第2章第3讲有理数的加减（2.1～2.2）专题讲义2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第2章 有理数的运算　第3讲 有理数的加减(2.1~2.2) 第2章 有理数的运算 第3讲 有理数的加减(2.1~2.2) 专题讲义 (一)有理数的加减法运算 例题精析 例 1 用简便方法计算： (1)(-2.4)+(-3.7)+(-4.6)+3.7； ； (3)-1+2-3+4-5+6-⋯-2023+2024-2025。 ▍思路点拨 (1)用加法交换律和结合律，能凑整的先相加，计算即可得到结果； (2)利用减法法则变形为加法，利用同分母先相加，即可得到结果； (3)观察式子的规律，发现两两结合的和都为1，运用有理数加法运算法则及加法运算律，进行计算即可。 ▍过程详解 解： (1)(-2.4)+(-3.7)+(-4.6)+3.7=(-2.4-4.6)+(-3.7+3.7)=-7+0=-7。 (2)原式。 (3)-1+2-3+4-5+6-⋯-2023+2024-2025=(-1+2)+(-3+4)+(-5+6)+⋯+(-2023+2024)-2025=1×1012-2025=-1013。 ▍总结升华 认真观察式子的规律，合理利用简便运算技巧： ①互为相反数的先加(抵消)； ②同号先相加； ③同分母先加； ④能凑整的先加。 变式 1 (1)-7.2-0.8-5.6+11.6； (2)0.125+()+()+()+(-0.25)； (3)1+(-2)+3+(-4)+⋯+99+(-100)。 例 2 阅读下题中的计算方法，解决问题。 。 解：原式。 上面这种方法叫拆项法。 仿照上面的拆项法可将6.25拆为＿＿＿，-2.236拆为＿＿＿。 (2)类比上述计算方法计算： 。 ▍思路点拨 (1)利用题干中的计算方法分析求解即可； (2)将原式变形为[-2024+()]+[-2025+()]+()+[-1+()]，再利用有理数的加法结合律计算即可。 ▍过程详解 解： (1)6+0.25　　-2+(-0.236) 。 ▍总结升华 拆项法就是把每一项拆成两项，再根据有理数的加减法法则和加法运算律来解决较复杂的带分数加减混合运算问题。 变式 2 阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式=[-3+()]+[-1+()]+()+()=[(-3)+(-1)+2+2]+＿＿＿=0+＿＿＿=＿＿＿。 上面这种方法叫拆项法。 (1)请补全以上计算过程。 (2)类比上面的方法计算：。 (二)与绝对值有关的问题 例题精析 例 3 已知|a-1|=3，|b|=5，且|a-b|=|a|+|b|，求a+b=＿＿＿。 ▍思路点拨 方法一：根据绝对值的性质先求出a=4或-2，b=±5，进而分①a=4，b=5； ②a=4，b=-5； ③a=-2，b=5； ④a=-2，b=-5；四种情况分别代入|a-b|=|a|+|b|进行验证，对满足条件的a，b的值，再求和即可；方法二：由|a-b|=|a|+|b|，判断出a与b异号，进而分①a=-2，b=5； ②a=4，b=-5；两种情况分别代入计算a+b的值即可。 ▍过程详解 解：因为|a-1|=3，所以a-1=±3，解得a=4或a=-2，因为|b|=5，所以b=±5，方法一： ①当a=4，b=5时，|a-b|=|4-5|=1，|a|+|b|=|4|+|5|=9，不满足|a-b|=|a|+|b|，舍去； ②当a=4，b=-5时，|a-b|=|4-(-5)|=9，|a|+|b|=|4|+|-5|=9，满足|a-b|=|a|+|b|，则a+b=4+(-5)=-1； ③当a=-2，b=5时，|a-b|=|-2-5|=7，|a|+|b|=|-2|+|5|=7，满足|a-b|=|a|+|b|，则a+b=-2+5=3； ④当a=-2，b=-5时，|a-b|=|-2-(-5)|=3，|a|+|b|=|-2|+|-5|=7，不满足|a-b|=|a|+|b|，舍去；综上，a+b=-1或a+b=3。故答案为-1或3。 方法二：因为|a-b|=|a|+|b|，所以a与b异号， ①当a=-2，b=5时，a+b=(-2)+5=3； ②当a=4，b=-5时，a+b=4+(-5)=-1。综上，a+b=-1或a+b=3。故答案为-1或3。 ▍总结升华 有绝对值的运算解答时注意要分类讨论，可以先根据题意判断出满足算式的字母的取值，这样分类就可以更简单了。 变式 3 已知|a|=5，|b|=2，且|a-b|=b-a，则a+b的值为（　　） A. 3或7 B. -3或-7 C. -3或7 D. 3或-7 例 4 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|=6+7；|6-7|=7-6；|7-6|=7-6；|-6-7|=6+7。 (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式。 ①|7-21|=＿＿＿； ②=＿＿＿； ③=＿＿＿。 (2)用合理的方法计算：。 (3)用简单的方法计算：。 ▍思路点拨 (1)正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0，据此解答即可； (2)根据有理数的加减运算法则先判断绝对值里面式子的符号，再根据绝对值的性质化简，再进行加减运算即可； (3)根据绝对值的性质化简，再进行加减运算即可。 ▍过程详解 解： (1)①|7-21|=21-7； ②； ③；故答案为①21-7； ②； ③。 。 。 ▍总结升华 要去绝对值就是要判断绝对值中数式的正负，去掉绝对值后得到的数式为非负的。 变式 4 计算：=＿＿＿。 例 5 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)探究： ①数轴上表示7和3的两点之间的距离是＿＿＿； ②数轴上表示-4和-9的两点之间的距离是＿＿＿； ③数轴上表示-3和5的两点之间的距离是＿＿＿。 (2)归纳：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于＿＿＿。 (3)应用： ①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为|a-3|=6，那么a=＿＿＿； ②若数轴上表示数a的点位于-5与2之间，求|a+5|+|a-2|的值； ③当a取何值时，|a+5|+|a-1|+|a-2|的值最小，最小值是多少？请说明理由。 ▍思路点拨 (1)根据两点之间的距离为较大的数减去较小的数即可得到结论； (3)①根据绝对值的意义写出方程，然后求解即可得a的值； ②先化简绝对值，再合并同类项即可； ③分析出|a+5|+|a-1|+|a-2|表示一点到-5，1，2三点的距离的和，列式求解即可。 ▍过程详解 解： (1)①数轴上表示7和3的两点之间的距离是7-3=4。 ②数轴上表示-4和-9的两点之间的距离是-4-(-9)=-4+9=5。 ③数轴上表示-3和5的两点之间的距离是5-(-3)=5+3=8。 故答案为①4； ②5； ③8。 (2)|m-n| (3)①因为|a-3|=6，所以a-3=6或a-3=-6。所以a=9或a=-3。故答案为9或-3。 ②因为数轴上表示数a的点位于-5与2之间，所以-5<a<2，所以a+5>0，a-2<0，所以|a+5|+|a-2|=a+5+2-a=7。 ③因为|a+5|+|a-1|+|a-2|表示一点到-5，1，2三点的距离的和，又因为2-(-5)=7，所以当a=1时，该式的值最小，为7。 ▍总结升华 利用数轴理解|m-n|的含义，要去绝对值就是要判断绝对值中数式的正负。 变式 5 结合数轴与绝对值的知识，回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是＿＿＿；表示-3和2的两点之间的距离是＿＿＿；一般地，数轴上表示数m和n的两点之间的距离等于|m-n|。如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么a=＿＿＿。 (2)若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，求|a+4|+|a-2|的值。 (3)当a取何值时，|a+5|+|a-1|+|a-4|的值最小？最小值是多少？请说明理由。 (三)有理数加减法在实际生活中的应用 例题精析 例 6 出租车司机小王某天下午13:00时至15:00时营运全是在南北走向的公路上进行的。如果向南记作“+”，向北记作“-”。他这天下午行车情况如下：(单位：千米) -2，+5，-1，+10，-3，-2，-5，+6 (1)小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？ (2)若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内(含3千米)只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱。而小王的出租车每千米耗油0.1升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午是盈利还是亏损了？盈利(或亏损)多少钱？ ▍思路点拨 (1)计算出所有行车和即可求出小王距出发地的情况； (2)先计算出小王的收入和支出，再作差进行判断是否盈利。 ▍过程详解 解： (1)-2+5-1+10-3-2-5+6=8，所以此时小王在下午出车的出发地的南面，距下午出车的出发地8千米。 (2)小王的收入为10+(10+2×2)+10+(10+7×2)+10+10+(10+2×2)+(10+3×2)=108(元)，小王的支出为(|-2|+|+5|+|-1|+|+10|+|-3|+|-2|+|-5|+|+6|)×0.1×6=20.4(元)，所以收入与支出的差为108-20.4=87.6(元)。答：小王这天下午是盈利的，盈利87.6元。 ▍总结升华 在实际问题中用有理数的加法将数量关系用算式正确表达出来，注意路程和需要求各数据绝对值的和。 变式 6 某粮库3天内粮食进、出库的吨数如下(“+”表示进库，“-”表示出库)： +26，-32，-15，+34，-38，-20 (1)经过这3天，仓库里的粮食是增加了还是减少了？ (2)经过这3天，仓库管理员结算时发现库里还存280吨粮，那么3天前仓库里存粮多少吨？ (3)如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付多少装卸费？ 链接好题 同学们都知道，|3-(-2)|表示3与-2之差的绝对值，实际上也可理解为3与-2两数在数轴上所在的两点之间的距离，则|x-1|+|x+5|的最小值是＿＿＿。 参考答案与方法指导 变式训练 1. (1)原式=(-7.2-0.8)+(-5.6+11.6)=-8+6=-2。 (2)原式。 (3)原式=［1+(-2)］+［(3+(-4)］+［5+(-6)］+⋯+［99+(-100)］。 2. (1)对于可以如下计算：原式。故答案为[]；；。 。 3. B 【解析】因为|a|=5，|b|=2，所以a=±5，b=±2。因为|a-b|=b-a，即b>a，所以a=-5，b=-2或a=-5，b=2，所以a+b=-7或-3。故选B。 4. 0 【解析】原式。故答案为0。 5. (1)3　5　1或-5 (2)因为|a+4|+|a-2|在数轴上的意义是数轴上表示数a的点到表示-4，2两点的距离之和，又因为表示数a的点位于-4与2之间，所以|a+4|+|a-2|=6。 (3)因为|a+5|+|a-1|+|a-4|表示一点到-5，1，4三点的距离之和，所以当a=1时，|a+5|+|a-1|+|a-4|的值最小，最小值是9。 6. (1)26+(-32)+(-15)+34+(-38)+(-20)=-45(吨)。答：仓库里的粮食是减少了。 (2)280+45=325(吨)。答：3天前仓库里存粮325吨。 (3)(26+|-32|+|-15|+34+|-38|+|-20|)×5=165×5=825(元)。答：这3天要付825元装卸费。 链接好题 6 【解析】表达式|x-1|+|x+5|表示数轴上x对应的点到1和-5对应的点的距离之和。为了使距离之和最小，x应该位于1和-5之间。此时，距离之和为1-(-5)=6。当x不在-5和1之间时，距离之和会大于6。因此，|x-1|+|x+5|的最小值为6。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $