2.1 平方根 课时作业 2026-2027学年苏科版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，以平方根核心知识点为载体，通过三级分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，强化运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|算术平方根、平方根定义及性质|选择填空聚焦概念辨析（如9的平方根），强化双重非负性直接应用| |能力提升|开平方运算、小数点移动规律|综合计算与方程求解（如(2x-1)²=25），结合实际情境（地砖边长计算）| |拓展探究|跨知识综合与规律探究|开放题培养创新意识（如纸片裁剪、奇数和规律归纳），深化数学思维|

苏科版 · 八年级上册 · 数学课时作业　2.1 平方根 第2章　实数　2.1 平方根　课时作业 （苏科版　八年级上册）　班级：________　姓名：________　学号：________　得分：________ 学习目标 1．了解算术平方根、平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根和平方根． 2．了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根和算术平方根． 3．理解算术平方根的“双重非负性”，并能解决简单问题． 4．探索被开方数的小数点移动与算术平方根的小数点移动之间的规律． 一、知识点梳理 知识点1　算术平方根 定义：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x²=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根，记作 ，读作“根号 a”，其中 a 叫做被开方数． 规定：0 的算术平方根是 0，即 =0． 双重非负性：在 中，被开方数 a≥0；算术平方根 ≥0． 例如：因为 5²=25，所以 25 的算术平方根是 5，即 =5；因为 =，所以 =． 知识点2　平方根 定义：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x²=a，那么这个数 x 叫做 a 的平方根（也叫做二次方根）． 性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数，记作 （a>0）；（2）0 的平方根是 0；（3）负数没有平方根． 例如：因为 3²=9，(-3)²=9，所以 9 的平方根是 ±3，即 =±3，其中 3 是 9 的算术平方根． 知识点3　开平方 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方互为逆运算，因此可以借助平方运算来求一个数的平方根． 知识点4　平方根与算术平方根的联系与区别 比较项目 平方根 算术平方根 表示方法 （a≥0） （a≥0） 正数 a 的结果个数 两个，互为相反数 一个，是正数 0 0 0 负数 没有 没有 联系 正数 a 的两个平方根中，正的那个就是 a 的算术平方根 只有非负数才有平方根和算术平方根 知识点5　两个重要结论 （1）=a（a≥0）．例如 =7． （2）=|a|，即当 a≥0 时，=a；当 a<0 时，=-a．例如 =|-5|=5． 知识点6　被开方数与算术平方根的小数点移动规律 被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 例如：=0.2，=2，=20，=200． 易错提醒 ①“16 的平方根”是 ±4，而“ 的平方根”是先算 =4，再求 4 的平方根，结果是 ±2． ②算术平方根一定是非负数，因此 =3，不能写成 =±3． ③带分数开方前要先化成假分数，如 ==． 二、例题精讲 例1　求下列各数的算术平方根和平方根：（1）0.81；（2）；（3）(-2)²． 解：（1）因为 0.9²=0.81，所以 0.81 的算术平方根是 =0.9，平方根是 =±0.9． （2）因为 =，所以 的算术平方根是 ，平方根是 ． （3）因为 (-2)²=4，所以 (-2)² 的算术平方根是 2，平方根是 ±2． 方法点拨：先把要开方的数计算出结果，再找出“哪个数的平方等于它”． 例2　求下列各式中 x 的值：（1）9x²-16=0；（2）(2x-1)²=25． 解：（1）移项得 9x²=16，所以 x²=，因此 x=． （2）因为 (2x-1)²=25，所以 2x-1=5 或 2x-1=-5，解得 x=3 或 x=-2． 方法点拨：把 (2x-1) 看成一个整体，先求这个整体的平方根，再解一元一次方程． 例3　已知 |a-4|+=0，求 + 的值． 解：因为 |a-4|≥0，≥0，且它们的和为 0，所以 a-4=0，b-9=0，即 a=4，b=9．所以 +=2+3=5． 方法点拨：几个非负数的和等于 0，则每个非负数都等于 0． 三、基础巩固 （一）选择题（每题只有一个正确选项） 1．9 的平方根是（　　） A．3 B．-3 C．±3 D．81 2．下列说法正确的是（　　） A．-4 的平方根是 ±2 B．0 没有平方根 C． 的平方根是 ±4 D． 的算术平方根是 3． 的值是（　　） A．-5 B．5 C．±5 D．25 4．若一个正数的两个平方根分别是 2a-1 和 a-5，则这个正数是（　　） A．2 B．3 C．9 D．81 5．下列各数中，没有平方根的是（　　） A．0 B．(-2)² C．-|-3| D． 6．估计 的值在（　　） A．2 和 3 之间 B．3 和 4 之间 C．4 和 5 之间 D．5 和 6 之间 7．一个正方形的面积是 49 cm²，则它的边长是（　　） A．7 cm B．±7 cm C．24.5 cm D．49 cm 8．若 +|b+3|=0，则 a+b 的值是（　　） A．1 B．-1 C．5 D．-5 9．已知 =1.8，则 的值是（　　） A．0.18 B．18 C．180 D．1.8 10．下列计算正确的是（　　） A．=±3 B．=3 C．=-3 D．=-3 （二）填空题 11．64 的算术平方根是____，64 的平方根是____． 12． 的平方根是____． 13． 的平方根是____． 14．若 x²=16，则 x=____． 15．若 =3，则 x=____． 16．若式子 有意义，则 x 的取值范围是____． 17．已知 (a-1)²+=0，则 =____． 18．一个数的算术平方根等于它本身，这个数是____． 四、能力提升 19．求下列各数的平方根和算术平方根： （1）100；　　（2）；　　（3）0.0004；　　（4）；　　（5）． 20．计算： （1）；　　（2）；　　（3）； （4）；　　（5）；　　（6）+-． 21．求下列各式中 x 的值： （1）x²=25；　　（2）4x²-9=0；　　（3）(x-1)²=16；　　（4）2(x+2)²=18． 22．已知 2a-1 的平方根是 ±3，3a+b-1 的算术平方根是 4，求 a+2b 的平方根． 23．如图，小明家有一间面积为 16 m² 的正方形客厅，用 64 块大小相同的正方形地砖恰好铺满，每块地砖的边长是多少米？ 24．已知一个正数 x 的两个平方根分别是 a+3 和 2a-15，求 a 和 x 的值． 25．观察下表，回答问题： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 （1）被开方数 a 的小数点位置移动和它的算术平方根 的小数点位置移动之间有什么规律？ （2）已知 ≈2.236，求 和 的近似值； （3）已知 ≈1.342，≈4.243，求 和 的近似值． 26．如图，把两个面积都是 1 dm² 的小正方形沿对角线剪开，将所得的 4 个小三角形拼成一个大正方形． （1）拼成的大正方形的面积是多少？ （2）拼成的大正方形的边长是多少？它的边长与小正方形的对角线有什么关系？ 五、拓展探究 27．小丽想用一块面积为 400 cm² 的正方形纸片（如图），沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm² 的长方形纸片，使它的长和宽之比为 3∶2．她能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由． 28．已知 y=++4，求 x+y 的平方根． 29．观察下列各式：=2，=3，=4，… （1）根据规律，=____，=____； （2）用含 n（n 为正整数）的式子表示你发现的规律：=____． 六、易错辨析 判断下列说法是否正确（正确的在括号内画“✓”，错误的画“✗”），并将错误的说法改正． 30．1 的平方根是 1．（　　） 31．-3 是 9 的一个平方根．（　　） 32． 的平方根是 ±2．（　　） 33．一个数的算术平方根不可能是负数．（　　） 34．若 a²=b²，则 a=b．（　　） 35．0.1 是 0.01 的算术平方根．（　　） 七、实际应用 36．物体从高处自由下落时，下落的高度 h（m）与下落的时间 t（s）之间近似满足 h=5t²． （1）一个物体从 125 m 高的楼顶自由落下，落到地面需要多少秒？ （2）如果物体从 45 m 高处自由落下，到达地面比从 125 m 高处落下少用多少秒？ 37．已知 x-2 的平方根是 ±2，2x+y+7 的算术平方根是 5，求 3x-2y 的平方根． 38．学校要修建一个面积为 12.56 m² 的圆形花坛，花坛的半径应是多少米？（π 取 3.14） 参考答案及解析 三、基础巩固 1．【答案】C 【解析】因为 3²=9，(-3)²=9，所以 9 的平方根是 ±3．注意 3 只是 9 的算术平方根，不能漏掉负的平方根． 2．【答案】D 【解析】A．负数没有平方根，故错误；B．0 的平方根是 0，故错误； C．=4，4 的平方根是 ±2，故错误；D．因为 =，且 >0，故正确． 3．【答案】B 【解析】==5．算术平方根是非负数，所以结果不是 -5，也不是 ±5． 4．【答案】C 【解析】一个正数的两个平方根互为相反数，所以 (2a-1)+(a-5)=0，解得 a=2．于是 2a-1=3，这个正数是 3²=9． 5．【答案】C 【解析】-|-3|=-3 是负数，负数没有平方根；0 的平方根是 0，(-2)²=4 有平方根， 也有平方根． 6．【答案】C 【解析】因为 16<20<25，所以 <<，即 4<<5． 7．【答案】A 【解析】正方形的边长是正数，所以边长为 =7（cm）．边长不能是负数，所以 B 错误． 8．【答案】B 【解析】由非负性得 a-2=0，b+3=0，所以 a=2，b=-3，a+b=2+(-3)=-1． 9．【答案】B 【解析】324=3.24×100，被开方数的小数点向右移动两位，算术平方根的小数点向右移动一位，所以 =18． 10．【答案】C 【解析】=3，故 A 错误；=±3，故 B 错误；=-3，故 C 正确； -9 是负数，没有平方根， 无意义，故 D 错误． 11．【答案】8；±8 【解析】因为 8²=64，(-8)²=64，所以 64 的算术平方根是 8，平方根是 ±8． 12．【答案】 【解析】因为 =，所以 的平方根是 ． 13．【答案】±3 【解析】先算 =9，再求 9 的平方根，得 ±3． 14．【答案】±4 【解析】因为 (±4)²=16，所以 x=±4． 15．【答案】9 【解析】算术平方根与平方互为逆运算，x=3²=9． 16．【答案】x≥1 【解析】被开方数必须是非负数，所以 x-1≥0，即 x≥1． 17．【答案】3 【解析】由非负性得 a-1=0，b-9=0，所以 a=1，b=9，==3． 18．【答案】0 和 1 【解析】=0，=1，只有 0 和 1 的算术平方根等于它本身． 四、能力提升 19．【答案】见解析 【解析】（1）100 的平方根是 ±10，算术平方根是 10； （2） 的平方根是 ，算术平方根是 ； （3）0.0004 的平方根是 ±0.02，算术平方根是 0.02； （4）=，其平方根是 ，算术平方根是 ； （5）=，其平方根是 ，算术平方根是 ． 20．【答案】见解析 【解析】（1）=0.6；　（2）=；　（3）=±1.1； （4）==6；　（5）=7； （6）+-=3+4-=． 21．【答案】见解析 【解析】（1）x=±5； （2）4x²=9，x²=，所以 x=； （3）x-1=±4，所以 x=5 或 x=-3； （4）(x+2)²=9，x+2=±3，所以 x=1 或 x=-5． 22．【答案】±3 【解析】因为 2a-1 的平方根是 ±3，所以 2a-1=9，a=5． 因为 3a+b-1 的算术平方根是 4，所以 3a+b-1=16，即 15+b-1=16，b=2． 所以 a+2b=5+4=9，9 的平方根是 ±3． 23．【答案】0.5 m 【解析】每块地砖的面积为 16÷64=0.25（m²）． 设每块地砖的边长为 x m（x>0），则 x²=0.25，所以 x==0.5． 答：每块地砖的边长是 0.5 m． 24．【答案】a=4，x=49 【解析】一个正数的两个平方根互为相反数，所以 (a+3)+(2a-15)=0，解得 a=4． 所以 a+3=7，x=7²=49． 25．【答案】见解析 【解析】（1）被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． （2）500=5×100，所以 ≈22.36；0.05=5÷100，所以 ≈0.2236． （3）1800=18×100，所以 ≈42.43；0.18=18÷100，所以 ≈0.4243． 注意： 应由 推出，而不是由 推出，因为 1800 与 1.8 的小数点相差三位，不是两位的整数倍． 26．【答案】（1）2 dm²；（2） dm 【解析】（1）拼图前后面积不变，大正方形的面积为 1+1=2（dm²）． （2）设大正方形边长为 x dm（x>0），则 x²=2，所以 x=．由拼法可知，大正方形的边恰好是小正方形的对角线，所以小正方形的对角线长也是 dm． 五、拓展探究 27．【答案】不能 【解析】设长方形纸片的长为 3x cm，宽为 2x cm（x>0）． 由题意得 3x·2x=300，即 6x²=300，x²=50，所以 x=． 长方形的长为 3x cm．因为 (3x)²=9x²=9×50=450，而正方形边长的平方为 20²=400，450>400， 所以长方形的长大于 20 cm，即大于正方形纸片的边长． 所以小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 28．【答案】 【解析】要使式子有意义，需 x-3≥0 且 3-x≥0，所以 x=3，此时 y=0+0+4=4． x+y=7，7 的平方根是 ． 29．【答案】（1）5；10；（2）n 【解析】观察可知：从 1 开始的连续 n 个奇数的和等于 n²，所以它的算术平方根等于 n． （1）1+3+5+7+9=25，=5；1+3+5+…+19 共 10 个奇数，和为 10²=100，=10． （2）==n． 六、易错辨析 30．【答案】✗ 【解析】1 的平方根是 ±1，1 只是 1 的算术平方根． 31．【答案】✓ 【解析】因为 (-3)²=9，所以 -3 是 9 的一个平方根． 32．【答案】✗ 【解析】=2，所以“ 的平方根”就是“2 的平方根”，应为 ． 33．【答案】✓ 【解析】算术平方根具有非负性，≥0． 34．【答案】✗ 【解析】例如 1²=(-1)²，但 1≠-1．正确的结论是：若 a²=b²，则 a=b 或 a=-b． 35．【答案】✓ 【解析】因为 0.1²=0.01，且 0.1>0，所以 0.1 是 0.01 的算术平方根． 七、实际应用 36．【答案】（1）5 s；（2）2 s 【解析】（1）当 h=125 时，5t²=125，t²=25．因为 t>0，所以 t==5（s）． （2）当 h=45 时，5t²=45，t²=9，t=3（s）．5-3=2（s），所以少用 2 s． 注意：时间 t 表示实际意义，必须取正值，所以只取算术平方根． 37．【答案】 【解析】因为 x-2 的平方根是 ±2，所以 x-2=4，x=6． 因为 2x+y+7 的算术平方根是 5，所以 2x+y+7=25，即 12+y+7=25，y=6． 所以 3x-2y=18-12=6，6 的平方根是 ． 38．【答案】2 m 【解析】设花坛的半径为 r m（r>0），则 3.14r²=12.56，r²=4，所以 r==2． 答：花坛的半径应是 2 m． 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $