第4章 二次函数全章高频重点题型突破（7大高频+7大重难题型，专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 以“基础-核心-综合”三级题型架构系统覆盖二次函数全章重点，通过题型递进培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|7类高频基础题型|聚焦概念辨析、图象性质（含顶点式/一般式）、待定系数法、方程不等式综合|从概念生成到性质推导，构建二次函数基础认知体系| |核心提升|7类核心重难题型|突出字母取值判断、对称性应用、实物/营销建模、参数确定、图象变换、几何综合|从性质应用到实际建模与综合拓展，形成完整问题解决链|

第4章 二次函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 二次函数的概念辨析 题型2 的图形和性质 题型3 的图形和性质 题型4 的图形和性质 题型5 一般式的图象和性质 题型6 待定系数法求二次函数解析式 题型7 二次函数与方程、不等式 核心提升：重难题型归纳 题型1 根据二次函数的图象判断字母或式子的取值 题型2 二次函数对称性的应用 题型3 二次函数实物建模问题 题型4 二次函数营销问题 题型5 二次函数字母参数的确定问题 题型6 二次函数的图象变换问题 题型7 二次函数与几何的综合问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 二次函数的概念辨析 1．下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若是二次函数，则________． 4．若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ ◆题型2 的图形和性质 5．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．在同一坐标系中，分别作，，的图象，它们共同的特点是（    ） A．抛物线的开口都向上 B．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大 C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小 D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点 8．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． ◆题型3 的图形和性质 9．对于抛物线，下列结论不正确的是（   ） A．对称轴是轴 B．与轴没有交点 C．有最小值 D．当时，随增大而增大 10．二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 11．对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 12．如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ ◆题型4 的图形和性质 13．已知k为任意实数，则抛物线的顶点在（     ） A．x轴上 B．y轴上 C．直线上 D．直线上 14．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 15．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 16．已知函数，当时，y的取值范围____________． 17．已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． ◆题型5 一般式的图象和性质 18．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 19．当时，二次函数的最大值为________． 20．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 21．已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． ◆题型6 待定系数法求二次函数解析式 22．如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 23．已知抛物线经过，对称轴是直线，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)求抛物线的解析式． (2)设是抛物线上的两点，请比较与的大小，并说明理由． 24．如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 25．如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到． (1)写出，两点的坐标； (2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； ◆题型7 二次函数与方程、不等式 26．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 27．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 28．若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 29．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． ◆题型1 根据二次函数的图象判断字母或式子的取值 30．二次函数的图象如图所示，与y轴交于点C，与x轴负半轴交于点A，且，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 31．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 32．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 33．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______． ◆题型2 二次函数对称性的应用 34．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 35．二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 36．如图，抛物线与直线分别交于和四点，且．若点分别是两抛物线的顶点，且都在轴上，则的长是_____． ◆题型3 二次函数实物建模问题 37．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 38．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 39．某电子屏上下边缘距离为，点P在电子屏上的运动路线如图中虚线所示，当运动至点M时达到最高点，此时距左边缘，之后的运动时间为t秒，点P是下落过程中某位置：水平方向继续以速度向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为，d由两部分组成：为常数，与t的平方成正比，且有如下表格中的数据． t d (1)用含t的代数式表示d，直接写出最高点M的坐标； (2)若，用分别表示点P的横坐标x、纵坐标y，求y与x之间的关系式，并求点P在电子屏左边缘时的坐标； (3)甲、乙两点从左边缘不同位置出发，均能达到最高点M，若乙点比甲先出发，，在两点下落过程中，若某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于，直接写出m的最小值． 40．【问题情境】 某公园要在广场建造一个喷泉景观．在广场中央处安装一个垂直于地面且高为米的花形柱子，在柱子顶端处安置一个喷头向外喷水（喷头大小忽略不计），水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计者设计水流在距的水平距离为3米时达到最大高度，此时离地面米． 【模型建构】 (1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到的水平距离为x米，水流喷出的高度为米，请求出在第一象限内的抛物线对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 (2)某次李师傅正在喷泉景观内维护设备，喷头意外喷水，但是身高米的李师傅刚好笔直的站在地面上却没有被水淋到，此时他离花形柱子的水平距离为米，求的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子10米处的地面，处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点G在花形柱子的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小距离． ◆题型4 二次函数营销问题 41．综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】 (1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． (2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 42．小红帽百货商店用元购进了第一批胶囊遮阳伞，很快就销售一空．面对即将到来的五一小长假，大家对遮阳伞的需求量增大，小红帽百货商店瞄准商机，又用元购进了第二批该款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多元，进货数量比第一批多了． (1)求第一批胶囊遮阳伞每把的进价； (2)若第二批胶囊遮阳伞按元把的价格销售，销售了第二批进货数量的后，根据市场情况，小红帽百货商店决定对剩余的胶囊遮阳伞一次性打折销售，但要求销售第二批胶囊遮阳伞的总利润率不低于，请问最多可以按几折销售？用不等式解决问题 (3)若第一批所进的胶囊遮阳伞销售单价为每把元，每天可卖出把，市场调查发现，每把降价元钱，每天可多卖出把，若每天的利润为元，售价为每把元，写出与的关系式，求出每天获得最大利润时，售价应定为每把多少元，并求出最大利润． 43．某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．设该商品线下的销售量为件，线下销售的每件利润为元，线上销售的每件利润为元如图中折线ABC、线段DE分别表示，与x之间的函数关系． (1)分别求出当和时，与x之间的函数表达式； (2)当线下的销售量为多少件时，售完这100件商品所获得的总利润最大？最大利润是多少元？ 44．突如其来的疫情，让我们的家园按下了“暂停键”，为解决受“疫情”影响下居民的生活饮食问题，我市某保供单位提供蔬菜配送上门服务．已知蔬菜的进价为元千克，在连续天的销售中发现在进价不变的情况下，第天的销售量千克与时间满足某种函数关系见表；蔬菜的售价元与时间第天的函数图象如图所示． 时间第天 每天的销售量千克 (1)第天的销售量为______千克，每天的销售量千克与时间第天满足的函数关系式为______； (2)求与满足的函数关系式； (3)设每天的利润为元，在销售的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？ (4)在销售的天中，使当天的销售利润不低于元的共有多少天？直接写出结果 ◆题型5 二次函数字母参数的确定问题 45．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 46．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 47．若抛物线的图象恰好只经过三个象限，则a的取值范围是（     ） A．或 B． C． D． 48．抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． ◆题型6 二次函数的图象变换问题 49．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 50．将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 51．已知抛物线的顶点为D． (1)若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标； (2)在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为． ①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）； ②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围． 52．已知抛物线：的顶点为A，与y轴交于点B． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． (2)如图，将抛物线：绕点B旋转后，得到抛物线与x轴交于点D． ①求抛物线的解析式及点D的坐标； ②记抛物线组合得到的新图象为，若与直线有三个交点，试求b的取值范围． ◆题型7 二次函数与几何的综合问题 53．如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，且过点．直线l：与y轴交于点F． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线l：下方的抛物线上是否存在点P，使得点P到直线l：的距离为？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过点F的直线与二次函数图象交于A，B两点，无论k取何值，都存在点，使得，请直接写出m的值． 54．如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线表达式； (2)点是第三象限内抛物线上一点，过作轴交直线于．求的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 55．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若为直线上方的抛物线上一动点，过点作于点，当的面积最大时，求线段的值． (3)抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 56．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 57．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点Q是第一象限内抛物线上的一个动点，过点Q作轴，交直线于点D，请你求出线段的最大值； (3)点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使得为直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 58．若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 59．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A． B． C． D． 60．如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点，，且，则下列有关，的关系，判断正确的是（   ） A． B． C． D． 61．如图，小红在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出同心圆与横线的一些交点．她发现这些点的位置有一定的规律，于是以圆心为原点，如图建立平面直角坐标系，相邻横线的间距为一个单位长度．则所描的点都在二次函数（    ）的图象上． A． B． C． D． 62．已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（     ） A． B． C． D． 63．二次函数的图像x如图所示，点位于坐标原点，点，，，…在y轴的正半轴上，点，，，…在二次函数位于第一象限的图像上，若，，，…都为等边三角形，则的边长为（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 64．如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 65．如图，二次函数的图象交轴于点和，交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个结论中：①当时，；②若，则；③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当时，周长的最小值为；④图象上有两点和，若，且，则，其中正确的是（    ）    A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 66．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线的图象与轴正半轴、轴正半轴围成的封闭图形内有5个整点，平移该抛物线使得抛物线与轴正半轴、轴正半轴围成的封闭图形内只有2个整点，则平移后的抛物线的顶点坐标可以为（    ） A． B． C． D． 67．如图，是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是____________． 68．二次函数过点，，则m的取值范围为____________． 69．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（为常数）．其中正确的结论有______个 70．已知抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标． (2)点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 71．在平面直角坐标系中，，是抛物线两点． (1)当时，比较的大小，并说明理由； (2)当时，记抛物线在点之间的部分（含点）为图形，若在图形上存在两点（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而增大，求的取值范围． 72．已知二次函数． (1)若点在该函数图象上，求此函数图象的对称轴； (2)在（1）的基础上，若，当时，求二次函数的最大值； (3)若该函数在时，y随x增大而减小；在时，y随增大而增大，请求出b的取值范围． 73．在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现该商品每天的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系． (1)请求出与的函数关系式； (2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 74．【问题背景】气温变化会直接影响冷饮的市场需求．某饮品店为优化备货策略，计划通过建立数学模型，刻画当日最高气温与冷饮销量之间的关联，为经营决策提供数据支撑． 【数据收集】该饮品店统计了5天的经营数据，记录了当天最高气温与对应冷饮销量，并用散点趋势图直观呈现两个变量的关系（如图）． 【建立模型】 由散点分布可知，所有散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，因此可以用直线模型刻画销量和最高气温的关系．设解析式为：．小明选取能代表整体趋势的两个点和确定直线，目的是让这条直线经过尽可能多的点． (1)任务1：请你根据小明的方法，求出这条直线的解析式； 【模型优化】小朱同学提出：以残差的平方和作为总误差，总误差最小时的直线即为最优拟合直线（残差实际观测销量模型函数值）．若将代入解析式，可得：，因此初步模型为：． (2)任务2：①求这组数据的总误差（用含的式子表示）； ②当________时，这组数据的总误差取得最小值； 【模型应用】 (3)任务3：饮品店每日的备货量由模型预测销量确定，每售出1杯冷饮可获利6元，未售出的每杯亏损3元．若某日当地最高气温为，实际当日冷饮需求量为173杯，请你通过计算判断：这两种模型中，哪种模型能让饮品店当日获得更高利润． 75．如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是的中点且，．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为，已知山顶F到点A的水平距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)一个人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且． ①请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由； ②下列结论中，正确的有 ． （a）在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等； （b）在拱桥的段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近； （d）人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近． 76．掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 77．如图1，2是水槽水龙头的侧面简易示意图，矩形为水槽侧面，宽，深，排水口位于的中点．在水槽边正上方安装水管，水龙头，水管，．按水龙头的安装要求，水流需直接对准排水口确保水快速排入管道，水流的形状近似看作线段．（参考数据：，，） (1)如图1建立平面直角坐标系，求点和点的坐标； (2)为方便儿童洗手，在点加装喷水装置如图2，从点喷出的水流形状近似可以看作抛物线．已知当水流与水槽边的距离为时，水流达到最高，最高高度为，求出抛物线的表达式； (3)加装喷水装置后，打开水龙头时水流是否会淋到水槽外，请说明理由． 78．如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 79．在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．某学校数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下： (1)如图1所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式为 ． (2)如图2所示，抛物线与直线交于、两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交直线于点． ①请判断点 翻折后的图象上（填“在”或“不在”）； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． (3)如图3所示，将抛物线绕点逆时针旋转得到新的抛物线．直线l：与抛物线交于点、，点在点的下方，请直接写出点的坐标． 80．已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 二次函数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 二次函数的概念辨析 题型2 的图形和性质 题型3 的图形和性质 题型4 的图形和性质 题型5 一般式的图象和性质 题型6 待定系数法求二次函数解析式 题型7 二次函数与方程、不等式 核心提升：重难题型归纳 题型1 根据二次函数的图象判断字母或式子的取值 题型2 二次函数对称性的应用 题型3 二次函数实物建模问题 题型4 二次函数营销问题 题型5 二次函数字母参数的确定问题 题型6 二次函数的图象变换问题 题型7 二次函数与几何的综合问题 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 二次函数的概念辨析 1．下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数，即可判断． 【详解】解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 2．已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】将二次函数按的降幂排列，得， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 3．若是二次函数，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出方程与不等式求解即可得到的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义可得， 解方程得，即． 由不等式得， ． 4．若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例的定义设，，得到关于的含参数的解析式，再利用已知的两组,的值列方程组求出参数，用待定系数法得到函数关系式； （2）代入计算得到对应的函数值． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成正比例， ∴设，， ∵， ∴， 将和分别代入上式， 得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）将代入，得． ◆题型2 的图形和性质 5．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 6．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 7．在同一坐标系中，分别作，，的图象，它们共同的特点是（    ） A．抛物线的开口都向上 B．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大 C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小 D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点 【答案】D 【分析】本题的三个抛物线解析式都符合形式，可以从顶点坐标和对称轴找相同点． 【详解】解：因为形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点， 所以它们的共同特点是：关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点． 8．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． ◆题型3 的图形和性质 9．对于抛物线，下列结论不正确的是（   ） A．对称轴是轴 B．与轴没有交点 C．有最小值 D．当时，随增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查抛物线的性质，根据题意，抛物线的对称轴为y轴，有最小值，且在时单调递增；但与x轴有两个交点，故B选项错误． 【详解】∵ 抛物线，， ∴ 对称轴，即y轴，A正确，不符合题意； 令，得，解得，故与x轴有两个交点，B错误，符合题意； ∵，对称轴，且时，， 抛物线的顶点为，故抛物线有最小值，C正确，不符合题意； ∵，对称轴， ∴ 当时，y随x增大而增大， 故当时，随增大而增大，故D正确，不符合题意． 故选：B． 10．二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 【答案】c 【分析】二次函数的对称轴为，函数值相等的两个不同点关于对称轴对称，据此求出的值，再代入计算函数值． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， 当，（）时对应的函数值相等， ∴点与点关于对称轴对称， ∴，即， 将代入得． 11．对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 12．如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 【答案】8 【分析】根据二次函数的对称性及正方形的性质求出点A的坐标，代入计算即可． 【详解】解：如图， ∵A，B是x轴上方抛物线上的两个点，抛物线的对称轴为直线， ∴A，B关于y轴对称， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 即， 将代入得：， 解得：． ◆题型4 的图形和性质 13．已知k为任意实数，则抛物线的顶点在（     ） A．x轴上 B．y轴上 C．直线上 D．直线上 【答案】C 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴该点在直线上． 14．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式的性质，逐项判断即可得到正确结果． 【详解】解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确 故选：D． 15．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 【答案】/ 【分析】将点，两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应的函数值，即可比较大小． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴． 16．已知函数，当时，y的取值范围____________． 【答案】 【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下， 当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 17．已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的顶点式（），其顶点坐标为即可求解； （2）根据抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律求解； （3）由题得抛物线的对称轴为直线，可得时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，再得到最值即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到， 再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1． 当时，； 当时，； ， ∴当时，． ◆题型5 一般式的图象和性质 18．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质结合因式分解解一元二次方程判断即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 19．当时，二次函数的最大值为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，利用二次函数的增减性计算得到最大值． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，对应的函数值越大， ， 到对称轴的距离最远， 当时，， 即当时，二次函数的最大值为． 20．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点在该抛物线上，则的大小关系为___________． 【答案】 【分析】根据已知点坐标得到的表达式，由推出和异号，结合确定两者正负，再通过作差法比较三个纵坐标的大小． 【详解】解：点和在抛物线上， ，， ， ，即， 与异号， ， ，即， ，， 点，，在抛物线上， ，，， ∴， ， ，即， ∴， ， ，即， 综上可得． 21．已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)3；函数图象，如图所示： (2) (3)或 【分析】（1）把代入得出，即可得出，先描点，再连线，画出二次函数图象即可； （2）根据函数图象，写出当时，y的取值范围即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据函数图象可得：当时，； （3）解：当时，，即， 根据函数图象可知：当或时，， ∵点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，且， ∴n的取值范围为或． ◆题型6 待定系数法求二次函数解析式 22．如图，一个二次函数的图象经过，，三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，且．求： (1)点的坐标； (2)这个二次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的坐标可以求出的距离，从而求出点的坐标； （2）已知二次函数过三个点，即可设二次函数的一般式，用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：点，， ． ， ． 点在轴的正半轴上， ∴点的坐标是． （2）解：设二次函数的解析式为， 二次函数经过三个点，，， ， 解得， 这个二次函数的解析式为． 23．已知抛物线经过，对称轴是直线，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)求抛物线的解析式． (2)设是抛物线上的两点，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为． (2)当时，；当时，；当时，，理由： 是抛物线上的两点， ∴ 故当时，； 当时，； 当时，． 【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，对称轴代入，由方程具有两个相等的实数根得到，从而得出关于参数的方程组，解方程组求出参数的值，即得到表达式； （2）根据题目条件代入计算，故可由的正负判断结论． 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线表达式得： ①， 由函数的对称轴为，即  ②， 关于x的方程有两个相等的实数根，则  ③， 联立①②③，得 解得， 故抛物线的表达式为． （2）略． 24．如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，得到平移后的抛物线的顶点坐标为，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 所以抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：令，则， ∴， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 25．如图，已知的顶点，，O是坐标原点，将绕点O按顺时针旋转，得到． (1)写出，两点的坐标； (2)求过，，三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点的坐标； 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先根据、坐标得出、长度，利用旋转前后三角形全等得、长度，直接写出、坐标即可； （2）已知抛物线与轴两个交点、，设交点式抛物线方程，代入点坐标求出参数，展开化为一般式，再配方成顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵将绕点按顺时针旋转，得到， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：∵抛物线过点，， ∴可设抛物线的解析式为， ∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； ◆题型7 二次函数与方程、不等式 26．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 27．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 28．若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴有两个交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式大于0，代入二次函数系数，解不等式即可得到的取值范围。 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点， 故一元二次方程有两个不相等的实数根， 即判别式， 将，，代入得：， 化简得， 解得． 29．二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． ◆题型1 根据二次函数的图象判断字母或式子的取值 30．二次函数的图象如图所示，与y轴交于点C，与x轴负半轴交于点A，且，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．开口方向，对称轴，与轴的交点位置判断①，特殊点判断②和③，对称轴判断④，根据图象过，判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，；故①④错误； 由图象可知：时，， ∴，故③正确， ∵和关于对称轴对称， ∴当时，；故③正确； ∵， ∴图象过， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故⑤正确； 故选B． 31．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ，结论①正确； ②∵抛物线对称轴为直线， ， ． ∵抛物线经过点， ， ，即，结论②正确； ③∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，结论③错误． 综上，正确的有①②，共2个， 故选C． 32．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，，以及与之间的关系：，即可判断①；根据二次函数图象经过点，及对称轴为，可得出抛物线经过，再把点代入解析式，结合即可判断②⑤；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小，即可判断③；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，有最大值，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故②正确，⑤不正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④． 33．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． ◆题型2 二次函数对称性的应用 34．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 35．二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 【答案】B 【分析】将表格中二次函数x，y的对应值代入函数解析式，求出a，b，c的值，解出二次函数解析式，再将其改写为顶点式，求出该二次函数的开口方向，对称轴，最值，以及函数的增减性 ． 【详解】∵函数图象经过，，， 将其代入函数解析式，得，解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴函数图象的开口向上； 且该二次函数对称轴为：直线， y有最小值为，无最大值； ∴当时，y随x的增大而增大． ， ∴当时，y随x的增大而增大． 36．如图，抛物线与直线分别交于和四点，且．若点分别是两抛物线的顶点，且都在轴上，则的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，抛物线的性质，如图，作两条抛物线的对称轴，在直线上，再进一步结合矩形的性质与抛物线的对称性解答即可. 【详解】解：如图，作两条抛物线的对称轴，在直线上， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，， 结合抛物线的对称性可得： ，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ◆题型3 二次函数实物建模问题 37．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 【答案】货船不能顺利通过这座桥，理由如下： 当时，即， 解得，． ，且， 货船不能顺利通过该桥． 【分析】根据题意，当时，可得方程，再解方程，即可得出结论． 【详解】略 38．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 39．某电子屏上下边缘距离为，点P在电子屏上的运动路线如图中虚线所示，当运动至点M时达到最高点，此时距左边缘，之后的运动时间为t秒，点P是下落过程中某位置：水平方向继续以速度向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为，d由两部分组成：为常数，与t的平方成正比，且有如下表格中的数据． t d (1)用含t的代数式表示d，直接写出最高点M的坐标； (2)若，用分别表示点P的横坐标x、纵坐标y，求y与x之间的关系式，并求点P在电子屏左边缘时的坐标； (3)甲、乙两点从左边缘不同位置出发，均能达到最高点M，若乙点比甲先出发，，在两点下落过程中，若某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于，直接写出m的最小值． 【答案】(1)， (2)，点P在电子屏左边缘时的坐标为 (3)m的最小值为 【分析】（1）根据题意设出解析式，运用待定系数法求解即可； （2）利用已知的表示出表示出函数解析式，再将代入解析式即可求解； （3）先表示出甲乙的横坐标，再利用横坐标相等表示随后表示出甲乙的纵坐标，利用纵坐标之差不小于求解不等式即可． 【详解】（1）解：∵与t的平方成正比 ∴设，则：， ∵当时，，当时，， ∴， ∴， ∴． 当时，在最高点，， ∵某电子屏上下边缘距离为，当运动至点M时达到最高点，此时距左边缘，竖直方向与电子屏上边缘距离为 ∴当运动至点M时达到最高点，距左边缘，距下边缘， ∴； （2）解：∵点P是下落过程中某位置：水平方向继续以速度向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为，， ∴点P的横坐标，纵坐标， 由可得， 把代入得， 当时，， ∴点P在电子屏左边缘时的坐标为． （3）解：m的最小值为，理由如下： ∵乙点比甲先出发，， ∴在下落过程中，，，， ∵当甲点恰好处于乙点正上方时，，则， ∴， ∴， 由（2）可知，， ， ∴， ， ∵某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴，即m的最小值为． 40．【问题情境】 某公园要在广场建造一个喷泉景观．在广场中央处安装一个垂直于地面且高为米的花形柱子，在柱子顶端处安置一个喷头向外喷水（喷头大小忽略不计），水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计者设计水流在距的水平距离为3米时达到最大高度，此时离地面米． 【模型建构】 (1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到的水平距离为x米，水流喷出的高度为米，请求出在第一象限内的抛物线对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 (2)某次李师傅正在喷泉景观内维护设备，喷头意外喷水，但是身高米的李师傅刚好笔直的站在地面上却没有被水淋到，此时他离花形柱子的水平距离为米，求的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子10米处的地面，处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点G在花形柱子的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小距离． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）根据题意可知，第一象限内的抛物线的顶点坐标为，设该抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，根据抛物线开口向下，由函数图象可求出的取值范围； （3）作的平行线，使它与抛物线相切，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，根据射灯射出的光线与地面成角得到，进而得到点G和点F的坐标，利用待定系数法求出直线的函数表达式，根据，求出直线的函数表达式，进而求出点的坐标，根据射灯射出的光线与地面成，得到，从而求出的长． 【详解】（1）解：根据题意得：第一象限内的抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得：， 则第一象限内的抛物线对应的函数表达式为：； （2）解：根据题意，令， 解得：或 ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：如图所示，作的平行线，使它与抛物线相切，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为， 将点和代入得： ， 解得： 直线的函数表达式为， ， 设直线的函数表达式为， 联立直线与抛物线的函数表达式， 整理得：， 直线与抛物线相切，只有一个交点， ， 解得：， 直线的表达式为：， 令，则， ， ， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小距离为米． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用、解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． ◆题型4 二次函数营销问题 41．综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目成果】请解答任务1，任务2． 【项目实施】 (1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． (2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 【答案】(1)此月平均增长率为 (2) ①每架迷你无人机的售价应降低元；②要想获得利润最大，售价应定为元． 【分析】（1）设此月平均增长率为x，根据1月和3月的销量建立方程求解即可； （2）①设每架迷你无人机的售价应降低m元，根据利润（售价进价）销售量建立方程求解即可；②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元，根据利润（售价进价）销售量列出W关于n的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设此月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：此月平均增长率为； （2）解：①设每架迷你无人机的售价应降低m元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵需要尽量减少库存， ∴， 答：每架迷你无人机的售价应降低元； ②设获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低n元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为1250， 此时， 答：要想获得利润最大，售价应定为元． 42．小红帽百货商店用元购进了第一批胶囊遮阳伞，很快就销售一空．面对即将到来的五一小长假，大家对遮阳伞的需求量增大，小红帽百货商店瞄准商机，又用元购进了第二批该款胶囊遮阳伞，每把遮阳伞的进价比第一批多元，进货数量比第一批多了． (1)求第一批胶囊遮阳伞每把的进价； (2)若第二批胶囊遮阳伞按元把的价格销售，销售了第二批进货数量的后，根据市场情况，小红帽百货商店决定对剩余的胶囊遮阳伞一次性打折销售，但要求销售第二批胶囊遮阳伞的总利润率不低于，请问最多可以按几折销售？用不等式解决问题 (3)若第一批所进的胶囊遮阳伞销售单价为每把元，每天可卖出把，市场调查发现，每把降价元钱，每天可多卖出把，若每天的利润为元，售价为每把元，写出与的关系式，求出每天获得最大利润时，售价应定为每把多少元，并求出最大利润． 【答案】(1)20 (2)7折 (3)；当售价定为每把元时，最大值为元． 【分析】（1）设第一批胶囊遮阳伞每把的进价为元，则第二批胶囊遮阳伞每把的进价为元，利用数量总价单价，结合第二批购进的数量比第一批多，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用数量总价单价，可求出第二批购进的数量，设按折销售，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论； （3）根据每天的利润每把伞的利润销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设第一批胶囊遮阳伞每把的进价为元，则第二批胶囊遮阳伞每把的进价为元， 依题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：第一批胶囊遮阳伞每把的进价为元； （2）解：由（1）得第二批胶囊遮阳伞每把的进价为（元）， 则第二批购进数量为（把）， 设按折销售， 依题意得：， 解得． 答：最多可以按折销售； （3）解：根据题意得： ， ， 当时，有最大值，最大值为， 与的关系式为，当售价定为每把元时，利润最大，最大值为元． 43．某企业销售某商品，以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了100件．设该商品线下的销售量为件，线下销售的每件利润为元，线上销售的每件利润为元如图中折线ABC、线段DE分别表示，与x之间的函数关系． (1)分别求出当和时，与x之间的函数表达式； (2)当线下的销售量为多少件时，售完这100件商品所获得的总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当线下的销售量为65件时，售完这100件商品所获得的总利润最大，最大利润是元 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，分别利用待定系数法求出当和时，与x之间的函数表达式； （2）根据题意，分别求出当和时，利润的最大值，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：当时，设与x之间的函数表达式是， 点，在线段上， ， 解得，， ∴当时，与x之间的函数表达式是； 当时，设与x之间的函数表达式， 点，在线段上， ， 解得，， 即当时，与x之间的函数表达式， 综上所述，； （2）解：设总的利润为w元， 当时，， 当时，w取得最大值，此时； 当时，， 当时，w取得最大值，此时； ， 当线下的销售量为65件时，售完这100件商品所获得的总利润最大，最大利润是元． 44．突如其来的疫情，让我们的家园按下了“暂停键”，为解决受“疫情”影响下居民的生活饮食问题，我市某保供单位提供蔬菜配送上门服务．已知蔬菜的进价为元千克，在连续天的销售中发现在进价不变的情况下，第天的销售量千克与时间满足某种函数关系见表；蔬菜的售价元与时间第天的函数图象如图所示． 时间第天 每天的销售量千克 (1)第天的销售量为______千克，每天的销售量千克与时间第天满足的函数关系式为______； (2)求与满足的函数关系式； (3)设每天的利润为元，在销售的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？ (4)在销售的天中，使当天的销售利润不低于元的共有多少天？直接写出结果 【答案】(1)， (2) (3)第10天，最大利润为2400元 (4)共7天 【分析】（1）根据表中的数据找规律求解； （2）根据图象利用待定系数法分，求解； （3）根据利润等于单利润乘以销售量分，列式表示，再求最大值； （4）根据题意分，列不等式求解． 【详解】（1）解：根据表中的数据得：天数增加，销量增加，所以第天的销售量为（千克）， 设每天的销售量（千克）与时间第（天）满足的函数关系式为， 把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：当时，设， 则：， 解得：， ， 当时，； ∴． （3）解：当时， ， 当时，利润最大，为元， 当时， ， 当时，利润最大，为元， ， 当时，利润最大，为元； （4）当时： ， 解得：， 当时， ， 解得：， ， 所以当天的销售利润不低于元的共有天． ◆题型5 二次函数字母参数的确定问题 45．已知抛物线与x轴交于两点，在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若，则n的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得，即可求得结合在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴， ∴顶点为， ∵在的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴时，， 当时，， ∵， ∴， ∴n的取值范围是． 46．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 47．若抛物线的图象恰好只经过三个象限，则a的取值范围是（     ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题抛物线开口向上，先配方得到顶点坐标，再结合抛物线仅经过三个象限的条件，根据顶点纵坐标、与y轴交点纵坐标的限制求解a的取值范围； 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴； 令，得抛物线与y轴交点纵坐标为； 抛物线恰好只经过三个象限，开口向上时，需满足顶点在x轴下方（保证抛物线与x轴有两个交点），且与y轴交点在原点或x轴上方（保证抛物线只经过三个象限）， 因此列不等式组：， 解第一个不等式得，解第二个不等式得，因此的取值范围是； 48．抛物线过点，，抛物线上有两点，，使得一定成立，则m的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线与x轴两交点求对称轴，再计算A、B两点到对称轴的距离，按开口方向分类讨论，根据抛物线性质，离对称轴越远，开口向上时函数值越大，开口向下时函数值越小，列不等式求解，取交集得到m的取值范围． 【详解】解：抛物线过点，，P，Q是两个不同交点， ，抛物线的对称轴为 ， ，， 两点到对称轴的距离分别为 ，， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 恒成立， ， 即， ， ， 解得，符合， 当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 恒成立， ， 即， 解得，即， 结合，得， 综上，m的取值范围为或． ◆题型6 二次函数的图象变换问题 49．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：解方程，可得：，， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 该函数没有最大值， 故A选项错误； 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 故B选项错误； ， 故C选项正确； 当时，， 由翻折可知，图象与轴的交点坐标为， 故D选项错误． 50．将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位． (1)用配方法将写成的形式； (2)求平移后的解析式； (3)求平移后抛物线的对称轴和抛物线与轴的交点坐标； (4)对于平移后的抛物线，当取何值时，随着的增大而减小？ 【答案】(1) (2) (3)对称轴为直线，与轴交点坐标为 (4)当时，随着的增大而减小 【分析】（1）利用配方法将原一般式抛物线化为顶点式即可； （2）根据抛物线平移“左加右减．上加下减”的规律得到平移后的解析式； （3）利用二次函数性质求解对称轴与y轴交点坐标； （4）根据开口方向和对称轴判断y随x变化的取值范围． 【详解】（1）解： （2）解：根据抛物线平移规律可知平移后的解析式为： ； （3）解：平移后的抛物线顶点式为， 可得对称轴为直线， 令，代入得， 因此平移后抛物线与轴的交点坐标为； （4）解：平移后抛物线中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 因此当时，随着的增大而减小． 51．已知抛物线的顶点为D． (1)若抛物线经过原点，求a的值及顶点D的坐标； (2)在（1）的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为． ①图象的解析式 （写出自变量的取值范围）； ②若直线与图象M有3个交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，图形的旋转，直线与曲线相交等问题，解题过程还涉及数形结合，分类讨论等数学思想． （1）将原点代入抛物线方程即可求出值，再利用抛物线性质即可求出顶点坐标； （2）①根据自变量的取值范围，结合图象性质及中心对称性质判断出图象上的特殊点即可求出解析式； ②再利用数形结合，分类讨论直线与曲线交点问题即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点， 当时，，代入抛物线得：， ， ∴抛物线的方程为：． ∴抛物线的对称轴方程为：， 把代入，得， ∴点坐标为． （2）解：在（1）中抛物线的方程为：， ①当时函数的图象记为， ∴对应的函数解析式为：，且图象经过和原点， 将图象绕原点旋转，得到新图象，新图象与原图象成中心对称， ∴新图象对应函数的自变量的范围为：，且新图象经过点和原点， ∴图象的解析式为：． ②直线与图象有3个交点，分两种情况， 当直线与有2个交点且与有1个交点时，， ∴， 令，得， 结合图象可得：， 同理，当直线与有1个交点且与有2个交点时，， ∴， 令，得， 结合图象可得：． ∴． 52．已知抛物线：的顶点为A，与y轴交于点B． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． (2)如图，将抛物线：绕点B旋转后，得到抛物线与x轴交于点D． ①求抛物线的解析式及点D的坐标； ②记抛物线组合得到的新图象为，若与直线有三个交点，试求b的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，中心对称的性质，二次函数和一元二次方程的关系等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用二次函数的顶点式求顶点坐标即可，利用二次函数的抛物线特征进行求解即可； （2）①根据中心对称的性质求出顶点坐标，然后利用顶点式求函数解析式即可，然后利用二次函数的性质求交点坐标即可； ②联立解析式，利用一元二次方程的根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 当时，， ∴． （2）解：①设抛物线的顶点为C，则点C与点A关于点B对称， ，． ∴点C的坐标为， ∴抛物线的解析式为， 令，解得（不合题意，舍去)， ∴点D的坐标为． ②当直线与抛物线只有一个交点时，令， 即， ∴， 解得， 当直线与抛物线只有一个交点时，令， 即， ∴， 解得， ∴若与直线有三个交点，则b的取值范围为． ◆题型7 二次函数与几何的综合问题 53．如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，且过点．直线l：与y轴交于点F． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线l：下方的抛物线上是否存在点P，使得点P到直线l：的距离为？若存在，求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)过点F的直线与二次函数图象交于A，B两点，无论k取何值，都存在点，使得，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)存在点P，点P的坐标为或 (3) 【分析】（1）先根据图象的对称轴为直线，得出，再利用待定系数法即可解答； （2）先过点作，与轴交于点，过点作于点，直线l与轴的交点记为点,进一步得出，，进而得出为等腰直角三角形，进一步得出，根据平行线间的距离相等得出，利用勾股定理得出，进一步得到直线的解析式为，进而得出方程，即，解方程即可解答； （3）先过点作轴于点，过点作轴于点，设，，根据，得到，再根据当时，得出方程，利用根与系数的关系得出，，最后根据题意得出，即可解答． 【详解】（1）解：二次函数图象的对称轴为直线， ， 解得，， ， 二次函数图象过点， ， 解得，， ． （2）解：存在点P， 如图，过点作，与轴交于点，过点作于点，直线l与轴的交点记为点, ． 直线l：， 当时，； 当时，即，解得， ，， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 点P到直线l：的距离为，即（平行线间的距离相等）， ， ． 又，即直线l向下平移个单位长度可得到直线， 直线的解析式为， 当时，整理得， 解得，， 当时，； 当时，， 点P的坐标为或． （3）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ，． 根据题意，设，， ，，，． ， ， ， ， ，或者， 当时， 整理得， ∵， ∴， 此时点与点重合，不符合题意； 当时， 整理得，， 直线与二次函数图象交于A，B两点， 当时，即， ，， ，整理得，． 无论k取何值，都存在点，使得， 令，解得． 综上，． 54．如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． (1)求抛物线表达式； (2)点是第三象限内抛物线上一点，过作轴交直线于．求的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的最大值是4 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，则，作于点，得到，将转化为二次函数求最值即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：与轴交于点， ， ． ， ， ， 将代入中，得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知：，， 设直线：，将，代入， 得，解得． ． 设，则． ∴， 过点作于点，则，， ，， ，又， ， ， ． ∵，， 当时，有最大值，最大值是4． （3）解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵， ∴点关于对称轴的对称点为． ①如图1， 由，可知点关于的对称点为点， ． ②如图2， 设，作轴，则，． ，， ， 解得（舍），． ， 综上所述，点坐标为或． 55．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)若为直线上方的抛物线上一动点，过点作于点，当的面积最大时，求线段的值． (3)抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）对于抛物线，令，求得．运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴，交于点M，设（），则，，通过解直角三角形得到，则，根据二次函数的性质即可求解； （3）分点Q在x轴上方和下方两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：对于抛物线，令，则， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点P作轴，交于点M， 设（），则， ∴． ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴ ∴当时，有最大值，此时． （3）解：存在，点Q的坐标为或．理由如下： 分两种情况讨论： ①若点Q在x轴的上方，如图， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴点Q的坐标为． ②若点Q在x轴的下方，如图， 由（2）有是等腰直角三角形， ∴， ∴， 延长交y轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 解方程组得，， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或． 56．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)，，， 【分析】（1）由题意得出，．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设中点为，则，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵对称轴， ∴． 设抛物线解析式为 由题意得， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：存在， ∵，， ∴． 设中点为，则，连接． 设点，则． 当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上， 此时，为直角，，则， ∴， 化简得， 解得，． ∴的坐标为或时，为直角． （3）解：设点． 则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为， 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴时，，时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴当时，，当时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 综上，满足题意的点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 57．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点Q是第一象限内抛物线上的一个动点，过点Q作轴，交直线于点D，请你求出线段的最大值； (3)点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使得为直角三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)QD的最大值为 (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的表达式为，设点，则点，得到．根据二次函数的性质进行解答即可； （3）分、、三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∵， ， 把此点坐标代入得：， 即抛物线的解析式为：． （2）解：∵点，对称轴为直线， ∴点， 把代入中，得， ∴点， 设直线的表达式为， 则， 解得：，， ∴直线：， 设点，则点， ∴． ∴当时，取最大值． （3）解：为直角三角形分三种情况： ①当时， 如图，过P作x轴的平行线，交y轴于N，过B作于M，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 设P点为，即， 解得：或， 即或， ②如图，当时，过P作轴于H，同理可得：， 即， 解得：， 即． ③当时，如图所示，同理知，， 即，解得：， 即． 综上所述，满足条件的点P的坐标为：或或或． 58．若二次函数(为常数)的图像与轴有两个不同的交点，则该函数图像的顶点在(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先根据二次函数顶点式确定顶点坐标，再利用判别式求出的取值范围，最后根据坐标符号判断顶点所在象限． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴函数顶点坐标为． ∵二次函数图像与轴有两个不同交点，将解析式展开得， ∴判别式， 解得． ∵， ∴，顶点横坐标为正，纵坐标为负， ∴顶点坐标在第四象限． 59．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ，， 函数的图象开口方向向上， 当时，， 当时，． 60．如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点，，且，则下列有关，的关系，判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过点，向轴作垂线，垂足分别为，，则．设直线的解析式，求出、两点的横坐标，再利用证得三角形相似，结合的线段比例关系建立与的等式，最终推导出二者的数量关系． 【详解】解：如图，分别过点，向轴作垂线，垂足分别为，，则． 设直线的解析式，点，的横坐标分别为，. ∵点在和上， ∴，解得， 同理，． ∵， ∴， ∴， 即，化简得． 故选：D． 61．如图，小红在练习簿的横线上取点为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出同心圆与横线的一些交点．她发现这些点的位置有一定的规律，于是以圆心为原点，如图建立平面直角坐标系，相邻横线的间距为一个单位长度．则所描的点都在二次函数（    ）的图象上． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设在半径为的同心圆上，与直线的交点为，利用勾股定理可得横纵坐标间的关系，即可求解． 【详解】解：设在半径为的同心圆上，与直线的交点为， ， ，即， ， 点在抛物线上， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 62．已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解析式写出和，作差整理后结合已知绝对值的关系即可得到结论． 【详解】解：由题意，得 ，， 两式作差，得 ， 等式两边同乘，得 ． ∵ ， ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即，故C符合题意． 63．二次函数的图像x如图所示，点位于坐标原点，点，，，…在y轴的正半轴上，点，，，…在二次函数位于第一象限的图像上，若，，，…都为等边三角形，则的边长为（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 【答案】C 【分析】先计算出；；的边长，推理出等边的边长为n的规律，依据规律得到的边长． 【详解】解：作轴于，轴于，轴于． 设，，． ∵等边， ∴， ∴， ∴点坐标为，代入解析式得， 解得（舍去）或，于是等边的边长为； ∵等边， ∴， 所以，点坐标为，代入解析式得， 解得（舍去）或， 于是等边的边长为； ∵等边， ∴， 所以，点坐标为，代入解析式得， 解得（舍去）或， 于是等边的边长为． … 等边的边长为n， 于是的边长为2008． 64．如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式确定顶点坐标，利用抛物线的轴对称性求出点的坐标，代入解析式求及、坐标，逐一判断即可． 【详解】解：由得顶点为，由得顶点为(−3,−1)，两点关于原点对称，故①正确； ∵，抛物线对称轴为直线，点、关于直线对称， ∴点A的横坐标为，即，故②错误； 把代入得，解得， ∵抛物线对称轴为直线，点A、C关于直线对称， ∴点C的横坐标为，即，故③正确； 令，则，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 65．如图，二次函数的图象交轴于点和，交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个结论中：①当时，；②若，则；③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当时，周长的最小值为；④图象上有两点和，若，且，则，其中正确的是（    ）    A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，利用二次函数的有关性质解决问题，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题． 【详解】解：①当时，．故①说法错误； ②， 当时，，故②说法正确； ③当时，，． 假设与关于轴对称， ， ， 的周长的最小值为，故③说法正确． ④设关于对称轴的对称点， ， ， ， ， ， ， 函数图象在时，随增大而减小， ，故④说法正确． 故选：D． 66．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线的图象与轴正半轴、轴正半轴围成的封闭图形内有5个整点，平移该抛物线使得抛物线与轴正半轴、轴正半轴围成的封闭图形内只有2个整点，则平移后的抛物线的顶点坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整点的定义并结合封闭图形区域逐一判断即可． 【详解】解：选项A，如图1，满足条件的整点个数为1个，故选项A不符合题意； 选项B，如图2，满足条件的整点个数为3个，故选项B不符合题意； 选项C，如图3，满足条件的整点个数为2个，故选项C符合题意； 选项D，如图4，满足条件的整点个数为4个，故选项D不符合题意． 67．如图，是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是____________． 【答案】/ 【分析】根据，可知点C是线段的中点，设，可得代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴点C是线段的中点， ∵是抛物线与的公共顶点， 当时，， ∴， 设点C的坐标为， ∴点B的坐标为， 把代入得，， ∴． 68．二次函数过点，，则m的取值范围为____________． 【答案】 【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，联立得到方程组，用表示出二次项系数，再根据的条件解一元一次不等式，即可得到的取值范围． 【详解】解：将点，代入得， 整理得， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴． 69．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（为常数）．其中正确的结论有______个 【答案】 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴交点的位置、对称轴，可知、、，可得：；由函数图象可知当时，，所以可得：；由抛物线经过点，因为抛物线的对称轴是，可知，可得：，所以；根据二次函数的对称性可知点关于的对称点为，根据二次函数的性质可知；根据抛物线的对称轴为直线，可得：，所以成立． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴， 对称轴为直线， ， ， ， 故（1）正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ， ， 故（2）错误； ， ， 图象过点， ， ， ， 故（3）正确； 点关于的对称点为，， ， 故（4）错误； 抛物线的对称轴为直线， 二次函数的最大值为， 当时， 可得：， ， 故（5）正确； 综上所述，正确的结论有个． 70．已知抛物线的图象经过点，． (1)求该抛物线的表达式和顶点坐标． (2)点，在抛物线上且轴，线段先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，点与轴上的点重合，点和抛物线上的点重合，与抛物线交于点，若点是的中点，求，的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的表达式，再化为顶点式即可解答； （2）作轴交于，作轴交于，由抛物线的对称性得，则，结合（1）得抛物线关于对称，则，求得，即，根据求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得 解得 ∴顶点坐标： （2）解：作轴交于，作轴交于， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线关于对称，令交于D， ∴， 又为中点 ， 由题意得， 由抛物线的对称性得， ， ∴ 解得： ∴，， 代入 把代入，得 ． 71．在平面直角坐标系中，，是抛物线两点． (1)当时，比较的大小，并说明理由； (2)当时，记抛物线在点之间的部分（含点）为图形，若在图形上存在两点（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) ，理由如下： ， ， ，， ， ； (2)或 【分析】（1）先将代入抛物线解析式，求解并比较即可； （2）在图形上存在两点（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而增大，即在图形上必存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大，首先求出抛物线的对称轴为，再对a的大小进行分类讨论即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， ∵在图形上存在两点（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而增大， ∴在图形上必存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大， ①当时，抛物线开口向上时， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 当，即时， 则， 则点M在对称轴右侧，点N在对称轴左侧，此时在图形上必存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大， ∵点N关于对称轴的对称点的坐标为 ，， ， 解得， 则当时满足题意； 当，即时， 若，则，即此时点M、N都在对称轴左侧，不存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大； 若，则，即此时点M在对称轴左侧，点N在对称轴上，不存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大； 若，则，即此时点M在对称轴左侧，点N在对称轴右侧，则存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大， ∵点N关于对称轴的对称点的坐标为 ，， ， 解得，故不存在； ②当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ， ，， 即点M在对称轴右侧，点N在对称轴左侧，则存在一段图象，使其对应的y随x的增大而增大， ∵点N关于对称轴的对称点的坐标为 ，， ， 解得， 则时满足题意； 综上所述，或． 72．已知二次函数． (1)若点在该函数图象上，求此函数图象的对称轴； (2)在（1）的基础上，若，当时，求二次函数的最大值； (3)若该函数在时，y随x增大而减小；在时，y随增大而增大，请求出b的取值范围． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】本题考查二次函数的性质（对称轴、最值、增减性），解题的关键是掌握二次函数对称轴公式及开口方向对增减性的影响． （1）利用二次函数过的两点，结合对称轴公式求对称轴； （2）代入参数得到函数解析式，根据开口方向和区间距离对称轴的远近求最值； （3）根据增减性确定对称轴的范围，进而求解的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴当时，， 即二次函数过点， 又点在该函数图象上， ∴此函数图象的对称轴为直线； （2）解：由（1）可知对称轴为直线， ， 又， ， ， ∴该二次函数开口向上， 又， ∴当时，，二次函数有最大值为， ∴当时，二次函数有最大值为12； （3）解：∵二次函数， ∴此函数图象的对称轴为直线， ， ∴抛物线开口向上， ∵在时，y随x的增大而减小， ， 解得， ∵在时，y随x的增大而增大， ， 解得， ． 73．在全国战“疫”期间，网络销售及快递小哥为我们提供了极大的生活便利．某网店专售一款电动牙刷，其成本为元/支，销售中发现该商品每天的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系． (1)请求出与的函数关系式； (2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)山川异域，风月同天，同舟共济，共克时艰．该网店店主决定从每天获得的利润中抽出元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？ 【答案】(1) (2)该款电动牙刷销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大销售利润为810元； (3)当该款电动牙刷的销售单价每支不低于元，且不高于元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于 元 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天的销售利润为W元，根据每天的利润每支电动牙刷的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意可得，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 由题意得， ∴， ∴； （2）解：设每天的销售利润为W元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为810， 答：该款电动牙刷销售单价定为元时，每天销售利润最大，最大销售利润为810元； （3）解：由（2）和题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解不等式组得， 解不等式组，可知该不等式组无解， 综上所述，， 答：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于元，且不高于元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于 元． 74．【问题背景】气温变化会直接影响冷饮的市场需求．某饮品店为优化备货策略，计划通过建立数学模型，刻画当日最高气温与冷饮销量之间的关联，为经营决策提供数据支撑． 【数据收集】该饮品店统计了5天的经营数据，记录了当天最高气温与对应冷饮销量，并用散点趋势图直观呈现两个变量的关系（如图）． 【建立模型】 由散点分布可知，所有散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，因此可以用直线模型刻画销量和最高气温的关系．设解析式为：．小明选取能代表整体趋势的两个点和确定直线，目的是让这条直线经过尽可能多的点． (1)任务1：请你根据小明的方法，求出这条直线的解析式； 【模型优化】小朱同学提出：以残差的平方和作为总误差，总误差最小时的直线即为最优拟合直线（残差实际观测销量模型函数值）．若将代入解析式，可得：，因此初步模型为：． (2)任务2：①求这组数据的总误差（用含的式子表示）； ②当________时，这组数据的总误差取得最小值； 【模型应用】 (3)任务3：饮品店每日的备货量由模型预测销量确定，每售出1杯冷饮可获利6元，未售出的每杯亏损3元．若某日当地最高气温为，实际当日冷饮需求量为173杯，请你通过计算判断：这两种模型中，哪种模型能让饮品店当日获得更高利润． 【答案】(1)； (2)①这组数据的总误差为；②当时，这组数据的总误差取得最小值； (3)最优拟合模型利润更高． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先提取5组散点坐标：，，，，根据题意列式计算即可求解； ②利用二次函数的性质求解即可； （3）分小明模型和最优拟合模型两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将和代入，得： ，解得， ∴这条直线的解析式为； （2）解：①先提取5组散点坐标：，，，， ∵， ∴ ； ②∵， ∴开口向上， ∴最小值在时，取得最小值； （3）解：小明模型：，时， 预测备货量（杯）， 实际需求173杯， 备货170杯全部售出，利润（元）， 最优拟合模型：，， 代入， 得 ， 备货取整数176杯，实际需求173杯， 未售出（杯）， 则（元）， ， ∴最优拟合模型利润更高． 75．如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是的中点且，．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为，已知山顶F到点A的水平距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)一个人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且． ①请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由； ②下列结论中，正确的有 ． （a）在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等； （b）在拱桥的段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近； （d）人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近． 【答案】(1) (2)解：①人眼在点Q处能直接看到山顶F.理由如下： 如图，连接， ∵点P到点A的水平距离为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵山高为，山顶F到点A的水平距离为． ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴ ， ∴人眼在点Q处能直接看到山顶F. ②（a） 【分析】（1）如图，以为轴，为轴，建立坐标系，设抛物线为，再利用待定系数法求解即可； （2）①连接，求解，，，求解直线为，计算，进一步结合配方法可得答案； ②（a）如图，连接，过作于，求解，如图，若存在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等，即，设，则，可得，可得（a）符合题意；（b）不符合题意；当在段，可得，计算，，时的值，可得（c）（d）都不符合题意. 【详解】（1）解：如图，以为轴，为轴，建立坐标系， ∵，， ∴，，， 设抛物线为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：. （2）解：①略 ②（a）如图，连接，过作于， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 如图，若存在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等，即， 设，则，即， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（与重合）， ∴（a）符合题意； （b）由（a）可得在拱桥的段不存在一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）（d）当在段， ∵，， ∴ 当时， ， 当时， ， 当时， ； ∴（c）（d）都不符合题意. 76．掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不能得到满分，理由： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 小蕙在此次考试中不能得到满分． 【分析】根据图表可知当时，实心球在空中取得最大高度，设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式，由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，代入求解即可； （2）由（1）可知解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由图表可知当时，；当时，， ∴可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米， 设抛物线的解析式为， 当时，， 则，解得：， 则， 由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 当时，， 得在小蕙投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米； （2）由（1）可知实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式为； （3）略 77．如图1，2是水槽水龙头的侧面简易示意图，矩形为水槽侧面，宽，深，排水口位于的中点．在水槽边正上方安装水管，水龙头，水管，．按水龙头的安装要求，水流需直接对准排水口确保水快速排入管道，水流的形状近似看作线段．（参考数据：，，） (1)如图1建立平面直角坐标系，求点和点的坐标； (2)为方便儿童洗手，在点加装喷水装置如图2，从点喷出的水流形状近似可以看作抛物线．已知当水流与水槽边的距离为时，水流达到最高，最高高度为，求出抛物线的表达式； (3)加装喷水装置后，打开水龙头时水流是否会淋到水槽外，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)解：会淋到水槽外． 理由如下： ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴当时，， ∵矩形， ∴， ∵， ∴会淋到水槽外． 【分析】（1）过点向作垂线交于点，解，求出的长，进而求出点和点的坐标即可； （2）求出顶点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出时的函数值，进行判断即可. 【详解】（1）解：过点向作垂线交于点，如图， ∵， ∴． 在中，， ∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵当水流与水槽边的距离为时，水流达到最高，最高高度为，， ∴抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线表达式为； （3）略 78．如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）设，求出，，因此．过点D作，交x轴对于点F，则，则．设，则．证明四边形是正方形，推出，进而证明，得到，，，．连接，证明，得到，又，从而在中，根据勾股定理构造方程，求出a的值，即可得出点M的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，求出点P的坐标，根据的面积关于点P的横坐标t的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 79．在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．某学校数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下： (1)如图1所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式为 ． (2)如图2所示，抛物线与直线交于、两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交直线于点． ①请判断点 翻折后的图象上（填“在”或“不在”）； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． (3)如图3所示，将抛物线绕点逆时针旋转得到新的抛物线．直线l：与抛物线交于点、，点在点的下方，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①在；② (3) 【分析】（1）把抛物线的解析式整理成顶点坐标式，可得抛物线的顶点坐标是，根据平移的方向和距离得到平移后抛物线的顶点坐标为，即可得到平移后新抛物线的解析式； （2）①设点的坐标是，找到点关于直线的对称点，点的对称点在抛物线上，则点就在抛物线翻折后的图象上； ②过点作轴，交直线于点，连接，设点的坐标是，可得：点的坐标是，从而可得，根据等腰直角三角形斜边与直角边之间的关系可知，根据二次函数的性质即可求出的最大值； （3）设点绕点逆时针旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴，可证，根据全等三角形的性质可得点的坐标是，把点的坐标代入抛物线，可得：，解方程组，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：整理抛物线的解析式， 可得：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的解析式为； （2）①解：如下图所示，设点的坐标是， 解方程， 可得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 轴于点， ，， 过点作于点，交轴于点 当时，可得：， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ， ， ， ， ， ， 点与点关于直线对称， ， ， 点的坐标是， 点与点重合， 点关于直线的对称点在抛物线上， 点在抛物线翻折后的图象上； ②解：如下图所示，过点作轴，交直线于点，连接， 设点的坐标是， ， 点关于直线对称， ，， ， 点的纵坐标是， 解方程， 整理可得：， 点的坐标是， ， ， 整理可得： 的最大值为； （3）解：如下图所示，设点绕点逆时针旋转后得到点， 则， ， 过点作轴于点，过点作轴， ， ， ， 由旋转可知， 在和中，， ， ，， 设点的坐标是， ，， ，， ， 点的坐标是， 把点的坐标代入抛物线， 可得：， 整理可得：， 解方程组， 整理可得：， 解得：，， 点在点的下方， 点的纵坐标为， 点的横坐标为， 点的坐标为． 80．已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． 即． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $