北京师范大学附属中学2026-2027学年第一学期高三数学统练二

北京师范大学附属中学2026—2027学年第一学期高三数学统练二 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则等于 A． B． C． D． 2．若复数满足，则 A． B． C． D． 3．已知，，且，则下列不等关系中正确的是 A． B． C． D． 4．下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是 A． B． C． D． 5．已知函数，则 A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上单调递减 6．在的展开式中，含的项的系数是7，则 A．1 B．2 C．3 D．4 7．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是194小时，在的保鲜时间是50小时，则该食品在的保鲜时间是 A．20小时 B．22小时 C．24小时 D．26小时 8．“”是“函数在上单调递减”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知集合，若存在，，使得，则集合的个数为 A．70 B．65 C．60 D．50 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知函数，则____________． 12．向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数_________． 13．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的一点，则的最小值是_________． 14．已知函数．若，则_________；若对任意的正数，方程都恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围是_________． 15．首项为正数的数列满足，给出下列四个结论： ①存在和，使得是等比数列； ②若且是奇数，则为奇数； ③若且，则存在使得； ④若且，则是递减数列． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分） 设函数． （1）若，求的值． （2）已知在区间上单调递增，，，求，的值． 17．（本小题13分） 某城市的甲、乙两个区，甲区有500个居民小区，乙区有300个居民小区．为了解甲、乙两个区在绿化与垃圾分类两方面的达标情况，进行了调查统计，结果如下：（单位：个） 绿化达标 垃圾分类达标 绿化达标且垃圾分类达标 甲区 300 250 200 乙区 180 150 120 （Ⅰ）从甲乙两区的所有居民小区中随机抽取一个居民小区，求抽到的是“甲区且绿化达标”的概率； （Ⅱ）从甲区和乙区中各随机抽取一个居民小区，设表示这两个居民小区中“垃圾分类达标”的个数，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）城市管理部门计划按照分层抽样从甲、乙两区抽取40个居民小区进行评比，在抽取的40个居民小区中，设为“绿化达标”居民小区的数量，为“绿化达标且垃圾分类达标”居民小区的数量，试判断方差，的大小．（结论不要求证明） 18．（本小题14分） 在中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①：的周长为；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题15分） 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）直接写出的极值点个数． 20．（本小题15分） 设函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）若存在两个极值点，，证明：． 21．（本小题15分） 项数为的数列满足如下两个性质，则称为一个满足“绝对值关联”的阶数列： ①（其中）； ②． （Ⅰ）判断数列，，，，是否为一个满足“绝对值关联”的5阶数列？是否为一个满足“绝对值1关联”的5阶数列？说明理由； （Ⅱ）若数列为一个满足“绝对值关联”的6阶数列，证明：的最小值为； （Ⅲ）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，求的最小值． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 学科网（北京）股份有限公司 $