第2章专题4《有理数的乘方及其应用》讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

专题4　有理数的乘方及其应用 　考点加油站　 (1)求 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在 中， 叫做底数， 叫做指数. (2)当底数为负数时:指数为奇数，则幂为负;指数为偶数，则幂为正.特别地: 的任何次幂都是 ; 的奇数次幂是 ，偶数次幂是 .注意:负数及分数的乘方，应把底数加上括号. (3)一个绝对值大于 的数，可以表示为 的形式，其中 是正整数，.这种表示方法称为科学记数法. 　典例展示厅　 类型一　乘方的概念与计算 例1　(1)计算: ① 与 ; ② 与 ; ③ 与 ; (2)根据以上计算结果猜想:， 分别等于什么?(直接写出结果) (3)猜想与验证:当 为正整数时， 等于什么?请你利用乘方的意义说明理由. (4)利用上述结论，求 的值. 点拨　(1)根据积的乘方的计算法则进行计算即可;(2)根据(1)的计算结果，类推得出答案;(3)利用乘方的意义进行计算即可;(4)应用上述结论，将原式化为 即可. 变式1　(1)计算:① 与 ;② 与 ;③ 与 . (2)猜想: ＿＿＿，请你利用乘方的意义说明理由. (3)如果 ，，运用以上的结论，计算: ＿＿＿. 归纳总结　有理数混合运算的顺序 有理数混合运算的顺序:(1)先乘方，再乘除，最后加减;(2)同级运算，从左到右进行;(3)如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 类型二　与乘方相关的规律探究问题 例2　在数学兴趣小组活动中，小明为了求 的值，在边长为 的正方形中，设计了如图所示的几何图形，则 的值为 ＿＿＿(结果用 表示). 点拨　根据题图可知各图形的面积依次为 ，，，.根据组合图形的面积计算可得. 变式2　(潍坊中考) 年，康托尔构造的这个分形，叫做康托尔集.从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段;然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段.无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集.如图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为 ＿＿＿. 归纳总结 规律探究类问题，需要仔细观察图形规律，得出算式规律从而求解. 类型三　科学记数法 例3　光的速度为 千米/秒，太阳光照射到某个星球上大约需要 秒，则该星球距离太阳 ＿＿＿ 米(用科学记数法表示). 点拨　首先计算出太阳光经过的路程，转化单位后再化为科学记数法表示. 变式3　我国共有 个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录、名册，总数居世界第一，据中国茶业流通协会提供的数据，我国茶叶市场每年有 元的国内生产总值，数据 可以表示为（　） A． 亿　　　　B． 亿　　　　C． 亿　　　　D． 亿 归纳总结　科学记数法 科学记数法问题需要注意算对 的幂次及换算成需要的单位. 　强基直通车　 例4　阅读新知 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示 . 即:在数列 ( 为正整数)中，若 ，，，则数列 ( 为正整数)叫做等比数列.其中 叫数列的首项， 叫第二项，， 叫第 项， 叫做数列的公比. 例如:数列 是等比数列，公比 . 计算:求等比数列 的和. 解:令 ，则 . 因此 .所以 .即 . 学以致用 (1)下列数列属于等比数列的是（　） A．　　　　B． C．　　　　D． (2)已知数列 是公比为 的等比数列，若它的首项 ，则它的第 项 等于 ＿＿＿. (3)求等比数列 的前 项的和. 点拨　(1)根据等比数列的定义进行判断;(2)由等比数列的定义递推得到表达式;(3)仿照题干中给出的方法，两边乘公比后和原式相减. 归纳总结　新定义问题 在遇到新定义问题时，我们要抓住新定义问题的本质进行理解，转化为已知的知识去运用. 　学霸训练营　 ▍中考冲刺（针对中考压轴） 1　★★★　计算 的结果为（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2　★★★　计算 的结果等于（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 3　★★　观察下列各式: ① ;② ;③ ; ④ ;. 请你根据观察得到的规律判断下列选项正确的是（　） A． B． C． D． 4　★★★　地球上所有大洲的总面积约为 km，用科学记数法表示为 ＿＿＿ m. 5　★★★　根据如图所示的程序计算，若输入 的值为 ，则输出 的值为 ＿＿＿;若输入 的值为 ，则输出 的值为 ＿＿＿. 6　★★　三个数 ，， 中，最小的一个是 ＿＿＿.(填字母) 7　★★　求证: 是 的倍数. ▍竞赛集训（针对强基自招） 8　★★★　观察下列等式: 第一个等式:; 第二个等式:; 第三个等式:; 第四个等式:; 按上述规律，回答下列问题: (1)请写出第六个等式: ＿＿＿ ＿＿＿. (2)用含 的代数式表示第 个等式: ＿＿＿ ＿＿＿. (3) ＿＿＿(得出最简结果). (4)计算:. 9　★★★　下面是按照一定规律排列的一列数: 第 个数:; 第 个数:; 第 个数:; 依此规律，在第 个数、第 个数、第 个数、第 个数中，最大的数是（　） A．第 个数　　　　B．第 个数 C．第 个数　　　　D．第 个数 10　★★★　[概念呈现]规定:求若干个相同的有理数(均不等于 )的除法运算叫做除方，如 ， 等.类比有理数的乘方，我们把 记作 ，读作“ 的圈 次方”， 记作 ，读作“ 的圈 次方”，一般地，把 ()记作 ，读作“ 的圈 次方”. (1)[初步探究]直接写出计算结果: ＿＿＿; ＿＿＿. (2)关于除方，下列说法错误的是（　） A．任何非零数的圈 次方都等于 B．对于任何正整数 ， C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 (3)[深入思考]我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? 除方 乘方幂的形式 ①试一试:仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式， ＿＿＿; ＿＿＿. ②想一想:将一个非零有理数 的圈 次方写成幂的形式， ＿＿＿. ③算一算:. 　参考答案与详解　 典例展示厅 例1　(1)①，.②，.③，. 例1　(2)，. 例1　(3)，理由如下:. 例1　(4)原式 . 变式1　(1)①，;②，;③，. 变式1　(2)　理由如下:. 变式1　(3)　解析:. 例2　　解析:. 变式2　　解析:根据题意，可知第一阶段余下了 .第二阶段余下了 .以此类推，第八个阶段余下了 . 例3　　解析:(千米)(米). 变式3　C　解析: 亿，故选 C. 强基直通车 例4　(1)C　解析: 的后一项与前一项的比不一样，不符合定义，故 A 错误; 的后一项与前一项的比不一样，不符合定义，故 B 错误; 的后一项是前一项的 ，符合等比数列的定义，故 C 正确; 的后一项与前一项的比不一样，不符合定义，故 D 错误.故选 C. 例4　(2)　解析:，，，，，，，，. 例4　(3)等比数列 的第 项是 .令 ，则 .因此 ..即 . 学霸训练营 1　A　解析:，故选 A. 2　A　解析:. 3　C　解析: 共 (个)数，且 在这列数的正中间，. 4　　解析: km m，用科学记数法表示为 m. 5　　　解析:输入 的值为 ，输出 的值为 ;若输入 的值为 ，，，， 输入 的值为 ，输出 的值为 . 6　c　解析:，，，. 7　 的个位数字按照 循环， 的个位数字按照 循环， 是偶数，而且 ，故 的个位数字是 的和的个位数字，也就是 ，故能被 整除，即 是 的倍数. 8　(1)　 8　(2)　 8　(3)　解析:原式 . 8　(4)原式 . 9　A　解析:通过计算可以发现，第一个数为 ，第二个数为 ，第三个数为 ，，第 个数为 ，由此求第 个数、第 个数、第 个数、第 个数分别为 ，，，，通过比较得出最大的数是第 个，故选 A. 10　(1)　　解析:;. 10　(2)C　解析:;;.故答案为 C. 10　(3)①　　解析:;. 10　(3)② 10　(3)③原式 . 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $