第2章第5讲有理数的乘方及混合运算（2.5～2.7）专题讲义2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第2章 有理数的运算　第5讲 有理数的乘方及混合运算(2.5~2.7) 第2章 有理数的运算 第5讲 有理数的乘方及混合运算(2.5~2.7) 专题讲义 (一)乘方的意义与应用 例题精析 例 1 某公司培养绿藻细胞制作绿藻粉,该公司制作1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞。 (1)在光照充沛的环境下,1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞,且分裂后的细胞继续分裂。现从1个绿藻细胞开始培养,经过15天后,共分裂成个绿藻细胞,求k的值。 (2)已知,请判断(1)问中的个绿藻细胞是否足够制作10克的绿藻粉,并说明理由。 ▍思路点拨 (1)15天=360小时=18×20小时,可求出k值亿亿,又,即可判断个绿藻细胞是否足够制作10克的绿藻粉。 ▍过程详解 解:(1)15天=360小时,因为360÷20=18,根据题意得,所以k=18。 (2)(1)中的个绿藻细胞足够制作10克的绿藻粉。理由如下:因为每1克的绿藻粉需要60亿个绿藻细胞亿,所以制作10克的绿藻粉需要60×10=600亿个绿藻细胞,因为亿,而。因为600亿,所以个绿藻细胞足够制作10克的绿藻粉。 ▍总结升华 读懂题意,发现每分裂一次,变为原来的4倍,即可用乘方表示。 变式 1 你喜欢吃拉面吗?拉面馆的师傅用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸,再捏合,再拉伸,反复几次,就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条,如图所示。请问这样捏合到第8次后,可拉出细面条的根数是（　　） A. 64根 B. 128根 C. 256根 D. 512根 (二)利用乘方的意义巧妙运算 例题精析 例 2 计算: ; 。 ▍思路点拨 根据乘方的意义将一个数写成几个底数相同的幂的形式,再利用乘法交换律、结合律及分配律解决问题。 ▍过程详解 解:(1)原式。 (2)原式。 ▍总结升华 根据乘方的意义把乘方拆分成乘法,再利用乘法交换律、结合律及分配律解决问题。 变式 2 计算: ; 。 (三)不同进制的数之间的转化 例题精析 例 3 生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数,满十进一,例;计算机常用二进制来表示字符代码,它是用0和1两个数来表示数,满二进一,例:二进制数10000转化为十进制数;其他进制也有类似的算法…… (1)【发现】根据以上信息,将二进制数“101110”转化为十进制数是＿＿＿。 (2)【迁移】将八进制数“72”转化为十进制数。 (3)【应用】在我国远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳计数”,如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数,在从右向左依次排列的不同绳子上打结,满五进一,根据图示,求孩子已经出生的天数。 ▍思路点拨 “满五进一”,类似于五进制数,将八进制数与五进制数转换为十进制数可仿照二进制数转化为十进制数的计算方法进行计算。 ▍过程详解 解:(1)101110转化为十进制数是。故答案为46。 。 (3)由于满五进一,类似于五进制数,图表示的五进制数为132,转化为十进制数为,所以,孩子已经出生了42天。 ▍总结升华 将不同进制数转化为十进制数,首先理解十进制的含义,明确十进制与不同进制之间的转化方法。 变式 3 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表: 例如:十进制中的26=16+10,可用十六进制表示为1A;在十六进制中,E+D=1B等。由上可知: (1)在十六进制中,3×F=＿＿＿;A×B=＿＿＿。 (2)十六进制中的AF转化为十进制是10×16+15=175,将十六进制中的1AF转化为十进制(列式并计算)。 (四)科学记数法 例题精析 例 4 太阳是炽热巨大的气体星球,正以每秒400万吨的速度失去重量。太阳的直径约为140万千米,而地球的半径约为6378千米。请将上述三个数据用科学记数法表示,然后计算: (1)在一年内(按365天算)太阳要失去多少万吨重量? (2)在太阳的直径上大约能摆放多少个地球? ▍思路点拨 用科学记数法表示成,关键是确定a和n的值。大数据运算后,最后计算结果用科学记数法表示。 ▍过程详解 解:400万吨万吨,140万千米千米千米。 (1)一年内太阳失去(万吨)。答:在一年内太阳要失去万吨重量。 (个)。答:在太阳的直径上大约能摆放110个地球。 ▍总结升华 科学记数法的实际应用。 变式 4 计算=＿＿＿(结果用科学记数法表示)。 (五)有理数混合运算 例题精析 例 5 计算: ; (2)(-81)÷(+2.25)×()÷16。 ▍思路点拨 (1)按照有理数混合运算的顺序进行计算即可求得;(2)对于乘除混合运算要先确定符号,再把除法变为乘法进行计算即可求得。 ▍过程详解 解:(1)原式。 (2)原式。 ▍总结升华 有理数混合运算法则:先算乘方,再算乘除,最后算加减。如有括号,先进行括号里的运算。 变式 5 ; 。 (六)有理数混合运算解决实际问题 例题精析 例 6 (阶梯收费问题)居民生活中使用天然气实行阶梯式计价,用户每月用气量在及以内的为第一级气量基数,按一级用气价格收取;超过且不超过的部分为第二级气量基数,按一级用气价格的1.5倍收取;超过的部分为第三级气量基数,按一级用气价格的1.8倍收取。为节约用气量,小明记录了1~7月份他家每月1号的气表读数。 (1)小明家1月份的用气量为＿＿＿~6月平均每月用气量为＿＿＿。 (2)已知小明家2月份的气费为36元,他家6月份需交气费多少元? (3)7月份放暑假后,小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活,用气量明显增加,比6月份多,问小明家7月份需交纳气费多少元? ▍思路点拨 根据实际天然气的收费要求,用当月气表读数减去上月气表读数即为该月用气量。 ▍过程详解 解:(1)1月份用气量为450-433=17();1~6月份平均每月用气量为(535-433)÷6=17()。故答案为17;17。 (2)因为小明家2月份的气费为36元,2月份的用气量为468-450=18(),18<20,所以一级用气价格为36÷18=2(元)。因为6月份用气量为535-514=21(),超过且不超过,所以6月份小明家需交气费为20×2+(21-20)×2×1.5=43(元)。 (3)因为7月份的用气量比6月份的多,所以7月份的用气量为21+12=33()。因为气量超过且不超过的部分按一级用气价格的1.5倍收取,超过部分按一级用气价格的1.8倍收费,所以7月份小明家需交气费为20×2+(30-20)×2×1.5+(33-30)×2×1.8=80.8(元)。 ▍总结升华 解决分部收费问题,关键是明确题意,求出每一部分的收费标准。 变式 6 为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,我市采用价格调控的手段达到节水的目的,我市自来水收费的价目表如下表: 注:水费按月结算。 若某户居民1月份用水,则应交水费:2×6+4×(8-6)=20(元)。 (1)若该户居民2月份交水费16元,计算该户居民2月份的用水量。 (2)若该户居民3月份用水,则应交水费多少元? 例 7 (分段打折问题)某超市对顾客实行优惠购物,规定如下: (1)若一次性购物不超过100元,则不予优惠; (2)若一次性购物超过100元,但不超过300元,按标价给予九折优惠; (3)若一次性购物超过300元,其中300元以下部分(包括300元)给予九折优惠;超过300元部分给予八折优惠。 小李两次去该超市购物,分别付款99元和252元。现在小张决定一次性购买小李分两次购买的物品,他需付款多少元? ▍思路点拨 根据打折方案分析打折情况,由于第一次付99元不确定是否打折了,所以要分类讨论。 ▍过程详解 解:因为小李两次去该超市购物,分别付款99元和252元。所以有两种情况:①第一次付款99元没有享受优惠,即没有打折,第二次享受优惠,所以第二次实际购物的款数为(元),所以小李两次去该超市购物实际购物的款数为99+280=379(元),所以现在小张决定一次性购买小李分两次购买的物品,他需付款300×0.9+79×0.8=333.2(元);②第一次付款99元享受了优惠,即打九折,那么第一次实际购物的款数为99÷0.9=110(元),第二次享受优惠,所以第二次实际购物的款数为(元),所以小李两次去该超市购物实际购物的款数为110+280=390(元),所以现在小张决定一次性购买小李分两次购买的物品,他需付款300×0.9+90×0.8=342(元)。答:现在小张决定一次性购买小李分两次购买的物品,他需付款333.2元或342元。 ▍总结升华 有理数混合运算解决实际问题中,应先理清题意,列式计算,当情况不确定时应注意分类讨论。 变式 7 大商超市对顾客实行优惠购物,优惠规定如下:①如果一次性购物在500元以内,按标价给予九折优惠;②如果一次性购物超过500元,其中500元部分给予九折优惠,超过500元部分给予八折优惠。 (1)李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机,他应付多少元钱? (2)王阿姨先后两次去该超市购物,分别付款198元和554元,如果王阿姨一次性购买,只需要付款多少元?能节省多少元? (七)近似数与精确度 例题精析 例 8 (1)近似数12.8万精确到＿＿＿位。 (2)把35.89543精确到百分位所得到的近似数为＿＿＿。 (3)若近似数12.3是由准确数a四舍五入得到的,你能求出a的取值范围吗?试着写出来。 ▍思路点拨 按要求取近似值,四舍五入到哪一位就精确到哪一位;近似数是由准确数四舍五入得到,只要考虑准确数的最小值与最大值。 ▍过程详解 解:(1)千 (2)35.90 (3)12.25≤a<12.35。 ▍总结升华 用四舍五入法解决近似数和精确度问题,由近似数写原数的范围应注意比近似数多一位,并且最后一位数为5,同时注意等号取在较小数处。 变式 8 某人的体重约为56.4kg,这个数是个近似数,那么这个人的体重x(kg)的取值范围是（　　） A. 56.39<x≤56.44 B. 56.35≤x<56.45 C. 56.41≤x<56.50 D. 56.44≤x<56.59 链接好题 当n=5时,则当n=-5时=（　　） A. 4a B. 6a C. 17a D. -6a 参考答案与方法指导 变式训练 1. C 2. (1)原式。 (2)原式。 3. (1)3×F=3×15=45=2×16+13=2D,A×B=10×11=110=6×16+14=6E。故答案为2D,6E。 。 4. 5. (1)原式=-25-[-4+(1-0.2×0.2)÷(-2)]=-25-[-4+(1-0.04)÷(-2)]=-25-[-4+0.96÷(-2)]=-25-[-4+(-0.48)]=-25-(-4.48)=-25+4.48=-20.52。 (2)原式。 6. (1)因为2×6=12(元),2×6+4×(10-6)=28(元),12<16<28,所以该户居民2月份用水量超出,不超出。因为(16-12)÷4=1(),所以超出的用水量是,所以该户居民2月份的用水量为6+1=7()。 (2)水费:2×6+4×(10-6)+8×(12.5-10)=12+16+20=48(元)。答:应交水费48元。 7. (1)因为780>500,所以李叔叔应付:500×0.9+(780-500)×0.8=450+224=674(元)。 (2)王阿姨第一次去该超市购物付款198元,所以第一次物品标价为198÷0.9=220(元),第二次去该超市购物付款554元,554-500×0.9=104(元),所以第二次物品标价为500+104÷0.8=500+130=630(元),两次购物总价为220+630=850(元),所以王阿姨应付:500×0.9+(850-500)×0.8=450+280=730(元),198+554-730=22(元),答:如果王阿姨一次性购买,只需要付款730元,能节省22元。 8. B 链接好题 A 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $