1.4.2充要条件（第二课时）·讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦“充要条件”核心知识点，承接上一课时充分条件与必要条件的单向判断，通过双向推出关系合成，系统梳理充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四种条件类型，是逻辑用语部分的核心与终点，为后续数学证明奠定基础。 该资料以集合观点统一条件判断（如“小充分、大必要”）培养数学眼光，分两步证明充要条件（如例4方程根问题）发展数学思维，含参问题结合集合包含关系提升数学语言表达。课中助教师系统授课，课后学生可通过题型精练查漏补缺。

1.4.2 充要条件·讲义 人教A版必修第一册　第一章　1.4 充分条件与必要条件　第二课时 一、课标要求与本课时位置 课程标准对本节的要求：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义。本节共2课时，本课时是第二课时，学充要条件（教材1.4.2）；上一课时已学充分条件与必要条件（1.4.1）。本课时是1.4节的收口，把上一课时的两个单向判断合成一个双向判断，得到四种条件类型的完整分类，是本章逻辑用语部分的核心与终点。 本课时承接得很自然。上一课时反复强调"pq是一个箭头两句话"——p是q的充分条件、q是p的必要条件。那时看的都是单向的箭头。本课时要问的是：如果两个方向的箭头都成立，即既有pq又有qp，会怎么样？答案就是充要条件。把"充分"和"必要"这两个上一课时费力分开的概念，在这里又合到了一起，学生对两个词的理解会在这个合成过程中进一步夯实。 本课时要达成的是四件事：理解充要条件的概念，会用pq表示；会判断一个条件是另一个条件的充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四种情形中的哪一种；能用集合关系统一处理这四种判断；会解决"求一个命题的充要条件""求充要条件中的参数"这两类问题，其中含参问题往往需要同时控制两个方向，比上一课时的单向含参更进一层。 往后看，充要条件是数学证明与表述的通用格式。今后学到的很多重要结论都以充要条件的形式给出：一元二次方程有实根的充要条件是判别式非负；函数在某点可导的充要条件、数列收敛的充要条件等，到高中后段和大学里比比皆是。证明"当且仅当"的命题，就是分别证充分性和必要性两个方向——这个证明格式在本课时的例4里第一次系统示范，往后要用一辈子。高考中，充要条件的判断题几乎年年出现，四选一的选项就是这四种类型，本课时是那道题的正面主场。 二、知识精讲 （一）从"逆命题"引入充要条件 先回顾上一课时的记号。命题"若p，则q"，若pq，则p是q的充分条件、q是p的必要条件。现在把这个命题的条件和结论互换，得到命题"若q，则p"，我们把它叫做原命题的逆命题。原命题真不真、逆命题真不真，是两件独立的事，四种搭配都可能出现。 教材给出四个命题，让我们逐一看它和它的逆命题的真假： (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax²＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac＜0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集。 逐一分析。命题(1)：由"两角和其中一角所对的边分别相等"（AAS）可以推出两个三角形全等，原命题为真；反过来，两个三角形全等，对应的两角和这组角所对的边当然分别相等，逆命题也为真。所以(1)与它的逆命题都是真命题。命题(2)：全等的两个三角形周长相等，原命题为真；但周长相等的两个三角形未必全等（比如边长3、4、5的三角形与边长2、5、5的三角形周长都是12却不全等），逆命题为假。命题(3)：ac＜0时判别式b²－4ac＞0，方程确实有两个不相等的实根，逆命题为真；但方程有两个不相等的实根只要求b²－4ac＞0，并不一定要ac＜0（例如b＝5、a＝1、c＝1时b²－4ac＝21＞0，方程有两个不等实根，但ac＝1＞0），所以原命题为假。命题(4)：若A∪B为空集，则A、B都不含任何元素，即都是空集，原命题为真；反过来A、B都是空集时A∪B当然是空集，逆命题也为真。所以(4)与它的逆命题都是真命题。 把结果排一排：(1)(4)是原命题与逆命题都真；(2)是原命题真、逆命题假；(3)是原命题假、逆命题真。本课时要重点研究的，正是(1)(4)这种"来回都通"的情形。 （二）充要条件的定义 一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq。此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件。 这个定义要抠三个点。第一，pq这个双箭头，是把pq和qp两个单箭头合在一起，它读作"p等价于q"。要判断p是不是q的充要条件，必须两个方向都验证：正着推pq成立吗？反着推qp成立吗？两个都成立才是充要，缺一个就不是。第二，充要条件是对称的——如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，因为pq和qp是同一件事。这一点和充分条件、必要条件不同：p是q的充分条件时，q不是p的充分条件（而是必要条件）；但p是q的充要条件时，q就是p的充要条件。第三，pq意味着p和q这两个条件在逻辑上完全等价——满足p的对象恰好就是满足q的对象，一个不多一个不少。所以充要条件又叫"等价条件"，数学中常用"当且仅当"来表述："p当且仅当q"就是pq。 把回顾串起来看：命题(1)中，"两角和其中一角所对的边分别相等"是"两三角形全等"的充要条件；命题(4)中，"A∪B是空集"是"A与B均是空集"的充要条件。而命题(2)中，"两三角形全等"只是"周长相等"的充分不必要条件；命题(3)中，"方程有两个不相等的实根"只是"ac＜0"的必要不充分条件。四个命题正好落在四种类型上，是理解分类的最好样本。 （三）四种条件类型的完整分类 把p与q之间的推出关系穷尽，只有四种情况，对应四个名称，务必记牢： 第一种，pq成立，但qp不成立。此时p是q的充分不必要条件。"充分"是因为p能推出q，"不必要"是因为q推不出p——有p足以保证q，但保证q不是非有p不可。例如p：x＞2，q：x＞0，x＞2能推出x＞0，但x＞0（如x＝1）推不出x＞2，所以p是q的充分不必要条件。 第二种，pq不成立，但qp成立。此时p是q的必要不充分条件。"必要"是因为q能推出p（即没有p就没有q），"不充分"是因为p推不出q。例如p：x＞0，q：x＞2，x＞2能推出x＞0（即qp），但x＞0推不出x＞2（即pq），所以p是q的必要不充分条件。把这个例子和上一个对照：同样是x＞2和x＞0，谁当p谁当q，结论正好相反——这说明判断时一定要看清哪个是p、哪个是q。 第三种，pq和qp都成立，即pq。此时p是q的充要条件，两个条件等价。 第四种，pq和qp都不成立。此时p是q的既不充分也不必要条件。例如p：x＞0，q：x＜0，两个方向都推不出，互相无关。 判断落成一个固定动作：拿到"p是q的什么条件"，先验pq对不对（正推），再验qp对不对（反推），根据两次的真假对号入座。正真反假是充分不必要，正假反真是必要不充分，两真是充要，两假是既不充分也不必要。这个"正推一次、反推一次、查表定名"的流程，是本课时所有判断题的通用解法。 （四）教材例3：用判定定理判断充要条件 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； (3)p：x－3＝0，q：(x－3)(x－2)＝0； (4)p：一个整数的末位数字是0，q：这个整数能被5整除。 解答：(1)正推——对角线相等的四边形不一定是矩形（等腰梯形的对角线也相等），pq；已经断了一个方向，不必再推另一个方向，p不是q的充要条件。(2)正推——两个三角形相似，则三边对应成比例（相似的性质），pq；反推——三边对应成比例的两个三角形相似（相似的判定，SSS相似），qp；两个方向都通，所以p是q的充要条件。(3)正推——由x－3＝0得x＝3，代入(x－3)(x－2)＝0成立，pq；反推——由(x－3)(x－2)＝0得x＝3或x＝2，取x＝2满足q但x－3＝0不成立，qp；只有一个方向，p不是q的充要条件（p只是q的充分不必要条件）。(4)正推——末位是0的整数，如10、20、100，都能被5整除，pq；反推——能被5整除的整数末位是0或5（如15末位是5），取15，满足q但末位不是0，qp；所以p不是q的充要条件（p是q的充分不必要条件）。 这道例题的教学价值：(2)示范了充要条件的典型来源——当一个数学对象的判定定理和性质定理"方向相反、内容相同"时，条件与结论就互为充要（相似三角形的"三边成比例"既是判定又是性质，所以与"相似"等价）。(1)(3)(4)则示范了怎样快速否定：只要有一个方向推不出，立刻断定不是充要，不必把两个方向都推完——这是判断题里省时间的关键。 （五）教材例4：充要条件的证明（"当且仅当"的证法） 证明一个充要命题，要把两个方向分别证出来。下面用一个可以自己动手验证的例子来示范这个格式： 例：求证：一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a0）有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0。 证明分两步走，这是充要条件证明的标准格式。 第一步，证充分性（由条件推结论，即证"ac＜0 方程有一正根一负根"）。设方程的两根为x₁、x₂。因为ac＜0，即a、c异号，所以c/a＜0。由根与系数的关系，x₁·x₂＝c/a＜0，两根之积为负，说明两根异号，即一正一负；又因为ac＜0，所以－4ac＞0，判别式Δ＝b²－4ac＞b²≥0，方程确有两个不相等的实根。所以方程有一个正根和一个负根，充分性得证。 第二步，证必要性（由结论推条件，即证"方程有一正根一负根 ac＜0"）。设方程有一正根x₁＞0和一负根x₂＜0，则x₁·x₂＜0。由根与系数的关系x₁·x₂＝c/a，故c/a＜0，两边同乘a²（a²＞0）得ac＜0，必要性得证。 两步都证完，才算证明了充要条件。教学时把这个格式写在黑板上并框起来：证充要，分两步——先证充分性（条件结论），再证必要性（结论条件），两步都不能少。学生最常犯的错误是只证一个方向就下结论，或者把两个方向搞混（该证充分性时证成了必要性）。为了不混，可以每步开头先写清"下证充分性：即证…………"，把要证的方向白纸黑字标出来。 （六）用集合的观点统一四种判断 上一课时已经建立了"pq ⟺ AB"的翻译（A是使p成立的对象组成的集合，B是使q成立的对象组成的集合）。把它推广到四种类型，就得到一张完整的对照表，它是判断题最锋利的工具： 当AB（A是B的真子集）时，pq成立而qp不成立，p是q的充分不必要条件——记法仍是"小充分"，小的那个是充分不必要。当AB（A真包含B）时，反过来，p是q的必要不充分条件——"大必要"，大的那个是必要不充分。当A＝B时，两个方向都通，p是q的充要条件——相等对应充要。当A、B互不包含（既不是AB也不是BA）时，p是q的既不充分也不必要条件。 把四句话并成一句口诀：真子集分充分必要（小充分、大必要），相等即充要，互不包含则两不沾。遇到用不等式或区间给出的条件，一律翻译成集合、画数轴看包含关系，再对照定名，比在文字上判断推理方向快且不易错。 举例：判断p：－1＜x＜3，q：0＜x＜3，p是q的什么条件。A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|0＜x＜3}，画数轴可见BA，即AB，是"大必要"的情形，所以p是q的必要不充分条件。验证一下：q（0＜x＜3）能推出p（－1＜x＜3），反过来p里的x＝－0.5不满足q，所以p必要不充分，与集合判断一致。 （七）求一个命题的充要条件 有一类题不是判断而是"求"：给一个命题，求它成立的充要条件。做法是把这个命题等价变形，直到变成一个最简洁的、与原命题完全等价的条件。 例：求"方程x²－2x＋m＝0有实数根"的一个充要条件。分析：方程有实数根当且仅当判别式Δ≥0，即4－4m≥0，解得m≤1。所以"m≤1"就是"方程x²－2x＋m＝0有实数根"的充要条件。这里"当且仅当"三个字提示了等价性——Δ≥0与有实根是完全等价的（不多不少），所以m≤1是充要条件而不是仅仅充分或仅仅必要。 要注意"一个充要条件"和"充分条件"的区别。如果题目问的是充分条件，那么m≤0、m＜1、m＝0都可以（它们都能保证方程有实根，但都比m≤1的范围小，不是等价的）；只有m≤1这个"不多不少"的范围才是充要条件。求充要条件，追求的是与原命题恰好等价，范围既不能大也不能小。 （八）充要条件中的含参数问题 这是本课时的重点题型，也是月考压轴常客。它比上一课时的含参问题多一层：上一课时是单向的（p是q的充分条件、或必要条件），只需一个包含关系；本课时的"充分不必要""必要不充分"要同时控制两个方面——既要有包含关系，又要保证包含是"真"的（不能相等）。 例：已知p：1/2≤x≤1，q：a≤x≤a＋1。若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围。分析：p是q的充分不必要条件，翻译成集合关系就是AB，其中A＝{x|1/2≤x≤1}、B＝{x|a≤x≤a＋1}，A是B的真子集。""要求B把A整个包住：a≤1/2且a＋1≥1，即a≤1/2且a≥0，得0≤a≤1/2。"真子集"要求A、B不能相等，即两个端点不能同时相等；观察A的长度是1/2、B的长度是1，长度不同，A、B永远不可能相等，所以只要满足包含关系即可。因此0≤a≤1/2。 方法点拨落成四步。第一步，把p、q各自对应的集合A、B写出来。第二步，把"充分不必要／必要不充分／充要"翻译成A、B的关系：充分不必要是AB，必要不充分是AB，充要是A＝B。第三步，由包含关系列端点不等式（""给一组不等式，注意端点能否取等）。第四步，处理"真"的要求——检查等号会不会导致A＝B，会的话把使两集合相等的参数值排除掉；本例因长度不同天然不会相等，省了这一步，但很多题需要专门排除。含参问题的老规矩这里仍然适用：区间型别忘了讨论空集（若B可能为空）、别丢参数本身的限制、端点等号逐个验。 三、概念辨析与易错点 1．判断充要条件必须验两个方向。正推pq、反推qp，两个都成立才是充要，只验一个方向就下结论是最常见的错误。 2．四种类型对号入座：正真反假→充分不必要；正假反真→必要不充分；两真→充要；两假→既不充分也不必要。判断前先把"哪个是p、哪个是q"看清，p、q对调，充分不必要和必要不充分会互换。 3．充要条件是对称的：p是q的充要条件 ⟺ q是p的充要条件。但充分条件、必要条件不对称（p是q的充分条件时，q是p的必要条件，不是充分条件）。 4．集合观点对照表：AB→p充分不必要；AB→p必要不充分；A＝B→充要；互不包含→既不充分也不必要。口诀"小充分、大必要、相等即充要"。 5．否定一个方向即可断定"不是充要"，不必两个方向都推完——判断题里这样省时间。但要证明"是充要"，两个方向都必须给出。 6．证明充要条件分两步：先证充分性（条件结论）、再证必要性（结论条件）。每步开头标明要证的方向，防止把两步证反。缺一步都不算证完。 7．求"一个充要条件"要求与原命题恰好等价，范围不能大也不能小；这与求"一个充分条件"（范围可以更小）不同。 8．含参的"充分不必要"是AB（真子集），不只是AB——包含之外还要保证不相等，必要时排除使两集合相等的参数值。 9．含参问题的通用纪律仍在：区间型注意讨论空集、参数自身限制、端点能否取等，逐个验证。 四、题型归纳 题型一　四种条件类型的判断 例：指出下列各题中，p是q的什么条件（在"充分不必要""必要不充分""充要""既不充分也不必要"中选一个）：(1)p：x＝1，q：x²＝1；(2)p：x²＝1，q：x＝1；(3)p：x＞1，q：x²＞1且x＞0；(4)p：x＞0，q：x＜0。 解析：(1)正推x＝1x²＝1（真）；反推x²＝1x＝1，取x＝－1不成立（假）。正真反假，p是q的充分不必要条件。(2)与(1)恰好p、q对调：正推x²＝1x＝1（假，x＝－1是反例）；反推x＝1x²＝1（真）。正假反真，p是q的必要不充分条件。(3)先化简q：x²＞1且x＞0，由x＞0时x²＞1等价于x＞1，所以q就是x＞1，与p相同。正推反推都成立，p是q的充要条件。(4)x＞0与x＜0互相推不出，两个方向都假，p是q的既不充分也不必要条件。方法点拨：正推一次、反推一次、对号入座；(3)提醒条件要先化简到最简再比较。 题型二　用集合关系判断（★） 例：已知p：－2≤x≤2，q：x²≤a（a＞0）。若p是q的充要条件，求a的值。 解析：q：x²≤a即－≤x≤。p是q的充要条件，即两个集合相等：{x|－2≤x≤2}＝{x|－≤x≤}，故＝2，a＝4。方法点拨：充要对应集合相等，把两个区间的端点一一对应即可。这道题也是求参数——充要条件对应相等，所以端点必须严格对上，不能只包含。 题型三　求命题成立的充要条件 例：求关于x的方程x²＋mx＋1＝0有两个不相等的正实根的充要条件。 解析：设两根x₁、x₂。要有两个不相等的正实根，需同时满足三条：判别式Δ＝m²－4＞0（两个不相等的实根）；两根之和x₁＋x₂＝－m＞0（都为正，则和为正）；两根之积x₁·x₂＝1＞0（都为正，则积为正，这条自动成立）。由Δ＞0得m＜－2或m＞2；由－m＞0得m＜0。三条取交：m＜0与（m＜－2或m＞2）取交得m＜－2。所以充要条件是m＜－2。方法点拨：这类"方程根的分布"问题，充要条件由判别式、根之和、根之积三个条件联立而成，一个都不能漏（漏了积＞0这条虽然本例自动满足，但换成"两负根"时就必须写全）。三条一起才与"两个不相等的正实根"等价。 题型四　充要条件的证明（★） 例：求证：关于x的方程ax²＋2x－1＝0（a0）有两个不相等的实数根的充要条件是a＞－1且a0。 证明：分两步。充分性：设a＞－1且a0。方程的判别式Δ＝2²－4·a·(－1)＝4＋4a＝4(1＋a)。因为a＞－1，所以1＋a＞0，Δ＝4(1＋a)＞0，又a0保证方程是一元二次方程，故方程有两个不相等的实数根，充分性得证。必要性：设方程ax²＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则它是一元二次方程（a0）且判别式Δ＞0，即4(1＋a)＞0，解得a＞－1；结合a0，得a＞－1且a0，必要性得证。综上，原命题成立。方法点拨：证明前先把要证的充要条件的两侧看清——条件是"a＞－1且a0"，结论是"方程有两个不相等的实根"。充分性从条件推结论，必要性从结论推条件，每步标明方向。 题型五　充要条件中的含参问题（★） 例：已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}。若"xA"是"xB"的充分不必要条件，求a的取值范围。 解析：p：xA，q：xB。p是q的充分不必要条件，即AB，A是B的真子集。A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}。要AB，需A中所有元素都小于a，A的右端逼近2，故a≥2（当a＝2时B＝{x|x＜2}，A＝{x|1＜x＜2}中的元素都小于2，AB成立，且AB，仍是真子集）。当a＜2时，比如a＝1.5，A中的x＝1.8不满足x＜1.5，AB。所以a≥2。方法点拨：充分不必要对应AB。本题B是开区间{x|x＜a}，A的右端点2取不到，所以a＝2时恰好包住且不相等，等号保留；由于B是无限区间、A是有限区间，两者不可能相等，真子集的"真"自动满足，只需a≥2。 变式（必要不充分）：其他条件不变，若"xA"是"xB"的必要不充分条件，求a的范围。此时方向反过来，BA，即{x|x＜a}{x|1＜x＜2}。但{x|x＜a}是向左无限延伸的区间，永远不可能被有限区间{x|1＜x＜2}包住（除非B为空，而x＜a当a取任意实数时都非空），所以不存在满足条件的a。这个"无解"的结论本身就是一个好的辨析点：必要不充分要求BA，而这里B的形状决定了它装不进A。 五、与考试的对应 高考层面：充要条件的判断是选择题的常规考点，几乎年年出现，标准形式是"甲是乙的（　）条件"，四个选项正是充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要。这道题的实质就是本课时的核心动作——正推一次、反推一次、对号入座。近年的考法常把条件包装成不等式、集合、绝对值、简单函数性质，需要先化简（解不等式、去绝对值）再判断，化简出错是主要失分点。用集合观点（画数轴看包含关系）能把大多数这类题快速拿下。 月考、期中层面：本课时的单独成题形式有四类——四种类型的判断（选择或填空）；求一个命题的充要条件（多与方程根的分布、判别式结合）；充要条件的证明（解答题，考"分两步证"的规范）；充要条件中的含参问题（解答题或压轴填空，与集合包含合并考查，"充分不必要"对应真子集是采分点）。后两类是失分重点：证明题失分在只证一个方向或方向证反，含参题失分在把"充分不必要"只当成""而漏掉"真子集"的限制。 六、教学提醒 1．本课时的核心是"合成"——把上一课时分开讲的充分、必要合到一起。引入时务必先回顾"一个箭头两句话"，再问"两个箭头都通会怎样"，让学生感到充要是自然的下一步，而不是新记一个概念。 2．四种类型的判断，务必固定成"正推一次、反推一次、查表定名"的机械流程，让每个学生都能照着做。流程比记忆四个名称更可靠。 3．集合观点（"小充分、大必要、相等即充要"）是本课时最有力的工具，要留足时间讲，并和四种类型的名称对应起来。普通班要求会用数轴判断简单区间，优生班要求能说清每种包含关系为什么对应那种类型。 4．充要条件的证明"分两步"是本课时的规范难点。示范时把两步的方向白纸黑字标出来（"下证充分性：条件结论"），反复强调缺一步不可、方向不能反。这个证明格式今后要用很多年，值得慢讲。 5．含参问题中"充分不必要＝真子集"是最容易被简化成""的地方。用一道会因漏掉"真"而答错的题（如两集合可能相等的情形）让学生吃一次亏，印象最深。本课时的例题因长度不同天然是真子集，讲评时要专门补一句"如果长度相同就得排除相等的情况"。 6．本课时是第一章的终点。小结时把整章串一遍：1.1写集合、1.2比集合、1.3算集合、1.4用集合的语言刻画条件之间的推出关系。集合这条线贯穿始终——充要条件的判断最终都落到集合的包含与相等上。 七、题型精练（附详解） 1．"x＞2"是"x＞0"的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 2．设xR，则"x＝1"是"x²＝1"的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 3．"两个三角形全等"是"两个三角形面积相等"的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 4．设a、bR，则"a＞b"的一个充分不必要条件是（　　） A．a＞b－1　　B．a＞b＋1　　C．|a|＞|b|　　D．a²＞b² 5．方程x²＋x＋m＝0有实数根的充要条件是（　　） A．m≤1/4　　B．m＜1/4　　C．m≥1/4　　D．m＞1/4 6．设p：a≤x≤a＋2，q：－1≤x≤4。若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是（　　） A．－1≤a≤2　　B．a≥－1　　C．a≤2　　D．－1＜a＜2 7．填空：p是q的充要条件，用符号表示为＿＿＿＿；此时集合A与B的关系是＿＿＿＿（A、B分别是p、q对应的集合）。 8．用"充分不必要""必要不充分""充要""既不充分也不必要"填空： (1)"x²－3x＋2＝0"是"x＝2"的＿＿＿＿条件； (2)"a≥0"是"|a|＝a"的＿＿＿＿条件； (3)"ab＝0"是"a＝0"的＿＿＿＿条件。 9．（解答题）求证：关于x的方程x²＋(m－1)x＋m＝0有两个正根的充要条件是0＜m≤3－2。（提示：两个正根需Δ≥0、两根之和＞0、两根之积＞0三条同时成立） 10．（解答题）已知p：实数x满足2＜x＜4，q：实数x满足a＜x＜3a（a＞0）。若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围。 参考答案与详解 1．A。正推：x＞2x＞0（真）；反推：x＞0x＞2，取x＝1不成立（假）。正真反假，充分不必要。也可用集合：{x|x＞2}{x|x＞0}，小充分。 2．A。正推x＝1x²＝1（真）；反推x²＝1x＝1，取x＝－1为反例（假）。正真反假，充分不必要。 3．A。正推：全等的两个三角形面积相等（真）；反推：面积相等的两个三角形不一定全等（如等底等高但形状不同的两个三角形，真是反例）（假）。正真反假，充分不必要。 4．B。逐项验证是否"能推出a＞b但a＞b推不出它"。A项a＞b－1：a＞b推不出a＞b－1？不对，a＞b一定有a＞b－1，且a＞b－1推不出a＞b（如a＝b时a＞b－1成立但a＞b不成立），所以a＞b－1是a＞b的必要不充分条件，不选。B项a＞b＋1：a＞b＋1a＞b（真，因为b＋1＞b）；a＞ba＞b＋1？取a＝b＋0.5，a＞b但a＜b＋1（假）。正真反假，a＞b＋1是a＞b的充分不必要条件，选B。C项|a|＞|b|与a＞b互相推不出（如a＝－3、b＝1时|a|＞|b|但a＜b）。D项a²＞b²同理互不推出。 5．A。方程有实数根的充要条件是判别式Δ≥0，即1－4m≥0，解得m≤1/4。选A。（注意是"有实根"，含相等的情形，用≥；选B用了严格小于，对应"两个不相等的实根"，与本题不符。） 6．A。p是q的充分条件即pq，翻译成集合关系是AB，其中A＝{x|a≤x≤a＋2}、B＝{x|－1≤x≤4}。这里A的长度是2、B的长度是5，短区间A装进长区间B是可能的。AB要求A的两端都落在B内：左端a≥－1，右端a＋2≤4即a≤2。取交集得－1≤a≤2。故选A。（这类题先看"短区间能否装进长区间"再列端点不等式；本题A比B短，所以有解。端点可以取等：a＝－1时A＝{x|－1≤x≤1}B、a＝2时A＝{x|2≤x≤4}B，都成立。） 7．pq；A＝B。充要条件对应集合相等。 8．(1)必要不充分。"x²－3x＋2＝0"即x＝1或x＝2；"x＝2"能推出"x²－3x＋2＝0"（反推真），但"x²－3x＋2＝0"推不出"x＝2"（可能x＝1，正推假）。正假反真，必要不充分。(2)充要。"|a|＝a"成立当且仅当a≥0，两者等价，充要。(3)必要不充分。"a＝0""ab＝0"（真）；"ab＝0""a＝0"？可能b＝0而a0（假）。以"ab＝0"为p、"a＝0"为q：正推ab＝0a＝0假，反推a＝0ab＝0真，正假反真，必要不充分。 9．证明：设方程x²＋(m－1)x＋m＝0的两根为x₁、x₂。方程有两个正根，等价于同时满足：①Δ＝(m－1)²－4m≥0；②x₁＋x₂＝－(m－1)＝1－m＞0；③x₁·x₂＝m＞0。 充分性：设0＜m≤3－2。由③m＞0成立。①Δ＝(m－1)²－4m＝m²－2m＋1－4m＝m²－6m＋1，令m²－6m＋1≥0，解得m≤3－2或m≥3＋2；因为0＜m≤3－2，满足①。②1－m＞0即m＜1，因为3－2≈0.17＜1，故0＜m≤3－2时m＜1成立，满足②。三条都满足，方程有两个正根，充分性得证。 必要性：设方程有两个正根，则①②③同时成立。由③得m＞0；由②得m＜1；由①得m≤3－2或m≥3＋2。三者取交：m＞0、m＜1与(m≤3－2或m≥3＋2)取交，因为3＋2≈5.83＞1，故m≥3＋2与m＜1无交集；只剩0＜m≤3－2。必要性得证。综上，充要条件成立。 10．解：p：2＜x＜4对应A＝{x|2＜x＜4}；q：a＜x＜3a（a＞0）对应B＝{x|a＜x＜3a}。p是q的充分不必要条件，即AB，A是B的真子集。 要AB：需a≤2且3a≥4，即a≤2且a≥4/3，得4/3≤a≤2。 再看"真子集"是否需要额外排除：当a＝4/3时B＝{x|4/3＜x＜4}，A＝{x|2＜x＜4}，AB（B的左端更靠左），是真子集；当a＝2时B＝{x|2＜x＜6}，A＝{x|2＜x＜4}，AB（B的右端更靠右），也是真子集。区间端点的比较中，A、B的左右端不同时相等，AB恒成立，真子集自动满足。 所以a的取值范围是4/3≤a≤2。（采分点：翻译成AB、由包含列出a≤2且3a≥4、确认真子集成立。另外a＞0是题目给定的，本题解出的范围已在a＞0内，无需再讨论。） 学科网（北京）股份有限公司 $