课时作业评价(18) 函数与方程的综合应用(Word练习)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

**基本信息** 以数形结合为核心，通过作图分析、换元转化、函数性质应用，系统解决函数零点与方程根的综合问题。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数零点与方程根|5题|数形结合（作图分析交点）、方程转化（零点→方程根）|从函数零点概念出发，通过图象交点转化方程根问题，结合函数单调性确定范围| |复合函数零点|3题|换元法（设t=f(x)）、分步求解|复合函数→简单函数，利用换元将多层问题分解，结合外层函数图象分析内层解的个数| |含参数方程根|5题|函数性质（奇偶性/周期性）、参数分类讨论|运用奇偶性简化对称区间分析，周期性确定根的分布，通过参数范围控制方程根的个数|

课时作业评价(十八)　函数与方程的综合应用 (标号的为重点讲评题目,选择题请在答题区内作答) 一、单选题 1.(2026·西安模拟)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t,且x1≠x2≠x3≠x4,则实数t的取值范围是 (　　) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,3) D.(1,3) 2.已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-m有三个零点x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是 (　　) A. B. C. D.[0,e] 3.(2026·汕头模拟)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a,b∈R)有且只有7个不同的实数根,则实数a的取值范围是 (　　) A. B.(-2,-1) C. D. 4.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x),对于任意x∈R,=3x恒成立,若函数y=3f(x)+2g(x)+m有且仅有两个零点,则实数m的取值范围为 (　　) A.(-∞,-2) B.(0,2) C.(2,2) D.(2,+∞) 5.函数f(x)=ex-1-e1-x-的所有零点之和为 (　　) A.0 B.2 C.4 D.6 6.已知函数f(x)=则函数F(x)=f(f(x))-2f(x)-的零点个数是 (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4等于 (　　) A.-12 B.-6 C.-8 D.4 8.已知函数f(x)=若函数y=f(f(x))-a有且只有1个零点,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,-1)∪[2,+∞) B.(-∞,0)∪[4,+∞) C.(-∞,1)∪[4,+∞) D.(-∞,1)∪[2,+∞) 二、多选题 9.已知函数f(x)=关于x的方程f(x)-k=0,下列判断正确的是 (　　) A.当k=1时,方程f(x)-k=0有3个不同的实数根 B.方程f(x)-k=0至少有2个不同的实数根 C.若方程f(x)-k=0有3个不同的实数根,则k的取值范围为(0,1] D.若方程f(x)-k=0有3个不同的实数根x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围为[-1,+∞) 10.(2026·遵义模拟)已知函数f(x)=x,x∈[-1,1],函数g(x)=2x2-1,x∈[-1,1],则下列选项正确的是 (　　) A.方程f(g(x))=0无实数解 B.方程f(x)+g(x)=0有且仅有两个解 C.方程f(x)·g(x)=0有且仅有三个解 D.方程g(f(x))=0有且仅有四个解 三、填空题 11.已知函数f(x)=若存在实数a,b,c满足a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c),则(a+b)c的取值范围是　　　　　　　　.  12.(2026·无锡模拟)已知函数f(x)=若方程2[f(x)]2-mf(x)=0有6个不相等的实根,则非零实数m的取值范围为　　　　.  13.(2025·北京海淀三模)已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),且f(x)=则函数f(x)的最大值为　　　　;方程2f(x)=x的实数解的个数为　　　　.  答案 课时作业(十八)　函数与方程的综合应用 1.选A　由题意,作出y=f(x)的大致图象,如图所示, 要使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t,即函数y=f(x)与y=t的图象有4个不同的交点,则0<t<1,所以实数t的取值范围是(0,1). 2.选C　作出函数f(x)的图象如图所示,不妨设x1<x2<x3, 则方程f(x)=m有三个不同的根,则0≤m<, 当x≤0时,-x2-x-m=0,得x2+x+m=0,则x1x2=m; 当x>0时,ln x3=m,x3=em,则x1x2x3=mem,设h(m)=mem,则h'(m)=(m+1)em>0,所以h(m)在上单调递增,所以h(m)∈,即x1x2x3的取值范围是. 3.选A　由题意可画出函数f(x)的大致图象,∵关于x的方程[f(x)]2+a·f(x)+b=0(a,b∈R)有且只有7个不同的实数根,设t=f(x),则t≥,结合函数图象,可知方程t2+at+b=0必有两个根t1,t2,且t1=1,t2∈, ∴t1+t2=-a∈,则-2<a<-,即a的取值范围是. 4.选A　由=3x可得f(x)-g(x)=2×3-x,① 所以f(-x)-g(-x)=2×3x,因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数, 所以f(x)+g(x)=2×3x,② 由①②,可得f(x)=3x+3-x,g(x)=3x-3-x,所以y=3f(x)+2g(x)+m=3(3x+3-x)+2(3x-3-x)+m=5×3x+3-x+m,令y=0,上式可化为5×32x+m×3x+1=0,令t=3x(t>0),方程可化为5t2+mt+1=0,因为函数t=3x是增函数,若函数y=3f(x)+2g(x)+m有且仅有两个零点,只需要方程5t2+mt+1=0有两个不相等的正实数根,记为t1,t2.有 解得m<-2,故所求实数m的取值范围为(-∞,-2). 5.选B　令f(x)=ex-1-e1-x-=0,得ex-1-e1-x=,设g(x)=,g(x)的图象关于(1,0)对称,在(-∞,1),(1,+∞)上单调递减. 设h(x)=ex-1-e1-x,令H(x)=h(x+1)=ex-e-x,H(-x)=e-x-ex=-H(x),所以H(x)是奇函数,图象关于原点对称,所以h(x)图象关于(1,0)对称,h(1)=0,h(x)=ex-1-在R上单调递增,所以h(x)与g(x)有两个交点,两个交点关于(1,0)对称,所以函数f(x)=ex-1-e1-x-的所有零点之和为2. 6.选A　令t=f(x),则t≥0,若F(x)=0,则f(t)-2t-=0,作出y=f(x)和直线y=2x+的图象,由图象可得有两个交点,设横坐标分别为t1,t2,t1<t2,∴t1=0,t2∈(1,2).当f(x)=t1时,有x=2,即有一个解;当f(x)=t2时,有3个解,综上,F(x)=0共有4个解,即函数F(x)有4个零点. 7.选C　由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0,∵f(x-4)=-f(x), ∴f(x-8)=-f(x-4)=f(x),∴f(x)的周期T=8. 又∵f(x)是R上的奇函数,∴由f(x-4)=-f(x),得f(4-x)=f(x),∴f(x)关于直线x=2对称,再结合f(x)在区间[0,2]上单调递增,作出函数大致图象,如图所示.根据图象,可得x1+x2=-12,x3+x4=4, ∴x1+x2+x3+x4=-8,故选C. 8.选C　由函数f(x)=当x<0时,f(x)=3-f(-x)=3-. 作出f(x)的图象如图所示,令f(x)=t,t∈R,因为f(t)=a有且只有一个根,所以当t≥2时,对应的x只有一个解,此时f(t)≥4,即a≥4;当t<-1时,对应的x只有一个解,此时f(t)<1,即a<1.综上所述,实数a的取值范围是(-∞,1)∪[4,+∞). 9.选ACD　方程f(x)-k=0根的问题可以转换成y=k和y=f(x)图象的交点问题,如图所示.对于A,由图象可知,当k=1时,方程f(x)-k=0有3个不同的实数根,故A正确;对于B,当k<0时,结合图象可知,方程无解,故B错误;对于C,由图象可知y=k和y=f(x)的图象有3个交点时,k的取值范围为(0,1],故C正确;对于D,假设x1<x2<x3,结合图象可知x1+x2=-2,x3≥1,所以x1+x2+x3≥-1,故D正确.故选ACD. 10.选BC　对于A,由题可知f(0)=0,故f(g(x))=0等价于g(x)=0,即2x2-1=0⇒x=±∈[-1,1],故方程f(g(x))=0有实数解,故A错误;对于B,方程f(x)+g(x)=0,即2x2+x-1=0,x∈[-1,1],故(2x-1)(x+1)=0,解得x1=,x2=-1,故B正确;对于C,方程f(x)·g(x)=0,即(2x2-1)x=0,x∈[-1,1],故解方程(2x2-1)x=0,得x=0或x=±∈[-1,1],故C正确;对于D,因为g=0,所以方程g(f(x))=0等价于f(x)=±∈[-1,1],故由函数f(x)=x,x∈[-1,1],得方程f(x)=±的解为x=±,故D错误. 11.解析:画出函数f(x)的图象,如图, 存在a<b,f(a)=f(b),则a+b=-2, 令2x-2=1,得x=log23,令2x-2=2,得x=2,如图可知,log23≤c<2, 所以(a+b)c=-2c∈(-4,-2log23]. 答案:(-4,-2log23] 12.解析:函数f(x)=的图象如图,且f(2)=8, 由2[f(x)]2-mf(x)=0,可得f(x)=0或f(x)=, 由图象可知方程f(x)=0有3个不相等的实根, 又方程2[f(x)]2-mf(x)=0有6个不相等的实根,则f(x)=有3个不相等的实根,又m≠0,所以∈[1,8),解得m∈[2,16). 答案:[2,16) 13.解析:由函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),则f(x+4)=f(x), 所以f(x)的周期为4. 由f(x)= 则f(8)=f(0)=2cos 0=2,可得f(x)的图象如图所示, 则函数f(x)的最大值为2.方程2f(x)=x的解,即为f(x)与g(x)=x的图象的交点横坐标,计算可得f(0)=2>g(0)=0,f(1)=0<g(1)=,所以在[0,1]有一个交点,f(2)=g(2)=1,f(4)=g(4)=2,且当x>4时g(x)=x>2,无交点.由图可知两图象交点个数为4,即方程2f(x)=x的实数解的个数为4. 答案:2　4 学科网（北京）股份有限公司 $