第2节一元二次不等式与基本不等式专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第2节 一元二次不等式与基本不等式 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 一元二次不等式的解法：化为标准形式后求出对应方程的根，再结合开口方向写出解集 ② 含参数一元二次不等式的分类讨论：先按二次项系数是否为零，再按判别式与两根大小分层讨论 ③ 基本不等式的适用条件：一正、二定、三相等，三者缺一不可 ④ “1 的代换”与凑配法：把常数 1 或已知的和式整体代入，凑出定值后再用基本不等式求最值 ⑤ 一元二次不等式的恒成立与解集含参问题：转化为判别式、最值或集合的包含关系来处理 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 不等式 − 3x − 4 < 0 的解集是 A. (−1, 4) B. (−4, 1) C. (−∞, −1) ∪ (4, +∞) D. (−∞, −4) ∪ (1, +∞) 2. 已知 x > 0，则 x + 的最小值为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 某智慧农业大棚内，作物生长适宜的温度 t（单位：℃）满足 − + 8t − 12 ≥ 0，则 t 的取值范围是 A. [2, 6] B. [3, 4] C. (−∞, 2] ∪ [6, +∞) D. [6, +∞) 4. 已知 a > 0，b > 0，且 a + b = 4，则 ab 的最大值为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 关于 x 的不等式 + bx + c < 0 的解集为 (1, 3)，则 b + c = A. −1 B. 1 C. −7 D. 7 6. 已知关于 x 的不等式 − 6x + a < 0 的解集中恰有一个整数，则实数 a 的取值范围是 A. [8, 9) B. (8, 9) C. [8, 9] D. (8, 9] 7. 已知 a > 0，b > 0，且 a + b = 1，则 + 的最小值为 A. 5 B. 8 C. 9 D. 10 8. 某车企测试电池组时发现，某型号电池在温度 t（单位：℃）下的续航衰减量满足 q = − 2t + a。若对任意 t ∈ R 都有 q > 0，则实数 a 的取值范围是 A. (1, +∞) B. [1, +∞) C. (−∞, 1) D. (−∞, 1] 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 已知 a > 0，b > 0，且 a + b = 2，则下列结论正确的是 A. ab ≤ 1 B. + ≥ 2 C. + ≥ 2 D. + ≥ 2 10. 关于 x 的不等式 + bx + c > 0 的解集为 (−1, 2)，则下列结论正确的是 A. a < 0 B. 不等式 + bx + c < 0 的解集为 (−∞, −1) ∪ (2, +∞) C. a + b = 0 D. c = 2a 11. 下列命题中正确的是 A. 当 x > 0 时，x + 的最小值为 2 B. 当 x < 0 时，x + 的最大值为 −2 C. 当 x ∈ R 时， + 的最小值为 1 D. 当 0 < x < 时，x(1 − 2x) 的最大值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 不等式 (x − 1)(2x + 1) ≤ 0 的解集为___________。 13. 若不等式 − ax + 1 > 0 对任意 x ∈ (0, 2] 恒成立，则实数 a 的取值范围是___________。 14. 已知 x > 0，y > 0，且 x + 2y = 1，则 + 的最小值为___________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某快递公司在测算分拣线负载时，需要解关于 x 的不等式 − (a + 1)x + 1 < 0，其中 a 为实数。 （1）当 a = 2 时，求该不等式的解集； （2）求该不等式的解集。 16. 某智慧农业基地对大棚温度 t（单位：℃）进行分区管控。 记不等式 − 8t + a ≤ 0 的解集为 A，不等式 − 8t + 15 > 0 的解集为 B。 （1）当 a = 12 时，求 A 与 B； （2）若 A ∩ B = ∅，求实数 a 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第2节 一元二次不等式与基本不等式 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 一元二次不等式的解法：化为标准形式后求出对应方程的根，再结合开口方向写出解集 ② 含参数一元二次不等式的分类讨论：先按二次项系数是否为零，再按判别式与两根大小分层讨论 ③ 基本不等式的适用条件：一正、二定、三相等，三者缺一不可 ④ “1 的代换”与凑配法：把常数 1 或已知的和式整体代入，凑出定值后再用基本不等式求最值 ⑤ 一元二次不等式的恒成立与解集含参问题：转化为判别式、最值或集合的包含关系来处理 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 不等式 − 3x − 4 < 0 的解集是 A. (−1, 4) B. (−4, 1) C. (−∞, −1) ∪ (4, +∞) D. (−∞, −4) ∪ (1, +∞) 【答案】A 【解析】先把左边因式分解： − 3x − 4 = (x − 4)(x + 1)，对应方程的两根为 x = −1 与 x = 4。 二次项系数为 1 > 0，二次函数图象开口向上，不等式取“< 0”时解集在两根之间。 所以解集为 (−1, 4)。 【考查知识点】一元二次不等式的解法、因式分解与解集的确定 【易错点】把两根的大小顺序写反而误选 B；或把“小于 0 取两根之间”记成“取两根之外”而误选 C 2. 已知 x > 0，则 x + 的最小值为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】因为 x > 0，所以 > 0，两项都是正数，可以使用基本不等式。 由基本不等式得 x + ≥ 2 = 2 = 4。 当且仅当 x = ，即 = 4、x = 2 时取等号，所以最小值为 4。 【考查知识点】基本不等式求最值、等号成立条件的检验 【易错点】忘记检验等号能否取到；或把 2 中的系数算错，误以为最小值是 2 的一半 3. 某智慧农业大棚内，作物生长适宜的温度 t（单位：℃）满足 − + 8t − 12 ≥ 0，则 t 的取值范围是 A. [2, 6] B. [3, 4] C. (−∞, 2] ∪ [6, +∞) D. [6, +∞) 【答案】A 【解析】先把二次项系数化为正数：两边同乘 −1，不等号方向改变，得 − 8t + 12 ≤ 0。 因式分解得 (t − 2)(t − 6) ≤ 0，对应方程的两根为 t = 2 与 t = 6。 二次函数图象开口向上，取“≤ 0”时解集在两根之间且含端点，所以 t 的取值范围是 [2, 6]。 【考查知识点】二次项系数为负的一元二次不等式的处理、实际问题中的取值范围 【易错点】两边同乘 −1 时忘记改变不等号方向，从而误选 C 4. 已知 a > 0，b > 0，且 a + b = 4，则 ab 的最大值为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】由基本不等式，ab ≤ (){^|2|}，这里和为定值 4，符合“二定”的要求。 于是 ab ≤ (){^|2|} = 4。 当且仅当 a = b = 2 时取等号，此时 a > 0、b > 0 均满足，所以 ab 的最大值为 4。 【考查知识点】基本不等式在积的最值问题中的应用 【易错点】把 ab ≤ (){^|2|} 记成 ab ≤ ()，漏掉平方而误选 A 5. 关于 x 的不等式 + bx + c < 0 的解集为 (1, 3)，则 b + c = A. −1 B. 1 C. −7 D. 7 【答案】A 【解析】二次项系数为 1 > 0，解集 (1, 3) 在两根之间，故对应方程 + bx + c = 0 的两根为 1 和 3。 由根与系数的关系得 1 + 3 = −b，1 × 3 = c，所以 b = −4，c = 3。 于是 b + c = −4 + 3 = −1。 【考查知识点】一元二次不等式解集与方程根的关系、根与系数的关系 【易错点】由两根之和得 b = −4 时漏掉负号，从而算出 b + c = 7 而误选 D 6. 已知关于 x 的不等式 − 6x + a < 0 的解集中恰有一个整数，则实数 a 的取值范围是 A. [8, 9) B. (8, 9) C. [8, 9] D. (8, 9] 【答案】A 【解析】先配方： − 6x + a < 0 即 < 9 − a。 当 9 − a ≤ 0 即 a ≥ 9 时，左边非负而右边不大于 0，不等式无解，解集中整数个数为 0，不合题意。 当 a < 9 时，解集为 (3 − , 3 + )，它关于 3 对称，整数 3 必在其中。 整数 2 与 4 同时进入解集的条件是 > 1，即 a < 8；要恰有一个整数，需 0 < ≤ 1。 解得 0 < 9 − a ≤ 1，即 8 ≤ a < 9。当 a = 8 时解集为 (2, 4)，其中只有整数 3，符合题意。 所以 a 的取值范围是 [8, 9)。 【考查知识点】含参一元二次不等式、解集中整数个数的讨论 【易错点】端点是失分重灾区：a = 8 时区间端点恰好是整数 2 与 4，开区间不含端点，仍只有一个整数，故左端要取等号；a = 9 时解集为空，右端不能取等号 7. 已知 a > 0，b > 0，且 a + b = 1，则 + 的最小值为 A. 5 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】所求式子中 与 的积不是定值，不能直接套用基本不等式，要先用“1 的代换”。 因为 a + b = 1，所以 + = ( + )(a + b) = 1 + + + 4 = 5 + + 。 又 + ≥ 2 = 2 = 4，当且仅当 = ，即 b = 2a 时取等号。 结合 a + b = 1 得 a = ，b = ，此时取到最小值 5 + 4 = 9。 【考查知识点】“1 的代换”求最值、基本不等式等号成立条件的联立 【易错点】直接用 ab ≤ 去估计 + ≥ ≥ 8，得到 8 而误选 B，但该等号要求 a = 2b 与 a = b 同时成立，做不到 8. 某车企测试电池组时发现，某型号电池在温度 t（单位：℃）下的续航衰减量满足 q = − 2t + a。若对任意 t ∈ R 都有 q > 0，则实数 a 的取值范围是 A. (1, +∞) B. [1, +∞) C. (−∞, 1) D. (−∞, 1] 【答案】A 【解析】“对任意 t ∈ R 都有 − 2t + a > 0”就是二次函数 y = − 2t + a 的图象全部在横轴上方。 二次项系数为 1 > 0，图象开口向上，恒为正的充要条件是判别式小于 0。 由 Δ = − 4a = 4 − 4a < 0，解得 a > 1。 当 a = 1 时 q = ，在 t = 1 处等于 0，不满足“恒为正”，故端点不能取。 所以 a 的取值范围是 (1, +∞)。 【考查知识点】一元二次不等式恒成立问题与判别式 【易错点】把“恒为正”写成 Δ ≤ 0 而误选 B；开口向上时 Δ = 0 对应图象与横轴相切，此时最小值为 0，不满足严格大于 0 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 已知 a > 0，b > 0，且 a + b = 2，则下列结论正确的是 A. ab ≤ 1 B. + ≥ 2 C. + ≥ 2 D. + ≥ 2 【答案】ABC 【解析】A 项：由基本不等式 ab ≤ (){^|2|} = 1，当 a = b = 1 时取等号，正确； B 项： + = = ，由 A 项知 ab ≤ 1，于是 ≥ 2，正确； C 项：由 + ≥ = = 2，当 a = b = 1 时取等号，正确； D 项：由 ( + ){^|2|} ≤ 2(a + b) = 4 得 + ≤ 2，方向恰好相反。取 a = ，b = 代入， + < 2，故 D 错误。 【考查知识点】基本不等式的几个常用推论与等号成立条件 【易错点】D 项把平方和不等式与和平方不等式的方向记混；判断 B 项时要先由 A 项得到 ab 的上界，再取倒数 10. 关于 x 的不等式 + bx + c > 0 的解集为 (−1, 2)，则下列结论正确的是 A. a < 0 B. 不等式 + bx + c < 0 的解集为 (−∞, −1) ∪ (2, +∞) C. a + b = 0 D. c = 2a 【答案】ABC 【解析】解集 (−1, 2) 是有限区间，又不等式取“> 0”，说明二次函数图象开口向下，即 a < 0，且对应方程的两根为 −1 与 2。 于是 + bx + c = a(x + 1)(x − 2) = a( − x − 2) = − ax − 2a，故 b = −a，c = −2a。 A 项：由上面的分析知 a < 0，正确； B 项：开口向下时取“< 0”，解集在两根之外，即 (−∞, −1) ∪ (2, +∞)，正确； C 项：由 b = −a 得 a + b = 0，正确； D 项：c = −2a，因为 a < 0 所以 c = −2a ≠ 2a，错误。 【考查知识点】由一元二次不等式的解集反推系数关系 【易错点】D 项最容易看错符号，事实上 c = −2a；另外不要忘记由解集为有限区间即可断定 a < 0 11. 下列命题中正确的是 A. 当 x > 0 时，x + 的最小值为 2 B. 当 x < 0 时，x + 的最大值为 −2 C. 当 x ∈ R 时， + 的最小值为 1 D. 当 0 < x < 时，x(1 − 2x) 的最大值为 【答案】ABC 【解析】A 项：x > 0 时 x + ≥ 2 = 2，当 x = 1 时取等号，正确； B 项：x < 0 时令 u = −x > 0，则 x + = −(u + ) ≤ −2，当 u = 1 即 x = −1 时取等号，最大值为 −2，正确； C 项：令 t = + 1 ≥ 1，则原式 = (t − 1) + = (t + ) − 1 ≥ 2 − 1 = 1，当 t = 1 即 x = 0 时取等号，正确； D 项：由 2x 与 1 − 2x 都是正数且和为 1，得 2x(1 − 2x) ≤ (){^|2|} = ，于是 x(1 − 2x) ≤ ，当 x = 时取到，最大值是 而不是 ，错误。 【考查知识点】基本不等式的适用条件、凑配法与最值的存在性 【易错点】B 项忽视了“一正”的条件，必须先提负号化为正数再用不等式；D 项凑配时漏掉系数 2，把最大值算成 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 不等式 (x − 1)(2x + 1) ≤ 0 的解集为___________。 【答案】[−, 1] 【解析】对应方程 (x − 1)(2x + 1) = 0 的两根为 x = − 与 x = 1。 不等式左边展开后二次项系数为 2 > 0，开口向上，取“≤ 0”时解集在两根之间且含端点。 所以解集为 [−, 1]。 【考查知识点】一元二次不等式的解法与区间表示 【易错点】把 2x + 1 = 0 的根算成 −2 而写成 [−2, 1]；解集含等号时端点要写成闭区间 13. 若不等式 − ax + 1 > 0 对任意 x ∈ (0, 2] 恒成立，则实数 a 的取值范围是___________。 【答案】(−∞, 2) 【解析】由 x ∈ (0, 2] 知 x > 0，可把不等式变形为 a < = x + 。 要对一切 x ∈ (0, 2] 成立，只需 a 小于 x + 在这个区间上的最小值。 由基本不等式 x + ≥ 2，当 x = 1 时取等号，而 1 ∈ (0, 2]，故最小值为 2。 于是 a < 2，即 a 的取值范围是 (−∞, 2)。 【考查知识点】不等式在给定区间上恒成立、分离参数与基本不等式求最值 【易错点】端点能不能取等号：a = 2 时取 x = 1 得 1 − 2 + 1 = 0，不满足严格大于 0，故不能写成 (−∞, 2] 14. 已知 x > 0，y > 0，且 x + 2y = 1，则 + 的最小值为___________。 【答案】3 + 2 【解析】用“1 的代换”： + = ( + )(x + 2y) = 1 + + + 2 = 3 + + 。 由基本不等式 + ≥ 2 = 2。 当且仅当 = ，即 x = y 时取等号，结合 x + 2y = 1 可解出 y = > 0，x = > 0，等号能够取到。 所以最小值为 3 + 2。 【考查知识点】“1 的代换”求最值、等号成立条件的验证 【易错点】把 ( + )(x + 2y) 展开时漏掉交叉项，只算成 3，从而误答 3 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某快递公司在测算分拣线负载时，需要解关于 x 的不等式 − (a + 1)x + 1 < 0，其中 a 为实数。 （1）当 a = 2 时，求该不等式的解集； （2）求该不等式的解集。 【答案】解：先把左边因式分解： − (a + 1)x + 1 = − ax − x + 1 = (ax − 1)(x − 1)。 （1）当 a = 2 时，不等式化为 (2x − 1)(x − 1) < 0。 对应方程的两根为 与 1，二次项系数 2 > 0，开口向上，解集在两根之间， 所以解集为 (, 1)。 （2）对参数 a 分情况讨论： ① 当 a = 0 时，不等式化为 −(x − 1) < 0，即 x > 1，解集为 (1, +∞)； ② 当 a < 0 时，二次函数图象开口向下，两根为 与 1，由 a < 0 得 < 0 < 1， 开口向下时取“< 0”，解集在两根之外，即 (−∞, ) ∪ (1, +∞)； ③ 当 a > 0 时，二次函数图象开口向上，解集在两根 与 1 之间，还要比较两根的大小： 当 0 < a < 1 时 > 1，解集为 (1, )； 当 a = 1 时两根重合，不等式化为 < 0，无解，解集为 ∅； 当 a > 1 时 < 1，解集为 (, 1)。 综上：a < 0 时解集为 (−∞, ) ∪ (1, +∞)；a = 0 时解集为 (1, +∞)； 0 < a < 1 时解集为 (1, )；a = 1 时解集为 ∅；a > 1 时解集为 (, 1)。 【解析】本题的关键是先因式分解，把含参不等式化成 (ax − 1)(x − 1) < 0，再对参数分层讨论。 第（1）问代入 a = 2，按“求根、看开口、写解集”的标准三步求解即可。 第（2）问最容易失分的是 a = 0：此时二次项消失，不等式退化为一次不等式 −(x − 1) < 0，不能再套用二次函数图象开口方向的结论。 a ≠ 0 时按“先分开口方向，再比两根大小”两级讨论：第一级分 a < 0 与 a > 0，第二级在 a > 0 内比较 与 1。 特别提醒 a = 1 的情形：两根重合时 < 0 无解，解集是空集 ∅，不是单元素集合 {1}。 书写时最后一定要把各情形的结果汇总，避免只写一半而被扣分。 【考查知识点】含参一元二次不等式的分类讨论、退化情形与空集 【易错点】漏掉 a = 0 时不等式退化成一次不等式；或漏掉 a = 1 时解集为空；a < 0 时误把“小于 0”的解写成两根之间 16. 某智慧农业基地对大棚温度 t（单位：℃）进行分区管控。 记不等式 − 8t + a ≤ 0 的解集为 A，不等式 − 8t + 15 > 0 的解集为 B。 （1）当 a = 12 时，求 A 与 B； （2）若 A ∩ B = ∅，求实数 a 的取值范围。 【答案】解：（1）当 a = 12 时， − 8t + 12 ≤ 0 化为 (t − 2)(t − 6) ≤ 0，解得 2 ≤ t ≤ 6， 所以 A = [2, 6]。 又 − 8t + 15 > 0 化为 (t − 3)(t − 5) > 0，解得 t < 3 或 t > 5， 所以 B = (−∞, 3) ∪ (5, +∞)。 （2）由 B = (−∞, 3) ∪ (5, +∞)，知 B 在实数集中的补集为 [3, 5]。 由 A ∩ B = ∅ 知 A 中的每一个数都不属于 B，即 A ⊆ [3, 5]。 下面对 A 是否为空集分类讨论。 方程 − 8t + a = 0 的判别式为 Δ = 64 − 4a。 ① 当 Δ < 0 即 a > 16 时，二次函数图象开口向上且与横轴没有公共点， 不等式 − 8t + a ≤ 0 无解，此时 A = ∅，空集与任何集合的交集都是空集，满足 A ∩ B = ∅； ② 当 Δ ≥ 0 即 a ≤ 16 时，方程两根为 t = = 4 − 与 t = 4 + ， 此时 A = [4 − , 4 + ]。 由 A ⊆ [3, 5] 得 4 − ≥ 3 且 4 + ≤ 5， 两个不等式都化为 ≤ 1，即 16 − a ≤ 1，解得 a ≥ 15。 结合 a ≤ 16，得 15 ≤ a ≤ 16。 综上，a 的取值范围是 [15, 16] ∪ (16, +∞)，即 [15, +∞)。 【解析】思路点睛：A ∩ B = ∅ 不要硬求交集，先把它翻译成 A ⊆ [3, 5]，也就是“解集被夹在一段闭区间内”，问题立刻明朗。 第（1）问是常规的因式分解，注意 B 对应的不等式是“> 0”，解集取两根之外，不要写成两根之间。 第（2）问最容易失分的是 a > 16 的情形：此时判别式小于 0，A 是空集，而空集与任何集合的交集都是空集，条件自动成立，必须单独讨论。 A 非空时把它写成闭区间，用“左端点不小于 3 且右端点不大于 5”列不等式组；这里两个条件化简后都是 ≤ 1，不必重复求解，但列式时两个都要写。 最后把两种情形的结果取并集，并化成最简形式 [15, +∞)，注意 16 这个点已经被第二种情形取到，不能再写成开区间。 【考查知识点】含参一元二次不等式解集、集合的补集与交集、空集的分类讨论 【易错点】忘记讨论 A = ∅（a > 9）的情形而只答 [8, 9]；或把 A ⊆ [2, 4] 只列一个端点条件，导致范围扩大 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第2节 一元二次不等式与基本不等式 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 一元二次不等式的解法 数学运算 基础 A 2 单项选择题 5 基本不等式求最小值 数学运算 基础 B 3 单项选择题 5 一元二次不等式的应用 数学运算 基础 A 4 单项选择题 5 基本不等式求积的最大值 数学运算 基础 B 5 单项选择题 5 解集与方程根的关系 数学运算 基础 A 6 单项选择题 5 含参不等式与整数解个数 逻辑推理 中档 A 7 单项选择题 5 “1 的代换”求最值 数学运算 中档 C 8 单项选择题 5 恒成立问题与判别式 逻辑推理 中档 A 9 多项选择题 6 基本不等式的推论 数学运算 中档 ABC 10 多项选择题 6 解集与系数符号的关系 逻辑推理 中档 ABC 11 多项选择题 6 最值的存在性与凑配法 数学运算 中档 ABC 12 填空题 5 一元二次不等式的解集 数学运算 基础 [−{f|1|2}, 1] 13 填空题 5 恒成立与分离参数 逻辑推理 中档 (−∞, 2) 14 填空题 5 “1 的代换”与最值 数学运算 中档 3 + 2{s|2} 15 解答题 13 含参一元二次不等式 数学运算、逻辑推理 中档 见解析 16 解答题 14 解集的包含关系与空集讨论 逻辑推理、数学运算 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $