第2章 有理数的运算（举一反三讲义）数学新教材浙教版七年级上册

该初中数学有理数运算复习讲义通过分层梳理构建知识体系，将全章内容按“夯实基础-进阶拔高-创新思辨”递进，以题型归纳形式呈现28类核心考点，涵盖基本运算、混合运算及综合应用，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“举一反三”练习设计，如基础层的科学记数法与近似数综合题，拔高层的运算律简便计算，创新层的程序流程图计算，培养运算能力与应用意识。每个题型配例题与变式题，助力分层教学，支持学生自主复习与教师精准指导。

第2章 有理数的运算（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材浙教版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 有理数加法基本计算】 2 【题型2 有理数减法基本计算】 2 【题型3 有理数乘法基本计算】 2 【题型4 有理数除法基本计算】 3 【题型5 求一个数的倒数】 3 【题型6 有理数乘方基本计算】 3 【题型7 用科学记数法表示大数】 4 【题型8 还原科学记数法表示的数】 4 【题型9 按要求取近似数】 4 【题型10 判断乘方结果的符号】 5 【进阶拔高】 5 【题型11 加减混合运算统一成加法】 6 【题型12 运用运算律简便计算】 6 【题型13 乘除混合运算】 6 【题型14 有理数加减乘除混合运算】 7 【题型15 含乘方的混合运算】 8 【题型16 科学记数法比较数的大小】 8 【题型17 科学记数法与近似数的综合】 9 【题型18 正负数在实际问题中的应用】 9 【题型19 判断运算过程中的错误步骤】 10 【题型20 利用倒数和相反数求代数式值】 11 【创新思辨】 13 【题型21 数轴结合加减运算综合题】 14 【题型22 乘方个位数字周期规律探究】 14 【题型23 含绝对值的混合运算求值】 15 【题型24 新定义运算结合有理数计算】 15 【题型25 运算规律探究与归纳推理】 15 【题型26 有理数运算的实际应用】 16 【题型27 程序流程图与有理数计算】 18 【题型28 算“24”点】 20 【夯实基础】 【题型1 有理数加法基本计算】 【例1】（2026·浙江杭州·一模）计算：________． 【变式1-1】（25-26七年级上·吉林长春·期末）若a＞0，b＜0，|a|＞|b|，则a+b_____0（用“＞”或“＜”填空）． 【变式1-2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）随着移动支付的普及，小晨妈妈近期使用“支付宝”进行了五笔交易，账单如下所示，已知原来账户内有元，则五笔交易后账户内余额为______元． 支付宝账单 买菜支出元    一箱纸巾支出元    转账收入元    餐饮支出元    地铁支出5元   【变式1-3】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）小明在计算16+（-25）+24+（-35）时，采用了这样的方法： 解：16+（-25）+24+（-35） =（16+24）+[（-25）+（-35）] =40+（-60）=-20 从而使运算简化，他根据的是___________________________________． 【题型2 有理数减法基本计算】 【例2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下面等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级上·全国·期末）计算： ____________ 【变式2-2】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）樊城区汉江边有一段河堤大道，每天晨练跑步者络绎不绝．以河堤大道的平面为基准，河面高，陆地上的沿江马路地面高，则地面比河面高（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏常州·期末）常州4月6日~12日的气温折线图如图所示，则这一周中温差最小的日期是4月_________日． 【题型3 有理数乘法基本计算】 【例3】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）计算的结果是________． 【变式3-1】（25-26七年级上·河南漯河·期末）在0，，1，这四个数中，最小数与最大数的积是_____． 【变式3-2】（25-26七年级上·甘肃天水·期末）用、、填空．_____ 【变式3-3】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）老师在使用“助教批改作业”，设定规则如下：识别到选择题答对1题记为，答错1题记为．小明的10道选择题中，有4道被识别为答错，则4道错题应记为（   ） A． B． C． D． 【题型4 有理数除法基本计算】 【例4】（25-26七年级上·河北唐山·期末）下列算式中，计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·陕西铜川·期末）计算：（    ） A．4 B． C．16 D． 【变式4-2】（25-26六年级上·上海·期末）乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 【变式4-3】（25-26六年级上·黑龙江大庆·期末）乳酸饮料的广告这样说：“增量，加量不加价．”一盒乳酸饮料现在的容积是毫升，增量前的容积是_____毫升． 【题型5 求一个数的倒数】 【例5】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（  ） A． B． C．2026 D． 【变式5-1】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）若，则的倒数是______． 【变式5-2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若的绝对值与的绝对值均为，则的倒数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26七年级上·广东梅州·期末）已知互为相反数，互为倒数，且，则_____． 【题型6 有理数乘方基本计算】 【例6】（25-26七年级上·全国·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【变式6-1】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）______． 【变式6-2】（25-26七年级上·福建宁德·期末）已知某个有理数乘方的结果是16，则该乘方运算是_____．（写出一个即可，用的形式表示） 【变式6-3】（25-26七年级上·全国·期末）当时，式子，则当时，式子的值是_____． 【题型7 用科学记数法表示大数】 【例7】（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）六枝老王山是一座巍峨挺拔的山峦，其海拔约为2126米，将数据2126用科学记数法表示为，则__________． 【变式7-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）2025年6月27日，湘潭下摄司大桥正式通车，下摄司大桥横跨湘江，为五跨飞燕式中承钢箱提篮拱桥，这是湘潭市第八座跨湘江通道，全桥钢结构重量约万吨，数据“万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·山西吕梁·一模）全球最大的AI模型API聚合平台OpenRouter数据显示，2026年2月9日-15日，中国模型以4.12万亿Token的调用量，首次超过同期美国模型的2.94万亿Token的调用量．数据4.12万亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·四川绵阳·中考真题）中国是茶叶的故乡，产量多年位居世界第一，据统计：2023年我国全年茶叶产量为355万吨，将数据3550000用科学记数法表示为______． 【题型8 还原科学记数法表示的数】 【例8】（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为________个． 【变式8-1】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）用科学记数法写出的数原数是______. 【变式8-2】“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程．截至去年9月底，各地已累计完成投资元．数据可以表示为（　　） A．10.02亿 B．100.2亿 C．1002亿 D．10020亿 【变式8-3】（25-26七年级上·广东汕头·期中）一种电子计算机每秒可做次计算，也就是说它每秒可做 _____万次计算． 【题型9 按要求取近似数】 【例9】（25-26六年级上·山东泰安·期中）关于近似数的说法正确的是（   ） A．说一个数精确到哪一位，说明这一位数及其之前的位数是准确的 B．近似数与近似数无论从大小上还是从意义上都是相同的 C．太阳到地球的距离为是国际联合会公布的，是准确数 D．近似数是与准确数接近的数 【变式9-1】（25-26七年级上·广东惠州·期中）用四舍五入法将精确到，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）由四舍五入得到的近似数万精确到_______位．由四舍五入得到的近似数精确到_____位，它表示大于或等于_____，而小于_____的数． 【变式9-3】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）小华的期中考试各科平均分是分，用四舍五入法对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到百分位） B．（精确到十分位） C．（精确到） D．（精确到） 【题型10 判断乘方结果的符号】 【例10】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知是一个正整数，那么__________． 【变式10-1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式10-2】（2025·河北邯郸·三模）若，则的值可以为__________（写出一个即可）． 【变式10-3】（26-27七年级上·北京·课后作业）如果n是正整数，则_____ ． 【进阶拔高】 【题型11 加减混合运算统一成加法】 【例11】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 【变式11-1】（25-26七年级上·天津南开·期中）计算的结果为________． 【变式11-2】（25-26七年级上·四川广元·期中）计算：______________ 【变式11-3】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 【题型12 运用运算律简便计算】 【例12】（24-25七年级上·河北沧州·期末）要使式子“”能用运算律进行简便运算，“□”里填上的数是_______．（写出一个合适的即可） 【变式12-1】（25-26七年级上·四川广安·阶段检测）下面这道有趣的式子，按照一般的计算方法，需要通分，才能算出结果；但这样做，公分母很大，计算很麻烦．只要你仔细分析一下，每个分数的分子与分母的特点，就可以找到一条不通分而巧妙求得结果的捷径．请你试一试：______． 【变式12-2】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【变式12-3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）一组连续整数前分别添加“”和“”，并运算，则所得最小非负整数是（  ） A． B． C． D． 【题型13 乘除混合运算】 【例13】（25-26七年级上·山西长治·期末）( ) A．2 B． C．1 D．4 【变式13-1】（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算：______. 【变式13-2】（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 【变式13-3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作． (1)直接写出计算结果，_________，_________； (2)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数，，），并将结果写成幂的形式_________（结果用含a，n的式子表示）； (3)请利用（2）的推导公式计算： ． 【题型14 有理数加减乘除混合运算】 【例14】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义一种新运算：，如，则______． 【变式14-1】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）在算式 中的“”里，填入运算符号 ，使得算式的值最大，则这个符号是（     ） A． B． C． D． 【变式14-2】（25-26七年级上·全国·期中）（　　） A． B． C． D． 【变式14-3】（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，，注意到与互为倒数． (1)若，则的值为________． (2)用分配律计算：． (3)直接写出的值． 【题型15 含乘方的混合运算】 【例15】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 【变式15-1】（25-26七年级下·河南郑州·开学考试）定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C．1 D．3 【变式15-2】（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的5位数，则十进制数是二进制下的(   ) A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 【变式15-3】（2026·河北廊坊·二模）算式被遮住了一部分． (1)若被遮住的数为1，求算式的运算结果； (2)若算式的运算结果为，求被遮住的数． 【题型16 科学记数法比较数的大小】 【例16】（2025七年级上·江苏·专题练习）比较大小：______ 【变式16-1】（2026·河南新乡·一模）甲款智能软件的月活跃用户约1.5亿，乙款智能软件的月活跃用户约为．若1.5亿与比较大小，则（   ） A．1.5亿大 B．大 C．一样大 D．无法确定 【变式16-2】（2025七年级上·江苏·专题练习）比较用科学记数法表示的两个数的大小： (1)与． (2)与． 【变式16-3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知，比较a，b，c的大小关系，并用“<”连接__________． 【题型17 科学记数法与近似数的综合】 【例17】2014年5月20日是全国学生营养日，将数20140520精确到万位后，请用科学记数表示为______． 【变式17-1】（2025·山东烟台·模拟预测）精确到万位是（　　 ） A． B． C． D． 【变式17-2】（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）用四舍五入法对159897000000取近似值（用科学记数法表示），精确到千万位________． 【变式17-3】（25-26七年级下·上海松江·期末）根据《2023年上海市国民经济和社会发展统计公报》公布的数据，至2023年末，上海全市常住人口为万人，较2022年底增长了万人．将数据万用科学记数法表示为________（保留三个有效数字）． 【题型18 正负数在实际问题中的应用】 【例18】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【变式18-1】（25-26七年级上·四川绵阳·阶段检测）“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如下表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负） 星　期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量个 (1)根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量． (2)若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？ 【变式18-2】（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运八批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，， (1)将最后一批乘客送到目的地时，李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)这时间段李师傅一共开了多少千米？ 【变式18-3】（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）综合实践 怎样邮寄沃柑更经济?南宁武鸣沃柑是全国名特优新农产品，皮薄易剥，汁多味甜．小南家的沃柑每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出． 素材1 一客户在小南家定了10箱沃柑，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值（单位：千克） 0.3 0.1 箱数 1 4 3 2 素材2 据调查，某快递公司收费标准如下：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克的需要额外支付包装费30元． 素材3 据小南家常年的邮寄经验，包裹越大，沃柑受损率越高．一个包裹在20千克以内，沃柑几乎无受损（受损忽略不计）；一个包裹质量在80千克至120千克之间，沃柑的受损率估计为，破损部分由小南家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 任务1 计算这10箱沃柑的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：10箱打成一个大包裹邮寄， 请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小南家支付的邮费更省?省多少钱? 任务3 今年沃柑的成本价为3元/千克，售价为8元/千克．结合任务2，邮寄10箱沃柑哪种方案利润更高? 【题型19 判断运算过程中的错误步骤】 【例19】（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）如图是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下列问题． 计算 解：原式=……第一步 ……第二步 ……第三步 回答： (1)解题过程中有两处错误： 第1处是第______步，错误的原因是___________； 第2处是第______步，错误的原因是___________； (2)请写出正确的解答过程． 【变式19-1】（25-26七年级上·云南曲靖·阶段检测）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步           第二步 ．          第三步 请指出第______步开始出现错误． 【变式19-2】（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）在算式中，运算符号被“”遮住了，甲、乙两位同学对于被“”遮遮住的运算符号发表了各自的观点： 甲：如果被“”遮遮住的运算符号是“”，那么计算结果为； 乙：如果被“”遮遮住的运算符号是“”，那么计算结果为． 则下列判断正确的是（   ） A．甲的观点正确，乙的观点错误 B．甲的观点错误，乙的观点正确 C．甲、乙的观点都正确 D．甲、乙的观点都错误 【变式19-3】（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）学习了有理数的运算后，下面是小明同学的第①步运算过程： …① (1)小明同学的第①步运算有几处错误？请指出错误的地方； (2)请你完整地写出本题的正确运算过程． 【题型20 利用倒数和相反数求代数式值】 【例20】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）列式计算求值： (1)求的相反数与的倒数的差； (2)已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，的绝对值为3，求的值． 【变式20-1】（24-25七年级上·山东德州·期末）将有理数m（m不等于0和1）按以下步骤进行运算： 第一步，求相反数； 第二步，求所得的相反数与1的和； 第三步，求这个和的倒数． 现将有理数2和分别按上述步骤运算，得到的结果记为和，再将和分别按上述步骤运算，得到的结果记为和，如此重复上述过程，．．． (1)的值是 ，的值是 ． (2)求的值 【变式20-2】（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，表示数a的点到原点的距离为6个单位长度，则的值是________． 【变式20-3】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）在密码学中，有一种特殊的规则：若两个有理数m，n满足，则可以用它们生成一组安全系数较高的密钥．我们把满足的一对有理数称为“密码生成数对”例如数对符合该规则，是“密码生成数对”． (1)通过计算判断数对是不是“密码生成数对”； (2)若是“密码生成数对”，则是否还是“密码生成数对”？并说明理由； (3)已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，如果是“密码生成数对”，且，求的值． 【创新思辨】 【题型21 数轴结合加减运算综合题】 【例21】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（   ） A．99 B．100 C．101 D．102 【变式21-1】（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）一个跳蚤在一条数轴上，从0开始，第1次向右跳1单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律下去，当它跳第2025次落下时，落点在数轴上表示的数是______． 【变式21-2】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知在数轴上有一点，将点向右移动4个单位得到点，点向右移动2个单位得到点，点、、分别表示有理数、、．若、、三个数的乘积为负数且这三个数的和与其中的一个数相等，则的值为______． 【变式21-3】（25-26七年级上·广西南宁·期中）综合与实践： 【阅读理解】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数学上点和点表示的数为，则两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题： 【变式应用】 （1）已知点为数轴上任一动点，点对应的数记为，若点与表示有理数的点的距离是个单位长度，则的值为___________； （2）已知点为数轴上任一动点．点对应的数为，若数轴上点位于表示的点与表示2的点之间，则___________； （3）已知点在数轴上分别表示数，四个点在数轴上的位置如图所示（假设点按顺序以，排列，即，若，，，则等于___________． 【拓展提升】 （4）已知点在数轴上分别表示数，一动点从原点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动化4个单位长度，以此类推． ①求运动多少秒后所处的位置到点各点距离之和最短？ ②动点能不能在运动过程中同时经过这5个点？若能，求出从出发到都经过这5个点的最短时间：若不能，请说明理由． 【题型22 乘方个位数字周期规律探究】 【例22】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）计算，，，，，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是______． 【变式22-1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）若的个位数字是3，则a的值可能是（    ） A．13 B．24 C．35 D．37 【变式22-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列各式：，…．根据你发现的规律回答：的结果的个位数字是_______． 【变式22-3】（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 【题型23 含绝对值的混合运算求值】 【例23】（25-26七年级上·重庆万州·期中）已知，且，，则共有个不同的值，最大的值为，最小的值为，则的值为______． 【变式23-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式23-2】（24-25七年级上·重庆·期中）已知，且，则的值为（　　） A．2 B．4 C．或2 D．或4 【变式23-3】（25-26七年级下·重庆北碚·期末）若有理数，同时满足，，则的值为________ 【题型24 新定义运算结合有理数计算】 【例24】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）小海说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．小华看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？请计算____（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）． 【变式24-1】（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 【变式24-2】（25-26七年级上·北京·期中）对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．规定，（为正整数），例如，，．按此定义，则由__________，___________． 【变式24-3】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）课堂上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫☆运算．”老师根据规律，写出了几组按照☆运算法则进行运算的式子： 第一组：；； 第二组：；； 第三组：；；；． 小明说：我知道老师定义的☆运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳☆运算法则： (1)归纳☆运算法则，填写下列空白部分： ①同号两个数进行☆运算时，结果的符号为负，数值部分取绝对值相加； ②异号两个数进行☆运算时，____________； ③特别地，0和任何数进行☆运算，或是任何数和0进行☆运算都等于______； (2)填空：______；______； (3)若，求的值． 【题型25 运算规律探究与归纳推理】 【例25】（25-26七年级上·四川成都·期中）（1）正整数按图中的规律排列，数字2023在第a行，第b列，则______， （2）如图是一个三角形数阵，仔细观察排列规律，按照这个规律继续排列下去，在第c行第d列，则______． 【变式25-1】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是______．（保留幂的形式） 【变式25-2】（25-26七年级上·辽宁大连·期中）数学的迷人之处，在于数字背后蕴藏的奥秘．通过观察、归纳与验证，我们可以从最平常的数字中，探索出简洁而美妙的规律．例如，给定一列式子，并规定： （为正整数）． 例如：， 照此规律，解答下列问题： (1)______，______； (2)求与的积； (3)利用你发现的规律，求的值． 【变式25-3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读下列材料： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式：…… 以上前三个等式相加可得： (1)根据规律写出第四个等式： ； (2)根据规律写出第n个等式： ； (3)根据规律计算： 【题型26 有理数运算的实际应用】 【例26】（25-26七年级下·广东清远·期末）为确保首届“某市环城百公里自行车挑战赛”顺利举行，比赛分为精英组和大众组，其中精英组是竞赛类，追求完赛速度；大众组则重视比赛体验，均速相对较慢．比赛沿路设置补给点，严格交通管制并配备收容车，以保证每一辆车安全到达终点． 素材一： 收容车在起点等待比赛开始小时后发车，并以固定速度行驶，在比赛结束时行驶个小时，恰好抵达终点（赛程共）．选手被收容车追赶上时，收容车会强制接走落后选手． 收容车调度模型： （1）收容车行驶速度为 ．收容车行驶时间与行驶距离的关系式为 ； （2）某选手速度保持为时，收容车在距起点多远处接走他？ 素材二：组委会监测到精英组第一集团的速度变化如下图：    精英组冲奖分析： （1）估算骑行所需时间（提示：分段计算时间并求和） （2）若最后保持匀速冲刺，冲刺速度为多少时，选手刚好能和小时分的赛会纪录持平． 【变式26-1】（25-26八年级下·广西南宁·期末）根据以下素材完成“问题解决”中的三个任务． 素材1 2026年6月1日，国家市场监督管理总局新版《网络餐饮服务经营者落实食品安全主体责任监督管理规定》正式实施，新规明确鼓励骑手举报商家后厨脏乱、过期食材、无证经营等违法行为，举报查实给予现金及积分奖励． 素材2 某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案（送单数均为整数）： 方案一：每月无底薪，当月接单不超过300单，每完成一单外卖业务提成6元，每月超过300单，超过的部分每完成一单外卖业务提成7元． 方案二：每月底薪3200元，当月接单不超过700单，每完成一单外卖业务提成4.5元，每月超过700单，超过的部分每完成一单外卖业务提成5元． 素材3 该外卖平台为了激励骑手，提供了多维度奖励方法： 出勤奖：连续7天每天出勤满60单，奖励380元，每月上限4周． 服务奖：完成率、准时率达标奖励0.6元/单． 举报奖：举报违法行为查实后奖励200元，每月上限奖励800元． 问题解决： (1)某外卖小哥计划每月送餐900单，他按哪种方式入职收入更高？ (2)根据素材2，若两种入职方案收入相同，每月需送餐多少单？ (3)某外卖小哥希望月收入超过两万元，他每月至少要送多少单？ 【变式26-2】（25-26六年级下·上海·期末）制作一张成品帆布帐篷，做成后帐篷的布料面积是平方米．已知这种帆布在生产过程中需要进行清洗、染色、定型，在上述过程中布料会缩水，又由于剪裁时会有边角料产生，工厂准备的原始布料面积比实际需要的布料面积多，问：批量生产张这样的帐篷，至少需要准备多少平方米的原始帆布？ 【变式26-3】（25-26七年级下·重庆·期中）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如表： 户月用水量 收费标准（元） 不超过 3 超过但不超过的部分 4 超过的部分 6 (1)小明家3月份用水量为，应缴纳水费______元；若小明家4月份缴纳水费100元，则用水量为______． (2)小红家6月份和7月份的用水量共，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费177元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为多少？ 【题型27 程序流程图与有理数计算】 【例27】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知：如图，这是一种数值转换机的运算程序． (1)若第次输入的数为，则第次输出的数为，那么第次输出的数为__________． (2)若第次输入的数为，求第次输出的数及第次输出的数． (3)是否存在输入的数，使第次输出的数是？若存在，请直接写出所有的值；若不存在，请说明理由． 【变式27-1】（25-26七年级下·广东河源·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是________． 【变式27-2】（25-26六年级下·山东威海·期末）小港在学习综合与实践《设计自己的运算程序》时，设计了一个如下运算程序：任意写出一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程若以开始，按照此程序运算次后得到的数是______． 【变式27-3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机， (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为________    (2)如图，同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的________    (3)同学也设置了一个计算装置示意图，、是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由，分别输入自然数和，经过计算后的自然数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：    ①若、分别输入1，则输出结果1，记； ②若输入1，输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记； 问：当输入自然数7，输入自然数6时，的值是多少？ 【题型28 算“24”点】 【例28】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为或，其中红色扑克代表负数，黑色扑克代表正数，，，分别代表，，如果抽到的是下列四张扑克（一张黑，一张红，一张黑，一张黑），那么凑成所列的算式是______． 【变式28-1】（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： 1 2 (1)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，则运算结果的最小值是______； (2)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法写出两个不同的运算式，使四个数字的计算结果为24或． 【变式28-2】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深受青少年朋友的喜爱．这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1．从扑克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次），算得“24”即可． 【问题情境】 假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：． 根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式 ． 【思考探究】 （1）用两张牌算“24”：①；②；③；④用三张牌算“24”：可以将其中两张牌整合，转化为（1）中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为，转化为（1）中的①．问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为（1）中的③，即列式为 ． （2）用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一三分组，列式为，转化为（1）中的①；请你用8、9、12、13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24． （3）用五张牌算“24”：请你考虑这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，…五个9），会有哪些情况可以算出“24”． 【变式28-3】（25-26七年级上·湖北鄂州·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数的运算（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材浙教版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 有理数加法基本计算】 2 【题型2 有理数减法基本计算】 2 【题型3 有理数乘法基本计算】 3 【题型4 有理数除法基本计算】 4 【题型5 求一个数的倒数】 5 【题型6 有理数乘方基本计算】 7 【题型7 用科学记数法表示大数】 8 【题型8 还原科学记数法表示的数】 9 【题型9 按要求取近似数】 10 【题型10 判断乘方结果的符号】 12 【进阶拔高】 13 【题型11 加减混合运算统一成加法】 14 【题型12 运用运算律简便计算】 14 【题型13 乘除混合运算】 17 【题型14 有理数加减乘除混合运算】 19 【题型15 含乘方的混合运算】 21 【题型16 科学记数法比较数的大小】 24 【题型17 科学记数法与近似数的综合】 25 【题型18 正负数在实际问题中的应用】 26 【题型19 判断运算过程中的错误步骤】 27 【题型20 利用倒数和相反数求代数式值】 31 【创新思辨】 34 【题型21 数轴结合加减运算综合题】 38 【题型22 乘方个位数字周期规律探究】 38 【题型23 含绝对值的混合运算求值】 43 【题型24 新定义运算结合有理数计算】 45 【题型25 运算规律探究与归纳推理】 47 【题型26 有理数运算的实际应用】 50 【题型27 程序流程图与有理数计算】 55 【题型28 算“24”点】 60 【夯实基础】 【题型1 有理数加法基本计算】 【例1】（2026·浙江杭州·一模）计算：________． 【答案】 【详解】解： 【变式1-1】（25-26七年级上·吉林长春·期末）若a＞0，b＜0，|a|＞|b|，则a+b_____0（用“＞”或“＜”填空）． 【答案】＞ 【分析】根据a＞0，b＜0，|a|＞|b|，可得：a＞﹣b，据此判断出a+b与0的关系即可． 【详解】∵a＞0，b＜0，|a|＞|b|， ∴a＞﹣b， ∴a+b＞0． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 【变式1-2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）随着移动支付的普及，小晨妈妈近期使用“支付宝”进行了五笔交易，账单如下所示，已知原来账户内有元，则五笔交易后账户内余额为______元． 支付宝账单 买菜支出元    一箱纸巾支出元    转账收入元    餐饮支出元    地铁支出5元   【答案】 【分析】本题考查正数与负数；理解正数与负数在实际问题中的意义，利用有理数加减进行准确运算是解题的关键．计算五笔交易的净变化值，再与初始余额相加． 【详解】解：初始余额为元，五笔交易金额依次为：元、元、元、元、元， 交易净变化为： （元） 最终余额为（元）． 故答案为932． 【变式1-3】（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）小明在计算16+（-25）+24+（-35）时，采用了这样的方法： 解：16+（-25）+24+（-35） =（16+24）+[（-25）+（-35）] =40+（-60）=-20 从而使运算简化，他根据的是___________________________________． 【答案】加法交换律和加法结合律 【分析】分析运算过程解答即可． 【详解】解：16+(-25)+24+(-35) =(16+24)+[(-25)+(-35)]（加法交换律和加法结合律） =40+(-60)=-20． 故答案为：加法交换律和加法结合律． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握加法的加法交换律和加法结合律是解答本题的关键． 【题型2 有理数减法基本计算】 【例2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下面等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加、减、乘、除运算法则，熟练掌握有理数的四则运算法则并准确计算是解题的关键．分别计算每个选项中等式左右两边的结果，通过对比结果是否相等来判断等式是否成立，进而选出正确选项． 【详解】解：∵选项A左边：，右边：，，∴等式不成立； ∵选项B左边：，右边：，，∴等式不成立； ∵选项C左边：，右边：，，∴等式不成立； ∵选项D左边：，右边：，，∴等式成立； 故选：D． 【变式2-1】（25-26七年级上·全国·期末）计算： ____________ 【答案】 【详解】解：． 【变式2-2】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）樊城区汉江边有一段河堤大道，每天晨练跑步者络绎不绝．以河堤大道的平面为基准，河面高，陆地上的沿江马路地面高，则地面比河面高（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 地面高度为，河面高度为， ∴ 高度差为 ， 即地面比河面高． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏常州·期末）常州4月6日~12日的气温折线图如图所示，则这一周中温差最小的日期是4月_________日． 【答案】11 【详解】解：由折线图可得， 4月6日的温差为，4月7日的温差为，4月8日的温差为，4月9日的温差为， 4月10日的温差为，4月11日的温差为，4月12日的温差为， ∵， ∴这一周中温差最小的日期是4月11日． 【题型3 有理数乘法基本计算】 【例3】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）计算的结果是________． 【答案】 【分析】根据有理数乘法法则，异号两数相乘，积为负，再计算两个绝对值的乘积即可． 【详解】解：． 【变式3-1】（25-26七年级上·河南漯河·期末）在0，，1，这四个数中，最小数与最大数的积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较及有理数的乘法．在0，，1，这四个数中，最小数是，最大数是1，相乘即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26七年级上·甘肃天水·期末）用、、填空．_____ 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法运算法则，奇数个负数相乘结果为负，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3-3】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）老师在使用“助教批改作业”，设定规则如下：识别到选择题答对1题记为，答错1题记为．小明的10道选择题中，有4道被识别为答错，则4道错题应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义和有理数乘法的应用，根据题目中对答对和答错的记分规定来判断答错4道题的记分. 【详解】解：∵答错1题记为， ∴4道错题记为． 故选：B． 【题型4 有理数除法基本计算】 【例4】（25-26七年级上·河北唐山·期末）下列算式中，计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加、减、乘、除运算，通过计算各选项的结果，与目标结果对比即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ∴符合要求的是选项B． 故选：B． 【变式4-1】（25-26九年级上·陕西铜川·期末）计算：（    ） A．4 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据有理数的除法运算计算即可 【详解】解： 故选：B 【变式4-2】（25-26六年级上·上海·期末）乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法和除法，根据题意求出的值，再代入算式计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴正确结果为， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26六年级上·黑龙江大庆·期末）乳酸饮料的广告这样说：“增量，加量不加价．”一盒乳酸饮料现在的容积是毫升，增量前的容积是_____毫升． 【答案】 【分析】本题考查了除法运算，把增量前的质量看作单位“”，就相当于单位“”的，求单位“”用除法计算，列式为：，据此解答，根据题意，列出算式是解题的关键． 【详解】解：（毫升）， 故答案为：． 【题型5 求一个数的倒数】 【例5】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（  ） A． B． C．2026 D． 【答案】B 【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据倒数的定义， ∵ ， ∴ 的倒数是． 【变式5-1】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）若，则的倒数是______． 【答案】 【分析】先计算出，再得出其倒数即可． 【详解】解：∵， ∴， 故的倒数为． 【变式5-2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若的绝对值与的绝对值均为，则的倒数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据绝对值的非负性，求出的值，再计算，最后得到的倒数即可． 【详解】∵与均为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的倒数为． 【变式5-3】（25-26七年级上·广东梅州·期末）已知互为相反数，互为倒数，且，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数和倒数的定义，有理数的乘方，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． 利用相反数和倒数的性质，求出和的值，代入原式计算． 【详解】解：∵互为相反数， ∴； ∵互为倒数，． ∴； ∴， 故答案为：． 【题型6 有理数乘方基本计算】 【例6】（25-26七年级上·全国·期末）下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【答案】A 【详解】解：A．表示的是3个相乘，即选项A错误，符合题意； B．的底数是，故选项B正确，不符合题意； C．的指数是3，故选项C正确，不符合题意；   D．，故选项D正确，不符合题意． 【变式6-1】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数乘方的法则：负数的奇数次幂是负数，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26七年级上·福建宁德·期末）已知某个有理数乘方的结果是16，则该乘方运算是_____．（写出一个即可，用的形式表示） 【答案】（或或或） 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是找出满足乘方结果为16的有理数底数与指数组合． 根据乘方的定义，寻找有理数和整数，使得，写出其中一组即可． 【详解】解：因为， 所以该乘方运算可以是（或、等，任选其一即可）． 故答案为：（或或或）． 【变式6-3】（25-26七年级上·全国·期末）当时，式子，则当时，式子的值是_____． 【答案】 【分析】根据时，式子，得，根据当时，式子，整体代入解答即可． 本题考查了求代数式的值，熟练掌握整体思想代入计算是解题的关键． 【详解】解：当时，式子， ∴， 当时，， ∴． 故答案为：． 【题型7 用科学记数法表示大数】 【例7】（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）六枝老王山是一座巍峨挺拔的山峦，其海拔约为2126米，将数据2126用科学记数法表示为，则__________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的概念， 解题思路为根据科学记数法的定义，确定的值，的值等于原数转化为（）时小数点向左移动的位数． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，原数绝对值大于时，为正数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数，将变形为，小数点向左移动了位，因此． 【变式7-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）2025年6月27日，湘潭下摄司大桥正式通车，下摄司大桥横跨湘江，为五跨飞燕式中承钢箱提篮拱桥，这是湘潭市第八座跨湘江通道，全桥钢结构重量约万吨，数据“万”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：万． 【变式7-2】（2026·山西吕梁·一模）全球最大的AI模型API聚合平台OpenRouter数据显示，2026年2月9日-15日，中国模型以4.12万亿Token的调用量，首次超过同期美国模型的2.94万亿Token的调用量．数据4.12万亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：4.12万亿． 【变式7-3】（2024·四川绵阳·中考真题）中国是茶叶的故乡，产量多年位居世界第一，据统计：2023年我国全年茶叶产量为355万吨，将数据3550000用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将3550000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型8 还原科学记数法表示的数】 【例8】（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为________个． 【答案】7 【分析】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，把写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得． 【详解】解：∵表示的原数为81505000000， ∴原数中“0”的个数为7， 故答案为：7． 【变式8-1】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）用科学记数法写出的数原数是______. 【答案】-39600； 【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【详解】=-39600， 故答案为-39600 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【变式8-2】“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程．截至去年9月底，各地已累计完成投资元．数据可以表示为（　　） A．10.02亿 B．100.2亿 C．1002亿 D．10020亿 【答案】C 【分析】科学记数法的标准形式为a×10n(1≤|a|＜10，n为整数)，本题数据“1.002×1011”中的a=1.002，指数n等于11，所以，需要把1.002的小数点向右移动11位，得到原数，继而根据数位进行表示即可． 【详解】1.002×1011 =1.002×100000000000 =100200000000 =1002亿， 故选C． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【变式8-3】（25-26七年级上·广东汕头·期中）一种电子计算机每秒可做次计算，也就是说它每秒可做 _____万次计算． 【答案】4000 【分析】本题考查了科学记数法表示的数还原成原数和单位换算． 先将化为原数40000000，再根据1万进行单位换算即可． 【详解】解：万， 故答案为：4000． 【题型9 按要求取近似数】 【例9】（25-26六年级上·山东泰安·期中）关于近似数的说法正确的是（   ） A．说一个数精确到哪一位，说明这一位数及其之前的位数是准确的 B．近似数与近似数无论从大小上还是从意义上都是相同的 C．太阳到地球的距离为是国际联合会公布的，是准确数 D．近似数是与准确数接近的数 【答案】D 【详解】解：∵ 近似数精确到哪一位，说明该数的误差不超过这一位的半个单位，精确到的这一位本身是近似得到的，不是准确数，故选项A错误． ∵ 近似数精确到十分位，近似数精确到百分位，二者精确度不同，意义不同，故选项B错误． ∵ 太阳到地球的距离无法得到绝对准确的数值，是近似数，故选项C错误． ∵ 根据定义，近似数是与准确数接近的数，故选项D正确． ∴ 本题答案选D． 【变式9-1】（25-26七年级上·广东惠州·期中）用四舍五入法将精确到，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】精确到即保留五位小数，需看第六位小数进行四舍五入即可． 【详解】解：数字的第五位小数为，第六位小数为， ∵， ∴第五位小数需进位，变为，即为． 故选：． 【变式9-2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）由四舍五入得到的近似数万精确到_______位．由四舍五入得到的近似数精确到_____位，它表示大于或等于_____，而小于_____的数． 【答案】 百 十分 【分析】本题考查了近似数与精确度问题，由近似数精确到最后一位结合该位在原数中的位置可得前面的答案，看一个近似数的真值范围要多看一位，再结合四舍五入可得真值的范围． 【详解】解：由四舍五入得到的近似数万精确到百位， 由四舍五入得到的近似数精确到十分位， 它表示大于或等于，而小于的数． 故答案为：百，十分，，． 【变式9-3】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）小华的期中考试各科平均分是分，用四舍五入法对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到百分位） B．（精确到十分位） C．（精确到） D．（精确到） 【答案】D 【分析】本题考查四舍五入取近似值． 根据精确度要求，逐项判断近似值是否正确． 【详解】解：选项A要求精确到百分位，需看千分位数字：千分位为，百分位8进1，得，正确； 选项B要求精确到十分位，需看百分位数字：百分位为，十分位5进1，得，正确； 选项C要求精确到，需看万分位数字：万分位为，千分位6不变，得，正确； 选项D要求精确到，需看千分位数字：千分位为，百分位8应进1得，但选项为，错误； 故选：D． 【题型10 判断乘方结果的符号】 【例10】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）已知是一个正整数，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了乘方运算，先结合是一个正整数，得出是一个奇数，根据负数的奇数次幂是负数，则，即可作答． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个偶数，是一个奇数， ∵负数的奇数次幂是负数， 即， 故答案为： 【变式10-1】（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】互为相反数的两个数和为0，由此逐项判断即可． 【详解】解：，故和互为相反数，A选项符合题意； ，故和不互为相反数，B选项不合题意； ，故和不互为相反数，C选项不合题意； ，故和不互为相反数，D选项不合题意． 【变式10-2】（2025·河北邯郸·三模）若，则的值可以为__________（写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题考查不等式的性质，有理数的乘方，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，可得且n为奇数，即可解答． 【详解】解：∵， ∴且n为奇数． 如：(答案不唯一) 故答案为：(答案不唯一)． 【变式10-3】（26-27七年级上·北京·课后作业）如果n是正整数，则_____ ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方运算的符号规律，解题关键是掌握有理数的乘方法则． 直接利用有理数的乘方法则计算． 【详解】解： ． 【进阶拔高】 【题型11 加减混合运算统一成加法】 【例11】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）“幻圆”是古老的数学问题，将1，，3，，5，，7，这八个数分别填入图中的圆圈内，使横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和都相等，其中，，7，已填入如图所示的位置，则图中的值为（   ） A．1或 B．1或4 C．4或6 D．6或8 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减法，求得横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和是关键． 先计算所有数的和，结合横、竖及内外圆的和的关系求出公共和，再确定、的值． 【详解】解：根据题意可知，所有数的和为：， 则横、竖直径与两个圆周上的4个数字之和为， ， 则内圈中剩下数字为， 1，，，，7，已经确定位置， 或， 或， 故选：C． 【变式11-1】（25-26七年级上·天津南开·期中）计算的结果为________． 【答案】7 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则运算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：7． 【变式11-2】（25-26七年级上·四川广元·期中）计算：______________ 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算、数字类规律探索，正确发现一般规律是解题关键．通过观察符号规律，发现每四个连续数字为一组，每组和均为0，再根据可得共有506组，由此即可得． 【详解】解：， ， ， 归纳类推得：每四个连续数字为一组，每组和均为0， ∵， ∴ ． 故答案为：0． 【变式11-3】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算． 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为：． 【题型12 运用运算律简便计算】 【例12】（24-25七年级上·河北沧州·期末）要使式子“”能用运算律进行简便运算，“□”里填上的数是_______．（写出一个合适的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是加法运算律的运用．根据题意知，分母与题干中的分母相同可以运用加法的交换律和结合律，据此求解即可． 【详解】解：当“”里的数为分母含有13或8时，可用交换律和结合律， 即； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式12-1】（25-26七年级上·四川广安·阶段检测）下面这道有趣的式子，按照一般的计算方法，需要通分，才能算出结果；但这样做，公分母很大，计算很麻烦．只要你仔细分析一下，每个分数的分子与分母的特点，就可以找到一条不通分而巧妙求得结果的捷径．请你试一试：______． 【答案】//1.9 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，认清各数的特点是解题关键．根据分数的拆分原理及拆分的方法，把一个分数拆分为两个单位分数的差，在计算过程中可以抵消，据此解答即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式12-2】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题． 【详解】解： ． 【变式12-3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）一组连续整数前分别添加“”和“”，并运算，则所得最小非负整数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】给每个数前面添加一个正负号，然后要想最后的结果是最小非负整数，基本上就是正负相间，然后再根据结果适当调整某个数的符号即可. 【详解】 故选：A. 【点睛】本题主要考查有理数的运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键. 【题型13 乘除混合运算】 【例13】（25-26七年级上·山西长治·期末）( ) A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，关键是掌握同级运算从左到右依次进行，或把除法转化为乘法后再计算，注意符号的处理． 【详解】解： ． 故选：D． 【变式13-1】（24-25七年级上·北京顺义·期末）计算：______. 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，解答本题的关键是熟练掌握有理数的乘除法则． 先根据有理数的除法法则，把除法化成乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 【变式13-2】（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)②③ (2)36 【分析】（1）第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）解：原式 ． 【变式13-3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作． (1)直接写出计算结果，_________，_________； (2)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数，，），并将结果写成幂的形式_________（结果用含a，n的式子表示）； (3)请利用（2）的推导公式计算： ． 【答案】(1)8， (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除运算和幂的形式，理解题意、掌握有理数的乘除运算和幂的形式是解题的关键． （1）根据“有理数的除方”概念计算即可； （2）根据“有理数的除方”概念、幂的形式计算即可； （3）根据公式，计算即可； 【详解】（1）解：， ， 故答案为：8，； （2）解：公式， 故答案为：； （3）解： ． 【题型14 有理数加减乘除混合运算】 【例14】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义一种新运算：，如，则______． 【答案】6 【分析】本题考查了新定义运算的计算，解题的关键是遵循新运算的规则，先计算括号内的式子，再计算括号外的式子． 先根据新运算规则计算括号内的，得到结果后，将该结果与按照新运算规则计算最终值． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式14-1】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）在算式 中的“”里，填入运算符号 ，使得算式的值最大，则这个符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算四种运算结果，对比即可． 【详解】解：A．； B．； C．； D．； ∵， ∴“”里，填入运算符号“”时，算式的值最大． 【变式14-2】（25-26七年级上·全国·期中）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，首先把带分数化为假分数，可得原式，把被除数和除数中分别提出公因数，发现括号里剩下的部分相同，把相除的部分约去，可得计算结果为，根据有理数的除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式14-3】（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法，即除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．例如：，，注意到与互为倒数． (1)若，则的值为________． (2)用分配律计算：． (3)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的除法法则（除以一个数等于乘它的倒数），倒数的定义、有理数的混合运算． （1）由题意直接根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解； （3）直接根据（2）的结果结合倒数的定义即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ． 【题型15 含乘方的混合运算】 【例15】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 【答案】7 【详解】解：由题意得， ∴输出的值是7． 【变式15-1】（25-26七年级下·河南郑州·开学考试）定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式15-2】（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的5位数，则十进制数是二进制下的(   ) A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 【答案】B 【分析】本题主要考查了十进制数与二进制数的转换，结合题意把十进制数转换成二进制数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴十进制数是二进制下的11位数 【变式15-3】（2026·河北廊坊·二模）算式被遮住了一部分． (1)若被遮住的数为1，求算式的运算结果； (2)若算式的运算结果为，求被遮住的数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入数字计算即可； （2）设被遮住的数为x，根据题意列方程计算即可（也可通过逆运算原算式直接求解）． 【详解】（1）解：由题意，得原式； （2）解：设被遮住的数为x，根据题意， 得， 解得， 故被遮住的数为9． 【题型16 科学记数法比较数的大小】 【例16】（2025七年级上·江苏·专题练习）比较大小：______ 【答案】/小于 【分析】本题考查科学记数法，有理数比较大小，将科学记数法还原成原数，比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 【变式16-1】（2026·河南新乡·一模）甲款智能软件的月活跃用户约1.5亿，乙款智能软件的月活跃用户约为．若1.5亿与比较大小，则（   ） A．1.5亿大 B．大 C．一样大 D．无法确定 【答案】B 【分析】先将两个数统一成相同的计数形式，再比较大小即可． 【详解】解：∵1.5亿， ∴更大． 【变式16-2】（2025七年级上·江苏·专题练习）比较用科学记数法表示的两个数的大小： (1)与． (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是比较有理数的大小和科学记数法的应用，掌握此类问题的比较方法是解题的关键． （1）将和化成原数比较即可判断出； （2）根据即可判断出． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴； （2）解：∵， ， ∴． 【变式16-3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知，比较a，b，c的大小关系，并用“<”连接__________． 【答案】 【分析】由题意得，，都采用了科学记数法，且都是正数，故只需比较10的乘方部分，10的指数越大，对应的数就越大，由此可得出答案． 【详解】解：，，， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比较有理数的大小及科学记数法，掌握科学记数法比较数的大小的方法是解题关键． 【题型17 科学记数法与近似数的综合】 【例17】2014年5月20日是全国学生营养日，将数20140520精确到万位后，请用科学记数表示为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，求近似数，科学记数法是指，，n为整数位数减1，本题要求精确到万位，则看千位上的数字，如果大于等于5则向前面进1，小于5则舍去．根据科学记数法的定义，近似数的求法，进行求解即可． 【详解】解：将数20140520精确到万位后，请用科学记数表示为． 故答案为：． 【变式17-1】（2025·山东烟台·模拟预测）精确到万位是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意精确到万位可得，． 【变式17-2】（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）用四舍五入法对159897000000取近似值（用科学记数法表示），精确到千万位________． 【答案】 【分析】先确定原数的千万位位置，根据四舍五入法则对原数取近似值，再将结果用科学记数法表示即可 【详解】解：原数为， 确定千万位上的数字为，其下一位百万位上的数字为， ， 向千万位进，千万位，需继续向亿位进， 近似值为， 用科学记数法表示为 【变式17-3】（25-26七年级下·上海松江·期末）根据《2023年上海市国民经济和社会发展统计公报》公布的数据，至2023年末，上海全市常住人口为万人，较2022年底增长了万人．将数据万用科学记数法表示为________（保留三个有效数字）． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，将一个绝对值大于的数写成科学记数法的形式时，其中，为比整数位数少的数． 把一个绝对值大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式，再根据其近似值要求即可作答． 【详解】解：万， 故答案为：． 【题型18 正负数在实际问题中的应用】 【例18】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)； (2)会发出充电提示 【分析】（1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车天行驶的总路程，再求出用电量剩余时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【详解】（1）解：第三天行驶了， 故应记作， ∴“■”处的数为； 第六天行驶了， 故应记作， ∴“●”处的数为； 故答案为：；． （2）解：总行程为， 剩余电量占比， ∴会发出充电提示． 【变式18-1】（25-26七年级上·四川绵阳·阶段检测）“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如下表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负） 星　期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量个 (1)根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量． (2)若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)2111个 (2)1268.25元 【分析】解题的关键在于理解正负数的意义，以及掌握有理数的相关运算． （1）先计算一周总的增减产量，将其与计划周产量相加，即可得到本周实际生产口罩数量； （2）根据每周计件工资的规则，结合实际产量与超额数量，计算得到工资总额即可． 【详解】（1）解：（个）， 答：小王本周实际生产口罩数量为2111个． （2）解：（元）， 答：小王这一周的工资总额是1268.25元． 【变式18-2】（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运八批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，， (1)将最后一批乘客送到目的地时，李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)这时间段李师傅一共开了多少千米？ 【答案】(1)在出发地东方，距离6千米 (2)这时间段李师傅一共开了40千米 【分析】此题考查了正负数的应用，绝对值的应用，有理数混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）把记录的数字相加即可得到结果； （2）把记录数字绝对值之和即可得到结果． 【详解】（1）解：千米， 答：在出发地东方，距离6千米； （2）解：千米， 答：这时间段李师傅一共开了40千米． 【变式18-3】（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）综合实践 怎样邮寄沃柑更经济?南宁武鸣沃柑是全国名特优新农产品，皮薄易剥，汁多味甜．小南家的沃柑每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出． 素材1 一客户在小南家定了10箱沃柑，每箱以10千克为标准，超过的千克数记为正数不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值（单位：千克） 0.3 0.1 箱数 1 4 3 2 素材2 据调查，某快递公司收费标准如下：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）2元/千克，不足1千克按1千克计，超过20千克的需要额外支付包装费30元． 素材3 据小南家常年的邮寄经验，包裹越大，沃柑受损率越高．一个包裹在20千克以内，沃柑几乎无受损（受损忽略不计）；一个包裹质量在80千克至120千克之间，沃柑的受损率估计为，破损部分由小南家按售价进行赔偿，返还给顾客相应现金． 任务1 计算这10箱沃柑的总质量． 任务2 方案一：分10箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：10箱打成一个大包裹邮寄， 请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小南家支付的邮费更省?省多少钱? 任务3 今年沃柑的成本价为3元/千克，售价为8元/千克．结合任务2，邮寄10箱沃柑哪种方案利润更高? 【答案】任务1：100千克；任务2：选方案二邮寄，小南家支付的邮费更省，省34元； 任务3：方案一：邮寄10箱沃柑的利润为（元）， 方案二：邮寄10箱沃柑的利润为（元）， ∵ ∴方案一利润更高． 【分析】此题考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键是正确分析题意并列出算式． 任务1：根据表格中的数据列出算式求解即可； 任务2：根据方案一和方案二的计算方法分别求解判断即可； 任务3：根据题意分别求出方案一和方案二利润，进而判断求解即可． 【详解】解：任务1：（千克）， ∴这10箱沃柑的总质量为100千克； 任务2：由表格可得， ，，，， ∴10箱沃柑中重量为的有1箱，重量为的有4箱，重量为的有3箱，重量为的有2箱， 方案一：（元）； 方案二： ∵这10箱沃柑的总质量为100千克， ∴（元）， ∵，（元）， ∴选方案二邮寄，小南家支付的邮费更省，省34元； 任务3：略 【题型19 判断运算过程中的错误步骤】 【例19】（25-26七年级上·江西赣州·阶段检测）如图是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下列问题． 计算 解：原式=……第一步 ……第二步 ……第三步 回答： (1)解题过程中有两处错误： 第1处是第______步，错误的原因是___________； 第2处是第______步，错误的原因是___________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二；运算顺序错误；二；符号处理错误； (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则以及运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数混合运算法则以及运算顺序判断即可； （2）根据有理数混合运算法则以及运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）根据题意可知，第二步错误，错误原因是运算顺序错误； 第二步错误，错误原因是符号处理错误； 故答案为：二；运算顺序错误；二；符号处理错误； （2）解： ． 【变式19-1】（25-26七年级上·云南曲靖·阶段检测）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： 第一步           第二步 ．          第三步 请指出第______步开始出现错误． 【答案】二 【分析】本题考查了有理数混合运算，第二步计算分配律时符号出错，熟练掌握运算顺序和法则，乘法分配律是解题的关键． 【详解】解： ， ∴第二步开始出现错误， 故答案为：二． 【变式19-2】（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）在算式中，运算符号被“”遮住了，甲、乙两位同学对于被“”遮遮住的运算符号发表了各自的观点： 甲：如果被“”遮遮住的运算符号是“”，那么计算结果为； 乙：如果被“”遮遮住的运算符号是“”，那么计算结果为． 则下列判断正确的是（   ） A．甲的观点正确，乙的观点错误 B．甲的观点错误，乙的观点正确 C．甲、乙的观点都正确 D．甲、乙的观点都错误 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据题意分别列式为及，将它们分别计算后进行判断即可． 【详解】解：如果被“□”遮住的运算符号是“”， 则 ； 如果被“□”遮住的运算符号是“”， 则 ； 则甲的观点错误，乙的观点正确， 故选：B． 【变式19-3】（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）学习了有理数的运算后，下面是小明同学的第①步运算过程： …① (1)小明同学的第①步运算有几处错误？请指出错误的地方； (2)请你完整地写出本题的正确运算过程． 【答案】(1) 小明同学的第①步运算有2处错误； 错误1：应计算为，但小明写成了； 错误2：应用乘法分配律应得，但小明写成了； (2) ． 【分析】本题考查有理数的混合运算，需注意运算顺序和符号处理． （1）找出小明运算中的错误，包括指数运算和乘法分配律应用错误； （2）按有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型20 利用倒数和相反数求代数式值】 【例20】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）列式计算求值： (1)求的相反数与的倒数的差； (2)已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，的绝对值为3，求的值． 【答案】(1)0 (2)2或 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）由相反数，倒数，绝对值的含义求解，，的值，再分情况整体代入即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得， ； （2）解： 、互为相反数， ， 、互为倒数， ， 的绝对值是3， ， 当时， ． 当时， ∴ ． 【点睛】本题考查的是相反数，倒数，绝对值的含义，代数式的求值，掌握以上知识及整体代入求代数式的值是解题的关键． 【变式20-1】（24-25七年级上·山东德州·期末）将有理数m（m不等于0和1）按以下步骤进行运算： 第一步，求相反数； 第二步，求所得的相反数与1的和； 第三步，求这个和的倒数． 现将有理数2和分别按上述步骤运算，得到的结果记为和，再将和分别按上述步骤运算，得到的结果记为和，如此重复上述过程，．．． (1)的值是 ，的值是 ． (2)求的值 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查了相反数和倒数，有理数的混合运算以及数字规律． （1）根据所给步骤计算即可； （2）分别计算出和的值，发现它们的值分别是每三个循环出现，依此规律进行计算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：， ，，，…… ， ，，，…… ． 【变式20-2】（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）若m、n互为相反数，p、q互为倒数，表示数a的点到原点的距离为6个单位长度，则的值是________． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，数轴，根据倒数的定义，相反数的定义求得，，数轴上点的特征求得，然后代入求值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵m、n互为相反数，p、q互为倒数， ∴，， ∵表示数a的点到原点的距离为6个单位长度， ∴， 当时， 原式， 当时， 原式， 故答案为：或． 【变式20-3】（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）在密码学中，有一种特殊的规则：若两个有理数m，n满足，则可以用它们生成一组安全系数较高的密钥．我们把满足的一对有理数称为“密码生成数对”例如数对符合该规则，是“密码生成数对”． (1)通过计算判断数对是不是“密码生成数对”； (2)若是“密码生成数对”，则是否还是“密码生成数对”？并说明理由； (3)已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，如果是“密码生成数对”，且，求的值． 【答案】(1) 解：∵，， ∴， ∴数对是“密码生成数对”； (2) 解：是．理由如下： ∵是“密码生成数对”， ∴， ∴， ∴是“密码生成数对”． (3) 【分析】（1）根据“密码生成数对”定义求解； （2）根据是“密码生成数对”，利用“密码生成数对”定义验证是否还是“密码生成数对”即可； （3）先根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，求得a，b的关系式与c，d的关系式，结合是“密码生成数对”，且，整体代入代数式求值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）根据题意可知，． ∵是“密码生成数对”， ∴． ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了已知式子的值求代数式的值，有理数四则混合运算，相反数的定义，倒数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【创新思辨】 【题型21 数轴结合加减运算综合题】 【例21】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是（   ） A．99 B．100 C．101 D．102 【答案】B 【分析】本题考查数字变化的规律和有理数的加减运算，理解题意观察出数字变化规律是解题的关键． 先根据题意求出点A所表示的数，再求出小虫第一次经过时的爬行次数，据此可解决问题． 【详解】解：设点A所表示的数为a， 则第1次爬行后的点所表示的数为， 第2次爬行后的点所表示的数为， 第3次爬行后的点所表示的数为， 第4次爬行后的点所表示的数为， …， ∴第2n次爬行后的点所表示的数为， 故第2022次爬行后的点所表示的数为， 则第2023次爬行后的点所表示的数为． ∵第2023次刚好爬到数轴上的原点处， ∴， 则， 即点A所表示的数为． ∵， ∴表示的点在A点的右边，与A点相距962个单位长度． ∵第1次爬行后的点在点A的右边1个单位长度处， 第3次爬行后的点在点A的右边2个单位长度处， 第5次爬行后的点在点A的右边3个单位长度处， ……， ∴第次爬行后的点在点A的右边n个单位长度处，且， 即小虫爬行第1923次时，对应点所表示的数为， ∴从第1923次开始（包括第1923次），后面的每次爬行都经过这个数． ∵，第1923次到达之后的第1924次就是从原地出发，所以这只能算一次， ∴小虫爬行过程中经过数轴上这个数的次数是100． 故选：B． 【变式21-1】（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）一个跳蚤在一条数轴上，从0开始，第1次向右跳1单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，依此规律下去，当它跳第2025次落下时，落点在数轴上表示的数是______． 【答案】1013 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的加减混合运算，解题的关键是根据题意列出算式． 规定向右为正方向，根据题意列出算式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，规定向右为正方向， ， 故答案为：1013． 【变式21-2】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知在数轴上有一点，将点向右移动4个单位得到点，点向右移动2个单位得到点，点、、分别表示有理数、、．若、、三个数的乘积为负数且这三个数的和与其中的一个数相等，则的值为______． 【答案】或 【分析】解题思路是先通过数轴移动表示出，再分“和等于、和等于、和等于”三种情况列方程，最后验证每种情况的乘积符号，筛选出符合条件的值．本题的关键是全面分类讨论“和与其中一个数相等”的所有可能，同时严格验证“乘积为负数”的条件，避免遗漏符合要求的解．易错点是忽略部分分类情况，导致解不完整． 【详解】设的值为，则，． 三个数的和． 当时，即，解得，此时，，，乘积，不符合题意． 当时，即，解得，此时，，，乘积，符合题意． 当时，即，解得，此时，，，乘积，符合题意． 故的值为或； 故答案为：或． 【变式21-3】（25-26七年级上·广西南宁·期中）综合与实践： 【阅读理解】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数学上点和点表示的数为，则两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题： 【变式应用】 （1）已知点为数轴上任一动点，点对应的数记为，若点与表示有理数的点的距离是个单位长度，则的值为___________； （2）已知点为数轴上任一动点．点对应的数为，若数轴上点位于表示的点与表示2的点之间，则___________； （3）已知点在数轴上分别表示数，四个点在数轴上的位置如图所示（假设点按顺序以，排列，即，若，，，则等于___________． 【拓展提升】 （4）已知点在数轴上分别表示数，一动点从原点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动化4个单位长度，以此类推． ①求运动多少秒后所处的位置到点各点距离之和最短？ ②动点能不能在运动过程中同时经过这5个点？若能，求出从出发到都经过这5个点的最短时间：若不能，请说明理由． 【答案】（1）或（2）7（3）1（4）①5秒②能，秒 【分析】本题考查有理数与数轴，绝对值的几何意义，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）利用题目所给的数轴上两点间距离的计算方法列式计算即可； （2）表示数轴上点到所表示的点与所表示的点的距离和，而P点位于表示的点与表示2的点之间，故这个距离即为表示的点与表示2的点之间距离，据此解答即可 （3）根据题目所给的方法把几个式子表达为两点间的距离，进而即可求解； （4）①分析可得则当 位于所对应的点时Q到各点的距离和最小，由Q点移动规律可知此时共移动了个单位，用时秒； ②由Q点移动规律可知可经过所有整数点，所以动点能在运动过程中同时经过这5个点，且最后经过的点是所对应的点，此时Q点共走了个单位长度，因为每秒2个单位长度，所以共用时秒． 【详解】解：（1）若点与表示有理数的点的距离是个单位长度， 则， 即的值为：或， 故答案为：或； （2）表示数轴上点到所表示的点与所表示的点的距离和， ∵P点位于表示的点与表示2的点之间， ∴这个距离即为表示的点与表示2的点之间距离， 故答案为：7； （3）即A点与D点之间的距离为， 即B点与D点之间的距离为3， 则A点与B点之间的距离为， 表示A点与C点之间的距离为8， 故B点与C点之间的距离为， ∴． 故答案为：1； （4）①Q到这些点的距离和为 将数值从小到大排列， 则当 位于时距离和最小， Q沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，从原点先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度至， 共移动了个单位， 用时：秒； ②从原点出发，先向右移动1个单位长度，到达1所对应的点， 再向左移动2个单位长度，到达对应的点， 又向右移动3个单位长度，到达2对应的点， 再向左移动4个单位长度，到达对应的点， 再向右移动5个单位长度，到达3对应的点， 再向左移动6个单位长度，到达对应的点 依次类推，可经过所有整数点， 故动点能在运动过程中同时经过5个点； 设运动次数为n，由规律可知，运动次数为奇数时，到达正整数点， 且点所对应的数为， Q依次经过， 当经过所对应的点时， ， ， 故是第次运动运动到， 此时Q点共走了个单位长度， ∵每秒2个单位长度， ∴用时秒． 从出发到都经过这5个点的最短时间秒． 【题型22 乘方个位数字周期规律探究】 【例22】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）计算，，，，，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是______． 【答案】1 【分析】本题主要考查数字规律，通过计算的个位数字，发现其规律为以1、3、7、5每4个循环一次，根据2025除以4的余数，可确定的个位数字． 【详解】解：，，，，，… 可以发现：个位数字依次为1、3、7、5，每4个循环一次， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，为1． 故答案为：1． 【变式22-1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）若的个位数字是3，则a的值可能是（    ） A．13 B．24 C．35 D．37 【答案】D 【分析】本题主要考查了尾数特征问题，熟练掌握通过找规律的方法确定幂次的个位数字是解题的关键．先找出个位数字的规律，再根据结果的个位数字是3，确定结果的个位数字，最后据此找出可能的值． 【详解】解：的个位数字是4， 的个位数字是6（）， 的个位数字是4（）， 的个位数字是6（）， 可以发现当n为奇数时，个位数字是4；当n为偶数时，个位数字是6． ∴个位数字是6． 结果的个位数字是3， ∴结果的个位数字是7． ∵个位数字是3（的幂次个位数字以3、9、7、1循环，，余数为1时个位是3）， 个位数字是4（4的幂次个位数字以4、6循环，，余数为1时个位是4）， 个位数字是5（5的任何正整数次幂个位数字都是5）， 个位数字是7（7的幂次个位数字以7、9、3、1循环，，余数为1时个位是7）． 的值可能是37． 故选：D． 【变式22-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列各式：，…．根据你发现的规律回答：的结果的个位数字是_______． 【答案】3 【分析】此题主要考查尾数的特征，正确得出数字变化规律是解题关键． 根据前6个数的个位数字，寻找规律，利用周期性规律进行求解即可． 【详解】解：根据结果个位数的规律可知，个位数具有周期规律，周期为4， ∴， ∴的结果的个位数字是3． 【变式22-3】（24-25七年级上·湖北黄冈·期中）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是__________． 【答案】8 【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题．熟练掌握个位数字的变化规律，确定循环组及组数，是解题关键． 观察发现个位数字是以1、7、9、3为一个循环组，再根据即可得的个位数是7，计算即得个位数字． 【详解】∵，，，，，，… ∴每4个数为一个循环组， ∵， ∴的个位数是7， ∴， 故的个位数字为：8． 【题型23 含绝对值的混合运算求值】 【例23】（25-26七年级上·重庆万州·期中）已知，且，，则共有个不同的值，最大的值为，最小的值为，则的值为______． 【答案】8 【分析】本题考查了绝对值的化简、求代数式的值，运用分类讨论的思想是解题的关键． 由且可得，中有一个负数和两个正数，再分3种情况讨论，求出的不同的值，进而得到的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵且， ∴中有一个负数和两个正数， ①若， 则； ②若， 则； ③若， 则； ∴有3个不同的值，最大的值为4，最小的值为， ∴，，， ∴． 故答案为：8． 【变式23-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意分析出a、b、c为两个负数，一个正数，分三种情况进行讨论，求出m不同的值，看有多少个，最小的值是多少． 【详解】解：∵，， ∴a、b、c为两个负数，一个正数， ∵，，， ∴， 分三种情况讨论， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， ∴，，则． 故选：A． 【点睛】本题考查绝对值的化简和有理数的正负判断，解题的关键是根据绝对值的化简进行分类讨论． 【变式23-2】（24-25七年级上·重庆·期中）已知，且，则的值为（　　） A．2 B．4 C．或2 D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值，乘方，代数式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由可知，即，结合和，求出和的可能取值，再计算． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴或， ∵， ∴或， 当时，由得, 故， 当时，由得, 故， ∴， 或 ，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为或， 故选：D． 【变式23-3】（25-26七年级下·重庆北碚·期末）若有理数，同时满足，，则的值为________ 【答案】 【分析】根据，可知，进而消去b，得到，分情况讨论求出a的值，进而得到b的值，可知的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 当时，， 解得：； 当时，，无解； 综上所述，， ∴， ∴． 【题型24 新定义运算结合有理数计算】 【例24】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）小海说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．小华看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？请计算____（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）． 【答案】 【分析】本题考查新定义下的运算，绝对值，有理数的加法，掌握知识点是解题的关键． 根据给定的算式，分析“*”运算的法则：当两个数同号时，结果为它们的绝对值之和；当两个数异号时，结果为它们的绝对值之和的相反数；当有一个数为0时，结果为另一个数的绝对值（始终为非负）．先计算括号内的表达式，再计算外层的即可． 【详解】解：首先计算：由于有一个数为0，结果为另一个数的绝对值，即，∴． 然后计算：由于两数异号，结果为它们的绝对值之和的相反数，即． 故答案为：． 【变式24-1】（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能通过计算发现从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4是解题的关键．根据题意，依次求出第1，2，3，4，…，次“F”运算的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵， ∴第1次“F”运算的结果为3，第2次“F”运算的结果为10，第3次“F”运算的结果为5，第4次“F”运算的结果为16，第5次“F”运算的结果为1，第6次“F”运算的结果为4，第7次“F”运算的结果为1，……， 由此可知，从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4， ∵2025是奇数， ∴2025次“F”运算的结果为1． 故选：A． 【变式24-2】（25-26七年级上·北京·期中）对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．规定，（为正整数），例如，，．按此定义，则由__________，___________． 【答案】 16 58 【分析】根据题意分别求出F1（4）到F8（4），通过计算发现，F1（4）＝F8（4），只需确定即可求解． 【详解】F1（4）＝16，F2（4）＝F（16）＝12+62=37， F3（4）＝F（37）＝32+72=58，F4（4）＝F（58）＝52+82=89， F5（4）＝F（89）＝82+92=145，F6（4）＝F（145）＝12+52=26， F7（4）＝F（26）＝22+62=40，F8（4）＝F（40）＝42+0=16，… 通过计算发现，F1（4）＝F8（4）， ∵2019÷7＝288…3， ∴F2019（4）＝F3（4）＝58； 故答案为16，58． 【点睛】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键． 【变式24-3】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）课堂上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫☆运算．”老师根据规律，写出了几组按照☆运算法则进行运算的式子： 第一组：；； 第二组：；； 第三组：；；；． 小明说：我知道老师定义的☆运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳☆运算法则： (1)归纳☆运算法则，填写下列空白部分： ①同号两个数进行☆运算时，结果的符号为负，数值部分取绝对值相加； ②异号两个数进行☆运算时，____________； ③特别地，0和任何数进行☆运算，或是任何数和0进行☆运算都等于______； (2)填空：______；______； (3)若，求的值． 【答案】(1)结果的符号为正，数值部分取绝对值相加；该数的绝对值 (2)； (3)或1 【分析】（1）从题中分别观察同号运算，异号运算，以及与0进行运算时的结果，进行总结即可； （2）结合新定义的运算法则，求解即可； （3）分为负数、为正数和为0三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：归纳☆运算法则，填写下列空白部分： ①同号两个数进行☆运算时，结果的符号为负，数值部分取绝对值相加； ②异号两个数进行☆运算时，结果的符号为正，数值部分取绝对值相加； ③特别地，0和任何数进行☆运算，或是任何数和0进行☆运算都等于该数的绝对值． 故答案为：结果的符号为正，数值部分取绝对值相加；该数的绝对值； （2）； ． 故答案为：；； （3）若为负数，即， 则有， 解得； 若为正数，即， 则有， 解得； 若为0， 则有， 解得，不符合题意，舍去． 综上所述，的值为或1． 【点睛】本题主要考查了新定义运算、有理数运算、化简绝对值以及解一元一次方程等知识，理解新定义的运算是解题关键． 【题型25 运算规律探究与归纳推理】 【例25】（25-26七年级上·四川成都·期中）（1）正整数按图中的规律排列，数字2023在第a行，第b列，则______， （2）如图是一个三角形数阵，仔细观察排列规律，按照这个规律继续排列下去，在第c行第d列，则______． 【答案】 48 74 【分析】（1）找出规律：第一列的数为自然数的平方，而，则第行的第3列数为2023，从而完成解答． （2）由三角形数阵可得出，第n行的前面共有个分母，分别为连续的自然数，分子为连续奇数，且分母为偶数时为负数，由其特点求出第n行从左数第一个数，即可得出结果． 【详解】解：（1）观察图中知：每行的第一个数为该行行数的平方， 而，则第行的第3列数为2023； 即 故答案为：48； （2）由题意得：第n行的前面共有个分母，分别为连续的自然数，分子为连续奇数，且分母为偶数时为负数， ∴第n行从左数第1个数分母为：， 分子为：，且分母为偶数时为负， ∴第23行第1个数为：， ∴第23行第3个数是：． ∴， 故答案为：74． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，正确理解题意，找出数字之间的规律，利用规律解决问题．关键是找出每行第一个数的规律． 【变式25-1】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，用火柴棒按照一定规律摆出一组图形，照此规律摆下去，图比图多出的火柴棒根数是______．（保留幂的形式） 【答案】 【分析】本题主要考查了用代数式表示图形的规律，乘方的应用， 先分别表示出，根据变化特点得出，再求出差即可． 【详解】解：由图可知，； ； ； ； ， ； ， ∴． 故答案为：． 【变式25-2】（25-26七年级上·辽宁大连·期中）数学的迷人之处，在于数字背后蕴藏的奥秘．通过观察、归纳与验证，我们可以从最平常的数字中，探索出简洁而美妙的规律．例如，给定一列式子，并规定： （为正整数）． 例如：， 照此规律，解答下列问题： (1)______，______； (2)求与的积； (3)利用你发现的规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数混合运算，数字类规律探索，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据公式算出答案即可； （2）根据公式和（1）中的结果算出答案即可； （3）把（1）（2）的结果结合在一起发现，结果是5个数一个循环，进而得到答案即可； 【详解】（1）解：根据公式得：，， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， ． （3）解：根据题意，得， 可以发现，5个式子为一个周期，循环出现， ， ， 个完整周期， ． 【变式25-3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）阅读下列材料： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 第四个等式：…… 以上前三个等式相加可得： (1)根据规律写出第四个等式： ； (2)根据规律写出第n个等式： ； (3)根据规律计算： 【答案】(1) (2) (3)2660 【分析】本题主要考查了数字规律、列代数式、有理数的混合运算等知识点，发现规律是解题的关键． （1）类比前3个等式，写出第四个等式即可； （2）根据（1）归纳规律即可解答； （3）按（2）的规律变形原式，然后整理即可解答． 【详解】（1）解：第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：． 故答案为：． （2）解：由（1）可归纳第n个等式为． （3）解： ． 【题型26 有理数运算的实际应用】 【例26】（25-26七年级下·广东清远·期末）为确保首届“某市环城百公里自行车挑战赛”顺利举行，比赛分为精英组和大众组，其中精英组是竞赛类，追求完赛速度；大众组则重视比赛体验，均速相对较慢．比赛沿路设置补给点，严格交通管制并配备收容车，以保证每一辆车安全到达终点． 素材一： 收容车在起点等待比赛开始小时后发车，并以固定速度行驶，在比赛结束时行驶个小时，恰好抵达终点（赛程共）．选手被收容车追赶上时，收容车会强制接走落后选手． 收容车调度模型： （1）收容车行驶速度为 ．收容车行驶时间与行驶距离的关系式为 ； （2）某选手速度保持为时，收容车在距起点多远处接走他？ 素材二：组委会监测到精英组第一集团的速度变化如下图：    精英组冲奖分析： （1）估算骑行所需时间（提示：分段计算时间并求和） （2）若最后保持匀速冲刺，冲刺速度为多少时，选手刚好能和小时分的赛会纪录持平． 【答案】收容车调度模型：（1），；（2）； 精英组冲奖分析：（1）；（2）． 【分析】收容车调度模型： （1）由题中条件，结合路程、速度和时间关系列式计算，并确定关系式即可； （2）由追及问题中追上时两者所行路程相等列方程求解出时间，从而得到答案； 精英组冲奖分析： （1）分段计算时间后求和即可； （2）先求出最后所用时间，再由速度与路程和时间的关系计算即可． 【详解】解：收容车调度模型： （1）收容车以固定速度行驶，在比赛结束时行驶个小时，恰好抵达终点（赛程共）， 收容车行驶速度为； 则收容车行驶时间与行驶距离的关系式为； （2）设收容车行驶追上该选手， 则，解得， 收容车行驶的路程为， 即收容车在距起点处接走他； 精英组冲奖分析： （1）由图可知，骑行所需时间，分三段计算时间求和为：； （2）由图可知，前三个阶段用时为， 则由题目要求，用时与小时分的赛会纪录持平时，最后所用时间为， 最后保持匀速冲刺的速度为． 【变式26-1】（25-26八年级下·广西南宁·期末）根据以下素材完成“问题解决”中的三个任务． 素材1 2026年6月1日，国家市场监督管理总局新版《网络餐饮服务经营者落实食品安全主体责任监督管理规定》正式实施，新规明确鼓励骑手举报商家后厨脏乱、过期食材、无证经营等违法行为，举报查实给予现金及积分奖励． 素材2 某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案（送单数均为整数）： 方案一：每月无底薪，当月接单不超过300单，每完成一单外卖业务提成6元，每月超过300单，超过的部分每完成一单外卖业务提成7元． 方案二：每月底薪3200元，当月接单不超过700单，每完成一单外卖业务提成4.5元，每月超过700单，超过的部分每完成一单外卖业务提成5元． 素材3 该外卖平台为了激励骑手，提供了多维度奖励方法： 出勤奖：连续7天每天出勤满60单，奖励380元，每月上限4周． 服务奖：完成率、准时率达标奖励0.6元/单． 举报奖：举报违法行为查实后奖励200元，每月上限奖励800元． 问题解决： (1)某外卖小哥计划每月送餐900单，他按哪种方式入职收入更高？ (2)根据素材2，若两种入职方案收入相同，每月需送餐多少单？ (3)某外卖小哥希望月收入超过两万元，他每月至少要送多少单？ 【答案】(1)方案二入职收入更高 (2)1575单 (3)2366单 【分析】（1）根据题意计算，再对比大小即可； （2）设每月送x单，x为正整数，分三种情况，列方程即可解答； （3）设每月送m单，m为正整数，列一元一次不等式即可解答． 【详解】（1）解：方案一收入：（元）； 方案二收入：（元）， ， ∴方案二入职收入更高； （2）解：设每月送x单，x为正整数， 分三种情况讨论， 当时， 方案一收入为元， 方案二收入为元， 令，解得（舍去）； 当时， 方案一收入为元， 方案二收入为元， 令，解得（舍去）； 当时， 方案一收入为元， 方案二收入为元， 令，解得（符合要求）， 答：两种方案收入相同时，每月需送1575单； （3）解：设每月送m单，m为正整数， 拿满奖励后，总奖励为元， 送单量较大时，方案一每单提成更高，总收入更高，因此选择方案一，方案一的送单收入为元， 总收入为元， 令， 解得， 因为m为整数，所以m的最小值为2366, 答：每月至少要送2366单． 【变式26-2】（25-26六年级下·上海·期末）制作一张成品帆布帐篷，做成后帐篷的布料面积是平方米．已知这种帆布在生产过程中需要进行清洗、染色、定型，在上述过程中布料会缩水，又由于剪裁时会有边角料产生，工厂准备的原始布料面积比实际需要的布料面积多，问：批量生产张这样的帐篷，至少需要准备多少平方米的原始帆布？ 【答案】平方米 【分析】先求出单张帐篷所需缩水前的布料面积，再计算包含边角料的单张原始布料面积，最后乘以总张数得到总面积． 【详解】解：根据题意可知，一张成品帆布帐篷，缩水前需要的布料面积为平方米， 则原始布料的面积为平方米， 故批量生产张这样的帐篷，需要原始帆布平方米． 【变式26-3】（25-26七年级下·重庆·期中）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如表： 户月用水量 收费标准（元） 不超过 3 超过但不超过的部分 4 超过的部分 6 (1)小明家3月份用水量为，应缴纳水费______元；若小明家4月份缴纳水费100元，则用水量为______． (2)小红家6月份和7月份的用水量共，且7月份用水量比6月份多，这两个月共缴纳水费177元，则小红家6月份和7月份的用水量分别为多少？ 【答案】(1)68，30 (2)小红家6月份的用水量为 ，7月份的用水量为 【分析】（1）根据所给的收费标准列式求解即可；根据所给的收费标准设小明家4月份的用水量为， 列方程求解即可； （2）设小红家6月份的用水量为，则7月份用水量为，然后，分三种情况：，，和，分别建立方程求解讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意，得(元)； ∵(元)，， ∴设小明家4月份的用水量为， ∴，解得． ∴小明家4月份的用水量为； （2）解：设小红家6月份的用水量为，则7月份的用水量为， 根据题意，得，解得， ①当时，， 解得，符合题意； ②当时，，解得，不符合题意，舍去； ③当时，，此时，方程不成立，不符合题意，舍去． 综上，当时，，即小红家6月份的用水量为，7月份的用水量为． 【题型27 程序流程图与有理数计算】 【例27】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知：如图，这是一种数值转换机的运算程序． (1)若第次输入的数为，则第次输出的数为，那么第次输出的数为__________． (2)若第次输入的数为，求第次输出的数及第次输出的数． (3)是否存在输入的数，使第次输出的数是？若存在，请直接写出所有的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)第次输出结果为，第次输出结果为 (3)存在，，， 【分析】本题考查了有理数的运算、规律探究、解一元一次方程；根据题意列出所有情况的代数式，分别分别代入计算是解题的关键． （1）根据数值转换机的运算程序进行计算即可； （2）分别求出次输入和输出的值，找出规律，根据循环规律计算输出结果即可； （3）设输入的值为，根据运算程序分别求出所有情况，分别进行判断即可求解． 【详解】（1）解：若第次输入的数为，则第次输出的数为， 则第次输入的数为，输出的数为． 故答案为：． （2）解：若第次输入的数为，输出的数为， 若第次输入的数为，输出的数为， 若第次输入的数为，输出的数为， 若第次输入的数为，输出的数为， 若第次输入的数为，输出的数为， ······ 即从第一次输出开始，，循环， ， ∴第次输出的数为． （3）解：如图： 若第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为偶数、偶数、偶数、偶数时， 即，解得：； 则时，第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为：0、0、0、0；符合题意； 若第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为偶数、偶数、偶数、奇数时， 即，解得：；不符合题意； 若第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为偶数、偶数、奇数、偶数时， 即，解得：；不符合题意； 若第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为偶数、偶数、奇数、奇数时， 即，解得：； 则时，第一次、第二次、第三次输入的值分别为：、、； 第三次输入的值不是奇数，不符合题意； 若第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为偶数、奇数、偶数、偶数时， 即，解得：；不符合题意； 若第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为偶数、奇数、偶数、奇数时， 即，解得：； 则时，第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为：、、、；符合题意； 若第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为偶数、奇数、奇数、偶数时， 即，解得：； 则时，第一次、第二次输入的值分别为：、； 第二次输入的值不是奇数，不符合题意； 若第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为偶数、奇数、奇数、奇数时， 即，解得：； 则时，第一次、第二次输入的值分别为：、、； 第三次输入的值不是奇数，不符合题意； 若第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为奇数、偶数、偶数、偶数时， 即，解得：； 则时，第一次、第二次、第三次输入的值分别为：、、； 第三次输入的值不是偶数；不符合题意； 若第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为奇数、偶数、偶数、奇数时， 即，解得：； 则时，第一次、第二次、第三次输入的值分别为：、、； 第三次输入的值不是偶数；不符合题意； 若第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为奇数、偶数、奇数、偶数时， 即，解得：； 则时，第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为：、、、；符合题意； 若第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为奇数、偶数、奇数、奇数时， 即，解得：； 则时，第一次、第二次、第三次输入的值分别为：、、、； 第四次输入的值不是奇数；不符合题意； 若第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为奇数、奇数、偶数、偶数时， 即，解得：； 则时，第一次输入的值为：；第一次输入的值不是奇数；不符合题意； 若第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为奇数、奇数、偶数、奇数时， 即，解得：； 则时，第一次输入的值为：；第一次输入的值不是奇数；不符合题意； 若第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为奇数、奇数、奇数、偶数时， 即，解得：； 则时，第一次、第二次输入的值分别为：、；第二次输入的值不是奇数；不符合题意； 若第一次、第二次、第三次、第四次输入的值分别为奇数、奇数、奇数、奇数时， 即，无解． 综上，存在输入的数，使第次输出的数是；符合题意的值为：、、． 【变式27-1】（25-26七年级下·广东河源·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是________． 【答案】 【分析】根据运算程序依次计算前几次的输出结果，观察数据特征，找出循环规律，利用周期性求解即可． 【详解】解：输入，是偶数， 第次输出． 输入，是奇数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 输入，是奇数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 输入，是奇数， 第次输出． 输入，是偶数， 第次输出． 依次类推，从第次输出开始，结果分别以、、、、、循环． ， 第次输出的结果是． 【变式27-2】（25-26六年级下·山东威海·期末）小港在学习综合与实践《设计自己的运算程序》时，设计了一个如下运算程序：任意写出一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程若以开始，按照此程序运算次后得到的数是______． 【答案】 【分析】按照运算规则逐次计算前几步的结果，观察运算结果的规律，判断是否会出现固定的循环或者固定值．确定循环规律或者固定值后，根据运算次数与循环周期稳定出现的位置的关系，推导第次运算的结果． 【详解】第次运算：数字，，最大数，最小数，； 第次运算：数字，，，最大数，最小数，； 第次运算：数字，，，最大数，最小数，； 第次运算：数字，，，最大数，最小数，； 再次对重复运算，仍得到， 即从第次开始，运算结果恒为． ， 第次运算后得到的数是． 【变式27-3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机， (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为________    (2)如图，同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的________    (3)同学也设置了一个计算装置示意图，、是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由，分别输入自然数和，经过计算后的自然数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：    ①若、分别输入1，则输出结果1，记； ②若输入1，输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记； 问：当输入自然数7，输入自然数6时，的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的混合运算，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据程序的运算法则计算解题即可； （2）根据题意，分两种情况列方程解应用题即可； （3）根据题目中给的三个性质依次运算解题即可． 【详解】（1）解：输入的值为，输出结果为：， 故答案为：； （2）当时，，解得； 当时，，解得，不符合题意，舍去； 故答案为：； （3）当输入自然数，输入自然数，则， 根据性质③： ， 根据性质②： ， 根据性质①；， 综上，的值为． 【题型28 算“24”点】 【例28】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为或，其中红色扑克代表负数，黑色扑克代表正数，，，分别代表，，如果抽到的是下列四张扑克（一张黑，一张红，一张黑，一张黑），那么凑成所列的算式是______． 【答案】（本题答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算．解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式． 根据题意，抽到的四个数为：，，，，然后写出一个结果为的算式即可． 【详解】解：由题意可得， 抽到的四个数为：，，，， ， 凑成所列的算式是， 故答案为：本题答案不唯一． 【变式28-1】（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： 1 2 (1)若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，则运算结果的最小值是______； (2)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法写出两个不同的运算式，使四个数字的计算结果为24或． 【答案】(1) (2)和（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及24点，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先化简卡片上的数，再选择异号两数相乘，且绝对值较大的两数即可． （2）从化简后的数中选取4张，通过四则运算（含括号）组合，构造结果为24或的运算式． 【详解】（1）解：，，，，， 因为上面5个数都是整数， 所以要从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，运算结果的最小，则应当选择异号两数相乘，且绝对值较大的两数即可，与， 运算结果的最小值是， 故答案为：； （2）解： ， 故算式可以为：和（答案不唯一）． 【变式28-2】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深受青少年朋友的喜爱．这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1．从扑克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次），算得“24”即可． 【问题情境】 假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：． 根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式 ． 【思考探究】 （1）用两张牌算“24”：①；②；③；④用三张牌算“24”：可以将其中两张牌整合，转化为（1）中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为，转化为（1）中的①．问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为（1）中的③，即列式为 ． （2）用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一三分组，列式为，转化为（1）中的①；请你用8、9、12、13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24． （3）用五张牌算“24”：请你考虑这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，…五个9），会有哪些情况可以算出“24”． 【答案】问题情境：；思考探究：（1）；（2）；（3）5个数字2，5个数字3，5个数字4，5个数字5，5个数字6和5个数字8可以算出24点． 【详解】解：问题情境：， 故答案为：； 思考探究：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）5个1不能算出24点； ，则5个2可以算出24点； ，则5个3可以算出24点； ，则5个4可以算出24点； ，则5个5可以算出24点； ，则5个6 可以算出24点； 5个7不可以算出24点， ，则5个8可以算出24点； 5个9不可以算出24点； 综上所述，5个数字2，5个数字3，5个数字4，5个数字5，5个数字6和5个数字8可以算出24点． 【变式28-3】（25-26七年级上·湖北鄂州·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $