1≤i<j≤2026，a:-alEA,由最大元素为2， 假设最小元素b1不为0即b1<0, 则对任意的1≤i<j≤2026，a-a∈A,则|2-b1l>2, 此时不可能属于A,所以最小元素为0，即b1=0,b2o26=2, 设A中最小正元素为d,由题意，任意两个元素差的绝对值仍属于A, 因此A中所有元素都是d的倍数，且所有元素可表为：A={0,d,2d,,nd,其中最大元素nd=2,d= B2026-D1=20251 2 2026-1 此时对任意两个元素的差的绝对值b:-b=h品5-1)-品0-1)=品-小， 因为1≤i<j≤2026，所以必存在kE[2,2026],满足i-引=k-1,即b:-b1=02s-)=b∈A, 符合题意 此时所有元素的和为：S=+202x2026=0+2x2026=2026. 2 2 15.40a.={6m-3+2,n22' 7,n=1 证明：令cn=a+1-2+1(n∈N+),所以n+1≥2， 由{a}的通项公式可得：cm=a+1-2n+1=6(n+1)-3+2m+1-2+1=6n+3, 由通项公式可知：cn+1-cn=6(n+1)+3-6n-3=6,所以{an+1-2+1}为等差数列. 2墙 【分析】(1)通过作差法即可求{a,}的通项公式，再由{a+1-2+1)通项公式结构可证等差数列：(2)由 裂项相消法求和即可 【详解】(1)令n=1可得：S1=a1=3+22=7,即a1=7. 当n≥2时，由S,n=3n2+2+1,可得Sm-1=3(n-1)+2, 两式相减可得am=6n-3+2”, a4=7不满足a,=6n-3+2,所以a,3的通项公式为a,={6m-342元≥2 7,n=1 答案第7页（共11页） (2)由(1)知，当n≥2时， 1 1 bm=2m+1)(aa-2 5=2m+1)06n-) 3o+ian=(点-) 所以b,+g+…+b1o=日-+甘+…+)=-)=品 16.(a侣周 (2刘-晋+km≤x≤晋+k匹kez吲 【分析】(1)化简函数f(x),由二倍角公式以及辅助角公式化简，结合正弦函数单调区间求解指定范围内 的递减区间： (2)由三角函数对称轴处取最值的性质求参数α，再解三角不等式得到解集。 【详解】(1)当a=V3时，f(x)=sin2x+2V3cos2x-V3,即f(x)=sin2x+V3(2cos2x-1)=sin2x+ V3cos2x, 由辅助角公式可得f)=2sin(2x+).+2km≤2x+号≤；+2 kn(kEZ)), 得品+km≤x≤晋+km(ke2刀，又xe(0,m,则k=0,是≤x≤侣 故f()在(0，m上的单调递减区间为[侣，哥 (2)因为f(x)=sin2x+2acos2x-a,所以f(x)=sin2x+a(2cos2x-1)=sin2x+acos2x, 由辅助角公式可得f(x)=V1+a2sin(2x+p),其中tanp=a, 因为函数f()的图象关于直线x=对称，所以函数在x=处取得最值， 故f(得)l=lsim+acos=11+a=V1+a,两侧同时平方后可得(+a2=1+a2,解得a=1, 因此f()=V2sim(2x+),由f()≥0， 即V2sim(2x+9≥0可得2km≤2x+≤π+2km(keZ), 解得-后+km≤x≤晋+km(k∈2)， 故不等式f()≥0的解集为{x-后+km≤x≤晋+km,kZ 17.(1)[0,9] (2)1012 4,9 【分析】(1)求出F(x)的表达式，根据二次函数的性质即可求解： (2)求出H(x)的表达式，再计算H(x)+H(1-x)的值，分析出规律后即可求解： (3)求出G(x)的表达式，再令t=log3x,将G(x)转化为常见的二次函数形式，最后结合分离变量及对勾 答案第8页（共11页） 函数的单调性即可求解. 【详解】(1)f(g()=f(3)=2+log3(39=2+x,9(f(-x)=g(2+1og3(-x)=32+1g3(-=9 (-x)=-9x,x<0, 所以F(x)=(2+x)(-9x)=-9x2-18x=-9(x+1)2+9,x<0, F(x)为二次函数，对称轴为x=-1,开口向下，当x∈[-2，-1]时，函数F(x)单调递增， 当x∈[-1，-引时，函数F()单调递减， 当x=-1时，函数F(x)取得最大值，F(-1)=9, 当x=-2时，F(-2)=0,当x=-时，F()=5, 所以函数F(x)的值域为[0,9]. 31-x =3+3=5+3,所以H()+H(1-x)=1, 3 (2)H(=35H(1-)=3+ 3+3 设s=H()+H()+…+H(G8)则S=H(（G0)+H(8)+…+H() 两式相加得2S=日(2)+H(0+[H(品)+H(02)+…+[H(02)+H(0】 解得2S=2024×1=2024,则S=1012. (3)G(x)=(Qog3x)2+(4-k)(1+log3x), 令t=log3x,当x∈[1,9]时，t∈[0,2]， 则函数G(x)在区间[1,9]上有零点，等价于t2+(4-k)t+4-k=0在t∈[0,2]上有解， 整理得k(1+)=t2+4t+4=(t+2)2,所以k=+2 t+1 设m=t+1,则m∈[1,3]，则k=m+1+2, 设qm)=m+六+2，me[1,3], 因为函数qm)=m+是+2在区间[1,3]上单调递增，且q(1)=4,q3)=华 当1≤m≤3时，q0m)e[4 所以4≤k≤兰故实数k的取值范围是4， 18.(1)1 ()②证明：由coshx=-“二，求导得(cosh)'=”=snhr, 2 由smlx=,求导得6imh)'=”=-coshx,. 令函数h(x)=xcoshx-sinhx,x≥0，求导得h'(x)=coshx+xsinhx-coshx=xsinhx, 由函数y=ey=一ex都是增函数，得函数sinx=产在[0，+m)上单调递增， 答案第9页（共11页） 则sinhx≥°e°=0，h)≥0，函数h在[0，+四)上单调递增， 所以h(x)≥h(O)=0,所以xcoshx≥sinhx. 30,=22) 【分析】(1)运用平方差公式，结合指数运算性质计算即得. (2)构造函数h(x)=xcoshx-sinhx,,x≥0，再利用导数推理证明 (3)根据函数单调性的性质，结合一元二次方程根与系数的关系、根的判别式进行求解即可. 【详解】(1)由coshx=+e,sinhx=e (coshx)2-(sinhx)2 =(coshx sinhx)(coshx-sinhx) =(4+的)=ee=1 (2)略 (3)函数f闭--g1-品在[m0m<0止的值域是[2ae2m,2e2列c风)， coshx e2x+1 函数t=e2x+1在R上单调递增，函数y=-在(0，+∞)上单调递增，则函数f()在R上单调递增， f(m)=-1 e2m+1 =2λe2m 因此 f(n)=2eim 整理得2a(e2m2+(21-1)e2m+1=0 2(e2m)2+(21-1)e2n+1=0 e2+1 则e2m,e2n是关于v的方程22+(21-1)v+1=0的两个不等正根， 4=(2λ-1)2-81>0 于是 2-1>0 21 ,解得0<1<3-22 2 70 所以实数1的取值范围是(0，) 19.(1)2x+y-2=0 (2)由函数f()-ln(民-1+a(cx-1)3+b, 可得f(2-x刈=ln(2-1)+a(2-x-1)3+b=m(2)+a(1-)3+b, 所以f)+f2-x)=ln(民-1)+n(2)+b+a(x-1)3+a(1-x)3+b =n(）+h(2)+ax-1)3+a1-3+2b =ln(2·)+ax-1)3-ax-1)3+2b=ln1+0+2b=2b, 即f(x)+f(2-x)=2b,即f(x)=2b-f(2-x), 所以函数f(x)的图象关于点(1，b)中心对称 (-割 答案第10页（共11页） 【分析】(1)先求切点坐标，再利用导数求切线的斜率，利用点斜式可得切线方程. (2)证明f(x)=2b-f(2-x),即可得函数f(x)的对称中心 (3)根据函数的单调性，利用导数小于或等于0，问题转化为3a(x-1)·x(2-x)≤2在(0,2)上恒成立. 当x-1时，上式恒成立，当x≠1时，分离参数可得a≤0-可利用换元法，求2可的最小 2 值即可 【详解】(1)当a=b=0时，f)=ln(民-1，可得f(1)=1n(径-1)=ln1=0, 又f侧=(-1)=可得f)-=-2, 2 所以函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程y-0=-2(x-1),即2x+y-2=0. （2)略 (3)由f=ln(-1)+a(x-1)3+b,其定义域为0<x<2, 且f=-2+3a(x-102, 因为函数f(x)是减函数，所以f(x)≤0在(0,2)内恒成立， 即-2+3ax-1)2≤0在0,2内恒成立. 因为x(2-x)>0,不等式可化为-2+3a(x-1)2·x(2-x)≤0， 即3a(x-1)2·x(2-x)≤2， 当x=1时，0≤2恒成立，此时a∈R; 当x+1时，a≤3x-12x2-可 2 令t=x-1,则x=t+1,因为0<x<2且x≠1，即-1<t<1且t≠0， 则3a-2a-F3rt+a-可-30i-西 2 2 令g(t)=t2(1-t2)=-t+t2, 令m=t,则0<m<1,g(m)=-m2+m=-(m-)2+是 当m=时，gm)取得最大值子，此时t=±罗 所以g⊙的最大值为则亡的最小佰为安-号 8 因为a≤-2-可恒成立，所以a≤号即实数a的取位范围为(，引 答案第11页（共11页)