2.1平方根（分层作业，10大题型）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 分层设计清晰，A组聚焦基础概念与运算巩固，B组侧重性质应用与综合能力提升，形成从单一到综合的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|算术平方根的概念与求法、平方根的理解与求解|基础题型为主，如直接求算术平方根、判断平方根存在性，培养抽象能力与运算能力| |B组|算术平方根的非负性、估算、规律探究、实际应用，平方根的代数式与方程应用|综合题型为主，如规律探究、实际问题解决，发展推理意识与应用意识|

分层作业 2.1 平方根 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 算术平方根——求一个数的算术平方根 题型02 平方根——平方根的理解 题型03 平方根——求一个数的平方根 B组 能力进阶 题型01 算术平方根——算术平方根的非负性 题型02 算术平方根——算术平方根的估算 题型03 算术平方根——规律探究问题 题型04 算术平方根——算术平方根的实际应用 题型05 平方根——求代数式的平方根 题型06 平方根——已知一个数的两个平方根求这个数 题型07 平方根——利用平方根解方程 算术平方根——求一个数的算术平方根题型01 1．下列式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A. =−2，正确； B. 原式=−，错误； C. 原式=|−3|=3，错误； D. 原式=6，错误， 故选A 2．（24-25八年级下·湖北黄石·月考）定义运算“@”的运算法则为：，则_____． 【答案】6 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ， 故答案为：6． 3．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查实数的运算、零次幂、算术平方根及负整数指数幂，熟练掌握实数的运算、零次幂、算术平方根及负整数指数幂是解题的关键；因此此题可根据实数的运算、零次幂、算术平方根及负整数指数幂进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 4．综合试一试． (1)数轴上有三个点，，表示的数分别为，4，，已知，，中，其中有一点恰好在另外两点的正中间，则可能的值为___________． (2)的算术平方根是___________． (3)若，是正整数，且满足，则的值为___________． (4)某快餐店的价目表如下： 菜品 价格 汉堡（个） 21元 薯条（份） 9元 汽水（杯） 12元 1个汉堡＋1份薯条（套餐） 28元 1个汉堡＋1杯汽水（套餐） 30元 1个汉堡＋1份薯条＋1杯汽水（套餐） 38元 小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要___________元． 【答案】(1)，10，1 (2) (3)12或16或64 (4)300 【分析】本题主要考查数的运算和分类讨论思想的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）用分类讨论思想分析问题，即当A，B，C分别在另外两点的正中间时，再求出c的值即可． （2）根据算术平方根的定义求解即可； （3）利用有理数的乘方法则推断出a和b的值，再进行分类讨论计算的值即可． （4）买套餐最省钱，即分别讨论方案一：买5份C套餐，1份B套餐，4份汉堡花的钱，方案二：买5份A套餐，5份B套餐，1杯汽水花的钱，方案三：1份C套餐，5份B套餐，4份A套餐花的钱，结果要最少的钱即可． 【详解】（1）解：①当点A在正中间时，可得， ， 解得； ②当点B在正中间时，可得， ， 解得； ③当点C在正中间时，可得，， 解得， ∴c可能的值为，10，1． 故答案为：，10，1． （2）解：∵，7的算术平方根为， ∴的算术平方根是， 故答案为：； （3）解：∵， 当， 当， 当， 当， 故答案为：12或16或64． （4）解：A套餐便宜（元）， B套餐便宜（元）， C套餐便宜（元）， 方案一：买5份C套餐，1份B套餐，4份汉堡， 总共花：（元）， 方案二：买5份A套餐，5份B套餐，1杯汽水， 总共花：（元）， 方案三：买1份C套餐，5份B套餐，4份A套餐， 总共花：（元）， 即最低需要300元， 故答案为：300． 5．（2025·广西南宁·二模）在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而，所以，即． 小明：．这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当时，和之间的数量关系：_______（填“相等”或“不相等”）； (2)运用以上结论，计算：①；②（写出必要的过程与计算结果）； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1)相等 (2)； (3)20 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）由题意可得当，时，； （2）根据法则计算，再化简，即可作答；，再化简，即可作答； （3）长方形的面积等于长乘宽，进而列式求解即可． 【详解】（1）解：当，时，， 故答案为；相等； （2）解：； ， （3）解：根据题意得：长方形的面积为． 平方根——平方根的理解题型02 1．下列各数中，没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握负数没有平方根是解题的关键．根据平方根的意义，负数没有平方根，即可求解． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴ A．0有平方根，是0，故本选项不符合题意； B． ，是正数，有平方根，故本选项不符合题意； C．，没有平方根，故本选项符合题意； D．，有平方根，故本选项不符合题意； 故选：C 2．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）如果一个正数的平方根是与，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据正数有两个平方根，它们互为相反数可得，解方程即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， ∴， 故答案为：． 3．在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图是由四个长为a，宽为b的长方形拼摆而成的正方形，其中a＞b＞0，若ab=3，a+b=4，则a-b的值为____． 【答案】2 【分析】结合图形可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，即，将和代入求出，根据即可求出． 【详解】解：由图可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查完全平方公式，平方根，解题的关键是结合图形找出，进行求解． 4．已知一个正数m的两个平方根为和，求a和m的值． 【答案】 【详解】根据平方根的性质（一个正数的两个平方根互为相反数）求出a的值，进而求出m的值即可． 【解答】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平方根的概念，根据一个数的平方根求这个数，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 5．已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根． 【答案】±5 【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解． 【详解】解：∵＝3， ∴2a﹣1＝9， 解得：a＝5， ∵3a﹣b+1的平方根是±4， ∴15﹣b+1＝16， 解得：b＝0， ∵， ∴10＜＜11， ∴c＝10， ∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25， ∴a+b+2c的平方根为＝±5． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键． 平方根——求一个数的平方根题型03 1．64的平方根是（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】直接利用平方根的定义求解即可． 【详解】解：64的平方根是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．若x2＝（－4）2，则x=__________ 【答案】±4 【详解】试题分析：先计算出（－4）＝16，再根据有理数的乘方法则即可求得结果. x＝（－4） x＝16 x＝±4. 考点：有理数的乘方 点评：解题的关键是熟练掌握互为相反数的两个数的平方相同. 3．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末） 方程组 与 的解相同，求的平方根 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求一个数的平方根，先解方程组，得出，代入得出，进而求得的平方根，即可求解． 【详解】解： 得， 解得：， 将代入②得， 解得：， ∴ 将代入得， 得， ∴的平方根为 4．（24-25八年级上·广东佛山·期中）若一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】本题考查的是平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． （1）先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可； （2）先求出的值，再求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， 又25的平方根是， ∴的平方根为． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）点A，B为坐标轴上两点，点C为坐标平面内一点，，连接． (1)如图1，点C在内，满足． ①若，求的度数； ②若，求的长； (2)如图2，点C在y轴的正半轴上，满足，点P在线段上，连接BP并延长至点D，使得，连接，若，点A的坐标为，求点P的坐标（用含t的式子表示）． 【答案】(1)①；②6 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理可得的度数，再由角的和差关系可得答案；②过点B作交延长线于M，可证明，得到，根据三角形面积计算公式可得，即，则或（舍去）； （2）过点D作于Q，证明，得到，，则可证明，再证明，得到，根据，得到，则，据此可得即． 【详解】（1）解；∵，， ∴， ∴； ②如图所示，过点B作交延长线于M， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴或（舍去）； （2）解：如图所示，过点D作于Q， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 算术平方根——算术平方根的非负性题型01 1．若|a+2|++(c+3)2=0，则2a+b﹣c等于（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】∵|a+2|++(c+3)2=0， ∴a+2=0，b-1=0，c+3=0， ∴a=-2，b=1，c=-3. ∴2a+b﹣c=-4+1+3=0. 故选A. 2．(a+2)2＋|b－1|＋＝0，则a＋b＋c＝_________． 【答案】2 【详解】∵(a+2)2＋|b－1|＋＝0， ∴a+2=0，b－1=0，3-c=0， ∴a=-2，b=1，c=3， ∴a＋b＋c=-2+1+3=2， 故答案为2. 3．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】，12 【分析】本题考查了整式的混合运算，非负性，先运算平方差公式以及多项式除以单项式，再合并同类项，结合，得出，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 且， ， ， ∴原式． 4．已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b，c满足（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状； （2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值． 【答案】（1）等边三角形；（2）最大值13，最小值11 【分析】（1）根据完全平方式的非负性即可得出结果； （2）根据三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：（1）∵（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形； （2）∵a＝5，b＝2，且c为整数， ∴5﹣2＜c＜5＋2，即3＜c＜7， ∴c＝4，5，6， ∴当c＝4时，△ABC周长的最小值＝5＋2＋4＝11； 当c＝6时，△ABC周长的最大值＝5＋2＋6＝13． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，三角形三边关系等知识点，熟知相关知识是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)；或 【分析】（1）根据非负数的性质得，据此可得出，的长； （2）过点C作轴于E，则，进而得，然后根据可得出答案； （3）连接，过点D作于M，于N，根据点D在线段AB上，且，可得，从而可求出，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且，可分为两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：过点C作轴于E，如图1所示： ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：9． （3）解：连接，过点D作于M，于N，如图2所示： ∵点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵点Q在x轴上且， ∴有以下两种情况： 设， ①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作轴于P，如图3所示： ∵点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴点Q的坐标为； ①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作轴于P，如图4所示： ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上所述：点Q的坐标为或． 算术平方根——算术平方根的估算题型02 1．0.00048的算术平方根在（   ） A．0.05与0.06之间 B．0.02与0.03之间 C．0.002与0.003之间 D．0.2与0.3之间 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根，解答本题的关键是熟记掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫算术平方根． 【详解】解：，， ∴0.00048的算术平方根在0.02与0.03之间， 故选B． 2．2﹣的值_____0（填“大于”、“小于”或“等于”） 【答案】小于． 【分析】根据≈2.236，即可求解． 【详解】解：∵≈2.236， ∴2﹣小于0． 故答案为：小于． 【点睛】考查了算术平方根，关键是得到≈2.236． 3．有一张面积为的正方形贺卡，另有一个面积为的长方形信封，已知长方形信封的长宽之比为4：3，能否将这张贺卡不折叠地放入此信封中？请作出判断并说明理由． 【答案】 不能，理由如下： 设长方形信封的长为，宽为， 由题意，得， ∴， ∴， ∴长方形信封的宽为， ∵， ∴， 而正方形贺卡的边长为， ∴不能将这张贺卡不折叠地放入此信封中． 【分析】设长方形信封的长为，宽为．根据长方形的面积列出关于x的方程，解之求得x的值，再由其宽与12的大小可得答案． 【详解】略 【点睛】本题考查算术平方根；能够通过正方形和长方形的面积求正方形和长方形的边长，并能比较无理数的大小是解题的关键． 4．【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高， 理由如下；∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 【分析】（1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）略 5．某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料； 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为． 王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 【答案】方案一可行，理由： ∵正方形木板的面积为， 正方形木板的边长为． 如图所示，沿着裁剪， ∵， 只要使就满足条件； 方案二不可行．理由如下： 设所裁长方形装饰材料的长为、宽为， 则，即， 解得（负值已舍去）， 所裁长方形的长为， ∵， 所裁长方形的长大于正方形的边长， 方案二不可行． 【分析】本题考查了一元二次方程、算术平方根的实际应用和估算无理数的大小． 先求出正方形的边长为，再分别求出两种方案的长方形的长和宽，最后比较大小即可． 【详解】略 算术平方根——规律探究问题题型03 1．已知，则的值是（   ） A．457.3 B．45.73 C．1449 D．144.9 【答案】D 【详解】==×100=1.449×100=144.9. 故选D. 2．（25-26七年级·安徽六安·月考）观察下表，然后回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决问题：已知，若，则（    ） A．32.4 B．324 C．3240 D．32400 【答案】D 【分析】根据被开方数每移动2位，算术平方根向相同的方向移动1位，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴. 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，则_________． 【答案】 【分析】根据进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 4．（25-26·内蒙古呼和浩特·期中）已知：一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的动能（单位：千克），速度（单位：米/秒）近似满足公式．若一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克，动能是2800焦耳． (1)求该运动员的跑步速度； (2)已知，，估计（1）中求得的速度的近似值． 【答案】(1)该运动员的跑步速度是米/秒 (2)该运动员跑步速度的近似值约为米/秒 【分析】（1）根据题意得到，，将上述数据代入公式即可求得跑步速度； （2）根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：，代入得： ， 即， 解得：，负值舍去， ∴该运动员的跑步速度是米／秒． （2）解：∵， ∴（米/秒）， 即该运动员跑步速度的近似值约为米/秒． 5．（24-25七年级下·广西北海·期末）【课本再现】 小明用一些小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏： 他把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形，按如图1拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形． 【深度思考】 于是，他发现若把5个边长为1的正方形如图2摆放，再将这个图形按图3的方式剪裁，拼成图4，得到一个大正方形． (1)求拼成的正方形的面积和边长． (2)若要把个小正方形按上述方法拼成边长为的大正方形，则______________． 【答案】(1)正方形的面积为5，边长为 (2)10 【分析】本题主要考查求一个数的算出平方根以及图形拼接中面积守恒的规律，解题的关键在于理解图形拼接前后总面积不变； （1）通过已知小正方形的数量计算总面积，再根据面积公式求边长； （2）需要根据第一问的规律推导出值即可； 【详解】（1）解：由题和图可知∶一个小正方形的面积是1，所以5个小正方形的面积和为5， 即大正方的面积为5， ∵边长边长面积， ∴边长， 故拼成的正方形的面积为5和边长为； （2）解：根据大正方形的面积为，每个小正方形的面积为1， ∴共需要10个小正方形； 故答案：10． 算术平方根——算术平方根的实际应用题型04 1．（25-26七年级下·陕西延安·期中）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中a为子弹的加速度，l为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴. 2．（24-25七年级下·河南漯河·期中）如图，大正方形网格由25个边长为1的小正方形组成，若把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，则新正方形的边长是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的剪拼算术平方根的应用，求出阴影部分面积是解题的关键．先计算阴影部分的面积，也就是新组成的四边形的面积，根据面积就可求得新正方形的边长． 【详解】解：新正方形的面积为 ∴新正方形的边长是 故选：C． 3．小海和乐乐在运用计算器求与（其中、是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么和的数量关系是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，根据题意可知，则，计算即可得到答案． 【详解】根据题意可知，可得 ． 变形，得 ． 故答案为： 4．（24-25七年级下·吉林吉林·期中）如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间（单位：）之间满足．当钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是多少秒？（取，取，结果保留小数点后两位） 【答案】1.256 【分析】本题考查求代数式的值，把代入代数式，计算即可． 【详解】解：当时，， 答：当钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是秒． 5．木工李师傅现有一块面积为144的正方形胶合板，准备做装饰材料用，他设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料， 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且其长、宽之比为． 李师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 【答案】方案一可行裁出一边为12米，一边为10米的长方形．方案二不可行． 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用和估算无理数的大小，先求出正方形的边长为，再分别求出两种方案的长方形的长和宽，最后比较大小即可． 【详解】∵面积为144的正方形胶合板， ∴正方形的边长为， 方案一：长方形装饰材料的长为，则宽为，此方案可行； 方案二：∵长方形纸片的长、宽之比为， ∴设长方形纸片的长为，则宽为； 则， ∴ 解得：或（舍）， ∴长方形纸片的长为， ∵， ∴，即长方形的长比正方形的边长大， ∴方案二不可行． 平方根——求代数式的平方根题型05 1．（25-26七年级·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 2．如图是一个数值转换器.当输入有效的x值后，始终输不出y的值，则满足条件的x的值是_____. 【答案】0或1 【分析】根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出y值． 【详解】∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， ∴当x=0和1时，始终输不出y的值， 故答案是：0，1． 【点睛】考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 3．已知x﹣2和y﹣2互为相反数，求x+y的平方根． 【答案】±2 【分析】根据相反数的定义可求x+y，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵x﹣2和y﹣2互为相反数， ∴x﹣2+y﹣2＝0， ∴x+y＝4，4的平方根是±2． 故x+y的平方根是±2． 【点睛】本题考查了相反数的性质和平方根的定义，属于基本题型，熟练掌握以上基本知识是解题关键． 4．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根与算术平方根的定义分别求出的值；进而得出的值，求出它的平方根即可； 【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是， ∴，， ∴，． ∵是的整数部分，， ∴． ∴． ∵的平方根是． ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了考查了平方根与算术平方根；熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键． 5．（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 【答案】（1），    （2） 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）根据平方根的定义可得，求得的值，进而求得和x； （2）根据被开方数为非负数，可得，求得的值，代入求得的平方根即可． 【详解】解：（1）， 解得， 则， ； （2）， ， ， 则的平方根是． 平方根——已知一个数的两个平方根求这个数题型06 1．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的上一个自然数的平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， ∴该自然数相邻的下一个自然数为， ∴的平方根为． 故选：D． 【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键是求出该自然数的表达式，本题属于基础题型． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知某数的一个平方根是，则这个数是____． 【答案】5 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数，掌握平方根的定义是解题关键．直接根据平方根的定义可得结果． 【详解】解：， 平方根是的数是5， 故答案为：5． 3．若正数x的平方根是与，求a与x的值． 【答案】， 【分析】本题考查平方根的定义，熟练掌握一个正数有两个平方根，且两个平方根互为相反数是解题的关键．利用一个正数的两个平方根互为相反数列式解答即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， ∴． 4．（1）已知且，求的平方根； （2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】（1）0；（2）12 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根、绝对值： （1）先根据已知条件判断出与y的数量关系，进而求出的平方根； （2）先根据平方根、立方根的定义得出，解方程组求出x，y的值，进而求出的值，再根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：（1） 或． 且， ， ， ， 的平方根是0． （2）由题意可知，， 解得， ． ， 的算术平方根是12． 5．已知一个正数x的两个平方根分别是和，． (1)求a和x的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此建立方程求出a的值，进而求出x的值即可； （2）求出b的值，进而求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数x的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 平方根——利用平方根解方程题型07 1．按照如图所示的计算程序，若输入，经过第二轮程序计算之后，输出的值为，则输入的的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得每轮程序计算后所得结果是非正数，设第一轮程序计算后结果为a，即可求出a的值，从而求出结论． 【详解】解：∵ ∴，即每轮程序计算后所得结果是非正数 设第一轮程序计算后结果为a 由题意可得 解得：或（不符合已得结论，故舍去） ∴，且符合小于 则输入的应满足 解得： 故选A． 【点睛】此题考查的是解含平方的方程的应用，掌握程序框中的运算顺序是解题关键． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）满足方程的x的值为______． 【答案】3或##或3 【分析】本题考查了利用平方根解方程． 先整理得到，则或，计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴或 ∴或． 故答案为：或3． 3．（25-26七年级·福建南平·月考）求式子中的x． 【答案】或 【分析】利用平方根解方程即可. 【详解】解：， ， 解得或. 4．（1）计算：     （2）解方程 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了实数的运算，利用平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用绝对值的意义，立方根，算术平方根的定义，有理数的乘方分别化简计算即可； （2）利用平方根解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， ， 解得：或， ∴原方程的解为：或． 5．（24-25七年级·四川·月考）计算题 (1)计算：； (2)解方程：； (3)解方程组：； (4)解不等式组：． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查实数的混合运算、平方根的应用、解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式分别计算乘方，化简绝对值、立方根和算术平方根，再进行计算即可； （2）根据平方根的定义进行求解即可； （3）运用加减消元法解方程组即可； （4）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ∴， 解得：或； （3）解：， 得：， 解得； 把代入①得：， 解得：； 所以，方程组的解为； （4）解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 所以，不等式组的解集为． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1 平方根 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 算术平方根——求一个数的算术平方根 题型02 平方根——平方根的理解 题型03 平方根——求一个数的平方根 B组 能力进阶 题型01 算术平方根——算术平方根的非负性 题型02 算术平方根——算术平方根的估算 题型03 算术平方根——规律探究问题 题型04 算术平方根——算术平方根的实际应用 题型05 平方根——求代数式的平方根 题型06 平方根——已知一个数的两个平方根求这个数 题型07 平方根——利用平方根解方程 算术平方根——求一个数的算术平方根题型01 1．下列式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·月考）定义运算“@”的运算法则为：，则_____． 3．计算： 4．综合试一试． (1)数轴上有三个点，，表示的数分别为，4，，已知，，中，其中有一点恰好在另外两点的正中间，则可能的值为___________． (2)的算术平方根是___________． (3)若，是正整数，且满足，则的值为___________． (4)某快餐店的价目表如下： 菜品 价格 汉堡（个） 21元 薯条（份） 9元 汽水（杯） 12元 1个汉堡＋1份薯条（套餐） 28元 1个汉堡＋1杯汽水（套餐） 30元 1个汉堡＋1份薯条＋1杯汽水（套餐） 38元 小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要___________元． 5．（2025·广西南宁·二模）在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而，所以，即． 小明：．这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当时，和之间的数量关系：_______（填“相等”或“不相等”）； (2)运用以上结论，计算：①；②（写出必要的过程与计算结果）； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 平方根——平方根的理解题型02 1．下列各数中，没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）如果一个正数的平方根是与，那么的值为______． 3．在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图是由四个长为a，宽为b的长方形拼摆而成的正方形，其中a＞b＞0，若ab=3，a+b=4，则a-b的值为____． 4．已知一个正数m的两个平方根为和，求a和m的值． 5．已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根． 平方根——求一个数的平方根题型03 1．64的平方根是（    ） A．8 B． C． D．4 2．若x2＝（－4）2，则x=__________ 3．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末） 方程组 与 的解相同，求的平方根 4．（24-25八年级上·广东佛山·期中）若一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）点A，B为坐标轴上两点，点C为坐标平面内一点，，连接． (1)如图1，点C在内，满足． ①若，求的度数； ②若，求的长； (2)如图2，点C在y轴的正半轴上，满足，点P在线段上，连接BP并延长至点D，使得，连接，若，点A的坐标为，求点P的坐标（用含t的式子表示）． 算术平方根——算术平方根的非负性题型01 1．若|a+2|++(c+3)2=0，则2a+b﹣c等于（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．(a+2)2＋|b－1|＋＝0，则a＋b＋c＝_________． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）先化简，再求值：，其中 4．已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b，c满足（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状； （2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 算术平方根——算术平方根的估算题型02 1．0.00048的算术平方根在（   ） A．0.05与0.06之间 B．0.02与0.03之间 C．0.002与0.003之间 D．0.2与0.3之间 2．2﹣的值_____0（填“大于”、“小于”或“等于”） 3．有一张面积为的正方形贺卡，另有一个面积为的长方形信封，已知长方形信封的长宽之比为4：3，能否将这张贺卡不折叠地放入此信封中？请作出判断并说明理由． 4．【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 5．某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料； 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为． 王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 算术平方根——规律探究问题题型03 1．已知，则的值是（   ） A．457.3 B．45.73 C．1449 D．144.9 2．（25-26七年级·安徽六安·月考）观察下表，然后回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决问题：已知，若，则（    ） A．32.4 B．324 C．3240 D．32400 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，，则_________． 4．（25-26·内蒙古呼和浩特·期中）已知：一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的动能（单位：千克），速度（单位：米/秒）近似满足公式．若一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克，动能是2800焦耳． (1)求该运动员的跑步速度； (2)已知，，估计（1）中求得的速度的近似值． 5．（24-25七年级下·广西北海·期末）【课本再现】 小明用一些小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏： 他把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形，按如图1拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形． 【深度思考】 于是，他发现若把5个边长为1的正方形如图2摆放，再将这个图形按图3的方式剪裁，拼成图4，得到一个大正方形． (1)求拼成的正方形的面积和边长． (2)若要把个小正方形按上述方法拼成边长为的大正方形，则______________． 算术平方根——算术平方根的实际应用题型04 1．（25-26七年级下·陕西延安·期中）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中a为子弹的加速度，l为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南漯河·期中）如图，大正方形网格由25个边长为1的小正方形组成，若把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，则新正方形的边长是（    ） A． B．2 C． D． 3．小海和乐乐在运用计算器求与（其中、是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么和的数量关系是_________． 4．（24-25七年级下·吉林吉林·期中）如图，摆钟的钟摆自由摆动，摆动一个来回所用的时间（单位：）之间满足．当钟摆的长度为时，摆动一个来回所用的时间是多少秒？（取，取，结果保留小数点后两位） 5．木工李师傅现有一块面积为144的正方形胶合板，准备做装饰材料用，他设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料， 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且其长、宽之比为． 李师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 平方根——求代数式的平方根题型05 1．（25-26七年级·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 2．如图是一个数值转换器.当输入有效的x值后，始终输不出y的值，则满足条件的x的值是_____. 3．已知x﹣2和y﹣2互为相反数，求x+y的平方根． 4．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 5．（1）已知正数x的两个平方根分别是和，求和x的值； （2）若，求的平方根． 平方根——已知一个数的两个平方根求这个数题型06 1．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知某数的一个平方根是，则这个数是____． 3．若正数x的平方根是与，求a与x的值． 4．（1）已知且，求的平方根； （2）已知的平方根是的立方根是3，求的算术平方根． 5．已知一个正数x的两个平方根分别是和，． (1)求a和x的值； (2)求的平方根． 平方根——利用平方根解方程题型07 1．按照如图所示的计算程序，若输入，经过第二轮程序计算之后，输出的值为，则输入的的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）满足方程的x的值为______． 3．（25-26七年级·福建南平·月考）求式子中的x． 4．（1）计算：     （2）解方程 5．（24-25七年级·四川·月考）计算题 (1)计算：； (2)解方程：； (3)解方程组：； (4)解不等式组：． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $