平面向量数量积常见题型解题策略讲义-2027届高考数学一轮复习

平面向量数量积常见题型解题策略 题型归纳 · 专题学案 平面向量数量积常见题型解题策略 一、知识要点 （一）数量积能算什么 1. 数量积的定义是，其中 θ 是两个向量的夹角，范围为 [0, π]。它的结果是一个数量而不是向量，可以取正、取负也可以为零：夹角为锐角时为正，直角时为零，钝角时为负。判断一个式子是向量还是数量，看它有没有点号，这是所有后续判断的第一步。 2. 数量积的运算律有交换律，对加法的分配律，以及数乘的结合律。它没有消去律，也不满足结合律：中的前一个括号已经是数量，再与作数量积没有意义。 3. 选定直角坐标系后，设，，则，。坐标表示把几何问题完全代数化：模、夹角、垂直、投影都可以用同一组坐标算出来，这也是坐标法成为最常用路线的原因。 4. 两个非零向量的夹角由给出，θ ∈ [0, π]。特别地，等价于，这一条是把「垂直」翻译成方程的唯一通道，本册的例 1 与练 4 都用到了它。 5. 投影有两个量要分清。在方向上的投影数量是，它是一个可正可负的数；对应的投影向量是，方向与相同或相反。分母一个是、一个是，写混了答案会差一个模长。 （二）四个量怎么互相转化 6. 模与数量积之间的桥是平方展开：。凡是题面里同时出现模与和差，或者要把模化成数量积，第一步都是两边平方。平方之后得到的是数量等式，可以像普通代数式一样移项、消元、配方。 7. 平方作差是一条省力通道：当题面同时给出与时，把两个平方展开式相减，与同时消去，得到。练 3（2026 年新课标Ⅱ卷）就是这一条的直接应用，一行就能算出数量积。 8. 反过来，已知、与中的两个，就能定出夹角：。所以「求数量积」「求模」「求夹角」三个问题本质上是同一组量的三种问法，转化通了以后互相都不难。 9. 数量积还有一个几何读法：（在方向上的投影数量）。当是定值时，数量积的最值完全由投影的最值决定；动点在圆上时，投影可以参数化成一个余弦函数，最值立刻可读。例 4 与练 5 走的都是这条路。 （三）拿到题先判断走哪条路 10. 四条路线按题面特征选。题面直接给出模与夹角，或者条件集中在「模、夹角、垂直」这三个量上，走定义法；给出坐标，或者图形里有直角、正方形、正三角形、圆这类可以建系的形状，走坐标法；同时出现与，或者要把模与数量积互化，走平方展开法；出现「投影」二字，或者一个向量长度固定而另一个在动，走投影法。 11. 四条路经常可以互通。同一道题既能建系也能选基底，既能平方也能投影，选哪条看计算量：坐标法最机械但最不容易出错，定义法最快但要求模与夹角都已知。做题时先想清楚「已知什么、要求什么」，再挑一条最短的路，中途不要换来换去。 12. 动点问题多一步「参数化」。动点在圆上就设成 (r cos θ, r sin θ)；动点在线段上就用一个参数表示分点的位置；动点在三角形内部还要补上区域约束。参数的范围必须在最后回查一遍——函数的对称轴或最值点若落在范围之外，答案就要退到端点去比。 二、方法提炼 方法1　定义法：把当成主公式：已知模与夹角就直接代入，垂直条件翻译成。适合条件集中在模、夹角、垂直这三个量上的题，先算出这个「地基」，后面所有展开都建立在它上面。 方法2　坐标法：图形里有直角、正方形、正三角形、圆或正多边形时建系，把每个点与每个向量都写成坐标：数量积变成坐标相乘再相加，模变成坐标平方和开方，最值问题变成二次函数或三角函数问题。要点是让已知点尽量落在坐标轴上，动点用一个参数描述完。 方法3　平方展开法：用在「模」与「数量积」之间搭桥。两边同时给出与时两式相减整体消元；只给一个时先平方再代入已知量。带绝对值的等式平方前先把绝对值处理干净。 方法4　投影法：把读成与在方向上投影数量的乘积。谁的模是定值，就把谁当「刻尺」，把另一个向量往它身上投影；投影数量为，投影向量为。动点在圆上时投影可以参数化，最值一目了然。 三、易错提醒 ◆ 数量积没有消去律。推不出，因为可能恰好垂直于。见到在等式两边「约去同一个向量」的写法要立刻停手，这一步在实数运算里合法，在向量运算里不合法。 ◆ 投影数量的符号别丢。可以是负数，夹角为钝角时投影落在反方向。把投影数量当成正数用，会把「最小值」算成「最大值」；练 4 那道题若漏掉绝对值，还会把唯一的解判成无解。 ◆ 夹角范围是 [0, π]。只能推出夹角，θ = π 时两个向量共线反向，那是「平角」而不是「钝角」。练 2 的选项 D 就卡在这一条上，把端点漏掉会判错。 ◆ 平方前先处理绝对值。形如的等式，两边平方得到的是；漏写绝对值直接平方，会把的那半边解全部丢掉。 ◆ 展开式中间项的符号。展开是，展开是。符号写反，后面的最值方向整体颠倒，答案会差一倍还多。 ◆ 参数范围最后必须回查。动点在圆上、线段上或三角形内部时参数有范围，求出对称轴或最值点后要确认它落在范围里；取不到就要退到端点比较。例 2 的对称轴落在区间外、练 5 的最值点恰好落在范围内，两道题处理方式不同，根子都在这一条。 四、例题精讲 【例 1】 方法一 · 定义法 题注：模与夹角都直接给出，是一个现成的定值。把垂直条件翻译成数量积为零并展开，k 的一次方程就出来了——定义法的关键是先把「地基」算出来。 （2026·四川成都·三模）已知向量，满足，，与的夹角为。若，则实数 k = ______。 【例 2】 方法二 · 坐标法 题注：正方形自带直角，把 A 放在原点、两条邻边放在坐标轴上，每个点的坐标都是整数或简单分数。动点 F 用一个参数描述完，数量积化成关于参数的二次函数。 （2026·山西忻州·模拟预测）在边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 在线段 CD 上，且 CE = 2DE。设，则 λ + μ = ______；若点 F 在线段 BE 上运动，点 G 为的中点，则的最小值为 ______。 【例 3】 方法三 · 平方展开法 题注：|a+b| 给了一个方程，垂直条件给了另一个方程。两个方程都含 |a|、|b|、a·b 三个未知量，直接解是死路；两式相减，前两个未知量一起消失。 （2026·河北邢台·三模）已知向量，满足，且，则。 【例 4】 方法四 · 投影法 题注：单位向量做基底，与都能用这一个量表示出来。投影数量等于除以，它是一个可正可负的数。 （2026·广东广州·模拟预测）设单位向量，的夹角为，，，则在上的投影数量为（　） A．　　B．　　C．　　D． 五、巩固练习 1. 定义法 · 由数量积求模 （2025·江苏泰州中学·期中）已知平面向量与的夹角为 60°，，，则（　） A．　　B．　　C．4　　D．12 2. 概念辨析 · 多选 （多选）（2025·江苏泰州中学·月考）关于平面向量，，下列命题错误的有（　） A．若，则存在 λ ∈ R，使得 B．若 △ABC 是等边三角形，则与的夹角为 60° C． D．若，则与的夹角 θ 是钝角 3. 平方展开法 · 平方作差 （2026·新课标Ⅱ卷）已知向量，满足，，则（　） A．　　B．　　C．　　D． 4. 平方展开法 · 绝对值与垂直 （2026·安徽合肥·二模）不共线的两个单位向量，满足，若，则实数 t 的值为（　） A．　　B．　　C．或 1　　D．或 1 5. 坐标法 · 动点与最值 （2026·山东济南·模拟预测）在 △ABC 中，∠A = 90°，AB = 2，AC = 4，P 为 △ABC 内一点（含边界），且。若，则 x + y 的最大值为（　） A．　　B．　　C．　　D． 6. 综合 · 模与数量积（多选） （多选）（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量，满足，，。对实数 t，设，。则下列说法正确的是（　） A．的最小值为 B．存在两个实数 t，使得 C．若，则 t = 1 D．以，为邻边的平行四边形面积的最小值为 六、拓展 极化恒等式：对任意两个向量都有，它把数量积换成两个模的平方差（练 3 的 2026 年新课标Ⅱ卷真题用它一步就能算出来）。它的两个常用推论：若 D 是 AB 的中点，则；若 EF 是圆 C 的直径，则（r 为半径）。数量积于是变成「点到定点的距离的平方」，最值问题落到「点离定点最近」这一句话上。 定比分点公式：若 D 在 BC 上且 BD : DC = m : n，则（O 为任意一点）。它的实质还是平面向量基本定理：把 BC 上的点写成两个端点向量的线性组合，系数之比等于线段长度比的反比。例 2 里把 E 写成，以及练 6 里点 G 为 AF 的中点，都可以用它直接写出系数，不必每次从基本定理重新推。 向量形式的三角形面积公式：设与的夹角为 A，则。把与代入，得到。这个公式把面积完全写成两个向量的模与数量积，在「已知两边及夹角余弦」的题里比先求 sin 再代面积公式少一步，练 6 的选项 D 用的正是同一个平方相减的技巧。 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量数量积常见题型解题策略 题型归纳 · 专题学案 平面向量数量积常见题型解题策略 一、知识要点 （一）数量积能算什么 1. 数量积的定义是，其中 θ 是两个向量的夹角，范围为 [0, π]。它的结果是一个数量而不是向量，可以取正、取负也可以为零：夹角为锐角时为正，直角时为零，钝角时为负。判断一个式子是向量还是数量，看它有没有点号，这是所有后续判断的第一步。 2. 数量积的运算律有交换律，对加法的分配律，以及数乘的结合律。它没有消去律，也不满足结合律：中的前一个括号已经是数量，再与作数量积没有意义。 3. 选定直角坐标系后，设，，则，。坐标表示把几何问题完全代数化：模、夹角、垂直、投影都可以用同一组坐标算出来，这也是坐标法成为最常用路线的原因。 4. 两个非零向量的夹角由给出，θ ∈ [0, π]。特别地，等价于，这一条是把「垂直」翻译成方程的唯一通道，本册的例 1 与练 4 都用到了它。 5. 投影有两个量要分清。在方向上的投影数量是，它是一个可正可负的数；对应的投影向量是，方向与相同或相反。分母一个是、一个是，写混了答案会差一个模长。 （二）四个量怎么互相转化 6. 模与数量积之间的桥是平方展开：。凡是题面里同时出现模与和差，或者要把模化成数量积，第一步都是两边平方。平方之后得到的是数量等式，可以像普通代数式一样移项、消元、配方。 7. 平方作差是一条省力通道：当题面同时给出与时，把两个平方展开式相减，与同时消去，得到。练 3（2026 年新课标Ⅱ卷）就是这一条的直接应用，一行就能算出数量积。 8. 反过来，已知、与中的两个，就能定出夹角：。所以「求数量积」「求模」「求夹角」三个问题本质上是同一组量的三种问法，转化通了以后互相都不难。 9. 数量积还有一个几何读法：（在方向上的投影数量）。当是定值时，数量积的最值完全由投影的最值决定；动点在圆上时，投影可以参数化成一个余弦函数，最值立刻可读。例 4 与练 5 走的都是这条路。 （三）拿到题先判断走哪条路 10. 四条路线按题面特征选。题面直接给出模与夹角，或者条件集中在「模、夹角、垂直」这三个量上，走定义法；给出坐标，或者图形里有直角、正方形、正三角形、圆这类可以建系的形状，走坐标法；同时出现与，或者要把模与数量积互化，走平方展开法；出现「投影」二字，或者一个向量长度固定而另一个在动，走投影法。 11. 四条路经常可以互通。同一道题既能建系也能选基底，既能平方也能投影，选哪条看计算量：坐标法最机械但最不容易出错，定义法最快但要求模与夹角都已知。做题时先想清楚「已知什么、要求什么」，再挑一条最短的路，中途不要换来换去。 12. 动点问题多一步「参数化」。动点在圆上就设成 (r cos θ, r sin θ)；动点在线段上就用一个参数表示分点的位置；动点在三角形内部还要补上区域约束。参数的范围必须在最后回查一遍——函数的对称轴或最值点若落在范围之外，答案就要退到端点去比。 二、方法提炼 方法1　定义法：把当成主公式：已知模与夹角就直接代入，垂直条件翻译成。适合条件集中在模、夹角、垂直这三个量上的题，先算出这个「地基」，后面所有展开都建立在它上面。 方法2　坐标法：图形里有直角、正方形、正三角形、圆或正多边形时建系，把每个点与每个向量都写成坐标：数量积变成坐标相乘再相加，模变成坐标平方和开方，最值问题变成二次函数或三角函数问题。要点是让已知点尽量落在坐标轴上，动点用一个参数描述完。 方法3　平方展开法：用在「模」与「数量积」之间搭桥。两边同时给出与时两式相减整体消元；只给一个时先平方再代入已知量。带绝对值的等式平方前先把绝对值处理干净。 方法4　投影法：把读成与在方向上投影数量的乘积。谁的模是定值，就把谁当「刻尺」，把另一个向量往它身上投影；投影数量为，投影向量为。动点在圆上时投影可以参数化，最值一目了然。 三、易错提醒 ◆ 数量积没有消去律。推不出，因为可能恰好垂直于。见到在等式两边「约去同一个向量」的写法要立刻停手，这一步在实数运算里合法，在向量运算里不合法。 ◆ 投影数量的符号别丢。可以是负数，夹角为钝角时投影落在反方向。把投影数量当成正数用，会把「最小值」算成「最大值」；练 4 那道题若漏掉绝对值，还会把唯一的解判成无解。 ◆ 夹角范围是 [0, π]。只能推出夹角，θ = π 时两个向量共线反向，那是「平角」而不是「钝角」。练 2 的选项 D 就卡在这一条上，把端点漏掉会判错。 ◆ 平方前先处理绝对值。形如的等式，两边平方得到的是；漏写绝对值直接平方，会把的那半边解全部丢掉。 ◆ 展开式中间项的符号。展开是，展开是。符号写反，后面的最值方向整体颠倒，答案会差一倍还多。 ◆ 参数范围最后必须回查。动点在圆上、线段上或三角形内部时参数有范围，求出对称轴或最值点后要确认它落在范围里；取不到就要退到端点比较。例 2 的对称轴落在区间外、练 5 的最值点恰好落在范围内，两道题处理方式不同，根子都在这一条。 四、例题精讲 【例 1】 方法一 · 定义法 题注：模与夹角都直接给出，是一个现成的定值。把垂直条件翻译成数量积为零并展开，k 的一次方程就出来了——定义法的关键是先把「地基」算出来。 （2026·四川成都·三模）已知向量，满足，，与的夹角为。若，则实数 k = ______。 【答案】 【解析】由定义，。这一步是全题的地基。 由，得。 展开：， 代入，，，得 4k + 4k − 4 − 16 = 0，即 8k = 20， 解得。 【点拨】定义法的顺序很死：先算，再谈展开。本题、、夹角三个量齐全，所以一步到手；垂直条件展开后共出现四项，其中与合并成，剩下就是一次方程。注意展开时中间两项的符号：一项是，另一项是，符号一错 k 就求反。 【例 2】 方法二 · 坐标法 题注：正方形自带直角，把 A 放在原点、两条邻边放在坐标轴上，每个点的坐标都是整数或简单分数。动点 F 用一个参数描述完，数量积化成关于参数的二次函数。 （2026·山西忻州·模拟预测）在边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 在线段 CD 上，且 CE = 2DE。设，则 λ + μ = ______；若点 F 在线段 BE 上运动，点 G 为的中点，则的最小值为 ______。 【答案】；的最小值为 【解析】以 A 为原点、AB 所在直线为 x 轴、AD 所在直线为 y 轴建系，则 A(0, 0)，B(1, 0)，C(1, 1)，D(0, 1)。 由 CE = 2DE 且 E 在线段 CD 上，得，所以。 于是，而，。 由，对照坐标得，μ = 1，所以。 设（0 ≤ t ≤ 1），则， 。G 为 AF 的中点，所以， 。 。 对称轴，所以该二次函数在 [0, 1] 上单调递减，最小值在 t = 1 处取得， 最小值为。 所以，的最小值为。 【点拨】正方形是坐标法的「标配」图形：直角给了坐标轴，边长给了刻度。第一步把比例条件 CE = 2DE 翻成，这一步别把方向弄反——CE 是从 C 出发的那一段。第二步动点 F 用一个参数描述完，范围 [0, 1] 一并写出。第三步算数量积得到二次函数，对称轴落在 [0, 1] 之外，所以函数在区间上单调递减，最小值只能取在右端点 t = 1（即 F 与 E 重合时）。这一步的「回查」不能省：若不查对称轴，很容易把处的值当成最小值写进答案。 【例 3】 方法三 · 平方展开法 题注：|a+b| 给了一个方程，垂直条件给了另一个方程。两个方程都含 |a|、|b|、a·b 三个未知量，直接解是死路；两式相减，前两个未知量一起消失。 （2026·河北邢台·三模）已知向量，满足，且，则。 【答案】 【解析】由两边平方，得。　① 由，得， 展开得，即。　② ① − ②，与同时消去，得， 所以，。 【点拨】这道题的三个量、、谁都没单独给出，硬解是三个未知量两个方程。突破口在于两条方程的左边都含这一整块——把 ① 与 ② 相减，这一块连同自身一起消失，只剩。顺带记一条姊妹结论：若题面同时给出与，两式平方后相减得，与一起消失，练 3 的 2026 年新课标Ⅱ卷真题就是用它一行算完的。 【例 4】 方法四 · 投影法 题注：单位向量做基底，与都能用这一个量表示出来。投影数量等于除以，它是一个可正可负的数。 （2026·广东广州·模拟预测）设单位向量，的夹角为，，，则在上的投影数量为（　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D（） 【解析】单位向量的数量积就是夹角余弦：。 展开 。 再算，所以。 由投影数量的公式，在上的投影数量为，选 D。 用坐标法复核：以方向为 x 轴建系，则，， 于是，，，，两条路结果一致。 【点拨】投影数量是「数量」，不是「向量」，可正可负可为零。本题，说明在方向上的投影落在反方向，所以答案必须带负号——选项 A、B 就是留给把符号丢掉的人的。分母也要分清：投影数量的分母是，投影向量的分母是，后者多一个平方。最后一段的坐标法复核值得养成习惯：两条互相独立的路线算出同一个数，基本可以排除抄错系数的可能。 五、巩固练习 1. 定义法 · 由数量积求模 （2025·江苏泰州中学·期中）已知平面向量与的夹角为 60°，，，则（　） A．　　B．　　C．4　　D．12 【答案】A（） 【解析】由得，所以。 对两边平方：。 所以，选 A。 【点拨】这题把定义法与平方展开接在一起用：先用定义算出，再用平方展开把模化成数量。展开时中间项系数是 4 而不是 2——，交叉项出现两次，合成。系数漏倍是这一类题最常见的小错。 2. 概念辨析 · 多选 （多选）（2025·江苏泰州中学·月考）关于平面向量，，下列命题错误的有（　） A．若，则存在 λ ∈ R，使得 B．若 △ABC 是等边三角形，则与的夹角为 60° C． D．若，则与的夹角 θ 是钝角 【答案】ABD 【解析】A：取，，此时成立，但不存在 λ 使，命题错误。 B：把与平移到同一起点，指向 B，从 B 指向 C，两者夹角等于 180° − ∠B = 120°，不是 60°，命题错误。 C：这是向量三角不等式，当且仅当与同向时取等号，命题正确。 D：由得 cos θ < 0，所以。当 θ = π 时两向量共线反向，是平角而不是钝角，命题错误。 所以错误的命题是 ABD。 【点拨】四个选项各卡一个易错点。A 卡「零向量与任何向量共线，但零向量不能当除数」；B 卡「三角形里两条首尾相接的边，平移到同一起点后夹角是外角」；C 是唯一正确的三角不等式；D 卡「夹角可以取到 π」。判断这类命题题的通用办法是找反例，零向量与共线反向是最常用的两个反例。 3. 平方展开法 · 平方作差 （2026·新课标Ⅱ卷）已知向量，满足，，则（　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D（） 【解析】由两边平方得； 由两边平方得。 两式相减，与同时消去，得， 所以，选 D。 【点拨】两个模长平方一相减，与一起消失，只剩，所以不必先求出、各是多少。只要题面同时给出与这一对，就该想到平方作差；这一条也可以反着用——由快速检验答案的符号。 4. 平方展开法 · 绝对值与垂直 （2026·安徽合肥·二模）不共线的两个单位向量，满足，若，则实数 t 的值为（　） A．　　B．　　C．或 1　　D．或 1 【答案】A（） 【解析】记，其中 θ 为与的夹角。。 由，两边平方得，即， 解得 c = 1 或。c = 1 时与同向共线，与「不共线」矛盾，舍去，所以。 由，得， 所以，选 A。 【点拨】两个坑都在这一条题面上。第一个坑是绝对值：若把写成，平方后得到的还是，但会默认 c ≥ 0，于是被当成「矛盾」丢掉，整道题就无解了。第二个坑是 c = 1 这个根：它对应 θ = 0，两个单位向量同向共线，与「不共线」矛盾，必须舍去。舍根的理由要说出来，不能只把另一个根抄上。 5. 坐标法 · 动点与最值 （2026·山东济南·模拟预测）在 △ABC 中，∠A = 90°，AB = 2，AC = 4，P 为 △ABC 内一点（含边界），且。若，则 x + y 的最大值为（　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C（） 【解析】以 A 为原点、AB 所在直线为 x 轴、AC 所在直线为 y 轴建系，则 B(2, 0)，C(0, 4)。 ，设 P(cos θ, sin θ)，其中（P 在第一象限内，且落在三角形内的约束后面验证）。 由得 (cos θ, sin θ) = x(2, 0) + y(0, 4) = (2x, 4y)， 所以，，于是。 化成单一三角函数：，其中 tan φ = 2，φ 为锐角。 ，，所以 θ + φ 可以取到（此时）， 此时 sin(θ + φ) 取最大值 1，x + y 的最大值为。 回查区域约束：此时，点 P 对应的，确实落在 △ABC 内部，所以最大值能取到，选 C。 【点拨】直角给坐标轴，|AP| = 1 给单位圆，于是动点 P 一个参数 cos θ、sin θ 就描述完了。把用、线性表示，本质是读出两个系数，这一步对应的是平面向量基本定理。最后 x + y 是一个 sin 型函数，辅助角一合最大值就是。真正要小心的是最后一步：θ 的范围是而不是 [0, 2π]，必须确认能在这个范围内取到，否则最大值要退到端点去比。 6. 综合 · 模与数量积（多选） （多选）（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量，满足，，。对实数 t，设，。则下列说法正确的是（　） A．的最小值为 B．存在两个实数 t，使得 C．若，则 t = 1 D．以，为邻边的平行四边形面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】A：， 当 t = −1 时取等号，所以的最小值为，A 正确。 B：。 令，即，判别式 Δ = 9 + 4 = 13 > 0，方程有两个不相等的实根， 且此时，，两向量都非零，B 正确。 C：等价于，整理得， 把 t = 1 代入左边得 3 − 4 − 3 = −4 ≠ 0，所以 t = 1 不满足，C 错误。 D：设与的夹角为 α，则面积，于是。 ， ， 相减得，所以，当 t = 0 时取等号，D 正确。 所以选 ABD。 【点拨】四个选项把本册的四条路线串了一遍：A 用平方展开把模写成二次函数；B 用「垂直 ⇔ 数量积为零」把存在性问题化成判别式；C 用「模相等 ⇔ 平方相等」列出方程再验证；D 是本题最难的一步——面积公式两边平方后，，而正是，于是，四次式恰好消成完全平方。C 的验证也别省：解出的根再与 1 比较，比直接说「不成立」更有说服力。 六、拓展 极化恒等式：对任意两个向量都有，它把数量积换成两个模的平方差（练 3 的 2026 年新课标Ⅱ卷真题用它一步就能算出来）。它的两个常用推论：若 D 是 AB 的中点，则；若 EF 是圆 C 的直径，则（r 为半径）。数量积于是变成「点到定点的距离的平方」，最值问题落到「点离定点最近」这一句话上。 定比分点公式：若 D 在 BC 上且 BD : DC = m : n，则（O 为任意一点）。它的实质还是平面向量基本定理：把 BC 上的点写成两个端点向量的线性组合，系数之比等于线段长度比的反比。例 2 里把 E 写成，以及练 6 里点 G 为 AF 的中点，都可以用它直接写出系数，不必每次从基本定理重新推。 向量形式的三角形面积公式：设与的夹角为 A，则。把与代入，得到。这个公式把面积完全写成两个向量的模与数量积，在「已知两边及夹角余弦」的题里比先求 sin 再代面积公式少一步，练 6 的选项 D 用的正是同一个平方相减的技巧。 学科网（北京）股份有限公司 $