第1节 集合与常用逻辑用语 专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第1节 集合与常用逻辑用语 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 集合的表示法（列举法、描述法）与交、并、补运算；空集是任何集合的子集 ② 子集、真子集关系与元素个数的计算 ③ 集合与方程、整数的综合：先把集合化成列举形式，再做运算 ④ 充分条件、必要条件的判断：转化为集合的包含关系或用反例说明 ⑤ 全称量词与存在量词命题的否定与真假判定 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合 A = {−1, 0, 1, 2}，B = {x | − x = 0}，则 A ∩ B = A. {0} B. {1} C. {0, 1} D. {−1, 0, 1} 2. 已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，A = {1, 3, 5}，B = {2, 3, 4}，则 (A) ∪ B = A. {2, 3, 4} B. {2, 4, 6} C. {2, 3, 4, 6} D. {1, 2, 3, 4, 5, 6} 3. 命题“∀x ∈ R， + 1 > 0”的否定是 A. ∀x ∈ R， + 1 ≤ 0 B. ∃x ∈ R， + 1 ≤ 0 C. ∃x ∈ R， + 1 > 0 D. ∀x ∈ R， + 1 < 0 4. “x > 1”是“ > 1”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设集合 A = {0, 1, 2}，则 A 的真子集个数为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 设 M = {x | x = 2k + 1，k ∈ Z}，N = {x | x = 4k + 1，k ∈ Z}，则 M 与 N 的关系是 A. M = N B. N ⊊ M C. M ⊊ N D. M ∩ N = ∅ 7. 已知集合 A = {1, 2, 3}，B = {x | − (a + 1)x + a = 0}，若 B ⊆ A，则实数 a 的取值个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知 p：方程 − 3x + a = 0 有实数根；q：a ≤ ，则 p 是 q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 已知集合 A = {x | − 5x + 6 = 0}，B = {x | − x − 2 = 0}，C = {1, 2, 3}，则下列结论正确的是 A. A ∩ B = {2} B. A ∪ B = {−1, 2, 3} C. A ∩ C = {2, 3} D. B ∪ C = {1, 2, 3} 10. 下列命题中为真命题的是 A. ∀x ∈ R， + 2x + 2 > 0 B. ∃x ∈ R， + 1 = 0 C. ∀x ∈ {1, 2}， − 3x + 2 = 0 D. ∃x ∈ Z， = x 11. 设 a，b ∈ R，则下列结论正确的是 A. “a > b”是“ > ”的既不充分也不必要条件 B. “a > b > 0”是“ < ”的充分不必要条件 C. “a + b > 2”是“a > 1 且 b > 1”的必要不充分条件 D. “a > 1”是“ < 1”的充要条件 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 设集合 A = {1, 2, 3, 4}，B = {x | x = 2k，k ∈ A}，则 A ∩ B 中元素的个数为___________。 13. 已知集合 A = {1, 2}，B = {x | − 3x + a = 0}，若 B ⊆ A，则实数 a 的取值范围是___________。 14. 若命题“∃x ∈ [0, 3]， − 4x + a ≤ 0”是假命题，则实数 a 的取值范围是___________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合 A = {x | − 5x + 6 = 0}，B = {x | mx − 1 = 0}。 （1）当 m = 1 时，求 A ∩ B 与 A ∪ B； （2）若 B ⊆ A，求实数 m 的取值集合。 16. 已知 p：方程 + 2x + a = 0 有两个不相等的实数根； q：方程 + 2ax + 1 = 0 没有实数根。 （1）若 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）若“p 且 q”为真命题，求实数 a 的取值范围； （3）若“p 或 q”为真命题，“p 且 q”为假命题，求实数 a 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第1节 集合与常用逻辑用语 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 列举法与交集运算 数学运算 基础 C 2 单项选择题 5 补集与并集运算 数学运算 基础 C 3 单项选择题 5 全称量词命题的否定 逻辑推理 基础 B 4 单项选择题 5 充分必要条件的判断 逻辑推理 基础 A 5 单项选择题 5 子集与真子集的个数 数学运算 基础 C 6 单项选择题 5 描述法、真子集关系的判定 逻辑推理 中档 B 7 单项选择题 5 含参方程与子集关系 数学运算 中档 C 8 单项选择题 5 判别式与充要条件 逻辑推理 中档 C 9 多项选择题 6 方程根集合的交并运算 数学运算 中档 ABC 10 多项选择题 6 量词命题的真假判定 逻辑推理 中档 ACD 11 多项选择题 6 充分必要条件的综合判断 逻辑推理 中档 ABC 12 填空题 5 列举法与交集的元素个数 数学运算 基础 2 13 填空题 5 含参方程、子集与空集讨论 数学运算 中档 {2} ∪ ({f|9|4}, +∞) 14 填空题 5 量词命题的否定、配方法求最值 逻辑推理 中档 (4, +∞) 15 解答题 13 子集关系与含参分类讨论 数学运算、逻辑推理 中档 见解析 16 解答题 14 判别式、复合命题真假、逻辑推理 逻辑推理、数学运算 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第1节 集合与常用逻辑用语 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 集合的表示法（列举法、描述法）与交、并、补运算；空集是任何集合的子集 ② 子集、真子集关系与元素个数的计算 ③ 集合与方程、整数的综合：先把集合化成列举形式，再做运算 ④ 充分条件、必要条件的判断：转化为集合的包含关系或用反例说明 ⑤ 全称量词与存在量词命题的否定与真假判定 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合 A = {−1, 0, 1, 2}，B = {x | − x = 0}，则 A ∩ B = A. {0} B. {1} C. {0, 1} D. {−1, 0, 1} 【答案】C 【解析】先求集合 B：由 − x = 0 得 x(x − 1) = 0，解得 x = 0 或 x = 1，所以 B = {0, 1}。 再取公共元素：A = {−1, 0, 1, 2} 与 B = {0, 1} 的公共元素为 0 和 1，故 A ∩ B = {0, 1}。 【考查知识点】集合的列举法、一元二次方程的解法、交集运算 【易错点】求交集时把只在其中一个集合出现的元素也写进结果；集合中元素重复出现时只算一次 2. 已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，A = {1, 3, 5}，B = {2, 3, 4}，则 (A) ∪ B = A. {2, 3, 4} B. {2, 4, 6} C. {2, 3, 4, 6} D. {1, 2, 3, 4, 5, 6} 【答案】C 【解析】先求补集：在全集 U 中去掉 A 的元素 1、3、5，得补集为 {2, 4, 6}。 再求并集：{2, 4, 6} ∪ {2, 3, 4} = {2, 3, 4, 6}，重复元素只写一次。 【考查知识点】补集与并集的运算、全集的概念 【易错点】补集必须相对于给定的全集 U 来求，不能默认全集为实数集；并集中重复元素只写一次 3. 命题“∀x ∈ R， + 1 > 0”的否定是 A. ∀x ∈ R， + 1 ≤ 0 B. ∃x ∈ R， + 1 ≤ 0 C. ∃x ∈ R， + 1 > 0 D. ∀x ∈ R， + 1 < 0 【答案】B 【解析】含一个量词的命题否定规则：改量词（∀ 换成 ∃，∃ 换成 ∀），否结论（> 换成 ≤，< 换成 ≥，= 换成 ≠），不改变变量的取值范围。 原命题的量词是“∀”，结论是“ + 1 > 0”，故它的否定是“∃x ∈ R， + 1 ≤ 0”。 【考查知识点】全称量词命题的否定 【易错点】只否定结论而忘记改量词（误选 A）；把“>”的否定写成“<”而漏掉等号（误选 D） 4. “x > 1”是“ > 1”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】正向：若 x > 1，则 > 1 成立，说明具备充分性。 反向：若 > 1，则 x > 1 或 x < −1，取 x = −2 满足 > 1 却不满足 x > 1，说明不具备必要性。 所以“x > 1”是“ > 1”的充分不必要条件。 【考查知识点】充分条件与必要条件的判断 【易错点】判断必要性时只考虑正数情形，忽略 x < −1 这一类反例；举反例是说明“不必要”最简捷的办法 5. 设集合 A = {0, 1, 2}，则 A 的真子集个数为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】含 3 个元素的集合，子集个数为 = 8。 真子集要去掉集合本身，故真子集个数为 8 − 1 = 7。 【考查知识点】子集与真子集的个数公式 【易错点】把“子集个数”与“真子集个数”混为一谈而误选 D；若问非空真子集，还要再去掉空集，个数为 6 6. 设 M = {x | x = 2k + 1，k ∈ Z}，N = {x | x = 4k + 1，k ∈ Z}，则 M 与 N 的关系是 A. M = N B. N ⊊ M C. M ⊊ N D. M ∩ N = ∅ 【答案】B 【解析】M 中的元素形如 2k + 1，即全体奇数；N 中的元素形如 4k + 1。 一方面，4k + 1 = 2(2k) + 1，仍是奇数，故 N 中的每一个元素都属于 M； 另一方面，取 k = 1 得 3 ∈ M，但 3 不能写成 4k + 1（k 为整数）的形式，故 3 ∉ N。 所以 N 是 M 的真子集，即 N ⊊ M。 【考查知识点】描述法表示的集合、集合包含关系的判定 【易错点】只验证“N 的元素都是奇数”就下结论，忽略还要举出属于 M 但不属于 N 的元素，才能说明是真子集 7. 已知集合 A = {1, 2, 3}，B = {x | − (a + 1)x + a = 0}，若 B ⊆ A，则实数 a 的取值个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】分解方程左边： − (a + 1)x + a = (x − 1)(x − a) = 0，故方程的根为 x = 1 或 x = a。 当 a = 1 时两根重合，B = {1}，满足 B ⊆ A； 当 a ≠ 1 时 B = {1, a}，由 B ⊆ A 得 a 只能取 2 或 3。 综上 a 可取 1、2、3，共 3 个值。 【考查知识点】一元二次方程的根、集合的列举与子集关系、元素的互异性 【易错点】忽略 a = 1 时两根相等、集合中同一元素只算一次的情形，导致漏解而误选 B 8. 已知 p：方程 − 3x + a = 0 有实数根；q：a ≤ ，则 p 是 q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】p 成立的条件是判别式 Δ = − 4a = 9 − 4a ≥ 0，解得 a ≤ 。 这恰好就是 q 所描述的条件，故 p 与 q 互为充要条件。 【考查知识点】一元二次方程根的判别式、充要条件的判断 【易错点】把“有实数根”与“有两个不相等的实数根”混淆，前者对应 Δ ≥ 0，后者才对应 Δ > 0 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 已知集合 A = {x | − 5x + 6 = 0}，B = {x | − x − 2 = 0}，C = {1, 2, 3}，则下列结论正确的是 A. A ∩ B = {2} B. A ∪ B = {−1, 2, 3} C. A ∩ C = {2, 3} D. B ∪ C = {1, 2, 3} 【答案】ABC 【解析】先化成列举形式：A 中 − 5x + 6 = 0 即 (x − 2)(x − 3) = 0，故 A = {2, 3}； B 中 − x − 2 = 0 即 (x − 2)(x + 1) = 0，故 B = {−1, 2}。 A 项：A ∩ B = {2}，正确； B 项：A ∪ B = {−1, 2, 3}，正确； C 项：A ∩ C = {2, 3} ∩ {1, 2, 3} = {2, 3}，正确； D 项：B ∪ C = {−1, 1, 2, 3}，选项中漏掉了 −1，错误。 【考查知识点】集合与方程的综合、交并运算 【易错点】判断 D 项时把 −1 漏掉；求并集时忘记重复元素只写一次 10. 下列命题中为真命题的是 A. ∀x ∈ R， + 2x + 2 > 0 B. ∃x ∈ R， + 1 = 0 C. ∀x ∈ {1, 2}， − 3x + 2 = 0 D. ∃x ∈ Z， = x 【答案】ACD 【解析】A 项： + 2x + 2 = + 1 ≥ 1 > 0 对一切实数成立，是真命题； B 项： + 1 = 0 即 = −1，在实数范围内无解，是假命题； C 项：x = 1 时 1 − 3 + 2 = 0，x = 2 时 4 − 6 + 2 = 0，两个值都使等式成立，是真命题； D 项： = x 即 x(x − 1) = 0，取 x = 0 或 x = 1，它们都是整数，是真命题。 【考查知识点】全称量词命题与存在量词命题真假的判定 【易错点】判定全称命题为真需要一般性证明（配方或因式分解），只代入个别值不足以说明；判定存在命题为真只需举出一个实例 11. 设 a，b ∈ R，则下列结论正确的是 A. “a > b”是“ > ”的既不充分也不必要条件 B. “a > b > 0”是“ < ”的充分不必要条件 C. “a + b > 2”是“a > 1 且 b > 1”的必要不充分条件 D. “a > 1”是“ < 1”的充要条件 【答案】ABC 【解析】A 项：取 a = −1，b = −2，有 a > b 但 = 1 < 4 = ，故不充分；取 a = −2，b = 1，有 > 但 a < b，故不必要，A 正确； B 项：a > b > 0 时两边取倒数得 < ，具备充分性；取 a = −1，b = 1，有 = −1 < 1 = ，但 a < b，故不必要，B 正确； C 项：由 a > 1 且 b > 1 可推出 a + b > 2，故 a + b > 2 是必要的；取 a = 3，b = 0，有 a + b > 2 但 b < 1，故不充分，C 正确； D 项：当 a < 0 时 < 0 < 1 恒成立，取 a = −1 满足 < 1 但 a < 1，故不必要，D 错误。 【考查知识点】充分条件、必要条件的综合判断与反例构造 【易错点】判断 D 项时只考虑 a > 0 的情形，忽略 a < 0 时倒数小于 0；判断充要条件必须正反两个方向都验证 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 设集合 A = {1, 2, 3, 4}，B = {x | x = 2k，k ∈ A}，则 A ∩ B 中元素的个数为___________。 【答案】2 【解析】由 k ∈ A = {1, 2, 3, 4} 且 x = 2k，得 B = {2, 4, 6, 8}。 于是 A ∩ B = {2, 4}，元素个数为 2。 【考查知识点】集合的列举法与交集运算、元素个数 【易错点】把 B 中的 6、8 也算进交集，忘记它们并不属于 A 13. 已知集合 A = {1, 2}，B = {x | − 3x + a = 0}，若 B ⊆ A，则实数 a 的取值范围是___________。 【答案】{2} ∪ (, +∞) 【解析】B 是方程 − 3x + a = 0 的实数根组成的集合，分两种情况讨论。 ① 当判别式 Δ = 9 − 4a < 0，即 a > 时，方程无实数根，B = ∅，空集是任何集合的子集，满足 B ⊆ A； ② 当 Δ ≥ 0 即 a ≤ 时，设两根为 、，则 + = 3， = a。 由 B ⊆ A = {1, 2}，两根都只能取 1 或 2，又两根之和为 3，故两根只能是 1 和 2，此时 a = 2。 综上，a 的取值范围是 {2} ∪ (, +∞)。 【考查知识点】含参一元二次方程、子集关系与空集的讨论 【易错点】只考虑方程有根的情形而漏掉 B = ∅（a > ）；或忽略两根之和为 3 的约束而多解 14. 若命题“∃x ∈ [0, 3]， − 4x + a ≤ 0”是假命题，则实数 a 的取值范围是___________。 【答案】(4, +∞) 【解析】存在量词命题为假，等价于它的否定为真，即“∀x ∈ [0, 3]， − 4x + a > 0”为真。 于是 a > −( − 4x) 在 [0, 3] 上恒成立，只需 a 大于 − + 4x 在 [0, 3] 上的最大值。 配方得 − + 4x = − + 4，当 x = 2 时取得最大值 4，且 2 ∈ [0, 3]。 故 a > 4，即 a 的取值范围是 (4, +∞)。 【考查知识点】存在量词命题的否定、恒成立问题与配方法求最值 【易错点】把“命题为假”转化成“不等式恒成立”时不等号方向写反；a = 4 时 x = 2 使不等式取等号，原命题反而为真，故不能取等号 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合 A = {x | − 5x + 6 = 0}，B = {x | mx − 1 = 0}。 （1）当 m = 1 时，求 A ∩ B 与 A ∪ B； （2）若 B ⊆ A，求实数 m 的取值集合。 【答案】解：（1）由 − 5x + 6 = 0 得 (x − 2)(x − 3) = 0，解得 x = 2 或 x = 3，所以 A = {2, 3}。 当 m = 1 时，方程 mx − 1 = 0 化为 x − 1 = 0，得 B = {1}。 所以 A ∩ B = ∅，A ∪ B = {1, 2, 3}。 （2）对 m 分情况讨论： ① 当 m = 0 时，方程化为 −1 = 0，无解，此时 B = ∅，空集是任何集合的子集，满足 B ⊆ A； ② 当 m ≠ 0 时，由 mx − 1 = 0 得 x = ，即 B = {}。 由 B ⊆ A = {2, 3} 得 = 2 或 = 3，解得 m = 或 m = 。 综上，m 的取值集合为 {0, , }。 【解析】本题的核心是把 B ⊆ A 转化成对参数 m 的分类讨论。 第（1）问先把 A 化成列举形式，再代入 m = 1 求出 B，最后做交、并运算。注意 A ∩ B 可以是空集，不能因为“求不出公共元素”就判定题目有误。 第（2）问最容易失分的是 m = 0 的情形：一次项系数为 0 时方程无解，B 为空集，而空集是任何集合的子集，条件自动成立。 非空时 B 是单元素集合，只需让这个元素等于 2 或 3，解出 m 即可。 【考查知识点】集合与方程的综合、子集关系、含参分类讨论与空集的特殊性 【易错点】（2）中漏掉 m = 0 时 B = ∅ 的情形；或误认为空集不是任何集合的子集 16. 已知 p：方程 + 2x + a = 0 有两个不相等的实数根； q：方程 + 2ax + 1 = 0 没有实数根。 （1）若 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）若“p 且 q”为真命题，求实数 a 的取值范围； （3）若“p 或 q”为真命题，“p 且 q”为假命题，求实数 a 的取值范围。 【答案】解：（1）p 为真，即方程 + 2x + a = 0 有两个不相等的实数根， 所以判别式 = − 4a = 4 − 4a > 0，解得 a < 1。 （2）先求 q 为真时 a 的范围。q 为真即方程 + 2ax + 1 = 0 没有实数根， 所以判别式 = − 4 = − 4 < 0，解得 −1 < a < 1。 “p 且 q”为真，即 p、q 同时为真：由 a < 1 且 −1 < a < 1，得 −1 < a < 1。 （3）由“p 或 q”为真且“p 且 q”为假，知 p 与 q 恰有一个为真。 因为 −1 < a < 1 时必有 a < 1，即 q 真时 p 必真，所以“p 假 q 真”的情形不存在。 只能是 p 真 q 假：由 p 真得 a < 1，由 q 假得 a ≤ −1 或 a ≥ 1。 两者取公共部分，得 a ≤ −1。 所以实数 a 的取值范围是 (−∞, −1]。 【解析】先用判别式把两个命题分别翻译成关于 a 的条件：p 对应 a < 1，q 对应 −1 < a < 1。 第（2）问取两个条件的公共部分即可。 第（3）问的关键是先比较两个条件的包含关系：由 −1 < a < 1 可推出 a < 1，说明 q 真时 p 一定真，于是“p 假 q 真”不可能发生，只剩“p 真 q 假”一种情况。 求 q 假时注意“没有实数根”的否定是“有实数根”，对应 Δ ≥ 0，即 a ≤ −1 或 a ≥ 1，端点不能丢。 【考查知识点】一元二次方程根的判别式、复合命题真假的判定、集合包含关系在逻辑中的应用 【易错点】（1）中把“两个不相等的实数根”写成 Δ ≥ 0；（3）中不比较 p、q 的范围就机械分两类，容易多解；求 q 假时遗漏端点 a = ±1 学科网（北京）股份有限公司 $