综合与实践——数学广角：鸽巢问题（分层作业）数学人教版六年级上册（新教材）

综合与实践 数学广角：鸽巢问题 分层作业 这节课我们学习了“鸽巢原理”（也叫抽屉原理）。 1.它的核心思想是：把多于n个的物体放进n个容器，总有一个容器至少放了（ ）个或更多的物体。 2.鸽巢问题（求至少数）的解题思路：用（ ）÷（ ），如果没有余数，“商”就是至少数；如果有余数，“商+1”就是至少数。 1. 1．在任意的40个人中，至少有（    ）人的属相相同。 A．2 B．4 C．6 D．9 2．把10个苹果放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放（    ）个苹果。 A．3 B．4 C．5 D．6 3．某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书。买书的情况是：有买一本的、两本的、三本或四本的。问至少要去（    ）位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？ A．14 B．15 C．16 D．17 4．一个盒子里大小相同的黄球、红球、绿球各5个，从中至少摸出（    ）个球，才能保证有3个球颜色不同。 A．4 B．11 C．10 5．某班42名同学投票选一名班长（每人只能投一票），候选人是王琳、张鸣和刘晴三人，计票一段时间后的统计结果如下表。规定得票最多的人当选，那么后面的计票中王琳至少还要得（    ）票才能一定当选。 候选人 王琳 张鸣 刘晴 得票数 10 9 7 A．9 B．8 C．7 D．6 6．文兴小学开展垃圾分类回收活动，六（1）班同学一共收集了42个塑料瓶，放进4个回收箱里，不管怎么放，总有1个回收箱里至少放了( )个塑料瓶。 7．袋子里有红、黄、黑、白珠子各15粒，闭上眼睛要想摸出颜色相同的5粒珠子，至少要摸出___________粒珠子，才能保证达到目的。 8．一个纸箱里有3根白色筷子、4根黑色筷子、5根灰色筷子，除颜色外其他均相同，任意摸一根，摸到( )色筷子可能性最大；至少从中摸( )根筷子，才能保证摸出一双同色筷子。 9．雨水节气之后，雨量渐增。某地2024年2月出现了这几种不同的天气，其中至少有( )天是同一种天气。 10．为庆祝中国共产党的生日，使学生更多地了解中国共产党的辉煌历史，实验小学组织了一次党史知识竞答比赛。此次比赛共有6道题，每道题答对得5分，答错或不答扣1分。 (1)小明答对了4道题，答错了2道题，他的总得分是( )分。 (2)已知参加此次竞答比赛的学生中，至少有3个人的得分相同，则参加比赛的学生至少有( )人。 11．古代冬至有“画九”之说，“画九”是冬至后计算春暖日期的图（九九消寒图），有文字、圆圈、梅花3种图式。六（1）班每人都要画一幅九九消寒图（一幅图只能选择1种图式），无论他们怎么画，至少有16个人画的图式相同，则六（1）班至少有多少人？ 12．王庄小学六年级有这么一群“小牛娃”，他们喜欢科学，喜欢创新，并在市里举办的青少年科技创新大赛中取得佳绩。已知六年级共有5个班，一共有18名同学获奖。 (1)总有一个班至少有多少名同学获奖？ (2)18名获奖同学来自本市的4个社区，至少有几名同学来自同一个社区？ (3) 把50本科技读本奖励给这18名获奖同学，总有1名同学至少能分到多少本科技读本？ 13． 王老师把63颗糖果放入若干个袋子里，要求无论小朋友要几颗糖果（不超过63颗），王老师都只要取出若干个袋子就可以满足要求。问王老师要准备几个袋子，每个袋子里的糖果应怎么放？ 14．阳光小学在课后服务时段开设了合唱、美术、足球、思维快车4个面向六年级同学的社团，规定每位六年级同学至少报名参加其中的1个社团，最多可以报名参加其中的2个社团。 (1)每位同学可以有( )种不同的报名参加社团的情况。 (2)如果该校六年级4班有43名同学，这个班中至少有多少名同学参加社团的情况完全相同？（即：参加社团的数量和种类都相同） (4) 阳光小学六年级至少有多少名同学，才能保证有不少于41名同学参加社团的情况完全相同？（即：参加社团的数量和种类都相同） 15．如果把一个非零自然数（1，2，3，4，5，……）拆成一些比它小的非零自然数的和，我们就说得到了它的一个“分拆”（不计顺序），比如5＝4＋1就是5的一个“分拆”，5＝1＋4与5＝4＋1算作同一个“分拆”。 (1)请写出10的一个“分拆”。 (2) 如果把一个非零自然数拆成不同的数的和，比如7＝4＋2＋1，我们就说这是一个“互异分拆”。请写出6的所有“互异分拆”。 (3)9＝5＋1＋1＋1＋1这个“分拆”是把9拆成了5个数的和，我们就说这个“分拆”的长度是5。我们学习过“乒乓球与盒子问题”，请你把“8的长度为3的‘互异分拆’有多少个？”这道问题表述为一道关于乒乓球与盒子的问题。 16．把7个苹果放进3个篮子里，总有一个篮子里至少有3个苹果。为什么？ (1)把各种情况都表示出来。 (2)还可以这样想：先拿( )个苹果，在每个篮子里放( )个苹果，剩下的( )个苹果就要放进其中的一个篮子里。所以总有一个篮子里至少有( )个苹果。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司   知识加油站答案 这节课我们学习了“鸽巢原理”（也叫抽屉原理）。 1.它的核心思想是：把多于n个的物体放进n个容器，总有一个容器至少放了2个或更多的物体。 2.鸽巢问题（求至少数）的解题思路：用“鸽子数”÷“鸽笼数”，如果没有余数，“商”就是至少数；如果有余数，“商+1”就是至少数。 一、基础达标 1．B 【分析】把12个属相看作12个抽屉，40个人看作40个元素，从最差情况考虑，尽量平均分配每个抽屉的元素数来计算。 【详解】（人）（人） （人） 2．B 【分析】先用苹果总数除以抽屉数，若有余数，总有一个抽屉至少放的苹果数为商加1。 【详解】（个）（个） （个） 总有一个抽屉至少放4个苹果。 3．C 【分析】先统计所有不同的购书情况，再根据最不利原则，先让每种购书情况各有1位学生，再多1位学生就能保证有两位同学买到的书相同。 【详解】买1本的不同情况：4种； 买2本的不同情况：种； 买3本的不同情况：4种； 买4本的不同情况：1种； 不同购书情况总数量：种； 至少需要学生数量：（位） 4．B 【分析】要保证摸到3个颜色不同的球，先考虑最不利的情况：先将其中两种颜色的球全部摸出，此时再摸1个，必然是第三种颜色的球。 【详解】先摸完两种颜色的球的总数量：（个） 至少需要摸的总数量：（个） 5．B 【分析】要保证王琳一定当选，需考虑最不利情况：剩余未统计的票数中，全部分给王琳和张鸣，还需要保证王琳最多，现在王琳比张鸣多1票，两人平均分未统计的票数，最终王琳比张鸣多1票，所以未统计的票数除以2，是保证王琳最多情况下张鸣最多得票数，剩下的是王琳至少得票数。 【详解】已统计票数： （票） 剩余未统计票数：（票） 最不利情况下刘晴不再得票，剩下16张票分给王琳和张鸣， 现在王琳比张鸣多1票，为保证王琳得票最多，分剩下的票时，张鸣得到的票不能多于王琳，最多是一半。张鸣最多得：（票）， 王琳至少得：（票） 所以那么后面的计票中王琳至少还要得8票才能一定当选。 2、 能力提升 6． 11 【分析】该题属于鸽巢问题，识别鸽巢与待分物品：4个回收箱是鸽巢，42个塑料瓶是待分物品；要计算总有一个鸽巢至少的物品数，所以用总物品数除以鸽巢数，得到商和余数；除法运算若有余数，那么至少数为商加1；若没有余数，至少数为商，据此计算结果。 【详解】（个）……（个），就是说平均每个回收箱放个塑料瓶，还剩个，剩下的个，不管怎么放都会使至少有一个回收箱的数量在个的基础上增加个，所以总有个回收箱里至少放了：（个）。 7． 17 【分析】袋子里有4种颜色的珠子，要想保证摸出颜色相同的5粒珠子，需要考虑最不利的情况，即每种颜色的珠子都摸出了4粒，此时再摸出1粒，无论是什么颜色，都能保证一定有5粒珠子颜色相同。 【详解】（粒） 在此基础上再摸出1粒，就能保证有5粒颜色相同，16＋1＝17（粒） 8． 灰 4 【分析】总筷子数固定时，某颜色筷子的数量越多，摸到它的可能性就越大。这里白色有3根、黑色有4根、灰色有5根，灰色筷子数量最多，所以摸到灰色筷子的可能性最大。 求保证摸出一双同色筷子的最少数量：这是最不利原则的问题，最倒霉的情况是前3次摸出的筷子颜色全都不一样，白、黑、灰各摸了1根，这时候再多摸1根，不管摸到什么颜色，一定会和之前摸出的某一根颜色相同，凑成一双同色筷子。 【详解】5＞4＞3 所以摸到灰色筷子的可能性最大。 3＋1＝4（根） 至少从中摸4根筷子，才能保证摸出一双同色筷子。 9．8 【分析】先用2024除以4，判断2024年是平年还是闰年，从而确定2月的总天数；已知2月出现的天气情况有4种，假设这4种天气先平均出现，则用2月总天数除以天气情况的种数，求出每种天气平均出现的天数，剩下的天数至少可以给其中一种再加1即可。 【详解】2024÷4＝506 2024年是闰年，2月有29天； 29÷4＝7（天）……1（天） 7＋1＝8（天） 10．(1)18 (2)15 【分析】（1）用小明答对4道题的得分减去答错2道题的得分，即可求出他的总得分。 （2）根据抽屉原理（最不利原则），先求出答对的题数从0至6道的得分情况，先假设每种得分刚好是2人，再增加1人，必然和其中一种得分相同，则用得分的种数乘2，再加上1人，即可解答。 【详解】（1）4×5－2×1 ＝20－2 ＝18（分） （2）答对0道：0×5－6×1 ＝0－6 ＝﹣6（分） 答对1道：1×5－5×1 ＝5－5 ＝0（分） 答对2道：2×5－4×1 ＝10－4 ＝6（分） 答对3道：3×5－3×1 ＝15－3 ＝12（分） 答对4道：4×5－2×1 ＝20－2 ＝18（分） 答对5道：5×5－1×1 ＝25－1 ＝24（分） 答对6道：6×5＝30（分） 一共7种得分情况； 7×2＋1 ＝14＋1 ＝15（人） 三、思维拓展 11．46人 【分析】首先考虑最不利情况：每种图式先都有尽可能多的人数但都不到16人，即每种图式先分配（16－1）人；再计算出最不利情况下的总人数，再加1人，即可求出六（1）班最少的总人数。 【详解】（16－1）×3＋1 ＝15×3＋1 ＝45＋1 ＝46（人） 答：六（1）班至少有46人。 12．(1)4名 (2)5名 (3)3本 【分析】三道题均为鸽巢问题，解题时先确定鸽巢数量和待分物品总数量，用待分物品总数量除以鸽巢数量，若有余数，则至少数为商加1；若无余数，则至少数为商。 【详解】（1）（名）（名） （名） 答：总有一个班至少有4名同学获奖。 （2）（名）（名） （名） 答：至少有5名同学来自同一个社区。 （3）（本）（本） （本） 答：总有1名同学至少能分到3本科技读本。 13．王老师至少要准备6个袋子，里面分别装有1，2，4，8，16，32颗糖果。 【分析】要想满足取出任意数量（1至63颗）的要求，需要从最小的数1开始考虑。必须有一个袋子放1颗才能组成1；有了1，要组成2，必须有一个袋子放2颗；有了1和2，最大能组成3，要组成4，必须有一个袋子放4颗。以此类推，每个袋子的糖果数是前一个袋子糖果数的2倍，直到所有袋子糖果数之和等于63为止。 【详解】为了能取出1颗糖果，第一个袋子放1颗。 为了能取出2颗糖果，第二个袋子放2颗。此时可以组成1至3颗（1、2、1＋2＝3）。 为了能取出4颗糖果，第三个袋子放4颗。此时可以组成1至7颗（1至3、4、4＋1至4＋3）。 为了能取出8颗糖果，第四个袋子放8颗。此时可以组成1至15颗。 为了能取出16颗糖果，第五个袋子放16颗。此时可以组成1至31颗。 为了能取出32颗糖果，第六个袋子放32颗。此时可以组成1至63颗。 验证糖果总数：1＋2＋4＋8＋16＋32＝63（颗） 统计袋子数量：一共准备了6个袋子。 答：王老师要准备6个袋子，每个袋子里分别放1颗、2颗、4颗、8颗、16颗、32颗。 14．(1)10 (2)5名 (3)401名 【分析】（1）分两类计算报名情况，报1个社团有4种选择，报2个社团有6种组合（如合唱和美术、合唱和足球、合唱和思维、美术和足球、美术和思维、足球和思维），两类相加得到总共有10种不同报名情况； （2）把10种报名情况看作10个抽屉，43名同学对应放入抽屉，用43除以10得商4余3，根据抽屉原理，至少有4＋1＝5（名）同学情况完全相同； （3）要保证某一种报名情况有41名同学，先给10种情况各分配40名同学，再加1名，总人数为10×40＋1＝401（名）。 【详解】（1）4＋6＝10（种） 答：每位同学可以有10种不同的报名参加社团的情况。 （2）43÷10＝4（名）……3（名） 4＋1＝5（名） 答：这个班中至少有5名同学参加社团的情况完全相同。 （3）10×（41－1）＋1 ＝10×40＋1 ＝400＋1 ＝401（名） 答：阳光小学六年级至少有401名同学，才能保证有不少于41名同学参加社团的情况完全相同。 15．(1)10＝9＋1 (2)6＝5＋1，6＝4＋2，6＝3＋2＋1 (3) 把8个相同的乒乓球放进3个不同的空盒子里，每个盒子里都至少放1个乒乓球，且每个盒子中乒乓球数量互不相等，一共有多少种放法？ 【分析】（1）只要把10写成两个或多个小于10的非零自然数之和即可，答案不唯一； （2）我们需要找到所有和为6的组合，且组合里的数字不能重复。我们可以按照加数的个数来分类寻找，即拆分成2个加数，3个加数，4个加数等； （3）8代表总数，即8个相同的乒乓球；长度为3代表分成了3份，即放入3个不同的空盒子里；分拆意味着每个盒子里至少有球，即每个盒子里都至少放1个乒乓球；互异意味着每份的数量不一样，即每个盒子中乒乓球数量互不相等；据此作答。 【详解】（1）10＝9＋1，10＝8＋2，10＝7＋3，10＝6＋4，10＝5＋5，10＝8＋1＋1，10＝7＋2＋1，10＝6＋3＋1……任选其一即可，答案不唯一； （2）6拆分为2个加数：6＝5＋1（可行，数字不同），6＝4＋2（可行，数字不同），6＝3＋3（不可行，数字相同）； 6拆分为3个加数：6＝4＋1＋1（不可行，有相同数字），6＝3＋2＋1（可行，数字不同）； 6拆分为4个加数：6＝3＋1＋1＋1（不可行，有相同数字），6＝2＋2＋1＋1（不可行，有相同数字）； 6拆分为5个加数：6＝2＋1＋1＋1＋1（不可行，有相同数字）； 6拆分为6个加数：6＝1＋1＋1＋1＋1＋1（不可行，数字相同）； 综上可知，6的所有互异分拆有：6＝5＋1，6＝4＋2，6＝3＋2＋1； （3）根据分析可知，8的长度为3的互异分拆有多少个？这道问题表述为一道关于乒乓球与盒子的问题为：把8个相同的乒乓球放进3个不同的空盒子里，每个盒子里都至少放1个乒乓球，且每个盒子中乒乓球数量互不相等，一共有多少种放法？ 16．(1) (2) 6 2 1 3 【分析】首先根据题意，用枚举法列出7个苹果放入3个篮子的所有分配情况，来验证是否总有一个篮子不少于3个苹果。再抽象为鸽巢问题，先平均分配，再分析剩余苹果的分配情况，发现多的一个苹果无论放在哪里，都会至少让这个篮子里的苹果数为3。 【详解】（1）根据题意，将这7个苹果拆分为3组，拆法略。 （2）先拿6个苹果平均放，在每个篮子里放2个苹果，剩下的1个苹果就要放进其中的一个篮子里。所以总有一个篮子里至少有3个苹果。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $