精品解析：北京师范大学附属实验中学2027届高三上学期数学练习（四）

北京师范大学附属实验中学2027届高三数学练习（四） 2026.9.23 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解不等式，求得整数的取值，由此可求得. 【详解】解不等式，得，，所以，整数的可能取值有、、， 因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导分析单调性，根据即可解不等式． 【详解】的定义域为，由 所以在上递减，又， 所以不等式的解集是． 故选：D 3. 函数在区间上的零点之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接解方程求得零点即可得． 【详解】，，， 令，得：或，即或，所以零点之和是． 故选：C． 4. “”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件． 考点：本题考查充分必要充要条件；三角函数求值． 点评：熟练掌握充分必要充要条件的判断．此题为基础题型． 5. 已知函数在区间上单调递增，那么实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导函数得到不等式恒成立，然后求解的范围 【详解】函数在区间上单调递增等价于在区间上恒成立， 利用参变分离，则. 故选：B 6. 已知函数，若对任意都有（为常数），则常数的一个取值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对三角函数进行恒等变形，要使恒成立，必有，再解三角函数方程求解即可. 【详解】由题意，， 即，化简得， 因为对任意都有恒成立， 即对任意都有恒成立， 所以，所以，解得， 当时，可得. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，即可求出，再由余弦定理计算可得； 【详解】解：因为，由正弦定理可得，又，所以，， 因为 所以，即，解得， 故选：B 8. 已知函数，如果关于x的方程有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在同一坐标系内作出函数f(x)的图象（如图）， 关于的方程有两个不同的实根，等价于直线与图象有两个不同的交点，所以的取值范围是，故选B． 考点：零点与方程． 9. 设函数，曲线在点处的切线方程为．则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，进而待定系数求解即可. 【详解】设函数 ，求导得 因为曲线在 处切线为 ， 所以 即，整理得，解得， 所以 10. 已知函数，若同时满足条件：①，为的一个极大值点；②，.则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 条件①说明在上存在零点，极大值点，利用方程的根可得的范围，然后求出条件②不等式恒成立的范围，求交集可得的范围． 【详解】定义域是， ，在存在极大值点，则有两个不等实根，，或， 设的两个实根为， 或时，，时，， 当，，则，但时，，不可能是极大值点； 当时，由知，，或时，，时，．即在和上递增，在上递减，是极大值点，满足题意． 所以． ，则，∵，∴，∴． 综上． 故选：A． 【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，及不等式恒成立问题，求解不等式恒成立问题的方法是问题的转化，转化为求函数的最值． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知函数f(x)＝log3x．若正数a，b满足，则f(a)﹣f(b)＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】 直接代入函数式计算． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查对数的运算，掌握对数运算法则是解题基础．本题属于基础题． 12. 设函数，，则的最大值为______，最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求导研究函数单调性，再根据极值点的函数值与端点函数值的大小求解即可. 【详解】求导得,令 ，即 ，解得 所以，当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增. 因为， 所以，当时，的最大值为 ；最小值为 . 13. 用“五点法”作函数的图象时，列表如下： 则_________，_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 根据表格中的数据求出、、的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得出和的值. 【详解】由表格中的数据可知，， 函数的最小正周期为，，，当时，则，解得， 则，， . 故答案为：；. 【点睛】本题考查三角函数值的计算，解题的关键就是利用表格中的数据求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题. 14. 已知函数的图象在和处的切线互相平行，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数进行求导，再根据导数的几何意义列方程，求解即可. 【详解】由题意，设函数，则， 把代入导函数，得， 把代入导函数，得， 又因为函数在和处的切线互相平行，所以， 即，解得. 15. 某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，且该食品在4℃的保鲜时间是16小时． 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论： ①该食品在6℃的保鲜时间是8小时； ②当时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，且该食品在4℃的保鲜时间是16小时，求出值，进而判断①；根据时，保鲜时间恒为64小时，当时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少，判断②；根据已知条件即可判断到了次日13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，判断③④； 【详解】食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，且该食品在4℃的保鲜时间是16小时． ∴，即，解得：，∴， ①当时，，故该食品在6℃的保鲜时间是8小时，①正确； ②当时，保鲜时间恒为64小时，当时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少，②错误； ③到了此日11时，温度超过10℃，此时保鲜时间不超过2小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，③错误； ④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，④正确， 故正确的结论的序号为：①④， 故答案为：①④． 三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件． （1）确定的解析式； （2）若图象的对称轴只有一条落在区间上，求a的取值范围． 条件①：的最小值为； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③；的图象经过点． 【答案】 （1）任意选条件①②或①③或②③：； （2）． 【解析】 【分析】求出函数的最小正周期，可求得的值. （1）选择①②，求出的值，由条件②可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式； 选择①③，求出的值，由已知条件可得出，求出的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式； 选择②③，由条件②可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式； （2）由可求得的取值范围，结合题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为， 所以的最小正周期，．此时． 选条件①②；因为，所以． 因为图象的一个对称中心为，所以， 因为，所以，此时，所以； 选条件①③：因为，所以． 因为函数的图象过点，则，即，， 因为，即，，所以，，解得. 所以； 选条件②③：因为函数的一个对称中心为， 所以，所以． 因为，所以，此时，所以． 因为函数的图象过点，所以， 即，，即，所以． 所以； （2）因为，所以， 因为图象的对称轴只有一条落在区间上，所以，得， 所以的取值范围为． 【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路： （1）将函数解析式变形为或的形式； （2）将看成一个整体； （3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：函数存在极小值； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）证明如下： 由，得． 令，则． 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． 当时，，． 又在单调递增， 故存在，使得，在区间上，在区间上． 所以，在区间上，在区间上， 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故函数存在极小值． （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，求出求，得到，然后利用点斜式写出切线方程； （2）求导得，令函数，则求导可得，则函数在递减，在上单调递增，再根据，，则可证明出函数在上有一个零点，可证明出函数在递减，在上递增，在处取得极小值； （3）当时，由（2）可知，即函数恒成立，恒成立，所以函数在上递增，故只需即可，解得；当时，由（2）可知存在，使得，函数在上递减，，不符合条件，综上可得. 【小问1详解】 当时，， 所以． 所以． 曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于． ①当时，，由（2）得，所以． 所以在上单调递增， 所以的最小值为． 由，得，满足题意． ②当时，由（2）知，在上单调递减， 所以在上，不满足题意． 综上所述，实数a的取值范围是． 【点睛】本题的难点在于函数极值点的判断、考查导数与不等式恒成立问题的求解，解答时注意以下几点： （1）利用导数讨论函数极值点的问题时，要注意将问题转化为的根的问题，且必须使在根的两侧异号，当的根无法解出时，可采用零点的存在性定理判断出根的范围； （2）求解根据不等式恒成立求参问题时，一般采用参变分离法或者利用分类讨论思想，将问题转化为函数最值问题的求解. 四、附加题（本小题15分） 18. 已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程； （Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． 【答案】(Ⅰ) ，； (Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为， 设直线方程为，与抛物线方程联立可得：. 故：. 设，则， 直线的方程为，与联立可得：，同理可得， 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：， 且：，， 则圆的方程为：， 令整理可得：，解得：， 即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程； (Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：， 故抛物线方程为：，其准线方程为：. (Ⅱ)略 【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学附属实验中学2027届高三数学练习（四） 2026.9.23 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 函数在区间上的零点之和是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数在区间上单调递增，那么实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若对任意都有（为常数），则常数的一个取值为（    ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. C. 6 D. 5 8. 已知函数，如果关于x的方程有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 设函数，曲线在点处的切线方程为．则的值为（    ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若同时满足条件：①，为的一个极大值点；②，.则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知函数f(x)＝log3x．若正数a，b满足，则f(a)﹣f(b)＝_____． 12. 设函数，，则的最大值为______，最小值为______． 13. 用“五点法”作函数的图象时，列表如下： 则_________，_________. 14. 已知函数的图象在和处的切线互相平行，则实数______． 15. 某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，且该食品在4℃的保鲜时间是16小时． 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论： ①该食品在6℃的保鲜时间是8小时； ②当时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间． 其中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件． （1）确定的解析式； （2）若图象的对称轴只有一条落在区间上，求a的取值范围． 条件①：的最小值为； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③；的图象经过点． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：函数存在极小值； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围． 四、附加题（本小题15分） 18. 已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程； （Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $