第17节 概率与统计专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第17节 概率与统计 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 随机事件与样本空间：必事件、互斥事件与对立事件的判断，古典概型下用样本空间与事件所含结果个数之比求概率 ② 频率与概率的关系：大量重复试验中频率稳定在概率附近，可用频率估计概率，也能反过来用频率说明概率的取值范围 ③ 随机变量及其分布列：两点分布与二项分布，重点分清不放回抽取的超几何分布与放回抽取的二项分布 ④ 数学期望与方差：由分布列求E(X) 与 D(X)，用方差大小比较稳定性，用期望解决收益与费用的最优化问题 ⑤ 正态分布简介、分层随机抽样与独立性检验：利用对称性求正态分布的区间概率，按比例确定分层抽样人数，用 统计量与临界值判断两个分类变量是否有关 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 掷一枚质地均匀的骰子，设事件 A 表示「掷出的点数为偶数」，事件 B 表示「掷出的点数大于 4」，则 P(A ∪ B) = A. B. C. D. 2. 某市气象局记录了某地连续 5 年中每年 6 月的暴雨日数，分别为 12，15，18，9，16。设事件 A 表示「该年 6 月的暴雨日数不少于 15 天」，则 P(A) = A. B. C. D. 3. 设随机变量 X 表示某快递包裹的运输时长（单位：天），其分布律为 P(X = 1) = ，P(X = 2) = ，则 D(X) = A. B. C. D. 4. 某校高一新生身高 X（单位：cm）近似服从正态分布，其均值为 172，标准差为 10，即 X 服从 N(172, 100)。则 P(162 < X < 182) ≈ A. 0.34 B. 0.5 C. 0.68 D. 0.95 5. 某校高一学生有 600 人，高二学生有 400 人。现用分层随机抽样的方法从全校 1000 名学生中抽取 50 人进行视力调查，则应从高一年级抽取的人数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 50 6. 某质检部门从一批产品中随机抽取 5 件进行检查（不放回），已知这批产品中有 2 件次品、3 件合格品。记 X 为抽到的次品件数，则 A. E(X) = 2，D(X) = B. E(X) = ，D(X) = C. E(X) = ，D(X) = D. E(X) = ，D(X) = 7. 某快递网点推出保价到付服务：每件包裹需交保价费 2 元，若包裹在运输中出现损坏，则按保价额全额赔付 500 元。已知该网点承运的包裹在运输中出现损坏的概率为 0.01，则该网点每件包裹的平均支出为（元） A. 5 B. 7 C. 10 D. 502 8. 某校甲、乙两名学生参加校园体质健康测试，一分钟跳绳成绩（单位：个）分别为甲 220，223，224，225 与乙 216，220，225，231。则下列结论正确的是 A. 甲的平均成绩小于乙的平均成绩 B. 乙的平均成绩小于甲的平均成绩 C. 两人的平均成绩相同，且甲的成绩比乙稳定 D. 两人的平均成绩相同，且乙的成绩比甲稳定 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 下列说法中正确的是 A. 在大量重复试验中，事件 A 发生的频率在一个定值附近摆动，且随着试验次数的增多越来越接近这个定值，因此可用频率估计概率 B. 若随机变量 X 服从正态分布 N(μ, )，σ > 0，则 P(X < μ) = C. 若事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A ∪ B) = P(A) · P(B) D. 若随机变量 X 服从二项分布 B(10, )，则 D(X) = 10. 下列说法中正确的是 A. 从 5 件产品（其中 2 件次品、3 件合格品）中随机抽取 2 件，记 X 为抽到的次品件数，则 X 服从二项分布 B(2, ) B. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A 表示第一枚为正面，事件 B 表示第二枚为正面，则事件 A 与事件 B 相互独立 C. 若 P(A) = ，P(B) = ，且 A 与 B 相互独立，则 P(A ∪ B) = D. 正态分布 N(μ, ) 的曲线在 x = μ 处左右对称，且 μ 越大，整条曲线在数轴上越靠右 11. 某地随机抽取 100 名居民调查流感疫苗接种与感染情况，得到如下数据：已接种疫苗的 60 人中，感染的有 24 人，未感染的有 36 人；未接种疫苗的 40 人中，感染的有 26 人，未感染的有 14 人。参考临界值为：当 ≥ 3.841 时有 95% 的把握，当 ≥ 6.635 时有 99% 的把握。则下列结论正确的是 A. = 6 B. 有 95% 的把握认为疫苗接种情况与感染情况有关 C. 有 95% 的把握认为疫苗接种情况与感染情况无关 D. 可以认为疫苗接种情况与感染情况相互独立 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 设随机变量 X 的分布列为 P(X = −1) = ，P(X = 0) = ，P(X = 3) = ，则 P(X < 2) =___________。 13. 某快递站点统计了某周内 5 天每天的包裹延误时长（单位：天），分别为 1，1，2，3，3，则这组数据的方差为___________。 14. 某校高一新生身高 X（单位：cm）近似服从正态分布 N(170, )，其中 170 为均值，8 为标准差。若已知 P(170 < X < 178) = 0.3，则 P(162 < X < 178) =___________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某物流公司对一批快递的时效进行抽检。已知这批快递中被判定为「次日达」的比例为 ， 现从这批快递中随机抽取 3 件进行检测，记 X 为这 3 件快递中「次日达」的件数。 （1）求 X 的分布列； （2）求 E(X) 与 D(X)； （3）若「次日达」的快递免收运费，非「次日达」的快递每件收取 5 元运费，求这 3 件快递所收运费总额的数学期望。 16. 某地卫健部门为研究某新型流感疫苗的接种情况与人群年龄段的关系， 随机抽取了 100 名居民进行调查，得到如下数据： 60 岁以下的居民有 25 人，其中已接种疫苗的有 10 人，未接种的有 15 人； 60 岁及以上的居民有 75 人，其中已接种疫苗的有 15 人，未接种的有 60 人。 参考临界值为：当 ≥ 3.841 时有 95% 的把握， 当 ≥ 6.635 时有 99% 的把握。 （1）计算 统计量的值，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为该疫苗的接种情况与年龄段有关； （2）若该地区 60 岁以下居民有 20000 人，60 岁及以上居民有 10000 人，现用分层随机抽样的方法从这 30000 名居民中抽取 150 人做进一步调查，求应从 60 岁及以上的居民中抽取的人数； （3）从（1）调查的 60 岁以下的 25 名居民中随机抽取 2 人（不放回），记 X 为这 2 人中已接种疫苗的人数，求 X 的分布列与数学期望。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第17节 概率与统计 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 容斥公式求并集概率 数学运算 基础 C 2 单项选择题 5 频率估计概率与古典概型 数学抽象 基础 C 3 单项选择题 5 两点分布的方差计算 数学运算 基础 A 4 单项选择题 5 正态分布的3 倍标准差区间 直观想象 基础 C 5 单项选择题 5 按比例确定抽样人数 数学运算 基础 C 6 单项选择题 5 超几何分布与二项分布的区别 逻辑推理、数学运算 中档 B 7 单项选择题 5 期望的线性性质与实际应用 数学建模 中档 B 8 单项选择题 5 平均数与方差的计算 数学运算、数据分析 中档 C 9 多项选择题 6 频率与概率、分布数字特征辨析 逻辑推理 中档 BCD 10 多项选择题 6 独立性判断与正态曲线性质 逻辑推理 中档 BCD 11 多项选择题 6 K{^|2|} 统计量的计算与判断 数据分析、逻辑推理 中档 AB 12 填空题 5 分布列求区间概率 数学运算 基础 {f|1|2} 13 填空题 5 一组数据的方差计算 数学运算 中档 {f|4|5} 14 填空题 5 正态分布的对称性求概率 直观想象、数学运算 中档 0.6 15 解答题 13 二项分布与期望的线性性质 数学建模、数学运算 中档 见解析 16 解答题 14 独立性检验、分层抽样与超几何分布 数据分析、数学建模 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第17节 概率与统计 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 随机事件与样本空间：必事件、互斥事件与对立事件的判断，古典概型下用样本空间与事件所含结果个数之比求概率 ② 频率与概率的关系：大量重复试验中频率稳定在概率附近，可用频率估计概率，也能反过来用频率说明概率的取值范围 ③ 随机变量及其分布列：两点分布与二项分布，重点分清不放回抽取的超几何分布与放回抽取的二项分布 ④ 数学期望与方差：由分布列求E(X) 与 D(X)，用方差大小比较稳定性，用期望解决收益与费用的最优化问题 ⑤ 正态分布简介、分层随机抽样与独立性检验：利用对称性求正态分布的区间概率，按比例确定分层抽样人数，用 统计量与临界值判断两个分类变量是否有关 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 掷一枚质地均匀的骰子，设事件 A 表示「掷出的点数为偶数」，事件 B 表示「掷出的点数大于 4」，则 P(A ∪ B) = A. B. C. D. 【答案】C 【解析】先写出样本空间与两个事件：样本空间 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，共 6 个结果； A = {2, 4, 6}，B = {5, 6}，所以 A ∩ B = {6}，即两个事件并不互斥。 由容斥公式 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = + − = = 。 顺带一提，A ∪ B = {2, 4, 5, 6} 没有包含样本空间中的 1 和 3，所以 A 与 B 既不互斥也不互为对立事件，这是最容易判断错的地方。 【考查知识点】样本空间的表示、古典概型下用结果个数比求概率、容斥公式 【易错点】误认为「点数为偶数」与「点数大于 4」互斥而直接相加得到 ；两个事件的概率之和大于 1 时必须减去公共部分的概率 2. 某市气象局记录了某地连续 5 年中每年 6 月的暴雨日数，分别为 12，15，18，9，16。设事件 A 表示「该年 6 月的暴雨日数不少于 15 天」，则 P(A) = A. B. C. D. 【答案】C 【解析】这 5 年的暴雨日数构成一个等可能的样本空间 Ω = {12, 15, 18, 9, 16}，共 5 个结果。 逐个核对是否满足「不少于 15 天」：12 不满足，15 满足，18 满足，9 不满足，16 满足，所以事件 A = {15, 18, 16}，恰好含 3 个结果。 由古典概型，P(A) 等于事件 A 所含结果个数与样本空间所含结果个数之比，等于 。 从另一个角度看，这 5 年的暴雨日数就是 5 次重复试验中事件 A 发生的次数，频率为 ，用频率估计概率同样得到 。 顺带一提，事件 A = {12, 9} 与 A 互斥，且二者合起来覆盖全部 5 个结果，所以 A 与 A 互为对立事件，满足 P(A) + P(A) = + = 1。 【考查知识点】由频率估计概率，古典概型下用结果个数比求概率 【易错点】核对满足条件的结果时把 9 也算进去（15 与 9 记反）；误以为「暴雨日数不少于 15 天」是不可能事件，从而认为样本空间中 A 为空 3. 设随机变量 X 表示某快递包裹的运输时长（单位：天），其分布律为 P(X = 1) = ，P(X = 2) = ，则 D(X) = A. B. C. D. 【答案】A 【解析】两点分布的两个取值分别带概率 与 ，概率之和为 1，分布列合法。 先求期望：E(X) = 1 × + 2 × = + = 。 再求方差。用 E() − 这个公式，其中 E() = × + × = + 1 = 。 所以 D(X) = − = − = 。 也可以用两点分布的方差公式 D(X) = P(X = a)P(X = b)，本题 a = 1，b = 2，代入得 1 × × = ，结果一致。 对照选项可知 B 项 对应的是把 的系数漏掉后算出的结果，属常见误算。 【考查知识点】两点分布的方差计算：E() − 或两点分布专用公式 【易错点】把方差算成 − E(X)；平方时把 的系数漏掉；把两个概率直接相乘当成方差而忘记乘两取值之差的平方 4. 某校高一新生身高 X（单位：cm）近似服从正态分布，其均值为 172，标准差为 10，即 X 服从 N(172, 100)。则 P(162 < X < 182) ≈ A. 0.34 B. 0.5 C. 0.68 D. 0.95 【答案】C 【解析】正态分布曲线关于直线 x = μ 对称，区间 (μ − σ, μ + σ) 内的概率约为 0.68，区间 (μ − 2σ, μ + 2σ) 内的概率约为 0.95。 本题 μ = 172，σ = 10，于是 μ − σ = 162，μ + σ = 182。 所求区间 (162, 182) 恰好就是 (μ − σ, μ + σ)， 所以 P(162 < X < 182) ≈ 0.68。 对照选项：A 项 0.34 是曲线在 x = μ 一侧的单侧面积，D 项 0.95 对应的是 (μ − 2σ, μ + 2σ)，都不能选。 【考查知识点】正态分布曲线的对称性与区间 (μ − σ, μ + σ) 内概率约为 0.68 【易错点】把 (μ − σ, μ + σ) 对应的概率写成 0.34（那只是单侧面积的一半）；把标准差 10 与方差 100 混淆，导致区间端点算错 5. 某校高一学生有 600 人，高二学生有 400 人。现用分层随机抽样的方法从全校 1000 名学生中抽取 50 人进行视力调查，则应从高一年级抽取的人数为 A. 20 B. 25 C. 30 D. 50 【答案】C 【解析】分层随机抽样按各层在总体中所占的比例抽取，所以先算高一年级学生占全校的比例： = 。 再乘以样本容量：50 × = 30。 所以应从高一年级抽取 30 人，从高二年级抽取 20 人，两人之和恰好等于 50，这个自检是判断抽样人数算对没有的好办法。 【考查知识点】分层随机抽样中各层抽样人数的计算 【易错点】用 600 ÷ 50 = 12 直接去分；忘记按比例抽取，或算出的两个层的人数之和与样本容量对不上却没有回头检查 6. 某质检部门从一批产品中随机抽取 5 件进行检查（不放回），已知这批产品中有 2 件次品、3 件合格品。记 X 为抽到的次品件数，则 A. E(X) = 2，D(X) = B. E(X) = ，D(X) = C. E(X) = ，D(X) = D. E(X) = ，D(X) = 【答案】B 【解析】先把分布列列全。抽 2 件时 X 只能取 0，1，2（取法不区分先后）： P(X = 0)：两件都是合格品，取法有 = 3 种； P(X = 1)：一合格一次品，取法有 2 × 3 = 6 种； P(X = 2)：两件都是次品，取法有 1 种。 而从 5 件中任取 2 件的取法共有 = 10 种，三种情形的取法数 3 + 6 + 1 = 10 正好等于总取法数，没有遗漏也没有重复，所以 P(X = 0) = ，P(X = 1) = ，P(X = 2) = ，三者之和为 1。 于是 E(X) = 0 × + 1 × + 2 × = + = 。 再算 E() = 0 × + 1 × + 4 × = + = 1， 所以 D(X) = E() − = 1 − = 。 这里要特别辨析一项：如果误用二项分布 B(2, ) 的公式 np 与 np(1 − p)，会得到 E(X) = 2 × = ，D(X) = 2 × × = 。 期望虽然与本题相同，但方差 与正确值 不同（A 项的 D(X) = 是更常见的凑数结果）。 差别出在方差上，根源还是二项分布要求每次抽取后放回、各次抽取相互独立，而本题是不放回抽取，抽走第一件之后剩下的 4 件中次品比例已经变了。 【考查知识点】不放回抽取的超几何分布与放回抽取的二项分布的区别，分布列与数字特征 【易错点】直接套二项分布的方差公式 np(1 − p) 算成 ；列分布列时只算对 P(X = 1) 而漏掉 P(X = 0) 与 P(X = 2)，导致概率之和不为 1 7. 某快递网点推出保价到付服务：每件包裹需交保价费 2 元，若包裹在运输中出现损坏，则按保价额全额赔付 500 元。已知该网点承运的包裹在运输中出现损坏的概率为 0.01，则该网点每件包裹的平均支出为（元） A. 5 B. 7 C. 10 D. 502 【答案】B 【解析】每件包裹的支出可以看成两部分之和：一定发生的保价费 2 元，以及只在包裹损坏时才出现的赔付费用。 赔付费用这一项的数学期望是赔付金额与损坏概率的乘积：500 × 0.01 = 5（元）。 由数学期望的线性性质，两部分支出的数学期望相加，得 E = 2 + 500 × 0.01 = 2 + 5 = 7（元）。 这里最常见的错误是直接用「损坏时支出 502 元、正常时支出 2 元」求平均：那样得到的是条件平均而非期望的线性算法，只有在两种情况概率各为 时两种算法才一致，本题并非如此。 【考查知识点】数学期望的线性性质在实际情境中的应用 【易错点】把数学期望算成两种情况下的简单平均而没有按概率加权；或者只算赔付不算必然发生的保价费 8. 某校甲、乙两名学生参加校园体质健康测试，一分钟跳绳成绩（单位：个）分别为甲 220，223，224，225 与乙 216，220，225，231。则下列结论正确的是 A. 甲的平均成绩小于乙的平均成绩 B. 乙的平均成绩小于甲的平均成绩 C. 两人的平均成绩相同，且甲的成绩比乙稳定 D. 两人的平均成绩相同，且乙的成绩比甲稳定 【答案】C 【解析】先算平均成绩。两人的成绩之和都是 892： 甲：892 ÷ 4 = 223；乙：892 ÷ 4 = 223。两人的平均成绩相同，A、B 两项都错误。 再算方差，判断稳定性。 甲的四个数据相对 223 的偏差依次是 −3，0，1，2，平方之和为 9 + 0 + 1 + 4 = 14，所以 D(甲) = = 。 乙的四个数据相对 223 的偏差依次是 −7，−3，2，8，平方之和为 49 + 9 + 4 + 64 = 126，所以 D(乙) = = 。 方差越小成绩越稳定。因为 < ，所以甲的成绩比乙稳定，C 项正确、D 项错误。 【考查知识点】用平均数与方差刻画一组数据的集中趋势与稳定程度 【易错点】算方差时忘记除以数据个数 4；把偏差相加（本题两人偏差之和都是 0）而不是把偏差的平方相加 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 下列说法中正确的是 A. 在大量重复试验中，事件 A 发生的频率在一个定值附近摆动，且随着试验次数的增多越来越接近这个定值，因此可用频率估计概率 B. 若随机变量 X 服从正态分布 N(μ, )，σ > 0，则 P(X < μ) = C. 若事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A ∪ B) = P(A) · P(B) D. 若随机变量 X 服从二项分布 B(10, )，则 D(X) = 【答案】BCD 【解析】A 项：正确。频率随试验次数增多而稳定在概率附近，两者数值很接近而并不完全相等，这正是用大量重复试验估计概率的依据。 B 项：正确。正态分布曲线关于直线 x = μ 对称，所以 μ 左侧与右侧的面积各占一半，P(X < μ) = 。 C 项：错误。互斥事件满足的是概率的加法公式 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)，而不是相乘；相乘用于事件相互独立的情形，本题只给了互斥，条件不足。 D 项：正确。二项分布的方差公式为 D(X) = np(1 − p)，本题 n = 10，p = ，所以 D(X) = 10 × × = 。 综上，正确选项为 B、C、D。 【考查知识点】频率与概率的关系、正态分布的对称性、互斥与独立的区别、二项分布的方差 【易错点】把互斥事件的概率关系写成相乘（互斥用加法、独立才用乘法）；把二项分布的方差公式 D(X) = np(1 − p) 写成 n(1 − p) 或 np 10. 下列说法中正确的是 A. 从 5 件产品（其中 2 件次品、3 件合格品）中随机抽取 2 件，记 X 为抽到的次品件数，则 X 服从二项分布 B(2, ) B. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A 表示第一枚为正面，事件 B 表示第二枚为正面，则事件 A 与事件 B 相互独立 C. 若 P(A) = ，P(B) = ，且 A 与 B 相互独立，则 P(A ∪ B) = D. 正态分布 N(μ, ) 的曲线在 x = μ 处左右对称，且 μ 越大，整条曲线在数轴上越靠右 【答案】BCD 【解析】A 项：错误。抽取过程不放回，抽到第一件之后剩下的产品中次品比例已经改变，各次抽取不相互独立，因此 X 不服从二项分布，而服从超几何分布。 若误用二项分布，会得到 P(X = 1) = 2 × × = ，与正确值 不符。 B 项：正确。第一枚是否为正面与第二枚是否为正面互不影响，且 P(A ∩ B) = = P(A) · P(B)，故两事件相互独立。 C 项：正确。由容斥公式 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)，而独立时 P(A ∩ B) = P(A)P(B) = ， 所以 P(A ∪ B) = + − = + − = = 。 D 项：正确。正态分布曲线关于 x = μ 对称，μ 就是分布的中心，μ 增大时曲线整体向右平移，σ 则是控制曲线胖瘦的参数。 综上，正确选项为 B、C、D。 【考查知识点】超几何分布与二项分布的区分、事件的独立性、正态分布曲线的几何性质 【易错点】把不放回抽取当作各次独立而套二项分布；独立事件求并集时误用 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)（只有互斥时才成立） 11. 某地随机抽取 100 名居民调查流感疫苗接种与感染情况，得到如下数据：已接种疫苗的 60 人中，感染的有 24 人，未感染的有 36 人；未接种疫苗的 40 人中，感染的有 26 人，未感染的有 14 人。参考临界值为：当 ≥ 3.841 时有 95% 的把握，当 ≥ 6.635 时有 99% 的把握。则下列结论正确的是 A. = 6 B. 有 95% 的把握认为疫苗接种情况与感染情况有关 C. 有 95% 的把握认为疫苗接种情况与感染情况无关 D. 可以认为疫苗接种情况与感染情况相互独立 【答案】AB 【解析】把题给数据填成 2×2 列联表：a = 24（接种且感染），b = 36（接种未感染），c = 26（未接种且感染），d = 14（未接种且未感染），n = 100。 各行合计：a + b = 60，c + d = 40；各列合计：a + c = 50，b + d = 50。 计算 = ， 其中 ad − bc = 24 × 14 − 36 × 26 = 336 − 936 = −600， 所以 = = = 6，A 项正确。 因为 3.841 ≤ 6 < 6.635，所以只能在 95% 的把握水平上认为两者有关，尚不能说有 99% 的把握，B 项正确。 越大恰恰说明两变量关系越密切，因此 C 项把结论说反了，错误。 独立性检验的前提假设是两者独立，统计量偏大说明这个假设不成立，所以 D 项错误。 综上，正确选项为 A、B。 【考查知识点】独立性检验中 统计量的计算与临界值的比较 【易错点】 统计量的分子用 (ad − bc) 时漏掉平方；分母四个因子的顺序随意（必须是两行合计与两列合计相乘）；把「统计量大」误解成「两变量独立」 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 设随机变量 X 的分布列为 P(X = −1) = ，P(X = 0) = ，P(X = 3) = ，则 P(X < 2) =___________。 【答案】 【解析】先看分布列是否合法： + + = + + = 1，符合要求。 条件 X < 2 把取值 −1 与 0 都圈进来，把取值 3 排除，所以这是两个互斥事件的并。 P(X < 2) = P(X = −1) + P(X = 0) = + = + = = 。 容易出错的地方是漏掉 0 这一项，只算成 ；因为 0 < 2 成立，它必须计入。 【考查知识点】由分布列求区间事件的概率 【易错点】把 X < 2 误写成 X < 0 而漏掉 X = −1，或漏掉 X = 0 这一项；分布列中的条件「X < 2」是多个简单事件的并，不能只取一项 13. 某快递站点统计了某周内 5 天每天的包裹延误时长（单位：天），分别为 1，1，2，3，3，则这组数据的方差为___________。 【答案】 【解析】先求这组数据的平均数： 样本容量 n = 5，总和为 1 + 1 + 2 + 3 + 3 = 10，所以平均数为 = 2。 再逐项求偏差的平方：相对平均数 2，五个数据的偏差依次是 −1，−1，0，1，1，平方依次是 1，1，0，1，1，平方和为 4。 所以方差 = 。 也可以用方差与期望的关系式 E() − 得到同一结果：先算各数据的平方的平均数 = ，再减去平均数的平方 = 4，得 − = 。 【考查知识点】一组数据的方差计算：先求平均数，再求偏差平方的平均数 【易错点】把数据个数 5 看成 4，或算出偏差平方和 4 后直接作答（那是平方和不是方差）；偏差相加而非偏差平方相加 14. 某校高一新生身高 X（单位：cm）近似服从正态分布 N(170, )，其中 170 为均值，8 为标准差。若已知 P(170 < X < 178) = 0.3，则 P(162 < X < 178) =___________。 【答案】0.6 【解析】本题只要求区间概率，不必求具体的正态分布密度，关键是抓住对称性。 因为 178 = 170 + 8 = 170 + σ，162 = 170 − 8 = 170 − σ，所以区间 (162, 170) 与 (170, 178) 关于直线 x = 170 左右对称，两个区间上的概率相等。 由 P(170 < X < 178) = 0.3 得 P(162 < X < 170) = 0.3。 把两个互不相交的部分相加： P(162 < X < 178) = P(162 < X < 170) + P(170 < X < 178) = 0.3 + 0.3 = 0.6。 顺带一提，区间 (162, 178) 就是 (μ − σ, μ + σ)，其概率本来就应接近 0.68；这里按题给的精确条件算出 0.6，两者略有差异只是说明「近似服从」不是严格服从。 【考查知识点】正态分布曲线的对称性：由一侧的区间概率求对称的另一个区间概率 【易错点】把 (μ − σ, μ + σ) 对应的概率记成 0.68 而不看题给的精确条件；两个区间相加时漏掉其中一半；或误认为 162 = 170 − 2σ 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某物流公司对一批快递的时效进行抽检。已知这批快递中被判定为「次日达」的比例为 ， 现从这批快递中随机抽取 3 件进行检测，记 X 为这 3 件快递中「次日达」的件数。 （1）求 X 的分布列； （2）求 E(X) 与 D(X)； （3）若「次日达」的快递免收运费，非「次日达」的快递每件收取 5 元运费，求这 3 件快递所收运费总额的数学期望。 【答案】解：（1）每件快递被判定为「次日达」的概率为 ，非「次日达」的概率为 ， 且各件是否「次日达」相互独立，所以 X 服从二项分布 B(3, )。 P(X = 0) = = ； P(X = 1) = 3 × × = 3 × × = ； P(X = 2) = 3 × × = 3 × × = ； P(X = 3) = = 。 四个概率之和为 = = 1，分布列合法。 （2）X 服从二项分布 B(3, )，由 np 与 np(1 − p) 得 E(X) = 3 × = ， D(X) = 3 × × = 。 （3）设这 3 件快递的运费总额为 Y。 这 3 件中「非次日达」的件数为 3 − X，而 Y 只与非次日达的件数有关， 所以 Y = 5(3 − X) = 15 − 5X。 由数学期望的线性性质， E(Y) = 5E(3 − X) = 5(3 − E(X)) = 5 × (3 − ) = 5 × = 3。 所以这 3 件快递的运费总额的数学期望为 3 元。 用分布列直接验证： P(Y = 0) = P(X = 3) = ，P(Y = 5) = P(X = 2) = ， P(Y = 10) = P(X = 1) = ，P(Y = 15) = P(X = 0) = ， E(Y) = 0 × + 5 × + 10 × + 15 × = + + = = 3，与前面一致。 【解析】思路点睛：第（1）问的突破口是判断 X 服从什么分布。「次日达」的比例是 ，每件独立判定，抽取 3 件就是 3 次独立重复试验，因此 X 服从二项分布而不是超几何分布——这一步判断错了，后面全错。 第（2）问建议直接用二项分布的公式 np 与 np(1 − p)，比逐项加权快得多；如果题目改成不放回抽取的质检情境，就不能用这两个公式，必须先列分布列。 第（3）问是本节常考的「期望的线性性质」题型。关键是把运费总额写成 5(3 − X) 的形式，而不是分别讨论 X = 0，1，2，3 四种情形。 这里最容易失分的是把 E(3 − X) 写成 3 − D(X)，或者干脆认为「减去一个随机变量就变负了」；期望的线性性质只要求系数是常数，不需要任何独立性条件。 如果时间充裕，建议把第（3）问再用分布列算一遍作为验证。两条路径给出同一个答案 3，这种「双路验算」的习惯对解答题很有价值。 本题还有一个易错点：运费总额 Y 与 X 的取值一一对应但顺序相反，若把 P(Y = 5) 与 P(X = 2) 对应错，会得到 Y 的分布列完全错乱的结果。 【考查知识点】二项分布的分布列与数字特征、数学期望的线性性质在实际情境中的应用 【易错点】把不放回抽取误当二项分布；算第（3）问时把 E(3 − X) 写成 3 − D(X)，或把 Y 的分布列与 X 的取值对应错位 16. 某地卫健部门为研究某新型流感疫苗的接种情况与人群年龄段的关系， 随机抽取了 100 名居民进行调查，得到如下数据： 60 岁以下的居民有 25 人，其中已接种疫苗的有 10 人，未接种的有 15 人； 60 岁及以上的居民有 75 人，其中已接种疫苗的有 15 人，未接种的有 60 人。 参考临界值为：当 ≥ 3.841 时有 95% 的把握， 当 ≥ 6.635 时有 99% 的把握。 （1）计算 统计量的值，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为该疫苗的接种情况与年龄段有关； （2）若该地区 60 岁以下居民有 20000 人，60 岁及以上居民有 10000 人，现用分层随机抽样的方法从这 30000 名居民中抽取 150 人做进一步调查，求应从 60 岁及以上的居民中抽取的人数； （3）从（1）调查的 60 岁以下的 25 名居民中随机抽取 2 人（不放回），记 X 为这 2 人中已接种疫苗的人数，求 X 的分布列与数学期望。 【答案】解：（1）把题给数据填成 2×2 列联表：a = 10（60 岁以下且已接种）， b = 15（60 岁以下且未接种），c = 15（60 岁及以上且已接种），d = 60（60 岁及以上且未接种），n = 100。 各行合计：a + b = 25，c + d = 75；各列合计：a + c = 25，b + d = 75。 计算 ad − bc = 10 × 60 − 15 × 15 = 600 − 225 = 375。 所以 = = = = = 4。 因为 = 4 ≥ 3.841，所以能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为该疫苗的接种情况与年龄段有关。 又因为 4 < 6.635，所以尚不能说有 99% 的把握，这一点要讲清楚。 （2）分层随机抽样按各层人数占总数的比例抽取。 60 岁及以上居民占全体的比例为 = 。 应从 60 岁及以上居民中抽取的人数为 150 × = 50（人）。 相应地从 60 岁以下居民中抽取 150 − 50 = 100（人），两者之和为 150，可以自检。 （3）这 25 名居民中已接种的有 10 人、未接种的有 15 人，从 25 人中随机抽取 2 人（不区分先后）共有 = 300 种取法。 P(X = 0)：两人都未接种，取法有 = 105 种，故 P(X = 0) = = ； P(X = 1)：一人已接种一人未接种，取法有 10 × 15 = 150 种，故 P(X = 1) = = ； P(X = 2)：两人都已接种，取法有 = 45 种，故 P(X = 2) = = 。 三个概率之和为 + + = = = 1，分布列合法。 所以 X 的分布列为 P(X = 0) = ，P(X = 1) = ，P(X = 2) = 。 数学期望为 E(X) = 0 × + 1 × + 2 × = + = + = = 。 验算：由于本次抽取是不放回的，还可用公式 E(X) = n × 检验，其中 n = 2 为抽取件数，m = 10 为已接种人数，N = 25 为总人数， E(X) = 2 × = = ，与逐项加权的结果一致。 【解析】思路点睛：本题三问分别对应本节的三大能力——第（1）问是分类变量的独立性检验，第（2）问是分层随机抽样，第（3）问是不放回抽取的超几何分布。 第（1）问的规范做法是先还原列联表：a 是「60 岁以下且已接种」的人数，b 是「60 岁以下且未接种」，c 是「60 岁及以上且已接种」，d 是「60 岁及以上且未接种」。这四个数不能填错位置，否则算出的 会差很多。 统计量的公式是 ，分母是「两行合计与两列合计的乘积」，四个因子的顺序可以交换但不能重复。 本题算得 = 4，恰好落在 3.841 与 6.635 之间，所以只能得到 95% 把握的结论，不能说 99% 把握。很多同学在这里顺手写「有 99% 的把握」，一定要对照临界值把话说准。 第（2）问的关键动作是先算比例再乘样本容量： = ，150 × = 50。 检验的办法是回代：另一层应抽 100 人，50 + 100 = 150，与样本容量吻合。 第（3）问是超几何分布，一定不能套二项分布公式。因为不放回，抽走第一件之后剩余 24 件中的已接种比例已经不是 了。 最稳妥的做法是「先数总取法，再分情况数取法」：总取法为 25 × 24 ÷ 2 = 300 种，三种情形的取法分别是 105 种、150 种、45 种。这里要注意「一已接种、未接种」的 150 种已经包含了两种顺序，所以不能把它写成 2 × 10 × 15，否则三种情形的取法之和会变成 450，反而超过总取法数 300。这一点很多同学想不明白，建议动手把 300 种取法按「已接种件数」分堆数一遍。 求期望时还有一个更快的办法：不放回抽取中「每次抽到已接种者的概率」的平均值乘以抽取次数，即 E(X) = 2 × = 。两条路径给出同一个答案，写在答卷上更有说服力。 【考查知识点】独立性检验中 统计量的计算与临界值判断、分层随机抽样、不放回抽取的超几何分布 【易错点】第（1）问把列联表的 a，b，c，d 填错位置，或把分母写成两列合计相乘；看到 = 4 就断言有 99% 的把握；第（3）问套二项分布公式，或列分布列时三种情形的取法相加不等于总取法却硬凑 学科网（北京）股份有限公司 $