精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试卷

2026-2027牛山一中高三数学月考2026.9.3 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 如果集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知集合，，所以， 所以. 2. 已知命题：对任意，有，则（ ） A. ：存在，使 B. ：对任意，有 C. ：存在，使 D. ：对任意，有 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定求解即可 【详解】命题：对任意，有， 则：存在，使 故选：A 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数及对数函数的单调性求解判断即可. 【详解】，，则， 因为在上单调递增，所以. 因为在上单调递增，所以，即. 综上，，即. 4. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数奇偶性以及单调性定义对选项逐个判断即可. 【详解】对于A，的定义域为， ，故为奇函数，故A错误； 对于B，的定义域为，不关于原点对称， 故是非奇非偶函数，故B错误； 对于C，的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，在区间上单调递减，故C正确； 对于D，的图象如下图， 故D错. 故选：C. 5. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则.在的二项式展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求出的系数. 【详解】根据二项式展开式的通项公式可得：， 化简可得：， 令，求解可得：，所以的系数为： . 6. 已知无穷等比数列的公比为，则“”是“单调递减”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件的定义，结合等比数列的性质判断推出关系，即可得. 【详解】由，则或， 若，有单调递减， 若，有单调递减， 若，则不具有单调性， 即充分性不成立； 由单调递减，则或， 此时成立，即必要性成立， 综上，“”是“单调递减”的必要不充分条件. 故选：B 7. 中华人民共和国道路交通安全法判定酒驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于，但小于；判定醉驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于.某驾驶员饮酒后血液中酒精含量为，若停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时的速度减少，则该驾驶员至少需经过（ ）小时才能合法驾驶（酒精含量需小于）.参考数据：. A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【详解】设至少需要小时，则有 . 所以至少需要经过小时才能合法驾驶. 8. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得，再由，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 整理得，即， 则. 9. 已知函数给出下列四个结论：①当时，在上单调递增；②当时，存在最小值；③的零点个数为，则函数的值域为；④当时，对任意，，.其中正确结论的个数（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，写出此时函数解析式，根据函数的单调性举出反例；对于②，举出反例；对于③，对进行分类讨论，结合图象得到函数的值域为，即可求解；对于④，用特殊值判断即可. 【详解】对于①，当时，，显然， 故在上不会单调递增，所以①错误； 对于②，不妨设，此时， 当时，， 当时，， 故，此时函数不存在最小值，所以②错误； 对于③，， 因为在区间上单调递增， 当时，设，显然单调递增， 又，故存在，使得， 当时，无解，即在上没有实数根， 此时有两个不等实数根，和，故此时， 当时，在上有1个实数根， 此时有两个不等实数根，和，故此时， 当时，，由①知，此时方程有1个实数根，即， 当时，在上没有实数根，在上也没有实数根， 此时，则函数的值域为，③错误； 对于④，当时，， 则，，， 则，所以④错误. 10. 斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用．已知斐波那契数列满足，，则下列结论中错误的是（ ） A. 存在，使得，，成等差数列 B. 存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列 C. 存在，使得，，成等比数列 D. 存在正整数，，…，，且，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用斐波那契数列的递推公式，结合等差数列和等比数列的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由数列满足，， 可得，， 则满足，即构成等差数列，所以A正确； 对于B，由， 可得，即，即， 所以构成等差数列， 所以存在使得对于任意的，都有，，成等差数列，所以B正确； 对于C，若，，成等比数列，可得， 因为，可得， 所以，解得， 由题意可知、，故， 另一方面，若，则，这与矛盾， 所以不存在，使得，，成等比数列，所以C错误； 对于D，由数列满足，， 可得数列的前项分别为， 其中， 所以存在正整数，，…，，且，使得，所以D正确. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是________. 【答案】 【解析】 【详解】由分母不为零得，由偶次方根下不为负得， 同时满足取交集得. 12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________． 【答案】或 【解析】 【详解】试题分析：当x>0时，不等式f（x）>x转化为，由函数是奇函数，图像关于原点对称，因此当时不等式f（x）>x的解集为，综上不等式的解为（－5，0）∪（5，＋∞） 考点：函数奇偶性解不等式 13. 设函数，则________；若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【详解】，. 草图如下： 时，时， 故有两个不相等的实数根可转化为函数的图像与直线的图像有两个交点，所以. 14. 设矩形（其中）的周长为24，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点.设，求的最大面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合勾股定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意知，则. 设，则. 因为，所以，解得. 易知，则. 设，则. 在中，，整理得，即. . 因为，当且仅当，即（满足）时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 故的最大面积为. 15. 已知是定义在上的可导函数．若函数满足对恒成立，给出下面四个结论： ①；②对成立； ③可能是奇函数；④一定没有极值点． 其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①② 【解析】 【详解】对于①，因为对恒成立，所以函数为递增函数， 可得，即，所以，因此①正确； 对于②，当时，，即，因此； 当时，，即，因此； 当时，易知，又因为，所以，即； 综上可知对成立，即②正确； 对于③，若是奇函数，则为偶函数， 又因为偶函数不可能始终为递增函数，因此③错误； 对于④，不妨取，此时满足题意， 但函数有一个极小值点，即④错误. 三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 已知等差数列的前n项和满足，. （1）求的通项公式； （2），求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式求出，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 所以 . 17. 已知函数，. （1）当时，求函数在上的最小值； （2）若函数在区间上的最大值为6，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法1，先利用单调函数定义证明在上单调递增，再由单调性可得最值； 法2，利用导数研究函数单调性，据此可得最值； （2）法1，利用单调函数性质可得单调性，据此可得函数在区间上的最大值为，据此可得答案； 法2，讨论函数在上的单调性和最值，结合题设可得答案. 【小问1详解】 法1，当时，，，任取， 则， ，，， ，，即. 在上单调递增，的最小值为. 法2，，， 进而在上单调递增，的最小值为. 【小问2详解】 法1：当时，，均在单调递增，所以在单调递增， 当时，在单调递增， 当时，，，，单调递减； ，，单调递增. 综上，函数在区间上的最大值为 当时，，，不符合题意. 当时，，，符合题意 所以. 法2，，，. 若时，在恒成立，在上递增. 则，得符合，； 若时，在恒成立，在上递减. 则，得，不符合； 若时，令，得， 列表如下： - 0 + 最小值 则. 有以下两种情况： ，无解；，无解； 综上，的值为. 18. 已知函数. （1）若函数为偶函数，求的值； （2）若函数在区间内只有一个零点，求实数的取值范围； （3）当时，设函数满足①，；②，，求在区间上的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数定义列出等式，比较系数即可求出； （2）分和两种情况讨论，结合判别式和零点存在定理，分别检验零点是否在区间内； （3）先求出在上的表达式，再利用递推关系将上的函数转化为上的表达式，最后根据二次函数的单调性求值域． 【小问1详解】 依题有，， ， 解得. 【小问2详解】 ①若时，，，零点； ②若时， （ⅰ）当，即， 此时，零点； （ⅱ）当，即时，函数在区间内只有一个零点，有以下可能： （a）即，； （b）即时，此时，另一个零点； （c）即时，此时，另一个零点 综上，实数的取值范围. 【小问3详解】 当，； 由已知， 因为，所以，， 即， ，则， 所以 对称轴 函数在单调递增，； 在区间上的值域为. 19. 已知函数（），（）. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，过上一点作的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由； （3）实数使得对恒成立，求的取值范围.（只需直接写出结论） 【答案】（1） （2）可作出2条切线. 理由如下：当时，. 设过点的直线与相切于点， 则即，整理得， 令，则在上的零点个数与切点的个数一一对应. ，令解得. 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递减 极小值 单调递增 所以在上单调递减，在上单调递增. 且，，， 所以在和上各有一个零点，即有两个不同的正数解. 所以过点可作出的2条切线. （3） 【解析】 【分析】（1）恒成立问题，构造差函数，利用导数求最小值，令最小值大于 0 求解参数范围； （2）过定点作曲线切线，设切点建立方程，转化为研究对应函数零点个数，零点个数等于切线条数； （3）构造差函数并利用的特点，通过导数分析单调性，由函数在区间内单调递增的条件求得参数范围. 【小问1详解】 令（）， 所以， 令，解得.当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递减 极小值 单调递增 所以在的最小值为， 令，解得. 所以当时，恒成立，即恒成立， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由题意，，原不等式为， 令 ，，需满足 在 上恒成立， 易知 ，， 因为 时，，故的符号由分子 决定， 当 时，由 ，得 ， 因此 ，即 ， 所以 在 上单调递增，故 ，满足不等式恒成立； 当 时，函数在上单调递增， 时，，且在 上连续， 因此存在 ，使得当 时，即， 单调递减， 此时 ，与 恒成立矛盾， 综上，实数 的取值范围是. 20. 已知椭圆：（）的一个顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）.垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值.若不存在，请说明理由. 【答案】（1）; （2）存在，. 当过点的直线斜率不存在时，直线为,此时与椭圆没有交点， 所以直线的斜率存在，且，在轴的同侧， 设直线的方程为，，，不妨设， 则，， 由得， 所以，，， 因为，，， 所以 ， ， 要使，，总成等比数列，则,所以 则应有，解得， 所以存在，使得，，总成等比数列. 【解析】 【分析】（1）由椭圆短轴顶点得到，结合离心率与的关系式求出，得到椭圆的标准方程；（2）先设过定点P的直线，联立椭圆得到韦达定理，把三个三角形面积用, 表示，利用等比中项写出关系式;将面积等式全部转化为的形式，由等式对任意斜率k恒成立，比较系数求出常数t. 【小问1详解】 根据已知可得，，， 所以，，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 21. 已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个. （1）写出所有4的1增数列； （2）当时，若存在m的6增数列，求m的最小值； （3）若存在100的k增数列，求k的最大值. 【答案】（1）1，2，1和1，3 （2）7 （3）1250 【解析】 【分析】（1）由于或，从而得到所有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3； （2）分析得到且，当时，不合要求，当时，满足要求，得到答案； （3）分析得到数列的各项只能为1或2，所以数列为1，1，…，1，2，2，…，2的形式，设其中有x项为1，有y项为2，得到，，配方后求出最值. 【小问1详解】 由题意得， 且对于，使得的正整数对有1个， 由于或， 故所有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3. 【小问2详解】 当时，存在m的6增数列， 即，且对于，使得的正整数对有6个， 所以数列的各项中必有不同的项，所以且. 若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2， 所以，不符合题意，所以. 若，满足要求的数列中有三项为1，两项为2， 此时数列为，满足要求的正整数对分别为， 符合m的6增数列， 所以当时，若存在m的6增数列，m的最小值为7. 【小问3详解】 若数列中的每一项都相等，则， 若，所以数列中存在大于1的项， 若首项，将拆分成个1后k变大， 所以此时k不是最大值，所以. 当时，若，交换，的顺序后k变为， 所以此时k不是最大值，所以. 若，所以， 所以将改为，并在数列首位前添加一项1，所以k的值变大， 所以此时k不是最大值，所以. 若数列中存在相邻的两项，，设此时中有x项为2， 将改为2，并在数列首位前添加个1后，k的值至少变为， 所以此时k不是最大值， 所以数列的各项只能为1或2，所以数列为1，1，…，1，2，2，…，2的形式. 设其中有x项为1，有y项为2， 因为存在100的k增数列，所以， 所以， 所以，当且仅当，时，k取最大值为1250. 【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027牛山一中高三数学月考2026.9.3 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 如果集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：对任意，有，则（ ） A. ：存在，使 B. ：对任意，有 C. ：存在，使 D. ：对任意，有 3. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则.在的二项式展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知无穷等比数列的公比为，则“”是“单调递减”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 中华人民共和国道路交通安全法判定酒驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于，但小于；判定醉驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于.某驾驶员饮酒后血液中酒精含量为，若停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时的速度减少，则该驾驶员至少需经过（ ）小时才能合法驾驶（酒精含量需小于）.参考数据：. A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 9. 已知函数给出下列四个结论：①当时，在上单调递增；②当时，存在最小值；③的零点个数为，则函数的值域为；④当时，对任意，，.其中正确结论的个数（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 10. 斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用．已知斐波那契数列满足，，则下列结论中错误的是（ ） A. 存在，使得，，成等差数列 B. 存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列 C. 存在，使得，，成等比数列 D. 存在正整数，，…，，且，使得 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是________. 12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________． 13. 设函数，则________；若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为________. 14. 设矩形（其中）的周长为24，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点.设，求的最大面积为________. 15. 已知是定义在上的可导函数．若函数满足对恒成立，给出下面四个结论： ①；②对成立； ③可能是奇函数；④一定没有极值点． 其中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 已知等差数列的前n项和满足，. （1）求的通项公式； （2），求数列的前n项和. 17. 已知函数，. （1）当时，求函数在上的最小值； （2）若函数在区间上的最大值为6，求的值. 18. 已知函数. （1）若函数为偶函数，求的值； （2）若函数在区间内只有一个零点，求实数的取值范围； （3）当时，设函数满足①，；②，，求在区间上的值域. 19. 已知函数（），（）. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，过上一点作的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由； （3）实数使得对恒成立，求的取值范围.（只需直接写出结论） 20. 已知椭圆：（）的一个顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）.垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值.若不存在，请说明理由. 21. 已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个. （1）写出所有4的1增数列； （2）当时，若存在m的6增数列，求m的最小值； （3）若存在100的k增数列，求k的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $