1.4.2　充要条件 [培优讲义]-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.2　充要条件 1.理解充要条件的意义. 2.会判断一些简单的充要条件问题. 3.能对充要条件进行证明. 　　同学们,上节课我们学习了充分条件与必要条件,通过学习,我们知道导致结论成立的条件可能不唯一,同样的条件也可能得出不同的结论,但生活中还有一些实例,比如:“人不犯我,我不犯人,人若犯我,我必犯人”,像这种条件和结论唯一的结构,其实在我们数学上也有很多类似的问题,让我们一探究竟吧! 知识点一　充要条件 1.如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件. 2.条件关系判定的常用结论 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q,且qp 充分不必要条件 q⇒p,且pq 必要不充分条件 p⇒q,且q⇒p 充要条件 pq,且qp 既不充分也不必要条件 (1)充要条件的判断步骤:①确定哪个是条件,哪个是结论;②尝试用条件推结论;③再尝试用结论推条件;④最后判断条件是结论的什么条件. (2)充要条件的等价说法:p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立,或p与q等价. (教材例3)下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1)p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分; (2)p:两个三角形相似,q:两个三角形三边成比例; (3)p:xy>0,q:x>0,y>0; (4)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,q:a+b+c=0(a≠0). 解　(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形(为什么),所以qp,所以p不是q的充要条件. (2)因为“若p,则q”是相似三角形的性质定理,“若q,则p”是相似三角形的判定定理,所以它们均为真命题,即p⇔q,所以p是q的充要条件. (3)因为xy>0时,x>0,y>0不一定成立(为什么),所以pq,所以p不是q的充要条件. (4)因为“若p,则q”与“若q,则p”均为真命题,即p⇔q,所以p是q的充要条件. [例1]　(苏教版必修第一册例题)指出下列命题中,p是q的什么条件: (1)p:两个三角形全等,q:两个三角形的对应角相等; (2)p:三角形的三边相等,q:三角形是等边三角形; (3)p:a2=b2,q:a=b; (4)p:x>y,q:x2>y2. (1)(2)(3)利用充分条件、必要条件的定义判断. (4)通过举反例结合充分条件、必要条件的定义判断. 解　(1)根据三角形全等的性质,得出两个三角形的对应角相等,所以p⇒q. 反过来,由两个三角形的对应角相等,不能得出两个三角形全等.例如,两个等腰直角三角形,它们对应的角相等,但对应边不相等,这两个三角形就不全等,所以qp. 因此,p是q的充分条件,但p不是q的必要条件. (2)根据等边三角形的定义,可知三边相等的三角形是等边三角形,所以p⇒q. 反过来,根据等边三角形的定义,可知等边三角形的三边相等,所以q⇒p. 因此,p⇔q,即p是q的充要条件. (3)因为a2=b2⇒a2-b2=0⇒(a-b)(a+b)=0⇒a-b=0或a+b=0⇒a=-b或a=b, 所以pq. 反过来a=b⇒a-b=0⇒(a-b)(a+b)=0 ⇒a2-b2=0⇒a2=b2,所以q⇒p. 因此,q⇒p,但pq,即p是q的必要条件,但p不是q的充分条件. (4)取x=1,y=-2,此时,x>y,但x2<y2,所以pq. 反过来,取x=-2,y=-1,此时,x2>y2,但x<y,所以qp. 因此,p不是q的充分条件,p也不是q的必要条件. 　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 1.定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假. 2.集合法:即利用集合的包含关系判断 记法 p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)} 关系 A⫋B B⫋A A=B A⊈B且 B⊈A 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p,q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 3.等价法:即利用p⇔q与q⇔p的等价关系,一般地,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法. 4.传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn,充要条件也有传递性. 1.(湘教版必修第一册例题)从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选择适当的一种填空. (1)a≥5是a为正数的　　　　;  (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的　　　　;  (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的　　　　;  (4)若x∈R,则x2=2是x=2的　　　　.  答案　(1)充分而不必要条件　(2)必要而不充分条件　(3)充要条件　(4)既不充分又不必要条件 解析　(1)a≥5⇒a>0,a>0a≥5,因此应填“充分而不必要条件”. (2)四边形是矩形⇒四边形的两对角线相等,反之不成立.因此应填“必要而不充分条件”. (3)四边形的一组对边平行且相等⇔四边形的两组对边分别平行,它们实际上都在描述四边形是平行四边形.因此应填“充要条件”. (4)x∈R时,x2=2x=2,x=2x2=2.因此应填“既不充分又不必要条件”. 知识点二　充要条件的证明 (教材例4)已知:☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,求证:d=r是直线l与☉O相切的充要条件. 证明　设p:d=r,q:直线l与☉O相切. (1)充分性(p⇒q):如图,作OP⊥l于点P,则OP=d.若d=r,则点P在☉O上,在直线l上任取一点Q(异于点P),连接OQ.在Rt△OPQ中,OQ>OP=r.所以,除点P外直线l上的点都在☉O的外部,即直线l与☉O仅有一个公共点P.所以直线l与☉O相切. (2)必要性(q⇒p):若直线l与☉O相切,不妨设切点为P,则OP⊥l.因此,d=OP=r. 由(1)(2)可得,d=r是直线l与☉O相切的充要条件. [例2]　设a,b,c∈R,求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根是1的充要条件为a+b+c=0. 由题意得c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0,因式分解可得方程ax2+bx+c=0有一个根为1,可证充分性;把x=1代入方程ax2+bx+c=0,可得a+b+c=0,可证必要性. 证明　充分性:∵a+b+c=0,∴c=-a-b, 代入方程ax2+bx+c=0,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0, ∴关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1; 必要性:∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1, ∴x=1满足方程ax2+bx+c=0, ∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0. 故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根是1的充要条件为a+b+c=0. 　 充要条件证明的两个思路 1.直接法:证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p⇒q是证明充分性,推证q⇒p是证明必要性. 2.集合思想:记p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},若A=B,则p与q互为充要条件. 2.设n∈Z,求证:“n是偶数”是“(n+1)2是奇数”的充要条件. 证明　若n是偶数,则n+1为奇数,(n+1)2仍然是奇数,故“n是偶数”是“(n+1)2是奇数”的充分条件; 若(n+1)2是奇数,则n+1是奇数,所以n为偶数,故“n是偶数”是“(n+1)2是奇数”的必要条件, 所以“n是偶数”是“(n+1)2是奇数”的充要条件. 知识点三　充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 [例3]　已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 解　p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件, 所以q是p的充分不必要条件, 即{x|1-m≤x≤1+m}⫋{x|-2≤x≤10}, 故有或解得m≤3. 又m>0, 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解　p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的充分不必要条件, 设p代表的集合为A,q代表的集合为B, 所以A⫋B. 所以或解得m≥9, 即实数m的取值范围为{m|m≥9}. 　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 1.根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. 2.根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 3.已知命题p:1<x<3,命题q:2m<x≤1-m,若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是(　　) A.⌀ B.m≥ C.-2<m≤ D.m≤-2 解析　D　设集合P={x|1<x<3},Q={x|2m<x≤1-m},由题意因为p是q的充分不必要条件,则P是Q的真子集,∴∴m≤-2. 1.知识清单: (1)充要条件概念的理解. (2)充要条件的证明. (3)充分不必要、必要不充分、充要条件的应用. 2.方法归纳:等价转化. 3.常见误区:条件和结论辨别不清. 1.已知p:0<x<2,q:-1<x<3,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　A　因为{x|0<x<2}⫋{x|-1<x<3},所以p是q的充分不必要条件. 2.在三角形ABC中,“∠A为锐角”是“三角形ABC为锐角三角形”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　C　根据三角形的性质知,当∠A为锐角时,三角形ABC不一定是锐角三角形,当三角形ABC为锐角三角形时,∠A一定为锐角,故“∠A为锐角”是“三角形ABC为锐角三角形”的必要不充分条件. 3.“x>0且y>0”是“x+y>0且xy>0”的　　　　条件.  答案　充要 解析　因为“x>0且y>0”可以推出“x+y>0且xy>0”,所以“x>0且y>0”是“x+y>0且xy>0”的充分条件.因为x+y>0且xy>0时,x>0且y>0,所以“x>0且y>0”是“x+y>0且xy>0”的充要条件. 4.已知α:0<x<2和β:0<x<a,若α是β的一个充分不必要条件,则实数a的取值范围是　 　　.  答案　a>2 解析　由于α是β的一个充分不必要条件,所以{x|0<x<2}⫋{x|0<x<a},所以a>2. 1.“x是矩形”是“x是正方形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　B　由x是矩形得不到x是正方形,故充分性不成立;由x是正方形一定可以得到x是矩形,故必要性成立,所以“x是矩形”是“x是正方形”的必要不充分条件. 2.“知之者不如好之者,好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》,意思是:对于学习,了解怎么学习的人,不如喜爱学习的人;喜爱学习的人,又不如以学习为乐的人.设命题p:“一个人以学习为乐”,命题q:“一个人喜爱学习”,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　A　根据题意,若命题p(一个人以学习为乐)成立,则命题q(一个人喜爱学习)一定成立,即p⇒q;但命题q成立时,命题p不一定成立(喜爱学习的人未必以学习为乐),即qp.因此,p是q的充分不必要条件. 3.设x∈R,则“0<x<”是“x<1或x>5”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　B　一方面:0<x<⇒x<1⇒x<1或x>5;另一方面:x=6⇒x>5⇒x<1或x>5,但此时x不满足0<x<,所以“0<x<”是“x<1或x>5”的充分不必要条件. 4.“ab=0”是“a≠0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　D　若ab=0,则a=0或b=0,不能推出a≠0,所以充分性不成立;若a≠0,不一定有ab=0成立,所以必要性不成立.故“ab=0”是“a≠0”的既不充分也不必要条件. 5.下列条件中,是-4≤x<3的充分不必要条件的是(　　) A.-3<x≤4 B.-3<x≤3 C.1<x<3 D.1<x<4 解析　C　因为{x|-3<x≤4}不是{x|-4≤x<3}的真子集,所以选项A不符合题意;因为{x|-3<x≤3}不是{x|-4≤x<3}的真子集,所以选项B不符合题意;因为{x|1<x<3}⫋{x|-4≤x<3},所以选项C符合题意;因为{x|1<x<4}不是{x|-4≤x<3}的真子集,所以选项D不符合题意. 6.(多选)下列条件中,-2<x<2的必要不充分条件是(　　) A.-2≤x≤2 B.-2<x<3 C.0<x≤2 D.1<x<3 解析　AB　对于选项A,由-2≤x≤2不能推出-2<x<2,由-2<x<2可以推出-2≤x≤2,所以-2≤x≤2是-2<x<2的必要不充分条件.对于选项B,由-2<x<3不能推出-2<x<2,由-2<x<2可以推出-2<x<3,所以-2<x<3是-2<x<2的必要不充分条件.对于选项C,由0<x≤2不能推出-2<x<2,由-2<x<2也不能推出0<x≤2,所以0<x≤2是-2<x<2的既不充分也不必要条件.对于选项D,由1<x<3不能推出-2<x<2,由-2<x<2也不能推出1<x<3,所以1<x<3是-2<x<2的既不充分也不必要条件. 7.若p:x>1,q:x>3,则p是q的　　　　条件.  答案　必要不充分 解析　由x>1x>3,但x>3⇒x>1,所以p是q的必要不充分条件. 8.使0<x≤2成立的一个充分不必要条件是　　　　.  答案　0<x<2(答案不唯一) 解析　由题意可知使0<x≤2成立的一个充分不必要条件是{x|0<x≤2}的真子集,如0<x<2或0<x<1或1<x<2或1<x≤2或1<x<或<x<2等等. 9.指出下列各组命题中,p是q的什么条件?q是p的什么条件? (1)p:a∈A∩B,q:a∈A∪B; (2)p:x>1或x<-1,q:x<-1; (3)p:a能被6整除,q:a能被3整除. 解　(1)若a∈A∩B,可以推出a∈A∪B,反之不一定成立,即p⇒q,qp. 所以p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件. (2)x>1或x<-1,推不出x<-1,反之成立, 即q⇒p,pq, 所以p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件. (3)a能被6整除,推出a能被3整除,反之不一定成立, 即p⇒q,qp. 所以p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件. 10.已知α:-4<x<16,β:1-a<x<1+a,a>0.若α是β的充分不必要条件,求正实数a的取值范围. 解　设集合A={x|-4<x<16},B={x|1-a<x<1+a,a>0}. 由题意知A⫋B,∴解得a≥15,∴a的取值范围为{a|a≥15}. 11.已知p:4x-m<0,q:1≤3-x≤4,若p是q的一个必要不充分条件,则实数m的取值范围为(　　) A.{m|m≥8} B.{m|m>8} C.{m|m>-4} D.{m|m≥-4} 解析　B　由4x-m<0,得x<.由1≤3-x≤4,得-1≤x≤2.∵p是q的一个必要不充分条件,∴>2,即m>8. 12.(多选)已知p是q的充要条件,q是r的充分不必要条件,那么(　　) A.r是q的充分不必要条件 B.r是q的必要不充分条件 C.p是r的充分不必要条件 D.p是r的必要不充分条件 解析　BC　因为p是q的充要条件,所以p⇒q,q⇒p,p⇔q.因为q是r的充分不必要条件,所以q⇒r,rq,则r是q的必要不充分条件,由p⇒q,q⇒r,可得p⇒r,因为rq,所以rp,所以p是r的充分不必要条件,故选BC. 13.下列选项中,p是q的充要条件的是(　　) A.p:ab=0,q:a2+b2=0 B.p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y| C.p:m>0,q:方程x2-x-m=0有实数根 D.p:x>2或x<-1,q:x<-1 解析　B　对于A,由pq知,p不是q的充要条件;对于B,由|x|+|y|=|x+y|知x,y要么同为正数,要么同为负数,要么至少一个为零,能得到xy≥0,故p是q的充要条件;对于C,方程x2-x-m=0有实数根,判别式Δ=1+4m≥0,即m≥-,所以qp,所以p不是q的充要条件;对于D,因为pq,所以p不是q的充要条件. 14.求证:a2+b2+c2=ab+ac+bc是△ABC是等边三角形的充要条件(这里a,b,c是△ABC的三边边长). 证明　先证明充分性: 由a2+b2+c2=ab+ac+bc, 得2(a2+b2+c2)=2ab+2ac+2bc, 整理,得(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0, 所以a=b=c,即△ABC是等边三角形. 然后证明必要性: 由△ABC是等边三角形,则a=b=c, 所以a2+b2+c2=ab+ac+bc. 综上所述,a2+b2+c2=ab+ac+bc是△ABC是等边三角形的充要条件. 15.设计如图所示的四个电路图,则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是(　　) 解析　C　对于A,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件;对于B,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件;对于C,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件;对于D,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件. 16.南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1,S2,则“S1,S2总相等”是“V1,V2相等”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　A　根据祖暅原理,当S1,S2总相等时,V1,V2相等,所以充分性成立;当两个完全相同的四棱台,一正一反地放在两个平面之间时,此时体积固然相等但截得的面积未必相等,所以必要性不成立.所以“S1,S2总相等”是“V1,V2相等”的充分不必要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2　充要条件 1.理解充要条件的意义. 2.会判断一些简单的充要条件问题. 3.能对充要条件进行证明. 　　同学们,上节课我们学习了充分条件与必要条件,通过学习,我们知道导致结论成立的条件可能不唯一,同样的条件也可能得出不同的结论,但生活中还有一些实例,比如:“人不犯我,我不犯人,人若犯我,我必犯人”,像这种条件和结论唯一的结构,其实在我们数学上也有很多类似的问题,让我们一探究竟吧! 知识点一　充要条件 1.如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有 ,又有 ,就记作 .此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为 条件. 2.条件关系判定的常用结论 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q,且qp 充分不必要条件 q⇒p,且pq 必要不充分条件 p⇒q,且q⇒p 充要条件 pq,且qp 既不充分也不必要条件 (1)充要条件的判断步骤:①确定哪个是条件,哪个是结论;②尝试用条件推结论;③再尝试用结论推条件;④最后判断条件是结论的什么条件. (2)充要条件的等价说法:p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立,或p与q等价. [例1]　(苏教版必修第一册例题)指出下列命题中,p是q的什么条件: (1)p:两个三角形全等,q:两个三角形的对应角相等; (2)p:三角形的三边相等,q:三角形是等边三角形; (3)p:a2=b2,q:a=b; (4)p:x>y,q:x2>y2. 　判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 1.定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假. 2.集合法:即利用集合的包含关系判断 记法 p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)} 关系 A⫋B B⫋A A=B A⊈B且 B⊈A 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p,q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 3.等价法:即利用p⇔q与q⇔p的等价关系,一般地,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法. 4.传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn,充要条件也有传递性. 1.(湘教版必修第一册例题)从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选择适当的一种填空. (1)a≥5是a为正数的　　　　;  (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的　　　　;  (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的　　　　;  (4)若x∈R,则x2=2是x=2的　　　　.  知识点二　充要条件的证明 [例2]　设a,b,c∈R,求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根是1的充要条件为a+b+c=0. 　 充要条件证明的两个思路 1.直接法:证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p⇒q是证明充分性,推证q⇒p是证明必要性. 2.集合思想:记p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},若A=B,则p与q互为充要条件. 2.设n∈Z,求证:“n是偶数”是“(n+1)2是奇数”的充要条件. 知识点三　充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 [例3]　已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 　应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 1.根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. 2.根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 3.已知命题p:1<x<3,命题q:2m<x≤1-m,若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是(　　) A.⌀ B.m≥ C.-2<m≤ D.m≤-2 1.知识清单: (1)充要条件概念的理解. (2)充要条件的证明. (3)充分不必要、必要不充分、充要条件的应用. 2.方法归纳:等价转化. 3.常见误区:条件和结论辨别不清. 1.已知p:0<x<2,q:-1<x<3,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.在三角形ABC中,“∠A为锐角”是“三角形ABC为锐角三角形”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.“x>0且y>0”是“x+y>0且xy>0”的　　　　条件.  4.已知α:0<x<2和β:0<x<a,若α是β的一个充分不必要条件,则实数a的取值范围是　 　　.  1.“x是矩形”是“x是正方形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.“知之者不如好之者,好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》,意思是:对于学习,了解怎么学习的人,不如喜爱学习的人;喜爱学习的人,又不如以学习为乐的人.设命题p:“一个人以学习为乐”,命题q:“一个人喜爱学习”,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设x∈R,则“0<x<”是“x<1或x>5”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.“ab=0”是“a≠0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.下列条件中,是-4≤x<3的充分不必要条件的是(　　) A.-3<x≤4 B.-3<x≤3 C.1<x<3 D.1<x<4 6.(多选)下列条件中,-2<x<2的必要不充分条件是(　　) A.-2≤x≤2 B.-2<x<3 C.0<x≤2 D.1<x<3 7.若p:x>1,q:x>3,则p是q的　　　　条件.  8.使0<x≤2成立的一个充分不必要条件是　　　　.  9.指出下列各组命题中,p是q的什么条件?q是p的什么条件? (1)p:a∈A∩B,q:a∈A∪B; (2)p:x>1或x<-1,q:x<-1; (3)p:a能被6整除,q:a能被3整除. 10.已知α:-4<x<16,β:1-a<x<1+a,a>0.若α是β的充分不必要条件,求正实数a的取值范围. 11.已知p:4x-m<0,q:1≤3-x≤4,若p是q的一个必要不充分条件,则实数m的取值范围为(　　) A.{m|m≥8} B.{m|m>8} C.{m|m>-4} D.{m|m≥-4} 12.(多选)已知p是q的充要条件,q是r的充分不必要条件,那么(　　) A.r是q的充分不必要条件 B.r是q的必要不充分条件 C.p是r的充分不必要条件 D.p是r的必要不充分条件 13.下列选项中,p是q的充要条件的是(　　) A.p:ab=0,q:a2+b2=0 B.p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y| C.p:m>0,q:方程x2-x-m=0有实数根 D.p:x>2或x<-1,q:x<-1 14.求证:a2+b2+c2=ab+ac+bc是△ABC是等边三角形的充要条件(这里a,b,c是△ABC的三边边长). 15.设计如图所示的四个电路图,则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是(　　) 16.南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1,S2,则“S1,S2总相等”是“V1,V2相等”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 学科网（北京）股份有限公司 $