2.3 课时1 无理数 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

2026-2027学年度苏科版数学)八年级上册课时同步训川练 第二章实数的初步认识 2.3实数 课时1无理数 课时目标 理解无理数的概念（无限不循环小数），认识常见无理数类型。 2. 掌握有理数与无理数的本质区别，能识别并判定无理数。 3 能用夹逼法估算无理数大小，并用有理数近似表示。 课时目逯 知识点01：无理数的定义 知识点02：常见无理数的类型 知识点03：有理数与无理数的区别 知识点04：无理数的识别与判定 知识点05：无理数的估算 知识点06：用有理数近似表示无理数 知识点01：无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数。 1/10 要点：无理数是小数但不循环、不终止。 例如：元≈3.14159.、√2≈1.41421.…都是无限不循环小数，都是无理数。 注意：无理数不是“带根号的数”的代名词，关键在“无限不循环”。 1. (25-26七年级下·江苏南通期末)下列四个数中，是无理数的是() 22 A.0.4 B.5 C.0 D.7 2.(25-26七年级下江苏南通期末)下列各数中，是无理数的是() 1 A.6 B.3.14 C.6 D.4 3.(2026江苏盐城三模)下列四个数中，属于无理数的是() 1 A.3.1415926 B.3 c.5 D.0 4.(2026江苏无锡二模)下列各数中，无理数是() A.-1 B.0 C.5 D.4 1知识点02：常见无理数的类型 常见三类：含元的数（如、2m)；开方开不尽的数（如V2、5): 有规律的无限不循环小数（如0.1010010001..每两个1之间多一个0)。 例如：兀、V5、0.121231234.均是无理数。 注意：开方开得尽的数(4)是有理数。 5.(2026江苏准安·一模)下列各数中，是无理数的是() 2 A. B.0 C.3.14 D.3 6.(25-26七年级下江苏南通期中)下列实数中，无理数是() A.-2 B.4 C.6 n 7.(25-26八年级上江苏扬州期未)在-3号5.18%00101001001…巾，无理数的个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 2/10 11 2 8.(25-26七年级下江苏南通阶段检测)-12,9,0，-0.04,8，-4,0.23,3.1415926,7 V 2中，无理数的个数有个。 知识点03：有理数与无理数的区别 有理数包括整数、分数，其小数形式是有限小数或无限循环小数：无理数是无限不循环小 数。 二者并列、互不相交。 例如：0.3（有限）、0.3循环（无限循环）是有理数；兀、2是无理数。 注意：分数必为循环小数或有限小数，不可能是无限不循环。 9.(25-26八年级上江苏扬州期末)下列实数2,0，π，√2中，是无理数的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 22027 10.(25-26八年级上江苏镇江期末)下列各数中： 3 2,0.101001中，无理数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 11.(25-26八年级上江苏泰州期末)下列各数中，无理数的是() A.5 B.3 C.6π D.0.1010010001 12.(2425七4缓」江苏无得期中)下列法：①单现式2字的系数是2”次数是3：园5女 03…都是无理数：③在(-，，-0，（2这四个数中，非负数共有3个，①平方等于本身的 数只有0和1.其中正确的有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 知识点04：无理数的识别与判定 判定：先看能否化为分数或有限小数/循环小数，能则是有理数；否则（如含π、开方不 尽、有规律不循环)为无理数。 3/10 例如：√9=3是有理数；V2开方不尽是无理数；π是无理数。 注意：带根号不一定无理，如√16=4是有理数。 13.(25-26八年级上江苏盐城期末)在下列实数中，属于无理数的是() 22 A.7 B.元 C.16 D.-64 22 交 4.(25-26八年级上江苏泰州期未)下列实数7、25、2.10101000…、3中，无理数的个数是 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 15.(25-26八年级上·江苏盐城期末)下列实数中是无理数的是（) 1 A,698 B.1.99 C.-3 D.2 3 16. (25-26八年级上江苏连云港期末)下列实数√16,7，√7,3.1415926中，属于无理数的是 知识点05：无理数的估算 夹逼法：找两个连续整数使目标数介于其平方（或立方）之间，逐步缩小范围。 例如：估V2,因12=1<2<4=23，故1<V2<2;进一步1.4=1.96<2<1.52=225，故 14<V2<1.5。 注意：用平方比较，不等号方向不变（正数)。 17.(2026江苏南通·中考真思)实数 介于两个相邻的整数之间，这两个整数是() A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5 18.(25-26七年级下·江苏南通期末)如图，将长为10，宽为5的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好 拼成一个正方形，则与正方形边长最接近的整数是() A.6 B.7 C.8 D.9 4/10 19,(2026江苏连云港中考真题)已知P=v5+5 以下对P的值估算正确的是() A.3<p<4 B.4<p<5 C.5<p<6 D.6<p<7 <√n<3 20.(2026江苏泰州二模)已知 ,则整数n的值可以是 (填一个值即可)· 知识点06：用有理数近似表示无理数 无理数可用有限小数近似表示，精确到某位即用四舍五入。 例如：V2≈1.414，π≈3.14（精确到0.01）。 注意：近似值是“接近”而非“等于”，书写用“≈”。 实际计算常按需取近似，但理论判断仍用准确形式√2、元等。 21.(25-26八年级上江苏南京阶段检测)我们在学习无理数时，曾估计过√2的近似值，某数学研究小 3 组运用学过的知识对的近似值进行探索，下面是他们探索报告的片段： ①因为 <3<2,所以15<2 又15=225<3，所以5更接近2， ②设5=2-a0<a<0.),则2-a- +a2=3 由于0<a<0.5,a2接近0，可把a略去，得到方程 ®5的近议值为 (I)请将上述报告补充完整： ②)请用类似的方法求0 的近似值（精确到0.1）； V10 3)借助该思路，在(2)得到的近似值的基础上再进行探索，直接写出 更精确的近似值为 (精确到0.01). 5/10 22.(25-26八年级上江苏盐城期中)阅读材料，完成下列任务： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数 V107 我们可以用以下方法求无理数 的近似值（保留 107 的小数部分. 两位小数)· V107 ,面积为107的正方形的边长是 100<107<120, 0<V107<11 :i00<i07<Vi2 且 六设07=10+.其中0<x<1, 0+x 画出边长为 0<V107<11 即 的正方形，如图1：根据图中面积，得 V107 102+2×10x+x2=107 的整数部分为10， 107 W107-10 当x2较小时，忽略x2,得100+20x≈107.解得 的小数部分为 x≈0.35 V107=10+x≈10.25 任务一：利用材料一中的方法， V37 的整数部分是 V37 的小数部分是 任务二：利用材料二中的方法，探究V37 的近似值（保留两位小数，并写出求解过程）； 任务三：结合上述具体实例，已知正整数力、m满足4Km<5,且m=16+6,请估算m六 (用b的代数式表示) 10 10 102 10x 10x 图1 备用图 23.(25-26八年级上·江苏扬州期中)因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能 全部写出来，例如2是无理数， √2 的小数部分我们不可能全部写出来，由于1K5<2,所以2的 6/10 √2 整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用 2-1 表示 请解答下列问题： Q①7的整数部分是 小数部分是 @芳万=+y,其中产是整数，且° ,0<y<1 ，那么尤= y= 6)小明同学利用完全平方公式求10 的近似值，过程如下： 10=3+m,其中0<m<1,10=(3+m,即10=9+6m+m㎡ 2比较小，将m2忽略不计，10≈9+6m,即6m≈10-g,得m≈ 6 0≈3+=3 66 W10 0<n<1 小丽同学认为 也可以表示为4” ,其中 ①请你帮小丽同学利用上述方法求0 的近似值： ②比较小明和小丽的结果，直接写出哪位同学的结果精确度更高， 24.(2026江苏常州二模)【阅读材料】 我们利用完全平方公式(a±b=d±2ab+b 可以计算无理数的近似值. 倒如：求17 的近似值. .16<17<25.4<7<5.7 可以表示成以下两种形式： ①7=4+5，其中0<5<1，②7=5- ,其中0<1<1 用形式O求7 的近似值的过程如下： 设7=4+5，其中0<8<1，则17=(4+=16+85+2 s2比较小， 7/10 .将s忽略不计，则17≈16+8s. 8 74+日*413 8 ①)方法理解：请用形式②求7 的近似值： V17 (②)比较分析：你认为用哪一种形式得出'的近似值的误差更小，请简要说明理由（参考数据： V17≈4.123 ③)灵活运用：从形式①或②中，选择恰当的形式，计算V79 的近似值（保留两位小数），要求误差更 小 课时训练 一、选择题 1.(2026江苏泰州一模)下列四个数中，比-2小的无理数是() A.-π B-3 c-V3 D-2 2,（2026江苏南京模拟预测)整数a满足2I<a<一而 ， 则a的值为() A.-3 B.-4 C.-5 D.6 3。(24.25七年级下江苏南通期末)在V5和5 之间的整数共有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2W2 4.(25-26八年级上·江苏宿迁期末)下列说法：①同位角相等；②6的算术平方根是 ；③无限小 数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这 个数是0.其中是真命题的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8/10 二、填空题 20 5.(25-26八年级上江苏连云港期末)在实数7，V5,元，-√25中，无理数有 一个 6.(25-26九年级下·江苏连云港·期中)如图，无理数可以用数轴上点 来表示.（填“A 或“B”) 7.(25-26八年级上江苏南京阶段检测)若a<3<b,且ab是两个连续的整数，则-b的值为 +V3 8.(24-25八年级上·江苏南京·阶段检测)已知 的小数部分为， 2-3 的小数部分为，则 (m+m) 的值是 三、解答题 9.(25-26七年级下江苏南通期中)已知20-的算术平方根是3，b是8的立方根，c是14 -8 的整数部 分. (I)求a,b,c的值； 2)求a+2b+5c的平方根. 10.(25-26八年级上江苏徐州期中)阅读材料： 对于任意正整数m.因为a+少旷=r+2n+1,所以<+2n=m(a+2)ka+.两边同时开平方， 可得n<Vn(n+2)<n+1 根据以上材料，解答下列问题： 1)02x4 3.V3x5 4.V4x6 5；(填“>”，“<”，“=”) ②V2+2的整数部分是」 V32+3 的整数部分是」 9/10 ②比较N2024×2026与2025的大小，并说明理由， B)若V(x+)<x+2(x为正整数)，求x的值. 10/10 2026-2027学年度苏科版数学八年级上册课时同步训练 第二章 实数的初步认识 2．3 实数 课时1 无理数 ▌课时目标 1. 理解无理数的概念（无限不循环小数），认识常见无理数类型。 2. 掌握有理数与无理数的本质区别，能识别并判定无理数。 3. 能用夹逼法估算无理数大小，并用有理数近似表示。 ▌课时目录 知识点01：无理数的定义 知识点02：常见无理数的类型 知识点03：有理数与无理数的区别 知识点04：无理数的识别与判定 知识点05：无理数的估算 知识点06：用有理数近似表示无理数 ▌知识点01：无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数。 要点：无理数是小数但不循环、不终止。 例如：π≈3.14159…、≈1.41421…都是无限不循环小数，都是无理数。 注意：无理数不是“带根号的数”的代名词，关键在“无限不循环”。 1．（25-26七年级下·江苏南通·期末）下列四个数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，即可判断选项. 【详解】解：是有限小数，是整数，是分数，都属于有理数. 开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数. 2．（25-26七年级下·江苏南通·期末）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：是分数、是有限小数、是整数；由于开不尽立方，则是无理数． 3．（2026·江苏盐城·三模）下列四个数中，属于无理数的是（    ） A．3．1415926 B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：A．是有限小数，是有理数，不符合题意； B．是分数，是有理数，不符合题意； C．是开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数，符合题意； D．是整数，是有理数，不符合题意． 4．（2026·江苏无锡·二模）下列各数中，无理数是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故A不符合要求； B、是整数，属于有理数，故B不符合要求； C、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，故C符合要求； D、是分数，属于有理数，故D不符合要求． ▌知识点02：常见无理数的类型 常见三类：含π的数（如π、2π）；开方开不尽的数（如、）； 有规律的无限不循环小数（如0.1010010001…每两个1之间多一个0）。 例如：π、、0.121231234…均是无理数。 注意：开方开得尽的数（）是有理数。 5．（2026·江苏淮安·一模）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．0 C．3.14 D． 【答案】D 【详解】解：A．是分数，属于有理数，不符合题意； B．是整数，属于有理数，不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，不符合题意； D．是开方开不尽的数，为无限不循环小数，是无理数，符合题意． 6．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是有理数，不符合题意； B．，是有理数，不符合题意； C．是无理数，符合题意； D．是有理数，不符合题意． 7．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，需依据无理数（无限不循环小数）的概念，逐一判断所给数的类型，统计无理数的个数，即可作答． 【详解】解：−3是整数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数， ，是有限小数，属于有理数， 是无限不循环小数，属于无理数， ∴无理数共有2个． 故选：A． 8．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测），，0，，，，，，，中，无理数的个数有____个． 【答案】3 【分析】先化简可计算的数，再根据定义判断无理数的个数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数． 无理数为，，，共个． ▌知识点03：有理数与无理数的区别 有理数包括整数、分数，其小数形式是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。 二者并列、互不相交。 例如：0.3（有限）、0.3循环（无限循环）是有理数；π、是无理数。 注意：分数必为循环小数或有限小数，不可能是无限不循环。 9．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）下列实数，，，中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：在实数，，，中，无理数是和，有2个， 故选：B． 10．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）下列各数中：，中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的识别，算术平方根与立方根，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：，中，是无理数的有：，，，共3个； 故选：B． 11．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）下列各数中，无理数的是（    ） A．5 B． C． D．0.1010010001 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，需依据有理数（整数、分数，即有限小数和无限循环小数）与无理数（无限不循环小数）的概念判断各选项． 【详解】解：整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数， A选项5是整数，属于有理数． B选项是分数，属于有理数． C选项中π是无理数，6是有理数，非零有理数与无理数的乘积是无理数，故是无理数． D选项0.1010010001是有限小数，属于有理数． 故选：C． 12．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列说法：①单项式的系数是，次数是3；②，都是无理数；③在，，，这四个数中，非负数共有3个；④平方等于本身的数只有0和1．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数与次数、无理数定义、非负数的定义、平方的性质． 根据单项式的系数与次数、无理数定义、非负数定义、平方的性质，逐一判断四个说法的正误，统计正确的个数即可得出答案． 【详解】解：①∵单项式的系数是数字因数，次数是所有字母指数和， ∴的系数是，次数是， ∴①说法错误； ②∵无限不循环小数是无理数，是无限循环小数，属于有理数，是无理数， ∴②说法错误； ③∵，非负数包括正数和0， ∴这四个数中的非负数是8、1、0，共3个， ∴③说法正确； ④∵，，其他数的平方都不等于本身， ∴平方等于本身的数只有0和1， ∴④说法正确； 综上，正确的说法有2个． 故选：C． ▌知识点04：无理数的识别与判定 判定：先看能否化为分数或有限小数/循环小数，能则是有理数；否则（如含π、开方不尽、有规律不循环）为无理数。 例如：＝3是有理数；开方不尽是无理数；π是无理数。 注意：带根号不一定无理，如√16＝4是有理数。 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，解决本题的关键是熟练掌握无理数的定义． 根据无理数的定义，即无限不循环小数为无理数，需先化简各选项中的数，再根据定义判断是否为无理数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，符合无理数的定义； ，4是整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； ∴属于无理数的是． 故选：B． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）下列实数、、、中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表达方式有三种：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；有特殊规律的数，例如，相邻的两个之间依次增加一个. 【详解】解：是分数，是有理数， ，是整数，是有理数， 是无限不循环小数，是无理数， 中是无限不循环小数，是无理数， 无理数共有个． 故选：B． 15．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）下列实数中是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…这样有规律的数． 根据无理数（无限不循环小数）与有理数（整数和分数，含有限小数、无限循环小数）的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、698是整数，属于有理数，故选项不符合题意； B、1．99是有限小数，属于有理数，故选项不符合题意； C、是分数，属于有理数，故选项不符合题意； D、是开方开不尽的数，属于无理数，故选项符合题意； 故选：D． 16．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）下列实数，，，中，属于无理数的是_____． 【答案】 【分析】根据无理数的定义，无限不循环小数或开方开不尽的数是无理数，逐一判断各数． 本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中常见无理数包括开方开不尽的数（如非完全平方数的平方根）和π类数等．熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：，是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 7不是完全平方数， 是无理数； 是有限小数，是有理数． 故答案为：． ▌知识点05：无理数的估算 夹逼法：找两个连续整数使目标数介于其平方（或立方）之间，逐步缩小范围。 例如：估，因1²＝1＜2＜4＝2²，故1＜＜2；进一步1.4²＝1.96＜2＜1.5²＝2.25，故1.4＜＜1.5。 注意：用平方比较，不等号方向不变（正数）。 17．（2026·江苏南通·中考真题）实数介于两个相邻的整数之间，这两个整数是（     ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【分析】通过比较13与相邻完全平方数的大小，确定的范围． 【详解】解: ∵ ，，， ∴ ， 即 ． ∴介于3和4之间． 18．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片分割成个三角形后，恰好拼成一个正方形，则与正方形边长最接近的整数是（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形的面积为， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是． 19．（2026·江苏连云港·中考真题）已知，以下对p的值估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，再估算无理数的取值范围，即可推得的范围，得到正确结果． 【详解】解：，且 ， ，即， 不等式三边同时加，得，即． 20．（2026·江苏泰州·二模）已知，则整数n的值可以是________（填一个值即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】先求得的取值范围，再根据为整数，选取一个符合条件的值即可． 【详解】解：， ，即， 为整数， 可取中任意一个． ▌知识点06：用有理数近似表示无理数 无理数可用有限小数近似表示，精确到某位即用四舍五入。 例如：≈1.414，π≈3.14（精确到0.01）。 注意：近似值是“接近”而非“等于”，书写用“≈”。 实际计算常按需取近似，但理论判断仍用准确形式、π等。 21．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）我们在学习无理数时，曾估计过的近似值，某数学研究小组运用学过的知识对的近似值进行探索，下面是他们探索报告的片段： ①因为，所以； 又，所以更接近2； ②设，则________， 由于，接近0，可把略去，得到方程________； ③的近似值为________． (1)请将上述报告补充完整； (2)请用类似的方法求的近似值（精确到0.1）； (3)借助该思路，在（2）得到的近似值的基础上再进行探索，直接写出更精确的近似值为____________（精确到0.01）． 【答案】(1)，，； (2)3.2 (3)3.16 【分析】此题考查无理数的估算，完全平方公式计算，正确理解题意是解题的关键： （1）根据完全平方公式去括号，得一元一次方程，解方程即可； （2）仿照例题进行计算即可； （3）仿照例题进行计算即可； 【详解】（1）②设，则， 由于，接近0，可把略去，得到方程； ③的近似值为． 故答案为：，，； （2）设，则， 把略去，得到方程， 解得 所以 故的近似值为． （3）设，则， 把略去，得到方程， 解得 所以 故的近似值为． 22．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）阅读材料，完成下列任务： 材料一： 材料二： 我们可以用以下方法表示无理数的小数部分． 我们可以用以下方法求无理数的近似值（保留两位小数）． ∵， ∴， 即． ∴的整数部分为10， ∴的小数部分为． ∵面积为107的正方形的边长是， 且． ∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得 ， 当较小时，忽略，得．解得． ∴． 任务一：利用材料一中的方法，的整数部分是________，的小数部分是________； 任务二：利用材料二中的方法，探究的近似值（保留两位小数，并写出求解过程）； 任务三：结合上述具体实例，已知正整数、满足，且，请估算________（用的代数式表示）．    【答案】任务一： 6， ；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）根据材料一中的解题过程进行求解即可. （2）根据材料二中的解题过程进行求解即可． （3）根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【详解】解：任务一： ， ，即， 的整数部分是6， 的小数部分是. 任务二：∵面积为37的正方形的边长是，且． ∴设，其中，画出边长为的正方形，如图：根据图中面积，得 ， 当较小时，忽略，得．解得． ∴． 任务三：∵，设，， ∴正方形面积为：， ∵， ∴当较小时，忽略，得．解得． ∴. 23．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．例如是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于，所以的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)若，其中是整数，且，那么________，________； (3)小明同学利用完全平方公式求的近似值，过程如下： ，其中，，即． 比较小，将忽略不计，，即，得， ． 小丽同学认为也可以表示为，其中． ①请你帮小丽同学利用上述方法求的近似值； ②比较小明和小丽的结果，直接写出哪位同学的结果精确度更高． 【答案】(1)2， (2)， (3)① ②小明 【分析】本题考查了无理数的估算和完全平方公式的应用．熟练掌握无理数的估算和完全平方公式是解题的关键． （1）利用“比较平方数大小估算无理数范围”即可求解； （2）先由得到，再根据（是整数，），的形式，拆分出整数部分和小数部分； （3）①利用完全平方公式进行变形，因，可以忽略，近似求解； ②通过比较两个近似值的平方与的接近程度来判断精确度即可． 【详解】（1）解：（即）， 的整数部分是2， 的小数部分为． 故答案为2，； （2）解：由可得， （是整数，）， 的整数部分为，即， 将代入， 解得， 故答案为，； （3）解：①， ，即， ， 很小，可忽略不计， 近似为，即， 解得， ； ②小明的结果是，小丽的结果是， ，， 又， 小明的结果精确度更高． 24．（2026·江苏常州·二模）【阅读材料】 我们利用完全平方公式可以计算无理数的近似值． 例如：求的近似值．     ∵，∴．∴可以表示成以下两种形式： ①，其中；②，其中． 用形式①求的近似值的过程如下： 设，其中，则． ∵比较小， ∴将忽略不计，则． ∴． ∴． (1)方法理解：请用形式②求的近似值； (2)比较分析：你认为用哪一种形式得出的近似值的误差更小，请简要说明理由（参考数据：） (3)灵活运用：从形式①或②中，选择恰当的形式，计算的近似值（保留两位小数），要求误差更小． 【答案】(1)的近似值为4.2 (2)解：我认为用形式①得出的近似值误差更小，理由如下： 用形式①得到，则误差为． ∵， ∴． 用形式②得到，则误差为． ∵， ∴． ∵， ∴用形式①得出的近似值误差更小， 即，且17距离16更近，所以更接近于，因此用形式①误差更小． (3)的近似值为8.89 【分析】阅读材料，理解材料中计算无理数近似值的两种方法． （1）按照材料中形式②的方法进行计算； （2）考虑到题干提及“比较分析”，按照材料中形式①和形式②的方法分别进行计算，再进行比较，最后得出结论，但要归纳总结：因为17距离16更近，所以用形式①误差更小； （3）结合（2）归纳的结论，考虑到79距离81更近，所以用形式②误差更小．随后采用形式②进行计算即可． 【详解】（1）解：设，其中，则． ∵比较小， ∴将忽略不计，则， ∴， 解得：． ∴． ∴的近似值为4.2． （2）略 （3）解： ∵， ∴． ∵79距离81更近，所以用形式②误差更小． 选择形式②，设，其中，则． ∵比较小， ∴将忽略不计，则， ∴， 解得：． ∴． ∴的近似值为8.89． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·江苏泰州·一模）下列四个数中，比小的无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，且是无理数，是有理数， 故选：A 2．（2026·江苏南京·模拟预测）整数a满足，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先估算和的整数范围，再根据不等式性质得到和的范围，最后找出区间内的整数即可得到结果. 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， 即 ，， 不等式两边同乘，不等号方向改变，可得 ，， ∵ ， ∴ ， 又∵是整数， ∴， 3．（24-25七年级下·江苏南通·期末）在和之间的整数共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的大小估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 首先确定和的近似值，再找出两者之间的所有整数即可． 【详解】解：，， 比大的最小整数是，比小的最大整数是， 因此，区间内的整数为，共4个， 故选：C． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法：①同位角相等；②的算术平方根是；③无限小数都是无理数；④带根号的数都是无理数；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0．其中是真命题的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了真假命题的判断，平行线的性质，算术平方根，无理数的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据平行线的性质，算术平方根，无理数的定义等逐项求解判断即可． 【详解】解：①同位角相等需两直线平行，否则不一定，故错误； ②的算术平方根是，故正确； ③无限不循环小数是无理数，故错误； ④带根号的数不一定是无理数，故错误； ⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，故正确． ∴真命题为②和⑤，共2个． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）在实数，，π，中，无理数有_______个． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义（无限不循环小数）判断各数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是5的算术平方根，5不是完全平方数，因此 是无理数； 是圆周率，是无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数， 综上，无理数有 和 ，共2个， 故答案为2． 6．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）如图，无理数可以用数轴上点____________来表示．（填“A”或“B”） 【答案】B 【分析】利用夹逼法估算出的范围即可. 【详解】解：∵， ∴， 故无理数可以用数轴上点表示. 7．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）若，且a、b是两个连续的整数，则的值为_______． 【答案】256 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求代数式的值；估算 的范围，确定b的值，再代入求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）已知的小数部分为m，的小数部分为n，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握求一个无理数的整数部分和小数部分是解题的关键．先估算，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的小数部分为，的小数部分为， ∴； 故答案为1． 三、解答题 9．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知的算术平方根是3，b是的立方根，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据算术平方根和立方根的定义求出，再估算得到； （2）将a，b，c的值代入代数式计算结果，再求结果的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， 解得． ∵是的立方根， ∴． ∵， ∴， ∴的整数部分； （2）解：将代入得： ， ∴的平方根为． 10．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）阅读材料： 对于任意正整数n，因为，所以．两边同时开平方，可得． 根据以上材料，解答下列问题： (1)①______3，______4，_____5；（填“”，“”，“”） ②的整数部分是______；的整数部分是______． (2)比较与2025的大小，并说明理由； (3)若（为正整数），求x的值． 【答案】(1)①，，；②2，3； (2)， 理由：由任意正整数n，有，而， ， 即； 故答案为：； (3)x的值为1，2，． 【分析】本题考查了无理数的估算，完全平方公式的应用． （1）①根据作答即可； ②根据无理数的估算方法作答即可； （2）根据作答即可； （3）两边平方得到，求出，进而作答即可． 【详解】（1）解：①由任意正整数n，有， 所以，，， 故答案为：，，； ②，而，所以的整数部分是2； ，而，所以的整数部分是3； 故答案为：2，3； （2）略 （3）解：， ， ， 解得， 可取的正整数值为：1，2，． / 学科网（北京）股份有限公司 $