第18节计数原理与二项式定理专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第18节 计数原理与二项式定理 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 分类加法原理与分步乘法原理：完成一件事若有若干类互不重叠的方法用加法，需要分步完成且各步互相影响时用乘法 ② 排列与排列数：从 n 个不同元素中取出 m 个按顺序排列，用 A(n, m) 计算并与 n!、m!(n − m)! 的关系打通 ③ 组合与组合数：从 n 个不同元素中取出 m 个不计顺序，用 C(n, m) 计算，掌握 C(n, m) = C(n, n − m) 以及「两类各至少一个」的 − 2 型计数 ④ 排列组合的综合：先选后排、特殊元素特殊位置、捆绑法、插空法与隔板法，能把熟悉的实际情境准确转化为排列或组合模型 ⑤ 二项式定理：通项公式，赋值法求所有项的系数和与奇数项（偶数项）系数和，以及用相邻两项系数比较确定系数最大的项 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 某校组织学生参加社区社会实践：从 3 个社区与 2 个企业中任选 1 个单位作为实践地点，再从 5 名志愿者中任选 2 人组成小组，则不同的方案共有 A. 15 B. 20 C. 50 D. 100 2. 5 名同学排成一排合影，其中甲、乙两人必须相邻，则不同的排法共有 A. 24 B. 48 C. 96 D. 120 3. 从 8 名学生中选出 3 名参加社区志愿服务，只考虑选出的人是谁，不考虑先后顺序，则不同的选法共有 A. 28 B. 56 C. 120 D. 336 4. 5 名教师报名参加义务支教，支教科目有语文与数学两科，每人只能教一科，且两科都至少有人教，则不同的分配方案共有 A. 16 B. 30 C. 32 D. 10 5. 二项式 的展开式中， 的系数为 A. 10 B. 40 C. 80 D. −80 6. 设 f(x) = ，g(x) = ，则 f(x) + g(x) 的展开式中所有项的系数和为 A. 0 B. 1 C. −1 D. 2 7. 二项式 的展开式中，所有奇数项（第 1、3、5 项）的系数和为 A. 121 B. −121 C. 122 D. −3 8. 二项式 的展开式中，系数最大的项是 A. 第 2 项 B. 第 3 项 C. 第 3 项与第 4 项 D. 第 4 项与第 5 项 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 设 n = 8，则下列结论正确的是 A. 从 8 名学生中任选 2 名的选法有 C(8, 2) = 28 种 B. 从 8 名学生中任选 3 名与任选 5 名的选法数相等 C. 的展开式中， 的系数为 56 D. 的展开式中，所有项的系数和为 128 10. 设 f(x) = ，则下列结论正确的是 A. f(x) 的展开式中共有 6 项 B. f(x) 的展开式中所有项的系数和为 243 C. f(x) 的展开式中所有奇数项的系数和为 121 D. f(x) 的展开式中所有偶数项的系数和为 121 11. 下列说法中正确的是 A. 5 名同学站成一排，其中甲、乙两人相邻的排法有 48 种 B. 5 名同学站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 72 种 C. 从 5 名同学中任选 2 人分别担任正、副组长（两个岗位不同），有 10 种 D. 将 10 个相同的球分给 4 个不同的盒子，每个盒子至少 1 个，有 84 种 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 二项式 的展开式中， 的系数为___________。 13. 已知二项式 的展开式中， 的系数为 126，则 n =___________。 14. 从 8 名志愿者中选出 3 人组成服务小组（不区分先后），再从这 3 人中指定 1 人担任组长，则不同的人选与安排共有___________种。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校高二年级举行班级活动，5 名同学报名参加校园歌手评选，现从这 5 人中选出 3 人进入决赛，决赛不分名次； 并从进入决赛的 3 人中选出 1 人担任领唱、1 人担任和声，两个角色不同。 （1）求不同的入选与角色安排方法数； （2）若要求指定的甲、乙两人中恰有一人进入决赛，求不同的方法数。 16. 设 f(x) = ，g(x) = 。 （1）求 f(x) 的展开式中所有项的系数和，以及所有奇数项的系数和； （2）求 f(x)g(x) 的展开式中 的系数； （3）若 a > 0，用基本不等式求 + 2(a + ) 的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第18节 计数原理与二项式定理 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 分类与分步原理 数学运算 基础 C 2 单项选择题 5 捆绑法与排列数 数学运算 基础 B 3 单项选择题 5 组合数的计算 数学运算 基础 B 4 单项选择题 5 两类各至少一个的计数 数学运算 基础 B 5 单项选择题 5 二项式通项 数学运算 基础 C 6 单项选择题 5 赋值法求系数和 数学运算 中档 A 7 单项选择题 5 奇数项系数和 数学运算 中档 A 8 单项选择题 5 系数最大的项 数学运算 中档 C 9 多项选择题 6 组合数性质与系数和辨析 数学运算、逻辑推理 中档 ABC 10 多项选择题 6 奇偶项系数和辨析 数学运算 中档 ABC 11 多项选择题 6 捆绑法与隔板法 数学运算、数学建模 中档 ABD 12 填空题 5 指定项系数的计算 数学运算 基础 252 13 填空题 5 由系数求指数 数学运算、逻辑推理 中档 9 14 填空题 5 先选后排 数学运算、数学建模 中档 168 15 解答题 13 排列组合实际情境 数学建模、数学运算 中档 见解析 16 解答题 14 二项式定理综合应用 数学运算、数学建模 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学一轮复习 第18节 计数原理与二项式定理 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 分类加法原理与分步乘法原理：完成一件事若有若干类互不重叠的方法用加法，需要分步完成且各步互相影响时用乘法 ② 排列与排列数：从 n 个不同元素中取出 m 个按顺序排列，用 A(n, m) 计算并与 n!、m!(n − m)! 的关系打通 ③ 组合与组合数：从 n 个不同元素中取出 m 个不计顺序，用 C(n, m) 计算，掌握 C(n, m) = C(n, n − m) 以及「两类各至少一个」的 − 2 型计数 ④ 排列组合的综合：先选后排、特殊元素特殊位置、捆绑法、插空法与隔板法，能把熟悉的实际情境准确转化为排列或组合模型 ⑤ 二项式定理：通项公式，赋值法求所有项的系数和与奇数项（偶数项）系数和，以及用相邻两项系数比较确定系数最大的项 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 某校组织学生参加社区社会实践：从 3 个社区与 2 个企业中任选 1 个单位作为实践地点，再从 5 名志愿者中任选 2 人组成小组，则不同的方案共有 A. 15 B. 20 C. 50 D. 100 【答案】C 【解析】先看第二步：从 5 名志愿者中任选 2 人组成小组，不考虑先后顺序，用组合数 C(5, 2) = 10 种。 再看第一步：从 3 个社区与 2 个企业中任选 1 个单位，属于把总数分成互不重叠的两类来数，用加法原理，共 3 + 2 = 5 种。 整个方案要分两步依次完成，第一步的 5 种选择与第二步的 10 种选择可以任意搭配，所以用分步乘法原理，5 × 10 = 50。 对照选项：A 项 15 是把两步的结果相加，那只适用于「甲类方法」与「乙类方法」互不重叠、只需选其一的场合；D 项 100 是第二步误用了排列数 A(5, 2) = 20。 【考查知识点】分类加法原理与分步乘法原理在实际情境中的应用 【易错点】把分两步完成的两件事用加法原理相加得到 15；或第二步误用排列数 A(5, 2) = 20 算成 100 2. 5 名同学排成一排合影，其中甲、乙两人必须相邻，则不同的排法共有 A. 24 B. 48 C. 96 D. 120 【答案】B 【解析】用捆绑法：把甲、乙看成一个整体，与其余 3 人共 4 个元素全排列，有 4! = 24 种。 甲、乙相邻有「甲在左」与「甲在右」两种顺序，故 2 × 4! = 48 种。 对照选项：A 项 24 漏掉了甲、乙内部的两种顺序；D 项 120 是不加任何限制的 5!；C 项 96 是捆绑后又重复乘了一次 2。 【考查知识点】捆绑法与排列数的计算 【易错点】捆绑后忘记甲、乙本身有 2 种顺序，答成 4! = 24；或看到「相邻」就以为要把相邻的两人捆成一个而多乘系数 3. 从 8 名学生中选出 3 名参加社区志愿服务，只考虑选出的人是谁，不考虑先后顺序，则不同的选法共有 A. 28 B. 56 C. 120 D. 336 【答案】B 【解析】题目明确「不考虑先后顺序」，属于组合问题。 由组合数公式得 C(8, 3) = = = 56。 对照选项：D 项 336 = 8 × 7 × 6 是排列数 A(8, 3)，它把选出的人的先后顺序也计算在内，与题设矛盾；A 项 28 = C(8, 2) 是把名额误看成 2 个；C 项 120 = C(10, 3) 是把总人数误看成 10 人。 【考查知识点】组合数的计算及其与排列数的区别 【易错点】见「选出 3 名」就用排列数 A(8, 3) = 336；或把组合数的分子写成 8 × 7 × 6 后忘记除以 3 × 2 × 1 4. 5 名教师报名参加义务支教，支教科目有语文与数学两科，每人只能教一科，且两科都至少有人教，则不同的分配方案共有 A. 16 B. 30 C. 32 D. 10 【答案】B 【解析】先放开「两科都至少有人教」这一限制：每名教师都有 2 种选择，5 名教师互相独立，共 = 32 种。 再减去不合要求的情形：只教语文有 1 种，只教数学也有 1 种，两类互不重叠。 所以不同分配方案有 32 − 1 − 1 = 30 种。 也可以按教语文的人数分类相加：C(5, 1) + C(5, 2) + C(5, 3) + C(5, 4) = 5 + 10 + 10 + 5 = 30，两条路径结果一致，可以互相检验。 【考查知识点】分类加法原理与「两类各至少一个」型问题的两种处理方式 【易错点】直接用 = 32 作答，忘记减去「全部教同一科」的两种情形；或误用 C(5, 2) = 10 只考虑教语文的人数 5. 二项式 的展开式中， 的系数为 A. 10 B. 40 C. 80 D. −80 【答案】C 【解析】二项式的通项为 = C(5, k)，其中 k 从 0 取到 5。 要得到 ，必须 5 − k = 3，解得 k = 2。 此时 = C(5, 2) = 10 × 8 × 1 = 80， 所以 的系数为 80。 对照选项：A 项 10 只算了组合数 C(5, 2)，漏掉 这个因子；B 项 40 漏掉了 中的 ；D 项符号错，k = 2 时 = 1，符号为正。 【考查知识点】二项式定理的通项公式求指定项的系数 【易错点】求出 k 的值后忘记代入 这个因子；或把 的符号写错 6. 设 f(x) = ，g(x) = ，则 f(x) + g(x) 的展开式中所有项的系数和为 A. 0 B. 1 C. −1 D. 2 【答案】A 【解析】用赋值法：一个多项式展开式中所有项的系数和，等于把 x 换成 1 后所得多项式的值。 所以 f(x) + g(x) 展开式的系数和为 f(1) + g(1)。 f(1) = = 1； g(1) = = = −1。 两者相加得 1 + (−1) = 0。 注意 g(x) 的首项系数为负，代入 x = 1 时得到的是 −1 而不是 1，这正是 C 项与 D 项的来源：只算 f(1) 会误选 B，把两个 1 相加会误选 D。 【考查知识点】赋值法求多项式展开式的系数和 【易错点】只算出 f(1) = 1 就作答；或把 g(1) 误看成 1 而把两个 1 相加得到 2 7. 二项式 的展开式中，所有奇数项（第 1、3、5 项）的系数和为 A. 121 B. −121 C. 122 D. −3 【答案】A 【解析】设第 1、3、5 项的系数之和为 S，第 2、4、6 项的系数之和为 T。 把 x 换成 1，所有项都不变号，得到 S + T = = −1。 把 x 换成 −1，此时奇数项的系数不变号、偶数项的系数全部变号，所以 S − T = = 243。 两式相加消去 T，得 2S = −1 + 243 = 242，所以 S = 121。 顺便算出 T = −1 − 121 = −122，检验：121 + (−122) = −1 与代入 x = 1 的结果一致，S − T = 121 + 122 = 243 也一致，说明没有算错。 【考查知识点】赋值法求奇数项（偶数项）的系数和 【易错点】把 x 换成 −1 后把奇数项与偶数项的作用搞反（应是偶数项变号）；或求出 S 与 T 后忘记用 S + T 回头检验 8. 二项式 的展开式中，系数最大的项是 A. 第 2 项 B. 第 3 项 C. 第 3 项与第 4 项 D. 第 4 项与第 5 项 【答案】C 【解析】第 k + 1 项的系数是 C(8, k)·，判断最大项只需比较相邻两项的系数。 由组合数的递推关系 C(8, k + 1) = C(8, k) 得，第 k + 2 项与第 k + 1 项的系数之比为 。 这个比值不小于 1 等价于 8 − k ≥ 2k + 2，即 k ≤ 2，所以系数一直增大到第 3 项，此后开始减小。 第 3 项的系数为 C(8, 2)· = 28 × 64 = 1792；第 4 项的系数为 C(8, 3)· = 56 × 32 = 1792，两者确实相等。 所以系数最大的项是第 3 项与第 4 项。 【考查知识点】用相邻两项系数比较确定二项式中系数最大的项 【易错点】只比较组合数 C(8, k) 的大小而忽略 的影响；或认为系数最大的项只有一项，漏掉系数相等的第 4 项 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 设 n = 8，则下列结论正确的是 A. 从 8 名学生中任选 2 名的选法有 C(8, 2) = 28 种 B. 从 8 名学生中任选 3 名与任选 5 名的选法数相等 C. 的展开式中， 的系数为 56 D. 的展开式中，所有项的系数和为 128 【答案】ABC 【解析】A 项：C(8, 2) = = 28，正确； B 项：由组合数的对称性 C(8, 3) = C(8, 8 − 3) = C(8, 5)，两者都等于 56，正确； C 项： 对应 k = 3，其系数为 C(8, 3)· = 56，正确； D 项：所有项的系数和等于把 x 换成 1，得 = = 256，而不是 128，错误。 顺带说明 128 的来历：128 = 恰好是 展开式中所有二项式系数之和，两者不是同一个量，这是本题最容易混淆的地方。 综上，正确选项为 A、B、C。 【考查知识点】组合数的计算与对称性、二项式定理的通项与系数和 【易错点】D 项把 算成 ；或把「所有项的系数和」与「所有二项式系数之和 」混为一谈 10. 设 f(x) = ，则下列结论正确的是 A. f(x) 的展开式中共有 6 项 B. f(x) 的展开式中所有项的系数和为 243 C. f(x) 的展开式中所有奇数项的系数和为 121 D. f(x) 的展开式中所有偶数项的系数和为 121 【答案】ABC 【解析】A 项：n = 5 时展开式共有 n + 1 = 6 项，正确； B 项：把 x 换成 1，得 = = 243，正确； C 项：设奇数项系数和为 S、偶数项系数和为 T，则 S + T = 243；把 x 换成 −1，奇数项不变号、偶数项变号，得 S − T = = −1。两式相加得 2S = 242，S = 121，正确； D 项：由 T = 243 − 121 = 122 可知偶数项的系数和是 122，不是 121，错误。 这里容易错在符号上：n = 5 为奇数，代入 x = −1 后整个式子取负值，所以奇数项系数和 121 反而比偶数项系数和 122 小。 综上，正确选项为 A、B、C。 【考查知识点】二项式的项数、所有项的系数和与奇偶项系数和 【易错点】求偶数项系数和时误算成 121；或代入 x = −1 后误以为奇数项变号，把 S − T 的关系写反 11. 下列说法中正确的是 A. 5 名同学站成一排，其中甲、乙两人相邻的排法有 48 种 B. 5 名同学站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 72 种 C. 从 5 名同学中任选 2 人分别担任正、副组长（两个岗位不同），有 10 种 D. 将 10 个相同的球分给 4 个不同的盒子，每个盒子至少 1 个，有 84 种 【答案】ABD 【解析】A 项：捆绑法，甲、乙捆成一个整体后与其余 3 人共 4 个元素全排列，再乘甲、乙的 2 种顺序，共 2 × 4! = 48 种，正确； B 项：用总数减去相邻的排法，5! − 2 × 4! = 120 − 48 = 72 种，正确； C 项：正、副组长是两个不同的岗位，选出 2 人之后还要把岗位安排下去，属于排列 A(5, 2) = 5 × 4 = 20 种，而不是组合数 C(5, 2) = 10 种，错误； D 项：隔板法，10 个相同的球分给 4 个不同盒子且每盒非空，等价于在 9 个空隙中选出 3 个插入隔板，有 C(9, 3) = 84 种，正确。 D 项要特别小心：球「相同」才可以插空，若球各不相同，就变成 4! × C(9, 3) 这一类混合问题，模型完全不同。 综上，正确选项为 A、B、D。 【考查知识点】捆绑法、隔板法与排列组合的区分 【易错点】C 项把「选人」与「分配岗位」混为一谈；D 项要分清球相同（插空）还是球不同（先分组再分配） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 二项式 的展开式中， 的系数为___________。 【答案】252 【解析】通项中 x 的次数为 10 − k，令 10 − k = 5，解得 k = 5。 由通项公式，该项为 C(10, 5)·，它的系数就是对应的组合数 C(10, 5)。 C(10, 5) = = = 252。 因为底数都是 1，1 的任何次幂都等于 1，所以这里不需要额外乘任何系数，这一点要清楚。 【考查知识点】二项式定理的通项公式求指定项系数 【易错点】求出 k = 5 后把系数算成 C(9, 4) = 126，多项式次数与所求次数对应关系出错；或把组合数算成 10 × 9 × 8 × 7 × 6 而忘记除以 5! 13. 已知二项式 的展开式中， 的系数为 126，则 n =___________。 【答案】9 【解析】 展开式中 的系数恰是 C(n, 4)，于是 C(n, 4) = 126。 由组合数公式得 = 126，即 n(n − 1)(n − 2)(n − 3) = 126 × 24 = 3024。 因为 9 × 8 × 7 × 6 = 3024，取 n = 9。 唯一性要说清楚：n 为整数且 n ≥ 4 时 C(n, 4) 随 n 严格增大，所以 n = 4，5，6，7，8 对应的 C(n, 4) 都小于 126，不可能是别的值。 【考查知识点】由二项式的指定项系数反求指数 n 【易错点】遗漏 n ≥ 4 的限制而出现其他解；或把系数看成 C(n + 1, 5) 而错解 14. 从 8 名志愿者中选出 3 人组成服务小组（不区分先后），再从这 3 人中指定 1 人担任组长，则不同的人选与安排共有___________种。 【答案】168 【解析】第一步选人：只考虑选出的人是谁，不考虑先后，用组合数 C(8, 3) = 56 种。 第二步安排：从已选出的 3 人中指定 1 人担任组长，只有组长这一个岗位，属于排列 A(3, 1) = 3 种。 两步依次完成，且第一步的每种人选都可以配上第二步的 3 种安排，用分步乘法原理得 56 × 3 = 168 种。 最容易错的地方是把第二步当成「从 8 人中选组长」，那样会算成 56 × 8 = 448；组长只能在这 3 人中产生。 【考查知识点】分步乘法原理与「先选后排」的实际应用 【易错点】第二步从 8 人中选组长（应从选出的 3 人中选）；或第一步误用排列数 A(8, 3) = 336 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校高二年级举行班级活动，5 名同学报名参加校园歌手评选，现从这 5 人中选出 3 人进入决赛，决赛不分名次； 并从进入决赛的 3 人中选出 1 人担任领唱、1 人担任和声，两个角色不同。 （1）求不同的入选与角色安排方法数； （2）若要求指定的甲、乙两人中恰有一人进入决赛，求不同的方法数。 【答案】解：（1）先求入选的人选。决赛不分名次，只看选出的人是谁，属于组合，用 C(5, 3) = = 10 种。 再求角色安排：3 人中选出 1 人担任领唱有 3 种，剩下 2 人中选出 1 人担任和声有 2 种，共 3 × 2 = 6 种。 入选与角色安排是分两步依次完成的，且第一步的每种人选都能配第二步的 6 种安排，用分步乘法原理得 10 × 6 = 60 种。 所以不同的入选与角色安排方法共有 60 种。 （2）把「甲、乙中恰有一人入选」分成两个互斥的情形来数。 ① 甲入选、乙不入选：5 人中除去甲、乙还剩 3 人，需从这 3 人中再选 2 人，有 C(3, 2) = 3 种，角色安排 6 种，共 3 × 6 = 18 种。 ② 乙入选、甲不入选：同理也是 3 × 6 = 18 种。 两个情形互斥且不重不漏，故所求方法数为 18 + 18 = 36 种。 易错点：第（2）问若把条件写成「甲或乙至少一人入选」，就从 60 中去掉甲、乙都不入选的 1 种人选的 6 种安排，得 54 种，与「恰有一人」的 36 种不同；第（1）问若把角色安排误写成 C(3, 2) = 3，则整题全错。 【解析】思路点睛：第（1）问是「先选后排」的典型结构——选人用组合，分配岗位用排列，两步的结果相乘。 第（2）问的突破口是把「恰有一人」翻译成「甲入乙不入选」与「乙入甲不入选」这两个互斥情形。 这里最容易失分的一步是数「甲入选、乙不入选」时的组合数：除去甲、乙只剩 3 人可选，所以是 C(3, 2) = 3 而不是 C(4, 2) = 6，很多人顺手写成 C(4, 2) 就把答案做成了 72。 建议把第（2）问的结果与「甲、乙至少一人入选」的 54 种作比较：总数 60 减去甲、乙都不入选的 6 种正好是 54，而 54 再减去甲、乙都入选的 18 种正好是 36，两条路径互相印证，说明分类没有重没有漏。 本题最容易忽略的一句话是「决赛不分名次」，它决定了第一问用组合而不是用排列。 两问的衔接点也要讲清楚：第二问的分类是在「先选后排」的两步框架内先做第一步（入选人选），再做第二步（角色安排），也可以先算完 6 种角色安排再乘人数，但把 6 放在最后统一乘更不容易重复计数。 【考查知识点】排列组合的实际应用：先选后排与「恰有一个」型分类讨论 【易错点】第（1）问把领唱与和声当成无序的组合；第（2）问分类时把「从其余 3 人中选 2 人」写成 C(4, 2)，或忘记乘角色安排数 6 16. 设 f(x) = ，g(x) = 。 （1）求 f(x) 的展开式中所有项的系数和，以及所有奇数项的系数和； （2）求 f(x)g(x) 的展开式中 的系数； （3）若 a > 0，用基本不等式求 + 2(a + ) 的最小值。 【答案】解：（1）多项式所有项的系数和等于把 x 换成 1 后的值， 所以 f(x) 展开式的系数和为 f(1) = = −1。 设第 1、3、5、7 项的系数之和为 S，第 2、4、6 项的系数之和为 T，则 S + T = −1。 把 x 换成 −1，奇数项的系数不变号、偶数项的系数全部变号，所以 S − T = = = 2187。 两式相加得 2S = 2186，S = 1093。 所以所有项的系数和为 −1，所有奇数项的系数和为 1093。 （2）其中 的通项为 C(7, k)， 的通项为 C(5, j)， 其中 只可能由 k + j = 4 得到。 k = 0 时系数为 C(7, 0) × 1 × C(5, 4) × 81 = 1 × 5 × 81 = 405； k = 1 时系数为 C(7, 1) × (−2) × C(5, 3) × 27 = (−14) × 270 = −3780； k = 2 时系数为 C(7, 2) × 4 × C(5, 2) × 9 = 84 × 90 = 7560； k = 3 时系数为 C(7, 3) × (−8) × C(5, 1) × 3 = (−280) × 15 = −4200； k = 4 时系数为 C(7, 4) × 16 × 1 = 560。 以上五项相加：405 − 3780 + 7560 − 4200 + 560 = 545。 所以 f(x)g(x) 的展开式中 的系数为 545。 （3）令 t = a + 。由 a > 0 与基本不等式得 t ≥ 2，当且仅当 a = 1 时取等号。 于是 + 2(a + ) = + 2t = − 1。 因为 t ≥ 2，所以 ≥ 9，原式 ≥ 9 − 1 = 8。 当 a = 1 时 t = 2，原式的值为 4 + 4 = 8，等号可以取到。 所以 + 2(a + ) 的最小值为 8。 【解析】思路点睛：前两问是二项式定理的常规运算，第三问则是把分式型问题整体换元成二次函数，再用基本不等式把自变量范围固定下来。 第（1）问的关键是赋值法：所有项的系数和用 x = 1；奇数项系数和要把 x = 1 与 x = −1 的两个式子联立相加，偶数项的系数和才能被消掉。 这里最容易错的是代入 x = −1 后判断哪一类变号： 在 x = −1 时带因子 ，所以变号的是 k 为奇数的项，即第 2、4、6 项。 第（2）问不要把两个多项式完全展开——那样要处理 9 × 10 项，运算量大又容易漏项；按 x 的次数配对，k 从 0 到 4 只有 5 种情况，逐项算系数再累加，既快又稳。 第（2）问还可以先展开次数低的那个多项式：把 的 6 项系数先算出，再逐项乘 (1 − 2x)，运算量比两个都展开小得多。 第（3）问是典型的「构造 a + ≥ 2」：令 t = a + ，原式化为 + 2t，它在 t ≥ 2 上随 t 增大而增大，所以最小值在 t = 2 处取到。 还可以再快一点：t ≥ 2 时 ≥ 2t，代入即得 + 2t ≥ 4t ≥ 8，两处不等式同时取等要求 t = 2，同样得到 8，而 t = 2 由 a + = 2 可知 a = 1。 最后提醒本节最容易混的三组量：所有项的系数和（令 x = 1）、所有二项式系数之和（恒为 ）、所有奇数项的系数和（令 x = 1 与 x = −1 联立），务必分清。 【考查知识点】二项式定理的综合：赋值法求系数和、指定项系数、分式型不等式的基本不等式处理 【易错点】第（1）问代入 x = −1 后把变号的项判错；第（2）问把两个多项式全部展开导致漏项；第（3）问把基本不等式的结论记成 a + ≥ 1 使最小值求错 学科网（北京）股份有限公司 $