专题07 平方根 同步培优讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦平方根与算术平方根的概念、性质及运算，在平方运算基础上拓展开平方运算，通过知识框架、学习目标、知识清单构建学习支架，系统梳理概念辨析、互逆关系等核心内容，为实数模块学习奠定基础。 资料亮点在于11类题型分层设计，涵盖概念理解、非负性应用、估算等，如规律探索题培养创新意识，易错点提醒强化符号意识。课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升运算能力与推理意识。

专题07平方根 同步培优讲义 ✺知识框架 平方根概念：掌握平方根的定义与存在条件。 开平方运算：理解开平方的含义，掌握平方与开平方的互逆关系。 算术平方根：掌握算术平方根的定义、符号表示及非负性。 平方根性质：掌握正数、0、负数的平方根变化规律。 概念辨析与应用：区分平方根与算术平方根，规范完成求值运算。 ✅本节在平方运算基础上拓展开平方运算，主要学习平方根与算术平方根的定义、符号和性质，通过互逆运算掌握求值方法，是实数模块的基础铺垫内容。 ✺学习目标 1.理解平方根与算术平方根的概念，掌握对应的符号表示，能够准确辨析两个概念。 2.理解平方与开平方互为逆运算，能利用逆运算求解非负数的平方根与算术平方根。 3.掌握平方根的基本性质，明确平方根的存在条件，规避概念与计算中的常见错误。 4.能够运用平方根知识解决简单的求值问题与基础实际问题。 ✺题型归纳 题型1.求一个数的算术平方根 题型2.利用算术平方根的非负性解题 题型3.估计算术平方根的取值范围 题型4.求算术平方根的整数部分和小数部分 题型5.算术平方根的实际应用 题型6.平方根概念理解 题型7.与算术平方根有关的规律探索题 题型8.求一个数的平方根 题型9.平方根的应用 题型10.已知一个数的平方根，求这个数 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点一：平方根的概念 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。 即：若x2=a，则x是a的平方根。 注意：负数没有平方根，只有非负数才有平方根。 知识点二：开平方 求一个数平方根的运算叫做开平方。 平方运算与开平方运算互为逆运算，可据此求解一个非负数的平方根。 知识点三：算术平方根的概念 正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是 0。 符号表示：非负数a的算术平方根记作，非负数a的平方根记作±，其中被开方数a≥0。 知识点四、平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是 0； 负数没有平方根； 算术平方根具有非负性，即≥0，且a≥0。 知识点五：平方根与算术平方根的区别与联系 区别：正数的平方根有两个，互为相反数；正数的算术平方根仅有一个，为正值。二者符号表示不同，取值范围不同。 联系：算术平方根是平方根中的正根；0 的平方根和算术平方根均为 0；二者被开方数均为非负数。 【易错点提醒】 1.混淆平方根与算术平方根，求解正数平方根时遗漏负根； 2.忽略被开方数的非负性，错误对负数进行开平方运算； 3.符号理解模糊，混淆与±的数学含义； 4.对0的平方根、算术平方根的特殊性质理解不清。 本节小结：本节核心为区分平方根与算术平方根，牢记被开方数非负、正数双根互为相反数、算术平方根非负等核心性质。熟练运用平方与开平方的互逆关系计算求值，规避概念混淆、符号误用等易错点，为本章后续实数学习打好基础。 ✺题型精讲 题型1.求一个数的算术平方根 1．的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 的算术平方根是． 2．16的算术平方根是_______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义，一个正数的算术平方根是它的正平方根，据此计算即可． 【详解】解：∵ ，且算术平方根为非负数， ∴ 的算术平方根是． 3．计算：．（精确到） 【答案】 【分析】使用计算器进行计算． 【详解】解：使用计算器计算得 ． 题型2.利用算术平方根的非负性解题 1．若是一个数的算术平方根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义. 根据算术平方根的定义即可列出不等式求出a的范围. 【详解】解：∵非负数有算术平方根，且该数的算术平方根大于或等于0， ∴ ∴ 故选D 2．如果等式成立，那么应满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的非负性，表示的算术平方根，其值总是非负的，因此等式成立的条件是为非负数． 【详解】解：由算术平方根的定义可知，．等式即，根据绝对值的性质，当且仅当时，成立．因此，应满足的条件是． 故答案为． 3．已知，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式，根据被开方数的非负性求出x的值，进而求出y的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ． 题型3.估计算术平方根的取值范围 1．已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 2．已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 【答案】4 【分析】先确定的取值范围，找到介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式确定整数的值． 【详解】解：， ，即， ，且为整数， ． 3．阅读与思考：请仔细阅读，并完成相应任务． 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值 例如：，4，6最接近， 的最初近似值为， 的二级近似值为， 的三级近似值为． 任务： (1)的最初近似值是_______；二级近似值是_______ (2)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （2）设，进而求出，根据公式代入即可求值． 【详解】（1）解：，与最接近， 的最初近似值为； 的二级近似值是； （2）解：设， 最初近似值， 得， 二级近似值， 解得，． 题型4.求算术平方根的整数部分和小数部分 1．若，则整数的值为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先找出与11相邻的两个完全平方数，确定的范围，即可对应得到整数的值． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 又∵，为整数， ∴． 2．的整数部分值为________． 【答案】2 【分析】确定介于哪两个相邻整数之间，即可得到它的整数部分． 【详解】解：， ，即， 的整数部分为． 3．已知实数的整数部分为，小数部分为；实数的整数部分为，小数部分为，则的算术平方根为多少？ 【答案】 【分析】先利用夹逼法估算、的取值范围，即可求出m、n、、c的值，再计算的值，最后求出算术平方根即可． 【详解】解：， ， ， 的整数部分是11，小数部分是， 即，， ， ， ， 的整数部分是5，小数部分是， 即，， ∴， 的算术平方根是， ∴的算术平方根是． 题型5.算术平方根的实际应用 1．要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知中长与宽的比例关系设未知数，再利用长方形的面积公式列式求解即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴，， 即该长方形的宽为． 2．一个正方形的面积是，其边长是______；另一个正方形的面积是这个正方形面积的3倍，那么它的边长是______． 【答案】 【分析】根据正方形面积等于边长的平方，边长为正数，因此求边长就是对面积开算术平方根，先计算第一个正方形的边长，再求出第二个正方形的面积，进而计算其边长. 【详解】解：设正方形的边长为，正方形面积满足，且边长， 对于第一个正方形，已知面积， ，， ； 对于第二个正方形，已知它的面积是第一个正方形面积的倍， ， ，， . 3．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为，宽为的矩形布料裁剪出一块面积为的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（取） 【答案】小志能裁剪出他需要的圆形布料 【分析】设圆形布料的半径为，直径为，求出，进而得出结论． 【详解】解：设圆形布料的半径为，直径为， 则， ， ， ，， 小志能裁剪出他需要的圆形布料． 题型6.平方根概念理解 1．下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根的定义，先判断表示形式，再验证计算结果．即正数的平方根表示为，是算术平方根，是立方根． 【详解】解：64的平方根需表示为，A、C、D均不符合该形式． ∵， ∴，选项B正确． 2．一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为___________． 【答案】0 【分析】根据平方根的定义，正数的两个不同平方根互为相反数，据此列出方程求解即可得到的值． 【详解】解：一个正数的两个不同的平方根分别是和， 解得． 3．本学期学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：________． （2）探究性质：①1的四次方根是________；②16的四次方根是________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：________； 【拓展应用】（1）________ （2）比较大小：________． 【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）；（2） 【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 类比探索：（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 拓展应用：（1）根据定义求一个数的四次方根； （2）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 【详解】解：类比探索：（1），，； 表格中数据依次为：，，； 类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①1的四次方根是：； ②16的四次方根：； ③0的四次方根是：0； ④没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为：①±1；②±2；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）， 故答案为：； （2）∵，，， ∴． 故答案为：． 题型7.与算术平方根有关的规律探索题 1．利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格归纳算术平方根的变化规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点相应向左（或向右）移动一位，再利用规律计算所求值． 【详解】解：由表格得到规律：被开方数小数点向左（右）移动两位，算术平方根的小数点同步向左（右）移动一位， 是将的小数点向左移动两位得到的，且已知， 根据规律，将的小数点向左移动一位，得． 2．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 【答案】 【分析】根据数阵中数字的特点总结规律求解即可． 【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根， 且第1行的第1个数是1的算术平方根，而， 第2行的第1个数是3的算术平方根，而， 第3行的第1个数是7的算术平方根，而， 第4行的第1个数是13的算术平方根，而， …… 第8行的第1个数是的算术平方根，即， 第6个数是的算术平方根，即． 3．在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据发现的规律即可求解； （2）根据发现的规律即可用代数式表示； （3）根据规律计算出每个因数，再相乘即可； （4）根据规律计算出等式左边的结果，可求得n的值，即可求得x的值． 【详解】（1）解：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 第n个等式：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 题型8.求一个数的平方根 1．的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 2．的平方根是________． 【答案】 【分析】先计算乘方得到运算结果，再根据平方根的定义求出最终结果． 【详解】解：， ∴的平方根是． 3．求下列各数的平方根： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）直接根据平方根的定义求解； （2）把带分数化成假分数，再根据平方根的定义求解； （3）先化简，再根据平方根的定义求解； （4）先化简，再根据平方根的定义求解． 【详解】（1）解：因为，所以的平方根是； （2）解：，因为， 所以的平方根是； （3）解：，因为，所以的平方根是； （4）解：，因为，所以的平方根是． 题型9.平方根的应用 1．将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的实际应用，根据体积不变原理，正方体体积等于变形后的长方体体积．通过设立未知数，建立方程求解底面正方形的边长． 【详解】解：棱长为的正方体体积为， 设长方体实心铜块底面正方形的边长为，则底面积为， 由题知长方体实心铜块的高为，故体积为， 则，即， ∵， ∴， ∵正方形的边长为正数， ∴， 因此，底面正方形的边长为． 故选：B． 2．升降阻车器是一种高安全设备，用于隔离车辆，实现交通管制和人车分流．已知一个圆柱形升降阻车器的体积是，高是，则这个升降阻车器的底面半径为______．（取） 【答案】 【分析】已知圆柱体积、高和的取值，利用圆柱体积公式列方程求解底面半径即可． 【详解】解：设这个升降阻车器的底面半径为， 将，，，代入公式得， 化简得， ， ∵半径为正数， ∴． 3．花袱子印染属于我国较为古老的印花布工艺，在陕西关中一带分布十分广泛．现有一块长方形花袱子印染面料，长和宽之比为，面料面积为．求这块长方形花袱子印染面料的长和宽． 【答案】这块长方形花袱子印染面料的长为，宽为 【分析】设这块长方形花袱子印染面料的长为，则宽为，根据题意可得，再结合平方根的计算法则计算即可得出结果． 【详解】解：设这块长方形花袱子印染面料的长为，则宽为， 由题意可得， 整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴，， ∴这块长方形花袱子印染面料的长为，宽为． 题型10.已知一个数的平方根，求这个数 1．已知一个数的两个不同的平方根是和，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方根的基本性质，一个正数的两个不同平方根互为相反数，先根据该性质列方程求出的值，再计算得到原数即可. 【详解】解：∵ 一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， 将代入其中一个平方根，得 ， ∴ 这个数为 . 2．已知的平方根是，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据平方根的定义得到的值，再通过平方得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， 移项得， 解得． 3．若和是数m的平方根，求m的值． 【答案】或 【分析】根据平方根的性质得到或，求出或，然后求解即可． 【详解】解：∵和是数m的平方根 ∴或 解得或 ∴或． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根及算术平方根的定义，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项错误，不符合题意， D．，故该选项正确，符合题意． 2．如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（     ） A．只有1个 B．只有2个 C．不存在 D．有无数个 【答案】A 【分析】由二次根式有意义的条件及平方的非负性，确定被开方数只能为0． 【详解】解：要使为实数，需， ∴ ∵， ∴， 解得， 即满足条件的x只有1个． 3．的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个数的小数部分等于该数减去它的整数部分，据此直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵的整数部分为3， ∴的小数部分为． 4．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．1 B．9 C．16 D．25 【答案】B 【分析】本题考查了平方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．根据和是同一个正数的两个平方根，可得，求出，从而求出其中的一个平方根为，可得这个正数为． 【详解】解：和是同一个正数的两个平方根， ， 解得：， ， 这个正数为． 故选：B． 二、填空题 5．请写出比大且比小的所有整数：_______． 【答案】和 【分析】先估算和的取值范围，再找出该范围内的所有整数即可． 【详解】解：因为 ，所以 ，即 .； 又因为 ，所以 ，即 ； 因此可得 ， 所以比大且比小的所有整数为，． 6．已知是9的平方根，则的值是__________． 【答案】1或 【分析】根据平方根的定义得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：的平方根是，是的平方根， 或， 解得：或． 7．的算术平方根是______，的平方根是______． 【答案】 【详解】解：∵ ，算术平方根为非负数， ∴ 的算术平方根是； ∵， 的平方根是， 即的平方根是． 8．已知一个数的两个平方根是和，则数是__________． 【答案】 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数求出的值，再计算得到. 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得 ， 将代入，得， ∴. 三、解答题 9．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名学生在匀速跑步，他的质量是千克，若动能是焦耳，求该学生的跑步速度． 【答案】米/秒 【分析】根据题意可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可知千克，焦耳， ，               解得或（负数舍去）．      答：该学生的跑步速度是米/秒． 10．解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值都是非负数，列出方程组求出、的值，从而求出的算术平方根； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数，据此求出的值，再根据平方根的定义计算的值． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， 的算术平方根为； （2）解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 整理得：， 解得：， ． 11．先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据材料提示的方法计算即可； （2）根据材料提示的方法展开，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解： ． 12．在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题． 小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小． (1)已知，．若m是的整数部分，则________． 【方法探究】 小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若，则． 她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取，则，则． 【学以致用】 (2)请利用小红的方法，估算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到的取值范围即可； （2）仿照示例作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵m是的整数部分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是6， 所以可以取，则， 则． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07平方根 同步培优讲义 ✺知识框架 平方根概念：掌握平方根的定义与存在条件。 开平方运算：理解开平方的含义，掌握平方与开平方的互逆关系。 算术平方根：掌握算术平方根的定义、符号表示及非负性。 平方根性质：掌握正数、0、负数的平方根变化规律。 概念辨析与应用：区分平方根与算术平方根，规范完成求值运算。 ✅本节在平方运算基础上拓展开平方运算，主要学习平方根与算术平方根的定义、符号和性质，通过互逆运算掌握求值方法，是实数模块的基础铺垫内容。 ✺学习目标 1.理解平方根与算术平方根的概念，掌握对应的符号表示，能够准确辨析两个概念。 2.理解平方与开平方互为逆运算，能利用逆运算求解非负数的平方根与算术平方根。 3.掌握平方根的基本性质，明确平方根的存在条件，规避概念与计算中的常见错误。 4.能够运用平方根知识解决简单的求值问题与基础实际问题。 ✺题型归纳 题型1.求一个数的算术平方根 题型2.利用算术平方根的非负性解题 题型3.估计算术平方根的取值范围 题型4.求算术平方根的整数部分和小数部分 题型5.算术平方根的实际应用 题型6.平方根概念理解 题型7.与算术平方根有关的规律探索题 题型8.求一个数的平方根 题型9.平方根的应用 题型10.已知一个数的平方根，求这个数 题型11.课堂小练 ✺知识清单 知识点一：平方根的概念 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。 即：若x2=a，则x是a的平方根。 注意：负数没有平方根，只有非负数才有平方根。 知识点二：开平方 求一个数平方根的运算叫做开平方。 平方运算与开平方运算互为逆运算，可据此求解一个非负数的平方根。 知识点三：算术平方根的概念 正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是 0。 符号表示：非负数a的算术平方根记作，非负数a的平方根记作±，其中被开方数a≥0。 知识点四、平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是 0； 负数没有平方根； 算术平方根具有非负性，即≥0，且a≥0。 知识点五：平方根与算术平方根的区别与联系 区别：正数的平方根有两个，互为相反数；正数的算术平方根仅有一个，为正值。二者符号表示不同，取值范围不同。 联系：算术平方根是平方根中的正根；0 的平方根和算术平方根均为 0；二者被开方数均为非负数。 【易错点提醒】 1.混淆平方根与算术平方根，求解正数平方根时遗漏负根； 2.忽略被开方数的非负性，错误对负数进行开平方运算； 3.符号理解模糊，混淆与±的数学含义； 4.对0的平方根、算术平方根的特殊性质理解不清。 本节小结：本节核心为区分平方根与算术平方根，牢记被开方数非负、正数双根互为相反数、算术平方根非负等核心性质。熟练运用平方与开平方的互逆关系计算求值，规避概念混淆、符号误用等易错点，为本章后续实数学习打好基础。 ✺题型精讲 题型1.求一个数的算术平方根 1．的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 2．16的算术平方根是_______． 3．计算：．（精确到） 题型2.利用算术平方根的非负性解题 1．若是一个数的算术平方根，则（　　） A． B． C． D． 2．如果等式成立，那么应满足的条件是_____． 3．已知，求的值． 题型3.估计算术平方根的取值范围 1．已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 2．已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 3．阅读与思考：请仔细阅读，并完成相应任务． 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值 例如：，4，6最接近， 的最初近似值为， 的二级近似值为， 的三级近似值为． 任务： (1)的最初近似值是_______；二级近似值是_______ (2)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 题型4.求算术平方根的整数部分和小数部分 1．若，则整数的值为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．的整数部分值为________． 3．已知实数的整数部分为，小数部分为；实数的整数部分为，小数部分为，则的算术平方根为多少？ 题型5.算术平方根的实际应用 1．要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 2．一个正方形的面积是，其边长是______；另一个正方形的面积是这个正方形面积的3倍，那么它的边长是______． 3．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为，宽为的矩形布料裁剪出一块面积为的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（取） 题型6.平方根概念理解 1．下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 2．一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为___________． 3．本学期学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：________． （2）探究性质：①1的四次方根是________；②16的四次方根是________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：________； 【拓展应用】（1）________ （2）比较大小：________． 题型7.与算术平方根有关的规律探索题 1．利用计算器计算出的各数的算术平方根如下： … … … 11 110 … 根据以上规律，若，，则（     ） A． B． C． D． 2．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 3．在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 题型8.求一个数的平方根 1．的平方根是（     ） A． B． C． D． 2．的平方根是________． 3．求下列各数的平方根： (1) (2) (3) (4) 题型9.平方根的应用 1．将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．升降阻车器是一种高安全设备，用于隔离车辆，实现交通管制和人车分流．已知一个圆柱形升降阻车器的体积是，高是，则这个升降阻车器的底面半径为______．（取） 3．花袱子印染属于我国较为古老的印花布工艺，在陕西关中一带分布十分广泛．现有一块长方形花袱子印染面料，长和宽之比为，面料面积为．求这块长方形花袱子印染面料的长和宽． 题型10.已知一个数的平方根，求这个数 1．已知一个数的两个不同的平方根是和，则这个数是（     ） A． B． C． D． 2．已知的平方根是，则的值为_____． 3．若和是数m的平方根，求m的值． ✺课堂小练 一、单选题 1．下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（     ） A．只有1个 B．只有2个 C．不存在 D．有无数个 3．的整数部分为3，则它的小数部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 4．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（    ） A．1 B．9 C．16 D．25 二、填空题 5．请写出比大且比小的所有整数：_______． 6．已知是9的平方根，则的值是__________． 7．的算术平方根是______，的平方根是______． 8．已知一个数的两个平方根是和，则数是__________． 三、解答题 9．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名学生在匀速跑步，他的质量是千克，若动能是焦耳，求该学生的跑步速度． 10．解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 11．先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 12．在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题． 小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小． (1)已知，．若m是的整数部分，则________． 【方法探究】 小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若，则． 她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取，则，则． 【学以致用】 (2)请利用小红的方法，估算的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $