第一章 集合与常用逻辑用语单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

章末综合检测卷(一) 时间:120分钟　满分:150分 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列各式中,错误的个数是(　　) ①{0}∈{0,1,2};②{0,1}={(0,1)};③⌀⊆{0,1,2};④⌀={0}. A.1 B.2 C.3 D.4 2.命题“所有矩形的对角线都相等”的否定是(　　) A.所有矩形的对角线都不相等 B.有些矩形的对角线不相等 C.所有不是矩形的图形对角线都不相等 D.有些不是矩形的图形对角线相等 3.已知集合A={x∈N|x-4≤-1},则集合A的真子集个数为(　　) A.1 B.7 C.15 D.31 4.若p:-1<x<2,q:x<2,则p是q成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知集合A={x|-1≤x<2},B={x|-3≤x≤1},则A∩B=(　　) A.{x|-3≤x<-1} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|-3≤x<2} 6.已知“∃x∈R,a>x2-1”为真命题,则实数a的取值范围为(　　) A.a>-1 B.a>1 C.a<-1 D.a<1 7.已知非空集合A={x|a-1≤x≤2a+3},B={x|-1≤x≤4},若“x∈B”是“x∈A”的必要条件,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.{a|a≥0} D. 8.定义差集A-B={x|x∈A,且x∉B},现有三个集合A,B,C分别用圆表示,则集合C-(A-B)可表示下列图中阴影部分的为(　　) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知全集U=Z,集合A={x|2x+1≥0,x∈Z},B={-1,0,1,2},则下列结论正确的是(　　) A.A∩B={0,1,2} B.A∪B={x|x>0} C.(∁UA)∩B={1} D.A∩B的真子集个数是7 10.下列四个选项中,p是q的充要条件的有(　　) A.p:三角形是等腰三角形,q:三角形存在两角相等 B.p:两个三角形相似,q:两个三角形三边对应成比例 C.p:xy>0,q:x>0,y>0 D.p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分 11.设集合A={1,4,x},B={1,x2},且A∪B={1,4,x},则满足条件的实数x的值可以是(　　) A.-2 B.3 C.1 D.0 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.命题“∃n∈N,n2-2n<0”的否定是　　　　　　　　　.  13.若全集U={0,1,2,3,4,5},且∁UA={x∈N*|1≤x≤3},则集合A的真子集共有　　　　个.  14.若集合A={x|-2<x<1},B={x|x≥a},且A∪B={x|x>-2},则实数a的取值范围是　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知集合A={x|-6<x≤1},B={x|0≤2-x≤2}. (1)求A∩B,A∪B; (2)求(∁RA)∩(∁RB). 16.(15分)已知集合A={x|x2-ax+3=0,a∈R}. (1)若1∈A,求实数a的值; (2)若集合B={x|2x2-bx+b=0,b∈R},且A∩B={3},求A∪B. 17.(15分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:a2-b2-ac+bc=0的充要条件是A=B. 18.(17分)已知集合A={x|-3<x<2},B={x|0≤x<5},C={x|x<m},全集为R. (1)求A∩(∁RB); (2)若(A∪B)⊆C,求实数m的取值范围. 19.(17分)已知p:x-2>0,q:ax-4>0,其中a∈R. (1)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围; (2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末综合检测卷(一) 时间:120分钟　满分:150分 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列各式中,错误的个数是(　　) ①{0}∈{0,1,2};②{0,1}={(0,1)};③⌀⊆{0,1,2};④⌀={0}. A.1 B.2 C.3 D.4 解析　C　因为{0}是以0为元素的集合,{0,1,2}的元素是0,1,2,故{0}不是{0,1,2}的元素,故①错误;{0,1}是含有两个元素的数集,而{(0,1)}是含有一个元素的点集,二者不相等,②错误;⌀是任何集合的子集,故⌀⊆{0,1,2}正确,③正确;⌀是不含任何元素的集合,{0}是含有元素0的集合,二者不相等,④错误.故错误的个数是3. 2.命题“所有矩形的对角线都相等”的否定是(　　) A.所有矩形的对角线都不相等 B.有些矩形的对角线不相等 C.所有不是矩形的图形对角线都不相等 D.有些不是矩形的图形对角线相等 解析　B　由全称量词命题的否定为存在量词命题,故命题“所有矩形的对角线都相等”的否定是“有些矩形的对角线不相等”. 3.已知集合A={x∈N|x-4≤-1},则集合A的真子集个数为(　　) A.1 B.7 C.15 D.31 解析　C　A={x∈N|x≤3}={0,1,2,3},共有4个元素,故集合A的真子集个数为24-1=15. 4.若p:-1<x<2,q:x<2,则p是q成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　A　p:-1<x<2,q:x<2,则前者表示的集合是后者表示的集合的真子集,所以p是q的充分不必要条件. 5.已知集合A={x|-1≤x<2},B={x|-3≤x≤1},则A∩B=(　　) A.{x|-3≤x<-1} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|1≤x<2} D.{x|-3≤x<2} 解析　B　∵A={x|-1≤x<2},B={x|-3≤x≤1},∴A∩B={x|-1≤x≤1}. 6.已知“∃x∈R,a>x2-1”为真命题,则实数a的取值范围为(　　) A.a>-1 B.a>1 C.a<-1 D.a<1 解析　A　由题意得a>(x2-1)min.又(x2-1)min=-1,此时x=0,故a>-1. 7.已知非空集合A={x|a-1≤x≤2a+3},B={x|-1≤x≤4},若“x∈B”是“x∈A”的必要条件,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.{a|a≥0} D. 解析　A　由题意A⊆B,且A≠⌀,所以则可得0≤a≤. 8.定义差集A-B={x|x∈A,且x∉B},现有三个集合A,B,C分别用圆表示,则集合C-(A-B)可表示下列图中阴影部分的为(　　) 解析　A　如图所示,A-B表示元素属于A,不属于B,如图1阴影部分, 则C-(A-B)表示元素属于C,不属于A-B,如图2阴影部分. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知全集U=Z,集合A={x|2x+1≥0,x∈Z},B={-1,0,1,2},则下列结论正确的是(　　) A.A∩B={0,1,2} B.A∪B={x|x>0} C.(∁UA)∩B={1} D.A∩B的真子集个数是7 解析　AD　A={x|2x+1≥0,x∈Z}=,对选项A:A∩B={0,1,2},A正确;对选项B:A∪B={x|x≥-1,x∈Z},B错误;对选项C:∁UA=,(∁UA)∩B={-1},C错误;对选项D:A∩B={0,1,2},真子集个数为23-1=7,D正确.故选AD. 10.下列四个选项中,p是q的充要条件的有(　　) A.p:三角形是等腰三角形,q:三角形存在两角相等 B.p:两个三角形相似,q:两个三角形三边对应成比例 C.p:xy>0,q:x>0,y>0 D.p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分 解析　AB　三角形是等腰三角形,则两底角相等,从而存在两角相等,反之,当三角形中有两角相等时,所对的边相等,即为等腰三角形,所以“三角形是等腰三角形”是“三角形存在两角相等”的充分必要条件,故A正确;根据相似三角形的性质,可知三边对应成比例,反之,当三边对应成比例时,根据相似三角形的判定定理,可知两个三角形相似,故“两个三角形相似”是“两个三角形三边对应成比例”的充分必要条件,故B正确;xy>0时,可能x<0,y<0或者x>0,y>0,故“xy>0”不是“x>0,y>0”的充分条件,故C错误;正方形的对角线互相垂直且平分,但是对角线互相垂直且平分的四边形可以是任意的菱形,不一定是正方形,故“四边形是正方形”是“四边形的对角线互相垂直且平分”的充分不必要条件,故D错误. 11.设集合A={1,4,x},B={1,x2},且A∪B={1,4,x},则满足条件的实数x的值可以是(　　) A.-2 B.3 C.1 D.0 解析　AD　∵A={1,4,x},B={1,x2},且 A∪B={1,4,x},∴x2=4或x2=x, 解得x=2或x=-2或x=0或x=1, 经检验,x=2,-2,0时成立,x=1时与集合元素的互异性矛盾,所以x=1时不成立.故x=2或x=-2或x=0. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.命题“∃n∈N,n2-2n<0”的否定是　　　　　　　　　.  答案　∀n∈N,n2-2n≥0 解析　命题“∃n∈N,n2-2n<0”的否定是“∀n∈N,n2-2n≥0”. 13.若全集U={0,1,2,3,4,5},且∁UA={x∈N*|1≤x≤3},则集合A的真子集共有　　　　个.  答案　7 解析　因为∁UA={x∈N*|1≤x≤3}={1,2,3},U={0,1,2,3,4,5}, 所以A={0,4,5},所以集合A的真子集共有23-1=7个. 14.若集合A={x|-2<x<1},B={x|x≥a},且A∪B={x|x>-2},则实数a的取值范围是　　　　.  答案　-2<a≤1 解析　因为A={x|-2<x<1},B={x|x≥a},且A∪B={x|x>-2}, 所以实数a的取值范围是-2<a≤1. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知集合A={x|-6<x≤1},B={x|0≤2-x≤2}. (1)求A∩B,A∪B; (2)求(∁RA)∩(∁RB). 解　(1)B={x|0≤x≤2},A∩B={x|0≤x≤1},A∪B={x|-6<x≤2}. (2)∁RA={x|x≤-6,或x>1}, ∁RB={x|x<0,或x>2}, (∁RA)∩(∁RB)={x|x≤-6,或x>2}. 16.(15分)已知集合A={x|x2-ax+3=0,a∈R}. (1)若1∈A,求实数a的值; (2)若集合B={x|2x2-bx+b=0,b∈R},且A∩B={3},求A∪B. 解　(1)∵1∈A,∴1-a+3=0,∴a=4. (2)∵A∩B={3},∴3∈A,3∈B, ∴解得 ∴A={x|x2-4x+3=0}={1,3}, B={x|2x2-9x+9=0}=, ∴A∪B=. 17.(15分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:a2-b2-ac+bc=0的充要条件是A=B. 证明　①先证充分性:若A=B,则a=b,∴a2-b2-ac+bc=0成立. ②再证必要性:若a2-b2-ac+bc=0成立, ∵a2-b2-ac+bc=(a+b)(a-b)-c(a-b)=(a-b)(a+b-c),∴(a-b)(a+b-c)=0.又∵在△ABC中,a+b-c>0,∴a-b=0,∴a=b,∴A=B. 综上可知,a2-b2-ac+bc=0的充要条件是A=B. 18.(17分)已知集合A={x|-3<x<2},B={x|0≤x<5},C={x|x<m},全集为R. (1)求A∩(∁RB); (2)若(A∪B)⊆C,求实数m的取值范围. 解　(1)由B={x|0≤x<5}, 得∁RB={x|x<0,或x≥5}. 又A={x|-3<x<2}, ∴A∩(∁RB)={x|-3<x<0}. (2)∵A∪B={x|-3<x<5},(A∪B)⊆{x|x<m},∴m≥5, ∴实数m的取值范围为{m|m≥5}. 19.(17分)已知p:x-2>0,q:ax-4>0,其中a∈R. (1)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围; (2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围. 解　(1)设命题p:A={x|x-2>0},即p:A={x|x>2},命题q:B={x|ax-4>0}. 因为p是q的充分不必要条件,所以A⫋B,即解得a>2. 所以实数a的取值范围为{a|a>2}. (2)由题意得B⫋A. ①当a=0时,B=⌀,满足题意; ②当a>0时,由B⫋A,得>2,即0<a<2; ③当a<0时,显然不满足题意. 综合①②③得,实数a的取值范围为{a|0≤a<2}. 学科网（北京）股份有限公司 $