2.3 课时2 实数 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

2026-2027学年度苏科版数学)八年级上册课时同步训川练 第二章实数的初步认识 2.3实数 课时2实数 课时目标 理解实数的概念与分类，掌握实数与数轴上点的一一对应。 2. 掌握实数的相反数、绝对值及大小比较方法。 3 能进行实数的加、减、乘、除、乘方及开方运算，并会近似计算。 课时目逯 知识点01：实数的定义 知识点02：实数的分类 知识点03：实数与数轴上的点的对应关系 知识点04：实数的相反数与绝对值 知识点05：实数的大小比较 知识点06：实数的运算 知识点07：实数的近似计算 知识点01：实数的定义 119 有理数和无理数统称为实数。即实数包含全体有理数和全体无理数，数轴上的每一个点都 对应一个实数。 1 例如：3、一2、0是有理数；V巨、π是无理数：它们一起构成实数。 注意：实数与数轴上的点一一对应。 .(2026江苏盐城模拟预测)下列四个数中，属于负数的是() 1 1 A. B.0 C.3 D.-1 2.(2026江苏扬州二模)高邮鸭蛋是闻名全国的特产.某鸭蛋加工厂的冷库温度设定为-3℃，实数-3 的倒数为() A.-3 B.3 1 C.-3 D. 22 3.(2425九年级下江苏南京阶段检测)给出下列实数：7，√3,38，V4,4.2i,3,0.1其中无理 数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.(2425九年级下·江苏扬州阶段检测)实数-2025是2025的() A.绝对值 B.相反数 C.倒数 D.以上都不正确 知识点02：实数的分类 按定义分：实数分为有理数（整数、分数）和无理数。 按性质（符号）分：实数分为正实数、0、负实数。 例如：√2是正实数，一3是负实数，0既非正也非负。 注意：0是实数，且唯一既非正也非负；分类须不重不漏。 5.(2026江苏泰州二模)下列实数中，是整数的是（) A.2 B.0 C.2 D.π 6.(25-26七年级下·江苏南通阶段检测)下列说法错误的是() A.无限小数都是无理数 B.无理数也能用数轴上的点表示 C.无理数与无理数的和可能是有理数 D.无理数都是无限小数 219 7.(25-26八年级上江苏无锡·阶段检测)在实数9,3.1415926,0.12312,2，V4, 0.2020020002.·(相邻两个2中间一次多1个0)中，无理数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8(2627七年级上江苏无锡阶段检测把下列各数相应的序号填入对应的括号内：0(-5），②0，® 22 个 -3,④-7，⑤+2.4，⑥30%，⑦-(6)，⑧2，⑨1.02 ①正有理数集合：{ …}； ②负整数集合：{ …} ③正分数集合：{ …} ④非负整数集合：{ .} 知识点03：实数与数轴上的点的对应送系 实数与数轴上的点一一对应：每一个实数都可数轴上找到唯一一点，反之数轴上每一点都 表示一个实数。 要点：这把“数”与“形”统一起来。 例如：√2对应数轴上距原点V2单位长度的点；无理数在数轴上也有确定位置。 9. (25-26七年级下·江苏南通期末)如图，面积为6的正方形ABCD的顶点A在数轴上表示数-1，以点 A为圆心，AB长为半径作圆弧交数轴于点E,若点E在点A的右侧，则点E表示的数为() B A -4-3-2-101E234→ A.-1+V6 B.-1-v6 C. V6 D.+5 10.(2026江苏南京三模)实数a6在数轴上对应点的位咒如图所示，若名1，则下列四个点中，表示 原点的可能是() 319 R A.P B. C.R D.S 11.(2026江苏南京二模)如图，a,b,a+b在数轴上的对应点分别是A,B,P,则a-b在数轴上的对 应点位于() P B atb a b A.点P左边 B.点P,A之间 C.点A,B之间 D.点B右边 12.(2026江苏南通模拟预测)已知点W在数轴上，且到原点的距离大于π，写出一个点W表示的负数： 知识点04：实数的相反数与绝对值 实数a的相反数是-a;绝对值|d:当a≥0时为a,当a<0时为-a,几何意义是数轴上该 点到原点的距离。 例如：V2的相反数是-V2:-3到=3，N21=V2。 注意：负数的绝对值是它的相反数，去绝对值要先判符号。 13.(2026江苏徐州一模)实数-5的相反数是 14.(2026江苏扬州一模)实数-2026的绝对值为 15.(2025江苏南京·一模) 5-3 的绝对值是 的相反数是 16,(2026江苏南京一模)实数“.6，C满足a+h+c=0,且k内<内 ,且 下列结论：①abc<0, 与6异号：③ +。=-1,④a+M=,其中所有正确结论的序号是 知识点05：实数的达小比较 数轴上右边的点表示的数较大；正数>0>负数；两负数比绝对值，绝对值大的反而小。 也可平方法（正数）比较。 419 例如：√2≈1.414>1：-√2<-1（因-√2>-1）。 注意：比较含根号数常用夹逼或平方，保持不等号方向。 17.(2026江苏淮安中考真题)下列实数中，最大的数是() A.-1 B.1 C v5 D 0 18,(25:26七年级下江苏南通期末)实数2,5,0,5 ，最大的数是() A.2 B V5 C 0 DV5 19.(25-26七年级下江苏无锡期末)若a=23,b=32,c=5",那么a、b、c的大小关系为() A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b 20.(25-26七年级上·江苏徐州阶段检测)比较大小： （3.14)(填“>”或“=”或“< ”) 知识点06：实数的运算 实数可进行加、减、乘、除（除数非0）、乘方及开方运算，运算法则与有理数一致，运 算结果仍为实数。 例如：V2+1保留为V2+1:2xV2=2W2;V4=2。 注意：本阶段只在“平方根、立方根”层面开方，不引入二次根式的化简运算。 21.(25-26七年级下·广东广州期末)在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是( 是有理数 取算术 是有理数 是无理数 输入x 平方根 取立方根 输出y 是无理数 A v2 B.2 C v3 D.3 22.(25-26七年级下·陕西商洛期中)如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的x的值为8 时，输出的结果是 5/9 输入x值了→ 取x的平方 取立方根 输出 取算术平方根 取倒数 23。.（25:26八年级上江苏连云港期中)如图是一个数值转换器（冈<36 输入x 计算x-2到 取算术平方根 是无理数 输出y 是有理数 (1)当输入的x为-7时，输出的y值是 (2)若输入实数x后，始终输不出'值，则所有满足要求的x的值为 )若输出的'是6，求产的负整数值。 24.(24-25七年级下江苏南通期末)一个数值转换器如图所示： 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 (1)当输入的x值为25时，输出的y的值是 ②若输出的'值是V7 ，试写出两个满足要求的的值： (3)若输入x(x为非负数)值后，始终输不出y的值，请直接写出所有满足要求的x的值， 知识点07：实数的近以计篁 当结果含无理数时，常取近似值代入计算，用≈连接。 例如：求V2+1的近似值，V2≈1.414，则V2+1≈2.414。 注意：近似计算先统一精度（如都取三位小数）再运算；中间过程尽量多保留，最后四舍 五入，避免累积误差。 25.(25-26七年级下·安徽芜湖期末)估计 V26-1 的值在() A.2和3之间B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 26.(25-26七年级下江苏南通·期末)读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了 正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）·如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸 入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为 6/9 22cm3 由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间() 物块 A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 27。(25,26七年级下江苏南通阶段检测)估计5-5 的值在（) A.0到1之间 B.1到2之间 C.2到3之间 D.3到4之间 28.(25-26七年级下·山东滨州期末)我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上 有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.你知道华罗庚是怎样准确迅 速地计算出来的吗？有一种方法如下： 08100=10.3700000=100 又1000<59319<1000000， .10<59319<100 ∴.能确定59319的立方根是个两位数」 ②93=729， .能确定5319的立方根的个位数是9. ®如果划去5919后面的三位319得到数59，而27<85<G网，即3<59<4，可得 即 30<59319<40 由此能确定59319 9的立方根的十位上的数是3， 因此59319的立方根是39.据此，若整数x是-389017的立方根，则x= 课时训练 一、选择题 7/9 1.(2425八年级上江苏无锡阶段检测14、V5、27、元、02020202…这五个数中，无理数 有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2025江苏盐城中考真题)小明从小区-2楼出发，实数-2的绝对值是() C.Z 1 A.2 B.-2 D.-2 3.(2024江苏准安·一模)下列实数中，其倒数比本身大的是() 1 A.-2023 B.0.2 C.-2023 D.2023 4.(2026江苏苏州·一模)在数轴上，下列实数所表示的点在原点的左边的是() A.-2 B.0 C.1 D.2 二、填空题 22π 5.(25-26八年级上江苏常州期中)在实数5,7,2,0，-3.141中，无理数有一个。 6.(24-25七年级下江苏南通期未)写出一个比5小的无理数 一：写出一个比V万 大的有理数 7.(2425八年级上江苏扬州期末)若实数x满足x-8=0,则x=。 8.(25-26八年级上江苏宿迁期中)如图，正方形ABCD的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的 数为2，数轴上有一点E在点A的左侧，若AD=AE,则点E表示的数为 三、解答题 9.(25-26八年级上：江苏泰州期中)把下列各数分别填入相应的集合里. 819 1 22 5,2,0,-3.14,7,-12.101001…(每两个1之间多增加1个0)，+1.99，-（6)，元. (1)正数集合：{ .…} (2)整数集合：{ …} (3)无理数集合：{ …} 4)平方不大于本身的数的集合：{ } 10.(25-26八年级上江苏盐城期中)如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬行2个单位长度到达点A, v5 ”表示 °，设点A表示数m A B 20123→ (1)实数m的值是_： ②求（m+2+m-3到的值： e)微轴上月有C,D两点分别表示实数°和4，且2c+41+-4=0,求2c+3u+8 算术平方根。 9/9 2026-2027学年度苏科版数学八年级上册课时同步训练 第二章 实数的初步认识 2．3 实数 课时2 实数 ▌课时目标 1. 理解实数的概念与分类，掌握实数与数轴上点的一一对应。 2. 掌握实数的相反数、绝对值及大小比较方法。 3. 能进行实数的加、减、乘、除、乘方及开方运算，并会近似计算。 ▌课时目录 知识点01：实数的定义 知识点02：实数的分类 知识点03：实数与数轴上的点的对应关系 知识点04：实数的相反数与绝对值 知识点05：实数的大小比较 知识点06：实数的运算 知识点07：实数的近似计算 ▌知识点01：实数的定义 有理数和无理数统称为实数。即实数包含全体有理数和全体无理数，数轴上的每一个点都对应一个实数。 例如：3、－、0是有理数；、π是无理数；它们一起构成实数。 注意：实数与数轴上的点一一对应。 1．（2026·江苏盐城·模拟预测）下列四个数中，属于负数的是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，是正数，不符合要求； B． 既不是正数也不是负数，不符合要求； C．，是正数，不符合要求； D．，是负数，符合要求． 2．（2026·江苏扬州·二模）高邮鸭蛋是闻名全国的特产．某鸭蛋加工厂的冷库温度设定为，实数的倒数为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：实数的倒数为． 3．（24-25九年级下·江苏南京·阶段检测）给出下列实数：，，，，，，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．本题根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴无理数有：，，共2个． 故选：A． 4．（24-25九年级下·江苏扬州·阶段检测）实数是2025的（   ） A．绝对值 B．相反数 C．倒数 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了实数及相反数，熟练掌握实数及相反数的意义是解题的关键；因此此题可根据相反数的意义进行求解 【详解】解：实数是2025的相反数； 故选：B ． ▌知识点02：实数的分类 按定义分：实数分为有理数（整数、分数）和无理数。 按性质（符号）分：实数分为正实数、0、负实数。 例如：是正实数，－3是负实数，0既非正也非负。 注意：0是实数，且唯一既非正也非负；分类须不重不漏。 5．（2026·江苏泰州·二模）下列实数中，是整数的是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 整数包括正整数，零，负整数，对各选项分析如下， 选项A：，是分数，不是整数， 选项B：是整数，符合要求， 选项C：是无限不循环小数，属于无理数，不是整数， 选项D：是无限不循环小数，属于无理数，不是整数． 6．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．无理数也能用数轴上的点表示 C．无理数与无理数的和可能是有理数 D．无理数都是无限小数 【答案】A 【分析】本题考查无理数、有理数的基本概念，以及实数与数轴的关系，要求辨析各选项，找出错误的说法． 【详解】解：∵ 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数， ∴ “无限小数都是无理数”的说法错误，A符合题意； ∵ 所有实数都可以用数轴上的点表示，无理数属于实数， ∴ 无理数能用数轴上的点表示，B说法正确，不符合题意； ∵ 例如和都是无理数，，0是有理数， ∴ 无理数与无理数的和可能是有理数，C说法正确，不符合题意； ∵ 无理数的定义是无限不循环小数，因此无理数都属于无限小数， ∴ “无理数都是无限小数”的说法正确，D不符合题意． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在实数，，，，，（相邻两个中间一次多个）中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数称为无理数是解题的关键．先化简，再根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数． 【详解】解：∵（有理数），是有限小数（有理数），是循环小数（有理数），是无理数，是无理数，是无限不循环小数（无理数）， ∴无理数有个． 故选：B． 8．（26-27七年级上·江苏无锡·阶段检测）把下列各数相应的序号填入对应的括号内：①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ ①正有理数集合：{_________…}； ②负整数集合：{_________…}； ③正分数集合：{_________…}； ④非负整数集合：{_________…}． 【答案】 ⑤⑥⑦⑨；①③；⑤⑥⑨；②⑦ 【分析】先化简所有给出的数，再根据数的分类定义将序号填入对应集合． 【详解】解：先化简各数：，， 其余数无需化简，根据数的分类定义整理得： 正有理数是大于0的有理数，是无理数，因此正有理数有：⑤⑥⑦⑨ ； 负整数是小于0的整数，因此负整数有：①③ ； 正分数是大于0的分数，有限小数和无限循环小数都属于分数，因此正分数有：⑤⑥⑨ ； 非负整数包含0和正整数，因此非负整数有：②⑦ ． ▌知识点03：实数与数轴上的点的对应关系 实数与数轴上的点一一对应：每一个实数都可数轴上找到唯一一点，反之数轴上每一点都表示一个实数。 要点：这把“数”与“形”统一起来。 例如：对应数轴上距原点单位长度的点；无理数在数轴上也有确定位置。 9．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，面积为的正方形的顶点在数轴上表示数，以点为圆心，长为半径作圆弧交数轴于点，若点在点的右侧，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正方形面积求出，由点在点的右侧，用代表的数加的长度，得到表示的数． 【详解】解：正方形的面积为， ，即， 点在数轴上表示数，点在点的右侧， 点表示的数为． 10．（2026·江苏南京·三模）实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列四个点中，表示原点的可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由可知：实数在原点的同侧， 由数轴可知：当时，不满足，故舍去； ∴，即表示原点的可能是． 11．（2026·江苏南京·二模）如图，a，b，在数轴上的对应点分别是A，B，P，则在数轴上的对应点位于（     ） A．点P左边 B．点P，A之间 C．点A，B之间 D．点B右边 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置关系得出 ，从而判断 的符号，再利用数轴上两点间的距离公式及图形的几何特征确定 的位置． 【详解】解：由数轴可知，点对应的数分别为，且从左到右排列 ， 即对应的点在点的右边 又点到点的距离为，点到点的距离为 点到点的距离等于点到点的距离 由图可知，线段的长度明显小于线段的长度 点到点的距离小于点到点的距离 点位于点与点之间． 12．（2026·江苏南通·模拟预测）已知点在数轴上，且到原点的距离大于，写出一个点表示的负数：______． 【答案】（不唯一） 【分析】根据点是数轴上的负数，且到原点的距离大于，写出一个符合条件的数即可． 【详解】解：设点表示的数为，依题意得，且，可得， ∵， ∴可取，满足条件． ▌知识点04：实数的相反数与绝对值 实数a的相反数是－a；绝对值|a|：当a≥0时为a，当a＜0时为－a，几何意义是数轴上该点到原点的距离。 例如：的相反数是－；|－3|＝3，||＝。 注意：负数的绝对值是它的相反数，去绝对值要先判符号。 13．（2026·江苏徐州·一模）实数的相反数是________． 【答案】5 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此的相反数为． 14．（2026·江苏扬州·一模）实数的绝对值为________． 【答案】2026 【详解】解：实数的绝对值为2026． 15．（2025·江苏南京·一模）的绝对值是 ___________，的相反数是 ___________． 【答案】 / 【分析】此题主要考查了实数的性质，绝对值与相反数，理解绝对值与相反数的意义是解决问题的关键． 根据绝对值的意义可得出的绝对值，根据相反数的定义可得出的相反数． 【详解】解：的绝对值是：， ∴的相反数是：， 故答案为：，． 16．（2026·江苏南京·一模）实数，，满足，且．下列结论：①；②与异号；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】③④ 【分析】先根据得到，结合绝对值性质和等式性质判断③④，再分类讨论的符号判断①②，即可得到正确结论． 【详解】解：已知，且， 因此．移项得， 两边取绝对值得，故④正确． 等式两边同时除以，得， 整理得，故③正确． 由得， 假设异号，则，可得或，则或，这与已知条件矛盾， 故假设不成立，必为同号． 又因为， 所以的符号与，的符号相反， 分两种情况讨论： 当时，，，此时，，同号； 当时，，，此时，，同号， 因此不一定成立，故①错误； ，一定同号，故②错误． 综上，正确结论的序号是③④． ▌知识点05：实数的大小比较 数轴上右边的点表示的数较大；正数＞0＞负数；两负数比绝对值，绝对值大的反而小。 也可平方法（正数）比较。 例如：≈1.414＞1；－√2＜－1（因|－√2|＞|－1|）。 注意：比较含根号数常用夹逼或平方，保持不等号方向。 17．（2026·江苏淮安·中考真题）下列实数中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正数大于0，0大于负数比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个实数中，最大的数是． 18．（25-26七年级下·江苏南通·期末）实数，，，中，最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本利用实数比较大小的法则，正数大于0，0大于负数，两个正数（含无理数）比较，可通过平方后比较大小得到结果. 【详解】解：∵ 是负数，小于所有正数和0，∴ 排除D选项， ∵  ，， ∵ ， ∴ ， ∴ 四个数中最大的数是 . 19．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若，，，那么、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂的乘方的逆运算，将三个数的指数统一，再通过比较底数大小得到三个数的大小关系，用到初中幂的乘方性质：，正指数相同的情况下，底数越大幂越大. 【详解】解：∵ ，，， 又∵ 指数都是正整数，且， ∴ ， 即 . 20．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】先化简两个数，再根据实数大小比较规则判断大小即可． 【详解】解：，， ∵正数大于一切负数， ∴． ▌知识点06：实数的运算 实数可进行加、减、乘、除（除数非0）、乘方及开方运算，运算法则与有理数一致，运算结果仍为实数。 例如：＋1保留为＋1；2×＝2；＝2。 注意：本阶段只在“平方根、立方根”层面开方，不引入二次根式的化简运算。 21．（25-26七年级下·广东广州·期末）在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的x值是64时，取算术平方根得， 由于8是有理数，所以再取立方根得， 由于2是有理数，所以再取算术平方根得， 由于是无理数，所以输出y的值是． 22．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 【答案】/0.5 【分析】根据程序图所示的运算顺序，对输入的依次进行平方、开立方、取倒数、开算术平方根的运算即可得出结果． 【详解】解：第一步，取的平方，即， 第二步，对结果取立方根，即， 第三步，对结果取倒数，即， 第四步，对结果取算术平方根，即， 因此，当输入时，输出的结果是． 23．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 24．（24-25七年级下·江苏南通·期末）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 【答案】(1) (2)7和49（答案不唯一） (3)0，1 【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据转换器的运算程序求解即可； （2）根据49的算术平方根是7，7的算术平方根是，即可得到答案； （3）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答． 【详解】（1）解：当输入的x值为25时，取算术平方根，即，5是有理数， 第二次输入，取算术平方根，即，是无理数， 所以输出的y值是； 故答案为：； （2）解：49的算术平方根是7，7的算术平方根是， ∴满足要求的x的值可以是7和49； 故答案为：7和49（答案不唯一） （3）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， ∴当和1时，始终输不出y的值． ▌知识点07：实数的近似计算 当结果含无理数时，常取近似值代入计算，用≈连接。 例如：求＋1的近似值，≈1.414，则＋1≈2.414。 注意：近似计算先统一精度（如都取三位小数）再运算；中间过程尽量多保留，最后四舍五入，避免累积误差。 25．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】先确定的范围，再推导的范围即可． 【详解】解：， ， 即， ∴， 的值在和之间． 26．（25-26七年级下·江苏南通·期末）读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数估算的实际应用，根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可． 【详解】解：由题意，得：正方体的棱长为， ∵， ∴； 故选：B． 27．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）估计的值在（     ） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间 【答案】D 【分析】本题使用夹逼法估算无理数的范围，先确定的取值区间，再根据不等式性质推导的范围即可. 【详解】解：， ，即， ∴， ∴，即； 因此的值在到之间. 28．（25-26七年级下·山东滨州·期末）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： ①，， 又， ， ∴能确定的立方根是个两位数． ②， ∴能确定的立方根的个位数是． ③如果划去后面的三位得到数，而，即，可得，由此能确定的立方根的十位上的数是， 因此的立方根是．据此，若整数是的立方根，则________． 【答案】 【分析】仿照题干给出的方法，先求出的立方根，再结合立方根的性质即可得． 【详解】解：①，，， ∴， ∴能确定的立方根是两位数； ②∵， ∴能确定的立方根的个位数字是； ③划去后面的三位得到数，而，即， ∴， ∴能确定的立方根的十位数字是； ∴， ∴， ∵整数是的立方根， ∴． ▌课时训练 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）14、、、、0.2020020002……这五个数中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是明确无理数是无限不循环小数，包括开方开不尽的数、含的数、有规律但不循环的无限小数． 根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数的类型即可． 【详解】解：14是整数，属于有理数； 是开方开不尽的数，所以是无理数； 因为，是整数，属于有理数； 是一个无限不循环小数，属于无理数 ，该数是有规律但不循环的无限小数，属于无理数． 综上，、、是无理数，共3个， 故选：C． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键． 根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解：实数的绝对值是， 故选：A． 3．（2024·江苏淮安·一模）下列实数中，其倒数比本身大的是（     ） A． B． C． D．2023 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，实数比较大小，根据乘积为1的两个数互为倒数分别求出对应数的倒数，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：A、的倒数为，，符合题意； B、的倒数为，，不符合题意； C、的倒数为，，不符合题意； D、的倒数为，，不符合题意； 故选：A． 4．（2026·江苏苏州·一模）在数轴上，下列实数所表示的点在原点的左边的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查数轴与实数的对应关系，根据数轴的性质，原点左边的点对应的数是负数，只需判断选项中的数的正负性即可得到答案． 【详解】解：数轴上原点左边的点对应的数是负数，原点对应，原点右边的点对应正数． 对各选项判断如下： A选项，是负数，对应点在原点左边； B选项，对应点在原点，不在原点左边； C选项，是正数，对应点在原点右边； D选项，是正数，对应点在原点右边． 二、填空题 5．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在实数，，，，中，无理数有__ 个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数定义和实数分类，熟记实数分类及无理数定义是解决问题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数称为无理数，对每个实数进行判断． 【详解】解：在实数，，，，中，无理数有，，共2个， 故答案为：2． 6．（24-25七年级下·江苏南通·期末）写出一个比小的无理数__________；写出一个比大的有理数__________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查了估算无理数，实数的大小比较，根据无理数是无限不循环小数，再根据题意，可得答案． 【详解】解：∵ 写出一个比小的无理数是；写出一个比大的有理数是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）若实数满足，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查立方根及实数的定义，熟练掌握立方根是解题的关键；由可进行求解． 【详解】解： ∵， ∴； 故答案为2． 8．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了算术平方根、实数与数轴等知识，确定正方形的边长是解题关键．首先根据题意确定正方形的边长，然后结合点的位置即可获得答案． 【详解】解：根据题意，正方形的面积为3， 则该正方形的边长为，即， ∴， ∵点表示的数为2，且点在点的左侧， ∴点表示的数为． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． (1)正数集合：{          …} (2)整数集合：{          …}； (3)无理数集合：{          …}； (4)平方不大于本身的数的集合：{          …}． 【答案】(1)，，，，π (2)，0， (3)（每两个1之间多增加1个0）， (4)，0 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据正数的定义，进行作答即可； （2）根据整数分为正整数，负整数和0，进行作答即可； （3）根据无限不循环小数是无理数，进行作答即可； （4）根据平方不大于本身的数为大于等于0且小于等于1的数，进行判断即可． 【详解】（1）解：，； 故正数集合：{，，，，π…}； （2）整数集合：{，0，…}； （3）无理数集合{ （每两个1之间多增加1个0），…} （4）平方不大于本身的数的集合：{，0…}． 10．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是_； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)； (3)的算术平方根为． 【分析】（1）根据题意可知比小2，即可求解； （2）结合（1），把的值代入计算即可； （3）根据绝对值和算术平方根的非负性，可得，，可得，即可得，求算术平方根即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∴实数的值是． 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ． ∴的值为． （3）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 【点睛】本题考查实数与数轴，绝对值，代数式求值，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，求算术平方根． / 学科网（北京）股份有限公司 $