第4章 二次函数 单元测试2026-2027学年湘教版九年级数学上册

**基本信息** 湘教版2024九年级上二次函数单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖定义、图像性质及应用，融合体育情境（如掷实心球）与综合探究，适配单元复习，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|12|二次函数定义（题1）、顶点坐标（题2）、图像与x轴交点（题3）|基础概念辨析，结合图像直观（题7、8）| |填空题|5|平移变换（题15）、增减性（题14）、方程解（题16）|小综合，如函数图像与不等式（题17）| |解答题|5|实际应用（题19掷实心球）、动态点与分类讨论（题20）、最值探究（题21）|情境化建模，综合考查逻辑推理与运算能力|

湘教版（2024）九年级上 第4章 二次函数 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B．x2-y+2=0 C．y=2x+1 D．y2=x2-1 2．抛物线y=2（x-2）2+1的顶点坐标是（　　） A．（2，1） B．（-2，1） C．（1，2） D．（1，-2） 3．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（-1，0），点B（3，0），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是（　　） A．x1=-1，x2=3 B．x1=1，x2=-3 C．x=1 D．x=-3 4．已知二次函数y=x2+mx+n（m,n是常数）的图象与x轴的交点横坐标为1和t,若2＜t＜4，则m的取值范围是（　　） A．-3＜m＜0 B．-5＜m＜-3 C．3＜m＜5 D．-5＜m＜3 5．下列函数：①y=x2；②y=x2+1；③y=（x+1）（x-1）；④y=；⑤y=；⑥y=（a为常数）；⑦y=3（x+1）2-1，其中是二次函数的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．抛物线y=ax2+c的顶点坐标是（0，2），且形状及开口方向与抛物线y=-x2相同，则a,c的值分别为（　　） A．-，2 B．-，-2 C．，2 D．，-2 7．在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+3的图象大致是（　　） A． B． C． D． 8．（2026•香坊区校级开学）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对称轴是直线x=-1，下列结论正确的是（　　） A．b2-4ac＜0 B．a+b+c＞0 C．abc＜0 D．b=2a 9．某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为（-6，0），开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 10．如图，二次函数y=ax2-4ax+3（a＜0）的图象所在坐标系的原点可能是（　　） A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4 11．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y=mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（-3，-1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx-mx≤0的解集是（　　） A．x≤-3或x≥0 B．x≤-1或x≥0 C．-3≤x≤0 D．-1≤x≤0 12．设函数，，直线x=1的图象与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，c1），B（1，c2），得（　　） A．若1＜a1＜a2，则c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，则c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，则c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，则c2＜c1 二．填空题（共5小题） 13．（2026•香坊区校级开学）二次函数y=-2（x-1）2+3的顶点坐标是______． 14．抛物线y=（x+2m）2-1，当x＜4时，y随x增大而减小，则m的取值范围是______． 15．将函数y=3x2的图象向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ______． 16．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=2，若该抛物线与x轴的一个交点为（5，0），则由图象可知，方程ax2+bx+c=0的解是______． 17．如图，直线y1=mx+n与抛物线相交于点A（3，0），B（-2，5）．下面四个结论： ①m＜0； ②当-2＜x＜3时，ax2+bx+c＜mx+n； ③方程ax2+bx+c=0的解为x1=-2，x2=3； ④当时，函数值y2随着x的增大而减少． 其中所有正确结论的序号是______． 三．解答题（共5小题） 18．（2026秋•同步）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）； （2）y=3（x-4）2； （3）． 19．实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小哲在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m,实心球运动至最高点时距地面3.4m,距出手点的水平距离为4m.设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），实心球距出手点的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． （1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式． （2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小哲第一次投掷实心球能否得满分． 20．抛物线的图象经过点A（-1，0），点B（0，3），点C（3，0）． （1）求抛物线的表达式． （2）点D（0，d）在y轴上，过点D作x轴的平行线，与抛物线相交于P，Q两点（P在Q左侧），若点D为线段PQ的三等分点，求d的值． （3）若点M（m,y1）和点N（m+1，y2）均为图象上的点，且0＜y2＜y1，请直接写出m的取值范围． 21．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-2，0），B（6，0），与y轴交于点C，直线y=kx+3过点B和点C．点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m,过点P作PQ⊥BC于点Q，连接PC． （1）求a,b,k的值； （2）求PQ的最大值； （3）当m≤x≤3时，y的取值范围是t1≤y≤t2，且，求m的值． 22．如图1，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A（-4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P是直线AC下方抛物线上的点． （1）求a+b的值； （2）连接AP，CP，BC，过点P作PF⊥x轴于点F，交AC于点E，若，求点P的坐标； （3）如图2，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，当∠MAO=∠OAC时，求点M的坐标． 湘教版（2024）九年级上 第4章 二次函数 单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、B 2、A 3、A 4、B 5、C 6、A 7、C 8、D 9、C 10、B 11、C 12、C  二．填空题（共5小题） 13、（1，3）； 14、m≤-2； 15、y=3x2-2； 16、x1=-1，x2=5； 17、①②④；  三．解答题（共5小题） 18、解：（1）∵抛物线， ∴开口向下，对称轴是直线x=5，顶点坐标为（5，0）； （2）∵抛物线y=3（x-4）2， ∴开口向上，对称轴是直线x=4，顶点坐标为（4，0）； （3）∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为． 19、解：（1）由题意，可知抛物线最高点的坐标为（4，3.4）， 设抛物线的表达式为y=a（x-4）2+3.4， 将（0，1.8）代入y=a（x-4）2+3.4，得16a+3.4=1.8， 解得a=-0.1， ∴第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为y=-0.1（x-4）2+3.4； （2）令-0.1（x-4）2+3.4=0， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为， ∵，即， ∴， ∴小军第一次投掷实心球不能得满分． 20、解：（1）抛物线的图象经过点A（-1，0），点B（0，3），点C（3，0）．设二次函数表达式为y=ax2+bx+c,将点A，点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴二次函数表达式为y=-x2+2x+3； （2）由（1）得y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴抛物线对称轴为直线x=1， ∵PQ∥x轴， ∴P，Q关于直线x=1对称， 设P（xP，d），Q（xQ，d），则xP+xQ=2， ∵点D为线段PQ的三等分点，且P在Q的左侧， ∴点D在P，Q之间，且xP＜0＜xQ， 若，则，即xQ=-2xP， 联立xP+xQ=2， 解得：xP=-2， 当x=-2时，d=-（-2）2+2×（-2）+3=-5， 若，则，即xP=-2xQ， 联立xP+xQ=2， 解得：xQ=-2，与xQ＞0矛盾，舍去， ∴d=-5； （3）m的取值范围是0.5＜m＜2．理由如下： 点M（m,y1）和点N（m+1，y2）在二次函数的图象上，将点M，点N的坐标分别代入得： ，， ∵0＜y2＜y1， ∴， 解得：0.5＜m＜2， ∴m的取值范围是0.5＜m＜2． 21、解：（1）把A（-2，0），B（6，0）代入y=ax2+bx+3得，， 解得， 把B（6，0）代入y=kx+3得，6k+3=0， 解得， ∴． （2）过点P作PD⊥AB交AB于D，交CB于点H， ∵点P的横坐标为m, ∴，， ∴． ∴当m=3时，PH有最大值为． ∵PQ⊥BC， ∴∠PQH=90°=∠BOC， ∴∠QPH+∠PHQ=90°， ∵PD⊥AB， ∴∠PDB=90°， ∴∠ABC+∠BHD=90°， ∵∠PHQ=∠BHD， ∴∠QPH=∠ABC， ∴△PQH∽△BOC， ∴， ∵抛物线与y轴交于点C， 当x=0时，y=3， ∴C（0，3）， ∴OC=3， ∵B（6，0）， ∴OB=6， ∴， ∴，即， ∴当PH有最大值时，PQ取到最大值， ∴PQ的最大值为． （3）由得， ∴顶点为（2，4），即当x=2时，y有最大值4， ∵抛物线对称轴为x=2， ∴当x=1时或x=3时，y值相等，即， ①当m＜1时，则在m≤x≤3时，x=2取得最大值，x=m时取得最小值，即，t2=4， ∵， ∴， 解得（舍），； ②当1≤m≤2时，则在m≤x≤3时，x=2取得最大值，x=3时取得最小值，即， ∴，不符合题意； ③当2＜m≤3时，则在m≤x≤3时，x=m取得最大值，x=3时取得最小值，即，， ∵， ∴， 解得， ∵2＜m≤3， ∴都不符合，舍去； 综上所述，． 22、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A（-4，0），B（1，0）， ∴， 解得， ∴； （2）由（1）得抛物线的解析式为， 把x=0代入，得y=-3， ∴C（0，-3）， ∴OC=3， ∵A（-4，0），B（1，0）， ∴AB=1-（-4）=5， ∴， ∵， ∴， 设直线AC的解析式为y=kx+n,把A（-4，0）和C（0，-3）代入得， ， 解得， ∴直线AC的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得m1=m2=-2， ∴； （3）如图，设直线AM交y轴于D， ∵， ∴△AOD≌△AOC（ASA）， ∴OD=OC=3， ∴D（0，3）， 同理可得直线AD的解析式为， 由， 解得或， ∵点M是直线AC上方的抛物线上一动点， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $