第1章专题6《新定义运算》讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

专题6　新定义运算 　考点加油站　 新定义问题是从已有的概念定义新的概念，新运算是用已知运算表示的新的运算. 解决新定义问题需要从定义本身出发，将含有新定义的命题改写为熟悉的语言来理解，然后求解问题. 解决新定义运算问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算. 　典例展示厅　 类型一　新运算 例1　对于有理数 定义运算：. 例：. 计算： 的值. 计算： 的值. 定义的新运算“”对交换律是否成立？请你写出你的探究过程. 点拨　根据 ，可以计算出所求式子的值；根据 ，计算即可；只要通过计算判断 是否成立即可. 变式1　现定义一种新运算：，如 . 求；定义的新运算满足交换律吗？试举例说明. 归纳总结 解决新运算问题时，要正确理解新定义的算式含义. 如果需要计算，那么将题目中定义的新运算符号用其原始定义代入所求的式子，转化为熟知的运算；如果需要证明其性质，那么列出含有新定义运算符号的式子，然后转化为熟知的运算进行证明. 类型二　新定义 例2　若一个多位数各个数位上的数字之和为 的倍数，则称该数为“十一数”，例如 ，则 为“十一数”；又如 ，则 也是“十一数”. 判断 和 是否是“十一数”. 若一个四位数满足十位数字比千位数字小 ，百位数字是个位数字的 倍，且千位数字与百位数字的差是十位数字与个位数字差的 倍，求出所有满足条件的四位数，并判断这些数是否是“十一数”. 点拨　根据“十一数”的定义判断；设四位数的个位数字是 ，十位数字是 ，把这个四位数用字母表示出来，然后根据题给条件和“十一数”的定义求解. 变式2　将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”.定义“双轴系”中两个点 的距离.如果 两点在同一个数轴上，那么二者之间的距离定义和通常的距离一致，，如果 两点分别位于两个数轴上，定义 . 利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“↑”或“↓”，例如，“”表示上层数轴中表示数“”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”“”分别表示上下两个数轴的原点. 在双轴系中 与 的距离为＿＿＿， 与 的距离为＿＿＿. 在的假设下，现有一只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至 ，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳转到 ，接着又跳回 ，其后再次跳到 ，下一步又跳回 ，按此规律在 和 之间来回跳动.假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致. ①当蚂蚁甲第 次跳到 所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了多少次. ②当甲、乙两只蚂蚁的距离为 时，请直接写出 个符合条件的跳跃次数. 归纳总结 新定义类问题需要抓住题目中所给的新定义的本质，运用新定义向题目的目标转化. 类型三　新操作 例3　已知对任意正整数 ，定义 . 求 的值. 求证：. 点拨　根据 ，即可求值；结合的计算过程，进行证明即可. 变式3　(湖北竞赛)定义一种对正整数 的“运算”：①当 为奇数时，结果为 ；②当 为偶数时，结果为 （其中 是使 为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取 时，第三次“运算”的结果是 . ……若 ，则第 次“运算”的结果是＿＿＿. 归纳总结 解答定义新运算问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，将数值代入算式中，再把它转化成我们熟知的加减乘除运算，然后进行计算. 　学霸训练营　 ▍中考冲刺（针对中考压轴） 1　★★★　如果“爱”“我”“中”“华”这四个汉字分别代表一个非零一位数，对于运算符号“★”有：爱我中华★1=我爱中华；爱我中华★2=中华我爱，那么 ★1★2=（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2　★★　大家都知道，八点五十五可以说成九点差五分，有时这样表达更清楚.这启发人们设计了一种新的加减记数法.比如： 写成 ，； 写成 ，； 写成 ，.总之，数上画一杠表示减去它，按这个方法请计算 等于（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 3　★★　定义一种新运算，其运算规则是 ，那么 ＿＿＿. 4　★★★　我们知道，每个自然数都有因数，对于一个自然数 ，我们把小于 的正的因数叫做 的真因数.如 的正因数有 ，其中 是 的真因数.把一个自然数 的所有真因数的和除以 ，所得的商叫做 的“完美指标”，如 的“完美指标”是 .一个自然数的“完美指标”越接近 ，我们就说这个数越“完美”，如 的“完美指标”是 ， 的“完美指标”是 ，因为 比 更接近 ，所以我们说 比 更“完美”. 试计算 的“完美指标”. 试找出 三个自然数中，最“完美”的数. 试说明：除了 以外，两个不相等素数之积的“完美指标”小于 . ▍竞赛集训（针对强基自招） 5　★★　图①中每相邻两条线间，有从上至下的几条横线（即“桥”），这样就构成了“天梯”.运算符号“”在“天梯”的竖线与横线上运动，它们在运动的过程中按自上而下，且逢“桥”必过的规则进行，最后运动到竖线下方的“○”中，将 连接起来，构成一个算式.如图①：“”号根据规则就应该沿图中箭头方向运动，最后向下进入“○”中，其余 个运算符号分别按规则运动到“○”中后，就得到算式 .根据如图②所示的“天梯”，计算当 ， 时所写算式的结果为（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 6　★★★　对于任意的两个实数对 和 ，规定当且仅当 时，；现定义两种运算，运算⊗：；运算⊕：.设 为实数，若 ，则 ＿＿＿. 7　★★★　在一个数值转换机中输入一个有理数可以进行三种操作：（取相反数）、（加 ）、（取倒数）. 在这个数值转换机中输入 ，然后按照 的顺序进行操作，第 次操作结束后，将第 次到第 次操作的结果全部相加，得到的结果是＿＿＿. 8　★★★　阅读下列材料，然后解答问题. 材料：从 张不同的卡片中选取 张，有 种不同的选法，抽象成数学问题就是从 个不同元素中选取 个元素的组合，组合数记作 .一般地，从 个不同元素中选取 个元素的组合数记作 .例如：从 个不同元素中选 个元素的组合，组合数记作 . 为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览.王老师在班级 幅优秀书画中选取 幅，共有多少种选法？ 探索发现： 计算：＿＿＿，＿＿＿，＿＿＿，＿＿＿，＿＿＿，＿＿＿. 由上述计算，试猜想 之间有什么关系.（只写结论，不需说明理由） 请你直接利用中猜想的结论计算：. 　参考答案与详解　 典例展示厅 例1　，. . 定义的新运算“”对交换律成立.，，， 定义的新运算“”对交换律成立. 变式1　，代入这种新运算，，，. 新运算 ，，，故定义的新运算不满足交换律.例如：，，显然 . 例2　因为 ，所以 是“十一数”.因为 ， 不是 的倍数，所以 不是“十一数”. 设个位数字是 ，十位数字为 ，则百位数字是 ，千位数字是 ，依题意有 ，解得 ，故个位数字是 ，十位数字为 ，则百位数字是 ，千位数字是 ，当 时，，不符；当 时，，不符；当 时，，四位数是 ；当 时，，四位数是 ；当 时，，不符；当 时，，不符.故满足条件的四位数有 .因为 ，所以 不是“十一数”；因为 ，所以 不是“十一数”. 变式2　 　　解析：在双轴系中 与 的距离为 ； 与 的距离为 . ①蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至 ， 蚂蚁甲第 次跳到 所表示的点时，蚂蚁甲共跳跃了 次. ②跳跃次数为 次、 次、 次.（答案不唯一）解析：设蚂蚁甲为 ，蚂蚁乙为 ，根据题意得，，，当跳跃次数为奇数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为 ，则蚂蚁甲跳跃的次数为 （次），即此时蚂蚁甲跳跃的次数为偶数，不符合题意；当跳跃次数为偶数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为 ，蚂蚁甲第 次跳到 时，跳跃次数为 （次）， 是偶数，符合题意；蚂蚁甲第 次跳到 时，跳跃次数为 （次）， 是偶数，符合题意；蚂蚁甲第 次跳到 时，跳跃次数为 （次）， 是偶数，符合题意；综上分析可知，当甲、乙两只蚂蚁的距离为 时，跳跃次数为 次、 次、 次.（答案不唯一） 例3　，，. ，又，. 变式3　　解析：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；第六次： 从第四次开始， 循环出现，故第 次“运算”的结果是 . 学霸训练营 1　B　解析：★1★2=★2=. 2　C　解析：由题意知 ，，. 3　　解析：原式 . 4　 的真因数有：，根据“完美指标”的定义，可得 的完美指标：. 的真因数有：，根据“完美指标”的定义，可得 的完美指标：； 的真因数有：，根据“完美指标”的定义，可得 的完美指标：； 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $