15.1.2线段的垂直平分线 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

15.1.2线段的垂直平分线 第十五章 轴对称 人教版（2024） 1 素养目标 2.通过尺规作图，提升学生的动手操作能力. 1.能用尺规作图：作线段的垂直平分线，作轴对称图形的对称轴，过一点作已知直线的垂线； 重点 2 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 . 线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离 的点，在这条线段的 上 A B l O P 相等 垂直平分线 相等 【思考】如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线呢？ 3 猜想：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． P A B l C 性质： 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 归纳知识 P A B l C ∵　l⊥AB，AC =CB， ∴ PA =PB． 针对练习 1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连 接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 C 思考： 如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ P A B 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． P A B C 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 作用： 判定定理： 知识点2 线段的垂直平分线的判定 想一想线段垂直平分线的判定 例2 △ABC 中，AB =AC,D 在AB边上，M 在线段AD上，且MB =MC, 求证：DB =DC． A B C D M 证明： ∵ AB = AC，MB = MC， ∴ 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线， ∵D在直线AM 上， ∴ DB=DC. 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 分组讨论 猜想：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 A B P 已知：如图，在△ABP 中 PA = PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证明：过点P 作线段AB 的垂线PC， 垂足为点C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB， PC =PC（公共边）， ∴Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴AC =BC． 又PC⊥AB， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． P A B C 　　如图，AB＝AC，MB＝MC．直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？为什么？ 解：直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线． ∵ AB＝AC ， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上， ∵ MB＝MC． ∴ 点 M 在线段 BC 的垂直平分线上， ∴ 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线． A B M C 13 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 问题3 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 两个命题的题设、结论正好相反． (3)作直线 CF. A B C 直线 CF 就是所求作的垂线. E D F (2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于 DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F. 探究新知 　如图，要在公园(四边形ABCD)中建造一座音乐喷泉，喷泉位置应符合如下要求: (1)到公园两个出入口A、C的距离相等; (2)到公园两边围墙AB、AD的距离相等. 请你用尺规作图的方法确定喷泉的位置P. (不必写作法,但要保留作图痕迹) 探究新知 知识点1 线段的垂直平分线的性质 1.如图，已知是线段的垂直平分线，是 上的一点，若 ，则 的长为______. （第1题） 返回 17 （第2题） 2.［2024镇江中考］如图，的边 的垂 直平分线交于点，连接.若 ， ，则 ___. 3 3.［教材习题 变式］［2025广州越秀区期末］如图， 在中，线段的垂直平分线分别交，于点 ， ，连接，若，，则 的周长为 ( ) C A.19 B.20 C.21 D.22 返回 18 练一练 2. 如图，AD为△ ABC的角平分线，AE=AF.连接DE，DF，EF，求证：线段AD 所在直线是线段EF 的垂直平分线. 知识点 互逆命题和互逆定理 探究 分析下面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 这两个命题的题设、结论正好相反. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 例题讲解 例4 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线 AB 和 AB 外一点 C . 求作：AB 的垂线，使它经过点 C. A B C 分析：假设所求作直线已经作出， 则它不仅过点 C 与直线 AB 垂直，而且是连接 AB 上与垂足距离相等的两点的线段的垂直平分线. 先确定这两点 在直线 AB 上且与点 C 的距离相等即可 例题讲解 例4 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线 AB 和 AB 外一点 C . 求作：AB 的垂线，使它经过点 C. A B C 解：(1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E. E D 由(1)可知，点 C 在线段 DE 的垂直平分线上. 因而再作出与 D，E 距离相等的另一点 F，就能得到线段 DE 的垂直平分线． 证明：∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD. 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD(SAS)． ∴DE＝DF. ∴点D在线段EF的垂直平分线上． 证明：∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD. 在△AED和△AFD中， ∴△AED≌△AFD(SAS)． ∴DE＝DF. ∴点D在线段EF的垂直平分线上． 又∵AE＝AF， ∴点A在线段EF的垂直平分线上． ∴线段AD所在直线是线段EF的垂直平分线． $