解题大招 一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式、根式不等式、高次不等式解法训练-2027届高三数学一轮复习

一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式、根式不等式、高次不等式解法 题型一、 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤 1.化为标准形式； 2.求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3.画图：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图； 4.写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集。 口诀：大两分，小在中 注：取大于取两根两边，小于零取两根中间。 【例1】解下列一元二次不等式 (1) (2) (3)； (4). (5) 【答案】(1)； (2) (3)； (4). (5)或 【解析】(1)不等式可化为，解得，所以不等式的解集为； (2)不等式中，，所以不等式的解集为． (3)原不等式可化为，∵， ∴方程无实根，又二次函数的图象开口向上，∴原不等式的解集为. (4)原不等式可化为，∵， ∴方程无实根，又二次函数的图象开口向上，∴原不等式的解集为. (5)由得，即，解得或， 所以不等式的解集为或； 【练习1】解下列一元二次不等式 (1) (2) (3) (4) (5)； 【答案】（1）{或}； (2)； (3)；(4). (5)； 【解析】（1)不等式可化为，解得或， 所以该不等式的解集为或； (2)不等式，因式分解得，可得不等式的解集为. (3)不等式，即，对应的方程的根为，可得不等式的解集为. (4)不等式，化简得，可得不等式的解集为. (5)由得，则，即不等式的解集为； 题型二 绝对值不等式解法 绝对值不等式的解集 1.单绝对值不等式 （1） （2） 2.双绝对值不等式 (1) (2) 【例2】解下列不等式 （1） ； （2） （3）； （4） （5） （6） （7） 【解析】（1）由题意，，解得， 所以原不等式的解集为． （2）由题意，或，解得或， 所以原不等式的解集为． (3）由题意，，解得， 所以原不等式的解集为． （4） 不等式可化为， ∴，或；解之得：或， 即不等式的解集是.故答案为：. （5） 不等式. （6） 方法一：（零点分段法） （1）当时，原不等式变为：，解得，所以； （2）当时，原不等式变为：，解得，所以； 综上所述，原不等式的解集为． 方法二：或，解得或， 所以原不等式的解集为． （7） 当时，，故； 当时，恒成立，故； 当时，，故 综上：故不等式的解集为： 【练习2-1】 （1） (2) (3) （4） (5) (6) （7） 【答案】(1)(2)(3)或.(4) (5)或(6)（7） 【解析】(1)由得，所以，则， 所以原不等式的解集为； (2)或， 解得或，所以不等式的解集为. (3)当时，原不等式恒成立； 当时，原不等式两边平方，得， 令，则，解得或， 又，有或. 综上，原不等式的解集为或. (4)由得，解得，故原不等式的解集为. (5)由，可得或， 解得或，解集为或； (6)因为，所以或，解得；解得，即原不等式的解集为 （7） 【解析】零点分段讨论法即可求解.原不等式等价于 当时，原不等式等价于，即得不成立，不等式无解； 当时，原不等式等价于，解得，不等式的解集为； 当时，原不等式等价于，即得，不等式的解集为； 综上所述，原不等式的解集为. 故答案为： 【练习2-2】（1）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两边平方后可求不等式的解. 【详解】因为，故，故，故， 故选：D. （2）不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】讨论去绝对值求解不等式. 【详解】当时，原不等式变为，得； 当时，原不等式变为，不等式无解； 当时，原不等式变为，得； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 题型三 解分式不等式 解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式. （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，化为右侧变为0. 【例3】解下列不等式 （1） (2). (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)；(2) (2) (4) (5) (6) 【解析】(1)由，得，即，或， 得或，得或，即不等式的解集为． (2)因为.所以. 所以. 所以. 经检验，是原方程的解.∴原方程的解是. (3)由得，即，即， 解得，即不等式的解集为； (4)，即，解得：， 不等式的解集是； (5)，解得或，所以不等式的解集为. (6)，即，，即且，∴不等式的解集为. 【练习3】解下列不等式 (1) (2) (3) 【答案】(1)或(2)(3) 【解析】(1)，，，或， 即原不等式的解集为或； （2）∵，∴，即，所以且 解得：或，故不等式的解集是. （3）由整可得：，等价于，解得：， 解集为：. 题型四 解根式不等式 解根式不等式往往通过乘方运算转化为不带根号的不等式求解，下面以二次根式不等式为例，总结其规律： 【例4】已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为， 由可得，解得，即， 故. 故选：C. 【练习4】不等式的解集是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】当，解得，此时不等式恒成立； 当时，即时，不等式，平方得， 即，即，解得，所以， 综上可得，不等式的解集为. 故选：B. 题型五 解高次不等式：（1）方法：穿针引线法；（2）口诀：奇穿偶不穿。 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： 1.化标准式：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； 2.分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； 3.求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） 4.穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） 5.得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间 【例5】不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】不等式，化为：， 由穿根法可知：不等式的解集为：或.故选：A. 【练习5】解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0. 【详解】根据不等式标根 所以原不等式的解为. 故答案为：. 【跟踪训练】 单选题（1-15） 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得. 【详解】， 故，解得或， 故该不等式的解集为.故选D 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解分式不等式得集合，然后根据交集的定义即可求解. 【详解】分式不等式等价于，解得 ，又因为，因此，故选B 3．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即，解得：， 则集合，所以.故选A 4.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解集合中分式不等式，再结合集合求交集. 【详解】分式不等式，等价于：, 解得，即, 已知，筛选出中满足的元素，为， 所以.故选A 5．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】由，得，即，解得. 方法二：由，得或. 解得. 所以是假命题，是真命题. 当时，显然成立，所以是真命题，是假命题.故选B 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解 【详解】因为，所以，解得， 由， 因为是的真子集， 所以是成立的充分不必要条件.故选A 7．已知全集为实数集，若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式求出集合，解根式不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，可得，解得， 所以， 所以. 故选：A 8．设，则“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】记为条件“”，其解集为， 记为条件“”，其解集为， 因为，所以成立，而不成立， 因此，“”是“”的必要不充分条件.故选B 9．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得或，解得或，所以， 所以，A错；，B错；，C错；，D对.故选 10．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以故选B 11．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过，，讨论去绝对值求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得：且，即为空集， 当时，不等式为，解得：， 当时，不等式为，解得， 综上不等式的解集为， 故选：C 12．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】应用分类讨论去绝对值符号，再应用一元二次不等式的解法求解集. 【详解】当时，，可得， 当时，，可得且， 所以不等式的解集为或. 故选：D 13．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用具体函数定义域求法结合分式不等式解法计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：C. 14．满足不等式的整数解的个数为（    ） A．100 B．5000 C．5100 D．无穷多个 【答案】C 【分析】利用穿针引线法解不等式，求出不等式各个解区间内整数解个数，再利用等差数列求和即得到答案. 【详解】利用穿针引线法解不等式，如图示： 满足不等式整数解有： 在有个； 在有个； 在有个. 因此不等式在区间内的解有个， 所以不等式的整数解的个数为. 故选：C 15．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】先因式分解，然后分和求解即可. 【详解】， 当时，不等式显然不成立； 当时，，所以原不等式， 解得. 综上，原不等式的解集为. 故选：C 16.(多选题)下列选项中，正确的是(　　) A.不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 【答案】　BD 【解析】　由题知方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|－2<x<1}，故A错误； 因为 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误； 由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由<0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确.故选BD 填空题（17-21） 17．不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】由，得， 则，解得， 则不等式的解集为. 18.不等式的解集是___________ 【答案】 【详解】不等式可化为， ∴，或； 解之得：或， 即不等式的解集是. 19．分式不等式的解集为______ 【答案】或或 【分析】将分式不等式转为整式不等式（组），高阶不等式遵循：“奇次穿针引线，偶次穿而不过”的整体原则，得到不等式解集. 【详解】∵，∴， ∴或或. 故答案为：或或. 20．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据不等式的解集求出，代入不等式，再解不等式可得答案. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是的两个根，且， 可得，所以， 所以得，即，由得， 所以,所以或，则不等式的解集为 21．设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 【答案】 【分析】将分式不等式化为等价的二次不等式，根据“三个二次”的关系求解. 【详解】由不等式可得，等价于， 因为原不等式的解集是，所以是方程的两根， 所以，解得 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次不等式+绝对值不等式+分式不等式+根式不等式+高次不等式 题型一 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤 1.化为标准形式； 2.求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 3.画图：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图； 4.写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集。 口诀：大两分，小在中 注：取大于取两根两边，小于零取两根中间。 【例1】解下列一元二次不等式 (1) (2) (3)； (4). (5) 【练习1】解下列一元二次不等式 (1) (2) (3) (4) (5)； 【答案】（1）{或}； (2)； (3)；(4). (5)； 题型二 绝对值不等式解法 绝对值不等式的解集 1.单绝对值不等式 （1） （2） 2.双绝对值不等式 (1) (2) 【例2】解下列不等式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【练习2-1】 （1） (2) (3) （4） (5) (6) （7） 【练习2-2】（1）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （2）不等式的解集为_____. 题型三 解分式不等式 解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式. （1） （2） （3） （4）【注意】当分式右侧不为0时，化为右侧变为0. 【例3】解下列不等式 （1） (2). (3) (4) (5) (6) 【练习3】解下列不等式 (1) (2) (3) 题型四 解根式不等式 解根式不等式往往通过乘方运算转化为不带根号的不等式求解，下面以二次根式不等式为例，总结其规律： 【例4】已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【练习4】不等式的解集是（   ）． A． B． C． D． 题型五 解高次不等式：（1）方法：穿针引线法；（2）口诀：奇穿偶不穿。 如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： 1.化标准式：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； 2.分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； 3.求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） 4.穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） 5.得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间 【例5】不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【练习5】解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0. 【跟踪训练】 单选题（1-15） 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 4.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知全集为实数集，若集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．设，则“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 11．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 12．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 13．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 14．满足不等式的整数解的个数为（    ） A．100 B．5000 C．5100 D．无穷多个 15．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 16.(多选题)下列选项中，正确的是(　　) A.不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 填空题（17-21） 17．不等式的解集为__________． 18.不等式的解集是___________ 19．分式不等式的解集为______ 20．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 21．设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 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