第1章第2讲数轴和绝对值（1.2～1.4）专题讲义2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第1章 有理数　第2讲 数轴和绝对值(1.2~1.4) 第1章 有理数 第2讲 数轴和绝对值(1.2~1.4) 专题讲义 (一)有理数在数轴上的表示 例题精析 例 1 已知下列有理数。 (1)画出数轴，并在数轴上表示这些数。 (2)用“<”将这些数连起来。 (3)这些数在数轴上表示的点中是否存在两点之间的距离等于 7 的两个数？若存在，请指出来。 ▍思路点拨 (1)画出数轴表示各点即可； (2)根据数轴即可求解； (3)根据两点间的距离公式即可求解。 ▍过程详解 解： (1)数轴表示如下： (2)由数轴可得，。 (3)存在。这些数在数轴上表示的点中存在两点之间的距离等于 7 的两个数，它们是-4 与 3，与 。 ▍总结升华 运用数轴比较有理数的大小，在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；观察数轴找出满足两点间的距离的点。 变式 1 已知下列有理数：。 (1)请画数轴，在数轴上找出这些数所在的位置，并标出相应的点。 (2)用“<”连接所有数。 (3)这些数在数轴上表示的点中是否存在两点之间的距离等于 6 的两个数？若存在，请指出来。 例 2 已知有理数 a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示。 (1)请在数轴上标出数-a,-b 对应的点的位置。 (2)请按从小到大的顺序重新排列 a,-a,-b,b,-1,0。 ▍思路点拨 (1)利用相反数在数轴上表示出-a,-b 对应的点的位置； (2)利用数轴比较法比较大小。 ▍过程详解 解： (1) (2)因为在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，所以 a<-b<-1<0<b<-a。 ▍总结升华 运用数轴比较有理数的大小，在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 变式 2 若 m,n 是有理数，满足|m|>|n|，且 m>0,n<0，则下列选项中，正确的是（　　） A. n<-m<m<-n B. -m<n<-n<m C. -n<-m<n<m D. -m<-n<n<m (二)绝对值的非负性 例题精析 例 3 (1)若|m-6|有最小值，则当 m=＿＿＿ 时，取最小值，最小值为＿＿＿。 (2)若|m-2|+|n-6|=0，则 m=＿＿＿，n=＿＿＿。 (3)5-|m|有最＿＿＿（填“大”或“小”）值，这个最(大)小值是＿＿＿。 ▍思路点拨 本题主要考查了绝对值的非负数。 (1)根据|m-6|≥0 得到若|m-6|有最小值，则|m-6|=0，据此可得答案； (2)根据绝对值的非负性可得|m-2|=|n-6|=0，则 m-2=0,n-6=0，据此可得答案； (3)根据绝对值的非负性可得 5-|m|≤5，据此可得答案。 ▍过程详解 解： (1)因为|m-6|≥0，所以若|m-6|有最小值，则|m-6|=0，所以 m-6=0，所以 m=6，所以当 m=6 时，|m-6|取最小值，最小值为 0。故答案为 6；0。 (2)因为|m-2|+|n-6|=0，|m-2|≥0，|n-6|≥0，所以|m-2|=|n-6|=0，所以 m-2=0,n-6=0，所以 m=2,n=6。故答案为 2；6。 (3)因为|m|≥0，所以-|m|≤0，所以 5-|m|≤5，所以 5-|m|有最大值，最大值为 5。故答案为大；5。 ▍总结升华 绝对值的非负性：|a|≥0，a 为任意的有理数。 变式 3 (1)已知|a-2|+|b-1|=0，则 a+b 的值是＿＿＿。 (2)当 a=＿＿＿ 时，|1-a|+2 有最小值，最小值是＿＿＿。 (三)与绝对值的有关计算 例题精析 例 4 已知|x|=5，|y-4|=1，|x-y|=y-x，求 x+y 的值。 ▍思路点拨 先去绝对值，求得 x=5 或 x=-5，y=5 或 y=3，再根据|x-y|=y-x，得到 x≤ y，最后分 x=5,y=5，或 x=-5,y=5，或 x=-5,y=3，分别代入 x+y 求解。 ▍过程详解 解：因为|x|=5，|y-4|=1，所以 x=±5，y-4=±1，即 x=5 或 x=-5，y=5 或 y=3。因为|x-y|=y-x，所以 x-y≤0，即 x≤ y，所以 x=5,y=5，或 x=-5,y=5，或 x=-5,y=3。当 x=5,y=5 时，x+y=10；当 x=-5,y=5 时，x+y=0；当 x=-5,y=3 时，x+y=-2。所以 x+y 的值为 10 或 0 或-2。 ▍总结升华 去绝对值符号关键是要清楚绝对值里面的符号是正号还是负号，如果确定不了正负就要分类讨论。 变式 4 已知|a|=3，|b|=5，且 a>b，求 a,b 值。 (四)数轴上点的对称(折叠)问题 例题精析 例 5 已知在纸面上有一数轴(如图)，折叠纸面。 (1)若折叠后，数 1 表示的点与数-1 表示的点重合，则此时数-2 表示的点与数＿＿＿表示的点重合。 (2)若折叠后，数 3 表示的点与数-1 表示的点重合，则： ①数 5 表示的点与数＿＿＿表示的点重合； ②若这样折叠后，数轴上有 A,B 两点也重合，且 A,B 两点之间的距离为 9(点 A 在点 B 的左侧)，则点 A 表示的数为＿＿＿，点 B 表示的数为＿＿＿。 ▍思路点拨 (1)数 1 表示的点与数-1 表示的点重合，则这两点关于原点对称，求出-2 关于原点的对称点即可； (2)若折叠后，数 3 表示的点与数-1 表示的点重合，则这两点一定关于数 1 表示的点对称，即两个数的平均数是 1，若这样折叠后，数轴上有 A,B 两点也重合，且 A,B 两点之间的距离为 9(点 A 在点 B 的左侧)，则这两点到 1 的距离是 4.5，即可求解。 ▍过程详解 解： (1)2 (2)①-3 ②-3.5 5.5 ▍总结升华 借助数轴理解比较直观形象。由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想。 变式 5 已知在纸面上有一数轴(如图)，折叠纸面。例如：若数轴上数 2 表示的点与数-2 表示的点重合，则数轴上数-4 表示的点与数 4 表示的点重合。现在若数轴上数-3 表示的点与数 1 表示的点重合。根据你对例题的理解，请依据此情境解决下列问题： (1)数轴上数 4 表示的点与数＿＿＿表示的点重合。 (2)若点 A 到原点的距离是 6 个单位长度，并且 A,B 两点经折叠后重合，则点 B 表示的数是＿＿＿。 (3)若数轴上 M,N 两点之间的距离为 2020，并且 M,N 两点经折叠后重合，如果点 M 表示的数比点 N 表示的数大，则点 M 表示的数是＿＿＿，点 N 表示的数是＿＿＿。 (五)相反数的相关问题 例题精析 例 6 有理数 a,b 在数轴上的位置如图所示。 (1)在数轴上分别用 A,B 两点表示-a,-b。 (2)若数 b 与-b 表示的点相距 20 个单位长度，则 b 与-b 表示的数分别是什么？ (3)在(2)的条件下，若数 a 表示的点与数 b 的相反数表示的点相距 5 个单位长度，则 a 与-a 表示的数是多少？ ▍思路点拨 (1)根据互为相反数的定义确定出表示-a,-b 的两点的位置； (2)相反数到原点的距离相等即可求出 b 与-b 表示的数； (3)利用数轴确定点的位置。 ▍过程详解 解： (1)如图。 (2)数 b 与其相反数相距 20 个单位长度，则 b 表示的点到原点的距离为 20÷2=10，所以 b 表示的数是-10，-b 表示的数是 10。 (3)因为数-b 表示的点到原点的距离为 10，而数 a 表示的点与数 b 的相反数表示的点相距 5 个单位长度，所以数 a 表示的点到原点的距离为 10-5=5，所以 a 表示的数是 5，-a 表示的数是-5。 ▍总结升华 熟练掌握相反数的定义：互为相反数(0 除外)的两个数在原点的两侧，并且到原点的距离相等。 变式 6 如图，图中数轴的单位长度为 1。请回答下列问题： (1)如果点 A,B 表示的数是互为相反数，那么点 C 表示的数是多少？ (2)如果点 D,B 表示的数是互为相反数，那么点 C,D 表示的数是多少？ (六)数轴上动点问题 例题精析 例 7 已知 M,N 在数轴上，点 M 对应的数是-3，点 N 在点 M 的右边，且距点 M 为 4 个单位长度，P,Q 是数轴上两个动点。 (1)直接写出点 N 所对应的数：＿＿＿。 (2)当点 P 到点 M,N 的距离之和是 5 个单位长度时，点 P 对应的数是多少？ (3)如果点 P,Q 分别从点 M,N 出发，均沿数轴向左运动，点 P 每秒走 2 个单位长度，先出发 5 秒钟，点 Q 每秒走 3 个单位长度，当 P,Q 两点相距 2 个单位长度时，点 P,Q 对应的数各是多少？ ▍思路点拨 (1)根据向右就做加法，列式求解； (2)根据两点间的距离公式列方程求解； (3)设点 P 运动时间为 t，列方程求出 t 的值，再求点 P,Q 对应的数。 ▍过程详解 解： (1)-3+4=1。故答案为 1。 (2)设点 P 表示的数为 x，则|x+3|+|x-1|=5，解得 或 。故点 P 对应的数为-3.5 或 1.5。 (3)设点 P 运动的时间为 t 秒，则点 Q 运动的时间为(t-5)秒，由题意得|(-3-2t)-[1-3(t-5)]|=2，解得 t=17 或 t=21，当 t=17 时，点 P 表示的数为-3-34=-37，点 Q 表示的数为 1-36=-35；当 t=21 时，点 P 表示的数为-3-42=-45，点 Q 表示的数为 1-48=-47。 ▍总结升华 数轴上动点问题通常需要用到数形结合思想、方程思想和分类讨论思想，这点值得注意。 变式 7 点 A,B,C 在数轴上表示的数 a,b,c 满足，且 a 是绝对值最小的有理数。 (1)a 值为＿＿＿，b 的值为＿＿＿，c 的值为＿＿＿。 (2)已知 P,Q 是数轴上的两个动点，点 P 从点 B 出发，以 4 个单位长度/秒的速度向右运动，点 Q 从点 C 出发，速度为 2 个单位长度/秒。 ①若在点 P 出发的同时点 Q 向左运动，几秒时点 P 和点 Q 在数轴上相遇？ ②若点 P 运动到点 A 处，动点 Q 再出发，也向右运动，则点 P 运动几秒时这两点之间的距离为 2 个单位长度？ (七)有理数的实际应用 例题精析 例 8 萧红中学排球队购进一批新的排球，并对新的排球进行了质量检测。有 5 个排球，以每个 270 克作为标准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数。 (1)这 5 个排球中，最接近标准的那个排球为＿＿＿克。 (2)以每个排球 270 克为标准，这 5 个排球超过多少千克或者不足多少千克？ (3)店家需要快递寄给萧红中学这 5 个排球，已知快递首重不超过 1 千克为 12 元，如果超过 1 千克，按照每增加 1 千克增加 2 元，不足 1 千克按 1 千克计算，则店家需要付多少运费？ ▍思路点拨 (1)根据绝对值越小，越接近标准； (2)求出 5 个排球的实际重量和标准 5 个排球的重量差即可； (3)由实际重量 1.3491 千克可知为 1 千克和 0.3491 千克，根据快递收费标准计算即可。 ▍过程详解 解： (1)因为|-0.6|<|0.7|<|-2.5|<|-3.5|<|5|，270-0.6=269.4(克)，所以这 5 个排球中，最接近标准的那个排球为 269.4 克。故答案为 269.4。 (2)5-3.5+0.7-2.5-0.6=-0.9(克)=-0.0009(千克)，所以这 5 个排球不足 0.0009 千克。 (3)270×5-0.9=1350-0.9=1349.1(克)，因为 1349.1 克=1.3491 千克，1 千克 12 元，超过的 0.3491 千克为 2 元，12+2=14(元)，所以店家需要付 14 元运费。 ▍总结升华 用绝对值来计算偏差。 变式 8 某交警每天都开车在南北走向的大街上巡逻，假定从出发点开始，向南为正，向北为负，他这天下午巡逻记录里程如下(单位：km)：+15，-3，+14，-11，+10，+4，-26。 (1)这位交警在第几个路段行车里程最远？为多少千米？ (2)若汽车耗油量为 0.1L/km，这天下午汽车共耗油多少升？ 链接好题 实数 a 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A. -1<a<-a<1 B. -1<-a<1<a C. a<-1<-a<1 D. a<-1<1<-a 参考答案与方法指导 变式训练 1. (1)-(-3)=3，，如图。 (2)利用数轴比较可知，。 (3)存在，它们是-(-3)与-3。 2. B 【解析】因为|m|>|n|，且 m>0,n<0，所以在数轴上表示如图。 所以-m<n<-n<m。故选 B。 3. (1)因为|a-2|≥0，|b-1|≥0，|a-2|+|b-1|=0，所以 a-2=0,b-1=0，所以 a=2,b=1，所以 a+b=3。故答案为 3。 (2)因为|1-a|≥0，所以当 1-a=0 时，|1-a|=0，此时|1-a|+2 有最小值，所以当 a=1 时，|1-a|+2 有最小值，最小值是 2。故答案为 1；2。 4. 因为|a|=3，|b|=5，所以 a=±3,b=±5。因为 a>b，所以 a=3,b=-5 或 a=-3,b=-5。 5. (1)因为数轴上数-3 表示的点与数 1 表示的点关于数-1 表示的点对称，所以数轴上数 4 表示的点与数-6 表示的点重合。故答案为-6。 (2)因为点 A 到原点的距离是 6 个单位长度，所以点 A 表示的数为 6 或-6。因为 A,B 两点经折叠后重合，所以当点 A 表示-6 时，点 B 表示的数是 4；当点 A 表示 6 时，点 B 表示的数是-8。故答案为 4 或-8。 (3)M,N 两点之间的距离为 2020，并且 M,N 两点经折叠后重合，因为点 M 表示的数比点 N 表示的数大，所以点 M 表示的数是 1009，点 N 表示的数是-1011。故答案为 1009；-1011。 6. (1)如图 1，O 为原点，点 C 表示的数是-1。 (2)如图 2，O 为原点，点 C 表示的数是 0.5，点 D 表示的数是-4.5。 7. (1)因为 a 是绝对值最小的有理数，所以 a=0，因为，所以 b+10=0,c-14=0，所以 b=-10,c=14。故答案为 0；-10；14。 (2)①点 P 表示的数为-10+4t，点 Q 表示的数为 14-2t，点 P,Q 相遇即这两个动点表示的数是同一个数。即-10+4t=14-2t，解得 t=4，故 4 秒时点 P 和点 Q 在数轴上相遇。 ②点 P 表示的数为-10+4t，Q 表示的数为 14+2(t-2.5)=2t+9，点 P,Q 相遇前相距 2 个单位长度，则 2t+9-(-10+4t)=2，解得 t=8.5；点 P,Q 相遇后相距 2 个单位长度，则-10+4t-(2t+9)=2，解得 t=10.5。故点 P 运动 8.5 秒或 10.5 秒时这两点之间的距离为 2 个单位长度。 8. (1)由题意得|+15|=15，|-3|=3，|+14|=14，|-11|=11，|+10|=10，|+4|=4，|-26|=26，因为 3<4<10<11<14<15<26，所以最后一个路段行车里程最远为 26km。 (2)由题意得 0.1×(|+15|+|-3|+|+14|+|-11|+|+10|+|4|+|26|)=0.1×83=8.3(L)。答：这天下午汽车共耗油 8.3L。 链接好题 D 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $