第一章 集合与常用逻辑用语单元测试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知命题：，则是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．设集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．，设集合，，则（    ）． A． B． C． D． 5．某班参加数学竞赛的学生有15人，参加物理竞赛的学生有18人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生有8人，既没有参加数学竞赛又没有参加物理竞赛的学生有25人，则这个班的学生人数是（    ） A．45 B．48 C．50 D．58 6．满足集合的集合的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 7．集合，，则一定不会等于（    ） A． B． C． D． 8．集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素的乘积记为.则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关系正确的是（    ） A．∈R B．2⊆Q C． D．N⊆Z 10．已知集合，均为的子集，集合，的关系如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，则的真子集个数为______． 13．已知，，，则______． 14．已知集合，，同时满足，，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合，，全集. (1)求，； (2)求. 16．（15分） 设全集，集合或，． (1)求； (2)设集合，若，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知集合，． (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围． (3)若集合，求的值． 18．（17分） 已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19．（17分） 对于数集M，定义M的特征函数：，对于两个数集，定义. (1)已知集合， （i）求的值，并用列举法表示； （ii）若用表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求的最小值（无需证明）； (2)证明：. 第4页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知命题：，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以：. 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，， 故. 3．设集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，，所以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4．，设集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，， 则. 5．某班参加数学竞赛的学生有15人，参加物理竞赛的学生有18人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生有8人，既没有参加数学竞赛又没有参加物理竞赛的学生有25人，则这个班的学生人数是（    ） A．45 B．48 C．50 D．58 【答案】C 【解析】由题意作如下所示的图： 由图可知，这个班的学生人数是25+(15-8)+(18-8)+8=50. 6．满足集合的集合的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【解析】由集合子集的定义可得：因为，所以且； 因为，所以的可能情况有： ， 故满足条件的的个数为8. 7．集合，，则一定不会等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， ， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当且且时，，此时. 综上所述，可以为，，，不可以为. 8．集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素的乘积记为.则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】C 【解析】由乘法分配律， 展开后，每一项都对应集合 的一个子集：选择因式中的元素项表示该元素被选入子集，选择 表示该元素不被选入． 因此，包含常数项在内的展开式各项之和为 其中常数项 对应不选任何元素，而题目只统计非空子集，所以 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关系正确的是（    ） A．∈R B．2⊆Q C． D．N⊆Z 【答案】ACD 【解析】是实数，所以∈R，A项正确； 元素和集合的关系不能用⊆表示，B项错误； 空集是任何集合的子集，C项正确； 自然数都是整数，所以自然数集是整数集的子集，D项正确. 10．已知集合，均为的子集，集合，的关系如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由图可得，，，，， 故A、B、D正确，C错误． 11．设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则显然任意，则，则，故，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，不等式无解，故D错误. 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，则的真子集个数为______． 【答案】31 【解析】， 所以的元素有5个， 所以的真子集个数为. 13．已知，，，则______． 【答案】 【解析】因为，，所以. 又，所以. 14．已知集合，，同时满足，，则___________． 【答案】或 【解析】设，若，又，故，此时，与已知矛盾， 故，所以，得，所以， 即集合中的元素互为倒数， 因为， 所以存在，使得且，解得， 又因为， 所以或， 若，则，则； 若，则，则. 综上所述，或． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合，，全集. (1)求，； (2)求. 【解析】（1）易知，又， 所以，. （2）已知全集，易知或，， 因此或. 16．（15分） 设全集，集合或，． (1)求； (2)设集合，若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为集合或，所以， 又，所以. （2）集合，显然不为， 因为，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 17．（15分） 已知集合，． (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围． (3)若集合，求的值． 【解析】（1）当时，. （2）由，则，即， 此时， 因为，所以，解得， 则实数的取值范围为. （3）由，可知，且，即， 此时，则且，所以， 则. 18．（17分） 已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，，因为， 则；. （2）若时， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得（舍）或，即， 时，实数的取值范围为或． （3）若是的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又，解得， 又，故． 综上，实数的取值范围为． 19．（17分） 对于数集M，定义M的特征函数：，对于两个数集，定义. (1)已知集合， （i）求的值，并用列举法表示； （ii）若用表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求的最小值（无需证明）； (2)证明：. 【解析】（1）对于两个数集， 若，则，即，； 若，则，即，； 若，则，即，； 若，则，即，； 综上所述：当元素与数集的关系相同时，，不同时. ①因为集合， 且，所以， 又因为，所以； ②对任意， 若元素与数集的关系相同时，且； 若元素与数集的关系不相同时，或； 若取到最小值，则， 当为的子集与的并集时，此时取到最小值4. （2）由（1）可知：对于两个数集， 综上所述：当元素与数集的关系相同时，则， 可得； 当元素与数集的关系不同时，则， 可得； 综上所述：. 答案第8页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $