第2章专题3《有理数的运算与巧算》讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

专题3　有理数的运算与巧算 　考点加油站　 有理数运算中常用的方法与技巧主要有： (1)凑整法：采用分配律或结合律，凑出容易算的数． (2)裂项相消法：利用分数通分的性质将分数拆分成多项然后进行相消．采用这一方法最基础的模型是 ， 等． (3)换元法：把数或未经计算的数式换做字母，变成代数式化简后再回代，可以更容易弄清楚式子蕴含的规律，简化计算． (4)分组求和法：采用结合律添加括号使得每个括号内容易计算或计算后可以合并． (5)倒序相加法：求和时，把求和各项头尾倒序相加，然后除以 2，常用于 型的求和． (6)错位相减法：见下一专题，常用于 型的求和． 　典例展示厅　 类型一　有理数计算基本法则 例1　如图，现有 5 张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： (1)若从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值是多少？ (2)若从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字相除的商最小，商的最小值是多少？ (3)若从中取出 4 张卡片，请运用所学的计算方法，使四个数字的计算结果为 24． 点拨　(1)选择同号的两数，并且两数绝对值尽可能大；(2)选择异号两数，除数绝对值尽可能小，被除数绝对值尽可能大；(3)选取合适的数和计算方式进行计算． 变式1　“24 点”游戏规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中，任意抽取 4 张，根据牌面上的数进行加减乘除四则混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为 24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K 分别代表 ．例如，抽到一组牌：，要使运算结果为 24，则可以列式为 ． (1)甲同学抽到一组牌：，要使运算结果为 24，则可以列式为 ＿＿＿ ． (2)乙同学抽到一组牌：，要使运算结果为 24，则可以列式为 ＿＿＿ ． (3)丙同学抽到一组牌：，要使运算结果为 24，则可以列式为 ＿＿＿ ． 归纳总结 (1)有理数的运算法则：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的． (2)24 点问题没有固定的求解模式，需要根据题目灵活选择解法． 类型二　分组求和法 例2　计算： ＿＿＿ ． 点拨　每两个数之间有规律，第一个数与第二个数之和等于 ，第三个数与第四个数之和等于 ，分组求和，再把各组结果相加即可． 变式2　计算：． 归纳总结 在有理数的运算中，通过找规律，适当进行分组，以此来改变运算的次序，使得复杂的问题变得简单． 类型三　分数裂项 例3　【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】(1)根据规律第 6 个数是 ＿＿＿ ， 是第 ＿＿＿ 个数． 【阅读理解】． 【实践应用】根据上面获得的规律完成下面的计算： (2)； (3)． 点拨　(1)直接根据已有的数找到规律；(2)根据规律使用裂项法求解；(3)分母三个数抽一个出来，其余两个裂项．抽哪个是按照裂项后能否相消决定的． 变式3　先阅读，再答题．，，，，…． 根据你发现的规律，试填空： (1)； (2) ＿＿＿ ； (3)计算：． 归纳总结 裂项是有理数求和运算中常用的技巧．分数裂项主要用到以下关系式： ；；；． 类型四　整数裂项 例4　阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 经过研究，这个问题的一般结论是 ，其中 是正整数，现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式： ；；． 将这三个等式的两边相加，得 ． 读完这段材料，请你计算： (1)；(2)；(3)． 点拨　(1)根据题目中的信息可猜想出一般结论为 ，由此可得到答案；(2)根据题目中的信息猜想结论，并考虑将各个等式两边相加得到结论；(3)类比题 (2) 的计算过程可以解答本题． 变式4　橘子金字塔　8 岁那年，巴尔戈瓦随妈妈去超市，看到了一堆放成金字塔形的橘子：最顶层有 1 个橘子；第二层有 4 个，拼成一个正方形；第三层有 9 个，拼成一个正方形．小巴尔戈瓦想：如果一座橘子金字塔有 层，那么它是由多少个橘子组成的呢？他终于在“研究”数月之后，独立找到了答案． 下面是我们可以借鉴的思考方法——从特殊到一般： 观察下列等式： ①；②；③；…． 请你在探究规律后填空： (1) ＿＿＿ ；（用含 的代数式表示） (2)计算： ＿＿＿ ． 归纳总结 整数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程．很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了． 整数裂项的基本公式： ； ． 　学霸训练营　 ▍中考冲刺（针对中考压轴） 1　★★★　计算 的值是（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2　★★★　化简繁分数 得（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 3　★★　有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是任取四个 ～ 之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于 24．例如 可作运算：［注意上述运算与 应视作相同方法的运算］．现有四个有理数 ，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于 24，运算式如下： ① ＿＿＿ ；② ＿＿＿ ；③ ＿＿＿ ． 另有四个数 ，可通过运算式： ＿＿＿ ，使其结果等于 24．（写出一种即可） 4　★★　如图，要输出大于 100 的数，则输入的正整数 的最小值是 ＿＿＿ ． 5　★★★　计算： ＿＿＿ ． 6　★★★　(1)计算 的值； (2)计算 的值； (3)计算 的值． ▍竞赛集训（针对强基自招） 7　★★　如果 4 个不同的正整数 满足 ，那么 等于（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 8　★★　计算： (1)（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛） ＿＿＿ ． (2)（“希望杯”邀请赛） ＿＿＿ ． 9　★★　(1)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如： 他们研究过图①中的 ，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图②中的 ，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ＿＿＿ ． ①　　②　　③　　④ (2)古希腊数学家把数 ，叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为 ，第二个三角形数记为 ，…，第 个三角形数记为 ，计算 ，由此推算 ＿＿＿ ． 10　★★★　（黄冈竞赛）若干个有规律的数，排列如下： 第一行： 第二行：　 第三行：　　 第四行：　　　 第五行：　　　　 …… 试探究： (1)第 个数在第几行？这个数是多少？（每行的数都是从左往右数） (2)写出第 行第 个数．（用含 的式子表示） (3)求第 个数所在行的所有数之和 ． 11　★★★　有人编了一个程序：从 1 开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）．每次加法，将上次的运算结果加 2 或加 3；每次乘法，将上次的运算结果乘 2 或乘 3．例如，30 可以这样得到（如图）： (1)求证：通过该程序可以得到 22． (2)求证：通过该程序可以得到 ． 　参考答案与详解　 典例展示厅 例1　(1)当取出的 2 张卡片上的数字是 和 时，乘积最大，乘积的最大值是 ．(2)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字相除的商最小，则商的最小值是 ．(3)如果抽取的数字是 ，则 ，；如果抽取的数字是 ，则 ，．（答案不唯一） 变式1　答案不唯一，如：(1)　解析：，，，故答案为 ．(2)　解析：，，故答案为 ．(3)　解析：，，故答案为 ． 例2　　解析：． 变式2　　解析：原式 ． 例3　(1)，　解析：，，，…， 第 6 个数是 ．， 是第 11 个数．故答案为 ；．(2)原式 ．(3)原式 ． 变式3　(1)，　(2)　(3)原式 ． 例4　(1)．(2)．(3)． 变式4　(1)　解析：根据题意得 ．(2)　解析：根据题意得 ，，则 ． 学霸训练营 1　A　解析：．故选 A． 2　A　解析：原式 ．故选 A． 3　答案不唯一，如：①　②　③， 4　　解析：若 为奇数，根据题意，得 ，解得 ，所以此时 的最小整数值为 ；若 为偶数，根据题意，得 ，解得 ，所以此时 的最小整数值为 ．综上，输入的最小正整数 是 ．故答案为 ． 5　　解析：， 原式 ． 6　(1)．(2)．(3)． 7　D　解析： 为 4 个不同的正整数， 为 4 个不同的整数．又 ，， 为 ，，．故选 D． 8　(1)　解析：原式 ．(2)　解析：原式 ． 9　(1)③　解析：由题图可得三角形数的第 个数 ，同理可得正方形数的第 个数 ．如果一个数既是三角形数又是正方形数，那么它一定是平方数．由于 ， 中必然有一个为奇数．若 为奇数，则要求 为平方数；若 为偶数，则要求 为平方数．， 是质数，从而只能取 或 ，均不满足要求，故 不是三角形数．，奇因数仅有 一个，该情况不满足要求，故 不是三角形数．，故 可以取 ，其中 满足要求，故 是三角形数．，不是平方数，因此不是正方形数，故既是三角形数又是正方形数的只有③．(2)　解析：，，，，，…，．当 时，． 10　(1)前 行数的总个数为 ．， 第 个数在第 行，从左往右数第 （个），这个数为 ．(2)．(3)，，故 ，故 ． 11　(1)．也可以倒过来考虑：，（或者 ）．(2)（不断乘 2，再加 2）．注意：加法与乘法必须是交错的． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $