第1章专题5《有理数中的规律探究》讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

专题5　有理数中的规律探究 　考点加油站　 在解数学题时，往往从特殊的、简单的、局部的事例出发，探求一般性的规律；或者从现有的结论、信息，通过观察、类比、联想，进而猜想未知领域的奥秘，这种思想方法叫归纳猜想． 归纳猜想是学习和研究数学的最基本而又十分重要的方法，它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，是探索解题思路的有效方法，也是数学发展史上的一种重要的方法． 归纳与猜想问题指的是给出一定条件（可以是有规律的算式、图形或图表），通过认真分析、仔细观察、综合归纳、大胆猜想、得出结论，进而加以验证的数学探索题．其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论． 　典例展示厅　 类型一　等差规律 例1　观察下列图形， 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 个图形中五角星有＿＿＿个． 点拨　根据图形的数量写出关系式，然后代入 求解． 归纳总结 在规律探究问题中，如果每一个数都比前一个数大某个定值 ，那么就属于等差型规律，其一般公式为 （， 是常数）．可以在给出的数中用后一个减去前一个，如果其差是同一个数，则可以判断为等差型规律． 类型二　等比规律 例2　将正整数 按下列规律进行排列：首先将这些数从“1”开始每隔一数取出，形成第一列数： 排成第一行；然后在剩下的数 中从第一个数“2”开始每隔一数取出，形成第二列数： 排成第二行；照此下去，第三行的数由剩下的 中从第一个数“4”开始每隔一数取出的 ．如此一直继续下去，我们可以排成一张表如下． (1)　 分别在表中的第几行？ (2)　对于表中第 3 列，第 行的数，请你用关于 的代数式表示出来． (3)　 在这个表中的第几行，第几列？ 点拨　（1）根据表格，第一列数为 ，第二列数为 ，第三列数为 ，第四列数为 （ 为行数），将 写成以上形式，判断行数；（2）根据（1）得出的规律直接作答；（3）将 变形为（1）中的形式，再进行判断． 归纳总结 在规律探究问题中，如果每一个数都是前一个数的 倍，那么就属于等比型规律，其一般公式为 （， 是常数，）．可以在给出的数中用后一个除以前一个，如果其商是同一个数，则可以判断为等比型规律． 类型三　循环规律 例3　观察下列算式：，根据上述算式中的规律， 的末位数字是（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 点拨　由给出的规律发现末位数字循环之后，利用规律进行计算． 归纳总结 循环型问题需要通过规律洞察出来，然后作带余除法来得到结果． 类型四　特殊规律 例4　观察下列等式：；；； (1)　根据上述规律，求 的值． (2)　你能用一个含有 （ 为正整数）的算式表示这个规律吗？ (3)　根据你发现的规律，计算 的值． 点拨　（1）根据题目中的等式，可以计算出 的值；（2）根据题目中的等式，找出分母和分子中相乘的三个数的规律从而可以写出第 个等式；（3）根据题目中的式子，可以得到 ，然后计算即可解答本题． 归纳总结 猜想结论型问题：一般有猜想数式结果、数量关系和变化情况三类，相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样，计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等，都能用到． 　学霸训练营　 ▍中考冲刺（针对中考压轴） 1　★★★　观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出 的值为（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2　★★★　某种细胞开始分裂时有两个， 小时后分裂成 个并死去一个， 小时后分裂成 个并死去一个， 小时后分裂成 个并死去一个，按此规律， 小时后细胞存活的个数是（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 3　★★　观察下列等式：，那么 的个位数字是（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 4　★★★　（安徽中考）观察下列关于自然数的等式： 　① 　② 　③ 根据上述规律解决下列问题： (1)　完成第四个等式：（　）（　）； (2)　写出你猜想的第 个等式：＿＿＿＿＿（用含 的式子表示）． 5　★★★　如图，图①的多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为 ；图②的多边形由正方形“扩展”而来，边数记为 ……以此类推，由正 边形“扩展”而来的多边形的边数记为 （）． (1)　求 的值． (2)　当 时，求 的值． ▍竞赛集训（针对强基自招） 6　★★★　任意大于 的正整数 的三次幂均可“分裂”成 个连续奇数的和．如：，按此规律，若 分裂后其中有一个奇数是 ，则 的值是（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 7　★★★　如图，给正五边形的顶点依次编号为 ．若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”． 如：小宇在编号为 的顶点上时，那么他应走 个边长，即从 为第一次“移位”，这时他到达编号为 的顶点；然后从 为第二次“移位”．若小宇从编号为 的顶点开始，第十次“移位”后，则他所处顶点的编号是＿＿＿． 8　★★★　（1） 四个盒子中分别放有 个球，第一个小朋友找到放球最少的盒子，从其他的盒子中各取 个球放入这个盒子中，然后第二个小朋友又找到一个放球最少的盒子，从其他的盒子中各取 个球放入这个盒子中……如此进行下去，当第 个小朋友放完后，，，， 四个盒子中的球数依次是＿＿＿＿＿； （2） 个盒子里分别放有 个球，小朋友们按照（1）中的方式放球，如此进行下去，当第 个小朋友放完后，球数最多的盒子是第＿＿＿个盒子． 　参考答案与详解　 典例展示厅 例1　　解析：第 1 个图形中五角星的数量是 ，第 2 个图形中五角星的数量是 ，第 3 个图形中五角星的数量是 ，第 4 个图形中五角星的数量是 ，以此类推，第 个图形中五角星的数量是 ． 例2　（1）∵，∴ 在第 6 行；∵，∴ 在第 2 行；∵，∴ 在第 4 行．（2）第 3 列，第 行的数为 ．（3）∵，∴ 在第 5 行，第 6 列． 例3　A　解析：由题知，∵，∴ 的末位数字按 循环出现．又 ，∴ 的末位数字是 ．∵，∴ 的末位数字按 循环出现．又 ，∴ 的末位数字是 ．∴ 的末位数字是 ，故选 A． 例4　（1），即 的值是 ．（2）∵，，，，，∴第 个算式为 ．（3）． 学霸训练营 中考冲刺 1　B　解析：观察每个图形最上面的正方形中数的规律为 ，左下角数的规律为 ，右下角的数等于最上面和左下角的两个数之和，所以 ，故选 B． 2　C　解析：根据题意， 小时后分裂成 个并死去 个，剩 个，； 小时后分裂成 个并死去 个，剩 个，； 小时后分裂成 个并死去 个，剩 个，；…… 个小时后细胞存活的个数是 ，当 时，存活个数是 ．故选 C． 3　C　解析：∵，∴ 的个位数字是按 为一组循环出现的．又∵，，∴ 的个位数字是 ，故选 C． 4　（1）　　解析：　①，　②，　③，……所以第四个等式是 ．（2）　解析：第 个等式为 ．∵左边 ，右边 ，∴左边 右边．∴． 5　（1）观察题图可得，，∴．（2）当 时，原式 ． 竞赛集训 6　B　解析：，第一项为 ，最后一项为 ；，第一项为 ，最后一项为 ；，第一项为 ，最后一项为 ；…… 的第一项为 ，最后一项为 ．∵ 到 之间有奇数 ，∴ 的值为 ． 7　　解析：小宇从 出发，走 个边长到达 ；再走 个边长到达 ；再走 个边长到达 ；再走 个边长回到 ，所以小宇从编号为 的顶点开始，每四次“移位”一个循环，第十次“移位”，即连续循环两次，再“移位”两次，即第十次“移位”后所处的顶点和第二次“移位”后所处的顶点相同，故第十次“移位”后，到达顶点的编号是 ． 8　（1）　解析：第一次 盒 、 盒 、 盒 、 盒 ；第二次 盒 、 盒 、 盒 、 盒 ；第三次 盒 、 盒 、 盒 、 盒 ；第四次 盒 、 盒 、 盒 、 盒 ．由此可以看出经过四次，盒子中的球和原来每一个盒子对应球的个数相同．又因为 ，所以当第 个小朋友放完后， 四个盒子中的球数和原来每一个盒子对应球的个数相同，故答案为 ．（2）　解析：与（1）同样地，我们可以发现有 个球的盒子在第 次（ 是 的整数）中恰为第 个盒子，它是球数最多的盒子．球的数量的分布每 次一个循环．因为 ，故第 个小朋友放完后，球数最多的盒子是第 个盒子． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $