2.1 课时2 平方根 课时同步训练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

2026-2027学年度苏科版数学)八年级上册课时同步训川练 第二章实数的初步认识 2.1平方根 课时2平方根 课时目标 理解平方根的概念及表示（±Vā），掌握平方根与算术平方根的关系。 2. 掌握平方根的性质，能正确求一个数的平方根。 3 能利用平方根的意义解形如r=a(≥0)的方程，并检验解的合理性。 课时目逯 知识点01：平方根的定义 知识点02：平方根的表示方法 知识点03：平方根的性质 知识点04：开平方运算的概念 知识点05：平方根与算术平方根的关系 知识点06：求一个数的平方根 知识点07：利用平方根解x2=a型方程 知识点01：平方根的定义 118 一般地，如果一个数x的平方等于a(x2=a),那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次 方根)。 要点：平方根可以是正数、负数或0。 例如：因为（仕3）2=9，所以±3都是9的平方根；因为02=0，所以0的平方根是0。 1.(25-26八年级上江苏泰州：期中)下列说法正确的是() A.9的平方根是3 B.0.3是0.9的平方根 C.-3是9的平方根 D.3是9的算术平方根 2.(25-26八年级上·江苏南京期中)若x2=3,则下列说法正确的是（) A.x是3的平方根 B.x是3的算术平方根 C.3是x的算术平方根 D.3是x的平方根 3。(25-26八年级上江苏南京期中)若方程x-2=3 的解分别为a,b,且a<b,下列说法正确的是 () A.a是3的平方根 B.b是3的平方根 C.a-2是3的算术平方根 D.b-2是3的算术平方根 4.(25-26七年级上江苏无锡阶段检测)一个数的平方是36，这个数是 知识点02：平方根的表示方法 正数a的平方根记作“±Va”,其中Va是正的平方根（算术平方根），一Va是负的平方 根。 例如：9的平方根记作±V5=士3：25的平方根记作±V25=±5。 注意：±Va表示“两个数”，不要漏掉负号或正号。 5.(25-26八年级上·江苏无锡阶段检测)9的平方根是±3，用数学符号表示，正确的是() A.V9≈3 B9=3 C.9=3 D ±√9=+3 6.(25-26八年级上·江苏镇江阶段检测)下列说法正确的是() A.4的平方根是2 B.4的算术平方根是2 218 的平方根是4 D.0的平方根与算术平方根都是0 7.(2425八年级上江苏宿迁·期末)下列说法正确的是() A.-4是16的平方根 B.0没有平方根 C.25的平方根是5 D.V49=t7 8.(2425八年级上·江苏泰州期中)在下列结论中，正确的是() 4 B.x2是x4的平方根 C.-8一定没有平方根 D. 的算术平方根是士v5 知识点03：平方根的性质 性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0（只有一个)；负数没有平方 根。 例如：16的平方根是±4；0的平方根是0：一9没有平方根。 注意：只有非负数才有平方根，这与算术平方根一致。 9.(26-27八年级上江苏期中)若一个正数的平方根是2a-1和-a+2,则这个正数是 10.(25-26八年级上·江苏无锡阶段检测)已知2a-1和a-5是一个正数的两个平方根，则这个正数是 11.(25-26八年级上·江苏南京阶段检测)一个正数的平方根是a-3和a+7,则a的值是 12.(25-26八年级上·江苏南京·期中)正数m的一个平方根是a-1,则另一个平方根是 (用含 a的代数式表示). 知识点04：开平方运算的概念 求一个数α的平方根的运算叫做开平方。 开平方与平方互为逆运算。 要点：开平方的对象a必须非负。 例如：对16开平方得±4：反之（仕4）=16是平方运算。 注意：开平方的结果是“一对相反数”(0除外)。 13. (2026江苏南京·二模)4的平方根是（) 318 A2 B.2 C. D.16 14.(25-26八年级上江苏无锡阶段检测)36的平方根是（) A.6 B.6 C.±18 D.+6 15.(25-26八年级上江苏准安阶段检测)4的平方根是() A.t2 C-2 ±√2 B.2 D 16.(25-26七年级上江苏南京期末)一个数的平方是25，这个数是 知识点05：平方根与算术平方根的送系 联系：平方根包含算术平方根和这个算术平方根的相反数，即正数α算术平方根Va是其正 的平方根，负的平方根为-Vā，合写为±a。 区别：算术平方根只有一个且非负，平方根（正数时）有两个。 例如：9的算术平方根是3，平方根是±3。 注意：算术平方根不带±，平方根带±。 17.(25-26八年级上江苏无锡·阶段检测)下列说法正确的是() A.16的平方根是4 B.8的平方根是±2 c.-27的平方根是3 D.V49=7 18.(25-26八年级上江苏南京阶段检测)下列说法中正确的是() A.9的平方根是3B.-9的平方根是-3C.V2=2 D.-V-2=√2 19.(25-26七年级下·江苏南通期中)一个正数的两个不同的平方根为a+1和a-15,则这个正数为 20.(2526八年级上江苏无锡阶段检测)若Na-3升6-4如-八=0，求a+6的平方根 知识点06：求一个数的平方根 求非负数a的平方根，先求Va,再写±Va。 418 完全平方数直接得，如±V36=6:非完全平方数保留根号或近似。 例如：±49=±7，±V0.04=0,2(因0,2=0.04)。 注意：结果是两个数，用“±”表示。 -V0.2 21.(26-27八年级上·江苏常州阶段检测) 可以表示() A.0.2的平方根 B.0.2的算术平方根 C.0.2的算术平方根的相反数 D.0.2的平方根 -b=3,a2+b2=7 22.(2026江苏盐城模拟预测)已知 7,则a+b的值为《) A.v5 B-V5 C 5 D.与“b取值有关 23.(2026江苏徐州三模)1)的平方根是 24.(25-26七年级下江苏无锡期中)若将关于x、y的二元一次方程变形为y=xr+b的形式(a、b是常 数，0)，则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为(a,b).例如：将二元一次 11 方程x-一2y=变形为22，则二元一次方程x-2y=的“相伴系数对”为2)》 Q)二元一次方程2x+y=1的“相件系数对”为： 「x=2 (2)已知y=6是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为（化，k-3),写出 这个二元一次方程为-： 735 3)已知关于x、y的二元一次方程(m+n)r-2y+2mn=0的“相伴系数对”为2'4)，请求出m-n的 值。 知识点07：利用平方根解=a型方程 518 方程r2=a(a≥0)的解为x=±√a。 即两边开平方得两个相反数根。 例如：x2=25,则x=±V25=5:x2=2,则x=±V2。 注意：a必须非负才有实数解：α<0时方程在实数范围内无解。 25.(25-26七年级下江苏宿迁期末)已知x2-2=7,则x=一· 26.(26-27八年级上江苏苏州阶段检测)解方程：(2x--16=9 27.(25-26八年级上江苏宿迁阶段检测)解方程： (x-1)2=16 28,(25:26八年级上江苏盐城期中)求下列各式中x的值：(2x+1=25 课时训练 一、选择题 V16 1.(2026江苏扬州二模) 的值是() A.+2 B.4 C.±4 D.256 2.(25-26七年级下江苏南通期中)下列整数，在0与V50之间的是《) A.5 B.6 C.7 D.8 3.(25-26七年级下·江苏南通期中)已知 7≈2.65，v70≈8.37，则700 约等于下列值中的() A.265 B.837 C.26.5 D.83.7 4.(25-26七年级下·江苏南通期中)如图所示，从一个大正方形中剪掉两个小正方形，若剪掉的面积分 别为49cm和81cm，,则剩余（阴影）部分的面积为() 618 A.116cm2 B.120cm2 C.126cm2 D.130cm2 二、填空题 5.(25-26七年级下·江苏南通期中)将一棱长为4m正方体铁块完全浸入圆柱体玻璃杯的水中，水位升 16 高了9元 cm，则圆柱体玻璃杯的底面半径是 6.(25,26九年级下江苏苏州阶段检别若xy清足2x-=4.则代数式9-4x+2y的值为一 7.(25-26八年级上江苏南通·阶段检测) 周 8.(25-26七年级下江苏南通阶段检测)已知a-1+(a6-2=0,a= 11 十…十 ab(a+1(b+1)(a+2008)(b+2008)的值为一. 三、解答题 9.(24-25八年级上江苏泰州期中)解方程： a)9r2-16=0 2)4(2x-1}=36 10.(25-26八年级下·江苏扬州期末)观察下列各式： 122: 718 +11=1 3412: ,111,1111 8,++1+4写0 请你根据上面四个等式提供的信息，解答下列问题： ,,11 (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m(m为正整数)表示的等式： 65,1 3)利用上述规律计算：V6481: (4)求： S,+S2+S3+…+S2026 818 2026-2027学年度苏科版数学八年级上册课时同步训练 第二章 实数的初步认识 2．1 平方根 课时2 平方根 ▌课时目标 1. 理解平方根的概念及表示（±），掌握平方根与算术平方根的关系。 2. 掌握平方根的性质，能正确求一个数的平方根。 3. 能利用平方根的意义解形如x²＝a（a≥0）的方程，并检验解的合理性。 ▌课时目录 知识点01：平方根的定义 知识点02：平方根的表示方法 知识点03：平方根的性质 知识点04：开平方运算的概念 知识点05：平方根与算术平方根的关系 知识点06：求一个数的平方根 知识点07：利用平方根解x²=a型方程 ▌知识点01：平方根的定义 一般地，如果一个数x的平方等于a（x²＝a），那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根）。 要点：平方根可以是正数、负数或0。 例如：因为(±3)²＝9，所以±3都是9的平方根；因为0²＝0，所以0的平方根是0。 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．3是9的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．平方根包括正负两个值（正数），算术平方根为非负值；负数没有平方根． 根据平方根和算术平方根的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．9的平方根是，原说法错误； B．是的其中一个平方根，原说法错误； C．负数没有平方根，原说法错误； D．3是9的算术平方根，原说法正确； 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若，则下列说法正确的是（　　） A．是3的平方根 B．是3的算术平方根 C．3是的算术平方根 D．3是的平方根 【答案】A 【分析】本题考查平方根定义，熟记平方根定义是解决问题的关键． 根据平方根的定义，若一个数的平方等于，则该数是的平方根，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是3的平方根， A、是3的平方根，说法正确，符合题意； B、由于，则是3的算术平方根说法错误，不符合题意； C、3是的算术平方根，说法错误，不符合题意； D、3是的平方根，说法错误，不符合题意； 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．是3的平方根 B．是3的平方根 C．是3的算术平方根 D．是3的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了方程解的定义，算术平方根的定义，熟记定义，灵活运用定义是解题的关键．根据方程解的定义和算术平方根的意义判断即可． 【详解】解：∵ 方程 的解分别为 ，且， ∴ ，， ∴ 和是3的平方根， ∵ ， ∴ ， ∴ 是3的算术平方根（非负的平方根）． 故选：D． 4．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一个数的平方是，这个数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根概念理解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据平方根概念理解求解． 【详解】解：∵一个数的平方是， ∴这个数是， 故答案为：． ▌知识点02：平方根的表示方法 正数a的平方根记作“±”，其中是正的平方根（算术平方根），－是负的平方根。 例如：9的平方根记作±＝±3；25的平方根记作±＝±5。 注意：±表示“两个数”，不要漏掉负号或正号。 5．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）9的平方根是，用数学符号表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的表示，解题关键是明确非负数a的平方根表示为．根据平方根的表示方法求解即可． 【详解】解：9的平方根是，用数学符号表示为． 故选：D． 6．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．4的算术平方根是 C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义逐项判断即可，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、4的平方根是，故原说法错误，不符合题意； B、4的算术平方根是，故原说法错误，不符合题意； C、，的平方根是，故原说法错误，不符合题意； D、0的平方根与算术平方根都是0，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．0没有平方根 C．25的平方根是5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，掌握相关定义和性质是解题的关键．依据平方根和算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：A．如果（），那么叫做的平方根．因为，所以是16的平方根，该选项说法正确，符合题意； B．因为，所以的平方根是，该选项说法错误，不符合题意； C．因为，所以25的平方根是，而不只是，该选项说法错误，不符合题意； D．表示49的算术平方根，算术平方根是非负的，因为，所以，而不是，该选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在下列结论中，正确的是（   ） A． B．是的平方根 C．一定没有平方根 D．的算术平方根是 【答案】B 【分析】本题考查了平方根以及算术平方根，熟练掌握平方根以及算术平方根的定义是解本题的关键． 根据算术平方根的意义，平方根的意义进行判断即可． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、是的平方根，故此选项正确，符合题意； C、当时，的平方根等于，故此选项错误，不符合题意； D、的算术平方根是，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． ▌知识点03：平方根的性质 性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0（只有一个）；负数没有平方根。 例如：16的平方根是±4；0的平方根是0；－9没有平方根。 注意：只有非负数才有平方根，这与算术平方根一致。 9．（26-27八年级上·江苏·期中）若一个正数的平方根是和，则这个正数是_________． 【答案】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出的值，再代入求出一个平方根，进而根据平方根求出这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数是． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）已知和是一个正数的两个平方根，则这个正数是______． 【答案】9 【分析】此题主要考查了平方根的定义， 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解a，再求平方根的值，最后求正数． 【详解】∵和是一个正数的两个平方根， ∴， 即， 解得， ∴， ∴这个正数为． 故答案为：9． 11．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）一个正数的平方根是和，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，得出，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·江苏南京·期中）正数m的一个平方根是，则另一个平方根是__________（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的性质“正数的两个平方根互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：因为正数 的一个平方根是 ，所以另一个平方根是它的相反数，即 ． 故答案为： ． ▌知识点04：开平方运算的概念 求一个数a的平方根的运算叫做开平方。 开平方与平方互为逆运算。 要点：开平方的对象a必须非负。 例如：对16开平方得±4；反之(±4)²＝16是平方运算。 注意：开平方的结果是“一对相反数”（0除外）。 13．（2026·江苏南京·二模）4的平方根是（     ） A． B．2 C． D．16 【答案】A 【详解】解：4的平方根是． 14．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）36的平方根是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查求一个数的平方根，根据平方根的意义求解即可． 【详解】解：的平方根是． 故选：D． 15．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）4的平方根是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】， 的平方根是． 16．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个数的平方是25，这个数是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根定义，熟练掌握平方根定义，是解题的关键．根据平方根的定义，一个数的平方为25，则这个数是25的平方根，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴这个数是：． 故答案为：． ▌知识点05：平方根与算术平方根的关系 联系：平方根包含算术平方根和这个算术平方根的相反数，即正数a算术平方根是其正的平方根，负的平方根为－，合写为±。 区别：算术平方根只有一个且非负，平方根（正数时）有两个。 例如：9的算术平方根是3，平方根是±3。 注意：算术平方根不带±，平方根带±。 17．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．16的平方根是4 B．8的平方根是±2 C．的平方根是 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根的定义及性质，掌握平方根、算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根、算术平方根的定义和性质对各个选项进行逐项分析即可． 【详解】解：A. 16的平方根是，故本选项错误； B. 8的平方根是，故本选项错误； C. 由平方根的性质得，负数没有平方根，故本选项错误； D.49的算术平方根等于7，即，故本选项正确； 故选D． 18．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义解答即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、没有平方根，该选项说法错误，不合题意； 、，该选项说法正确，符合题意； 、被开方数不能是负数，没有意义，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 19．（25-26七年级下·江苏南通·期中）一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数为______． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，正数的两个不同平方根互为相反数，据此求出的值，再计算得到这个正数． 【详解】解：一个正数的两个不同平方根为和， ， 解得， 将代入得，该正数的一个平方根为， 这个正数为． 20．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）若，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． ▌知识点06：求一个数的平方根 求非负数a的平方根，先求，再写±。 完全平方数直接得，如±＝±6；非完全平方数保留根号或近似。 例如：±＝±7，±＝±0.2（因0.2²＝0.04）。 注意：结果是两个数，用“±”表示。 21．（26-27八年级上·江苏常州·阶段检测）可以表示（     ） A．0．2的平方根 B．的算术平方根 C．0．2的算术平方根的相反数 D．的平方根 【答案】C 【详解】解：0.2的平方根应为，则A不符合题意， 没有算术平方根，则B不符合题意， 0．2的算术平方根的相反数为，则C符合题意， 没有平方根，则D不符合题意， 故选：C． 22．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．与取值有关 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出的值，再计算，开方后得到的值． 【详解】解：∵由完全平方公式可得 将，代入得 计算得 又∵ 代入， 得 ∴ ． 23．（2026·江苏徐州·三模）的平方根是_________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，若，则是的平方根． 【详解】解：将带分数化为假分数 ∵， ∴的平方根是． 24．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若将关于x、y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，a≠0），则这对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_； (2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为 ，写出这个二元一次方程为_； (3)已知关于x、y的二元一次方程 的“相伴系数对”为，请求出的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，得到，把代入，求出的值即可； （3）根据新定义，得到，进而求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为； （2）由题意可知：， 把代入，得： ， 解得：， ∴； （3）∵， ∴， ∵“相伴系数对”为， ∴， ∴， ∵， ∴． ▌知识点07：利用平方根解x²=a型方程 方程x²＝a（a≥0）的解为x＝±。 即两边开平方得两个相反数根。 例如：x²＝25，则x＝±＝±5；x²＝2，则x＝±。 注意：a必须非负才有实数解；a＜0时方程在实数范围内无解。 25．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知，则______． 【答案】 【详解】， ， ， 根据平方根的定义可得． 26．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）解方程： 【答案】或． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 开平方得：， ∴或． 27．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义得出两个一元一次方程，解方程即可求出答案． 【详解】解： 开平方得，， 解得：，． 28．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）求下列各式中的值：． 【答案】 或 【分析】本题考查的知识点是利用平方根的定义解方程，解题关键是熟练掌握平方根的定义． 直接利用平方根的定义解方程即可． 【详解】解：， ， ，． ▌课时训练 一、选择题 1．（2026·江苏扬州·二模）的值是（     ） A． B．4 C． D．256 【答案】B 【详解】解：∵表示16的算术平方根，算术平方根的结果为非负数，又， ∴. 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列整数，在与之间的是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】通过比较被开方数大小确定和的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵  ， ∴ ∴． 3．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知，则约等于下列值中的（    ） A．265 B．837 C．26.5 D．83.7 【答案】D 【分析】被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点向右或者向左移动一位，据此求解． 【详解】解：∵ ∴ 4．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图所示，从一个大正方形中剪掉两个小正方形，若剪掉的面积分别为和，则剩余（阴影）部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形面积公式先求得剪掉的两个小正方形的边长，然后可知大正方形的边长，最后根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去剪掉的面积，即可解答． 【详解】解：根据题意可知，剪掉的两个小正方形的边长分别为，； 由图可知，大正方形的边长为， 所以剩余部分的面积为． 二、填空题 5．（25-26七年级下·江苏南通·期中）将一棱长为正方体铁块完全浸入圆柱体玻璃杯的水中，水位升高了，则圆柱体玻璃杯的底面半径是__________． 【答案】 /6厘米 【分析】根据题意可知，正方体铁块的体积等于水位上升部分的圆柱体体积，利用正方体体积公式和圆柱体体积公式列方程求解即可得到底面半径． 【详解】解：设圆柱体玻璃杯的底面半径为. 由正方体体积公式可得，正方体铁块的体积为： . 水位上升部分水的形状为圆柱体，由圆柱体体积公式可得，上升部分水的体积为： . 根据题意可得方程： 化简方程得： ∴ 因为圆的半径为正数，因此． 6．（25-26九年级下·江苏苏州·阶段检测）若满足，则代数式的值为______． 【答案】或 【详解】解：， ， 当时，； 当时，． 综上，代数式的值为或． 7．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）________． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，算术平方根，熟练计算是解题的关键． 计算负指数的幂和乘方，然后相加． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）已知，______，的值为______． 【答案】 【分析】利用非负数的性质求出与的值，代入原式拆项变形，再计算即可求出值． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以9，最后把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 10．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，解答下列问题： (1)_____________________________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：___________________； (3)利用上述规律计算：； (4)求：． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据已知等式的规律可得结论； （2）根据已知等式的规律可得结论； （3）先将化为，再根据已知等式的规律可得答案； （4）运用进行计算即可． 【详解】（1）解：， （2）解：； ； ； ． …… ； （3）解： ． （4）解： ． / 学科网（北京）股份有限公司 $