向量问题的常见解题策略 讲义-2027届高三数学一轮复习

向量问题的常见解题策略 向量问题的常见解题策略 一、知识要点 （一）向量为什么能「一题多解」 1. 向量兼有「形」与「数」两重身份。作为形，它有长度和方向，加减法对应三角形法则与平行四边形法则；作为数，选定基底之后可以写成线性组合或坐标，运算全部变成代数式。找解题策略，说到底就是在「用形」与「用数」之间挑一条更短的路。 2. 本学案把常见的综合问题归成四条策略：基底法、坐标法、数量积的三条路线、共线的系数和。拿到题先判断它属于哪一条，再动手——这一步判断比后面的计算更决定成败。 3. 判断用哪条策略，看三件事：条件是否集中在同一个顶点附近（基底法）；图中是否出现直角、正方形、正三角形、圆或正多边形（坐标法）；题面里是否有向量的模、夹角或数量积（数量积与模的路线）。方向定了就一路走到底，中途换来换去最容易把系数弄错。 （二）四条策略怎么用 4. 基底法。平面向量基本定理保证：只要、不共线，平面内任何向量都能唯一地写成的形式，所以选基底就是选「已知条件最集中的两条边」。关键在于「一路换到底」：把每个向量都用基底写出来，再用方程定下系数；遇到比例、中点、分点，先翻译成系数，中途不要换基底。 5. 坐标法是基底法的特例，取两个互相垂直的单位向量作基底。建系的要点是「把已知点放轴上」：把直角顶点、圆心或对称中心放在原点，把已知长度的边放在坐标轴上，让尽量多的点坐标是整数或简单的无理数。 6. 建系之后要给动点设参数。动点在圆上，设成 (r cos θ, r sin θ)；动点在线段或直线上，直接用横坐标作参数，另一个坐标由方程解出。参数的范围由动点原本所在的区域决定，不要漏。 7. 数量积有三条常见路线：定义式适合夹角与模都清楚的情形；坐标式适合建系之后；几何式把在方向上的投影乘上，适合「一个向量长度固定、另一个在动」的情形。三条都通时，选计算量最小的那条。 8. 模的处理一律先平方：。求模的最值于是变成求数量积的最值，平方之后通常是二次式或三角函数式。算出平方的最大值后不要忘记开方取正，并交代取到最值时参数是多少。 9. 共线的系数和是一条有力约束：若 A、B、P 三点共线，O 为直线 AB 外一点，则成立的充要条件是 x + y = 1。这是平面向量基本定理的直接推论。反过来，把目标向量写成两个共线端点向量的线性组合，读一眼系数和就得到参数之间的等式。 （三）算出结果以后怎么收尾 10. 能用三角不等式的直接用：，取加号时在与同向时取等，取减号时在反向时取等；下界由一步得到。只问最值时，这条路常常一步到位。 11. 不能直接套不等式时用基本不等式：把目标式整理成「积为定值的两项之和」或「和为定值的两项之积」，把这两项分别记作 u 与 v（都为正），再用。整理的方向由已知的定值决定——只有定值的那一侧，才配得出常数。 12. 收尾要把等号交代清楚。用基本不等式求最值，要说明各项为正且能取到相等；用二次函数求最值，要说明对称轴落在参数范围内。取不到的界只能写成严格不等号，并在答案里写出等号成立时各量的取值。 二、方法提炼 方法1　基底法：选一组不共线向量作基底，把题目里出现的每个向量都用它线性表示，再用数量积的定义、共线条件或模的平方把问题化成代数式。适合条件集中在同一个顶点附近、题面里出现比例与中点的图形。 方法2　坐标法：图形里有直角、正方形、正三角形、圆或正多边形时，建系把向量坐标化：数量积变成坐标相乘再相加，最值问题变成函数或三角函数问题，取值范围由动点原本所在的区域决定。要点是让已知点尽量落在坐标轴上。 方法3　数量积的三条路线：定义式管夹角与模，坐标式管建系之后的计算，几何式（投影）管「一个向量固定、另一个在动」。该用哪一条，先看题面里谁的模是已知的；三条都走得通时，选计算量最小的那条。 方法4　共线的系数和：三点共线等价于「以该直线外一点为起点，两个系数之和为 1」。把向量写成两个共线向量的线性组合，读系数和就得到参数之间的等式约束，再配合基本不等式或二次函数求最值。 三、易错提醒 ◆ 向量不能约分。推不出，因为可能垂直于。数量积有分配律却没有消去律，见到在等式两边「约去」的写法要立刻停手。 ◆ 平方之后别丢符号。可以是负数，把它当成正数用会漏掉一半解。求的最值时，平方展开里那一项是，符号写反就会得到方向相反的答案。 ◆ 建系之后忘写范围。动点在圆上、线段上或某个区域内时，参数有自己的取值范围。求出函数的对称轴或最值点后，必须回看它是否落在范围里；取不到就退到端点去比。 ◆ 共线条件用错起点。中「x + y = 1」成立的前提是 O 不在直线 AB 上，且三个向量从同一个起点 O 出发。换一个起点，系数要整体重算，不能直接沿用。 ◆ 三角形法则与平行四边形法则混用。是首尾相接的三角形法则；用平行四边形法则得到的是对角线，不是把两条边长相乘。加减方向弄反后面全错，动手画一个小图确认最省事。 ◆ 基本不等式求最值忘了交代等号。用之前要先说明各项为正，用完要回代确认两项真的能相等；等号取不到时，那个「最值」其实只是取不到的界，只能写严格不等号。 四、例题精讲 【例 1】 策略一 · 基底法 题注：平行四边形两条邻边的夹角与面积都已知，于是 |AB|·|AD| 与 AB·AD 都是定值。先用「共线」把 F 的位置翻译成系数定出 λ，再把目标向量平方展开，最后用基本不等式收尾，全程没有离开过基底 {AB, AD}。 （2025·天津部分区模拟）已知平行四边形 ABCD 的面积为，，点 E 在边 BC 上且。若 F 为线段 DE 上的动点，且，则 λ = ______，的最小值为 ______。 【答案】，的最小值为 【解析】由得，所以。 设（0 ≤ t ≤ 1）。因为， 所以。 与逐项对照得 λ = t，，解得，即。 此时。由面积得，即， 所以。 对两边平方：。 由基本不等式，， 所以，，等号当时成立。 所以，的最小值为。 【点拨】第一步把 E 的位置翻成系数：意味着，再用换进基底。第二步用「F 在 DE 上」把写成基底 {AB, AD} 的组合，两个系数一比就定出 λ，这一步不必去求点的坐标。第三步只剩一个模的平方要处理：用面积求出，用夹角求出，再用基本不等式把两项的平方和压到最小。整道题从头到尾没有离开过基底 {AB, AD}。 【例 2】 策略二 · 共线的系数和 题注：E 在 CD 上运动，说明 C、E、D 三点共线。把用 {AB, AC} 表出以后，共线条件立刻给出两个系数之间的等量关系，把它代入目标式，二元最值就压成一元。 （2025·铜川模拟）在 △ABC 中，D 是 AB 边上的点，满足 AD = 2DB，E 在线段 CD 上（不含端点），且（x，y ∈ R），则的最小值为（　） A．　B．　C．　D．8 【答案】B（） 【解析】由 AD = 2DB 得，即，代入得。 因为 E 在线段 CD 上，所以（0 < t < 1）。 对照系数得，y = t，消去 t 即，且 x > 0，y > 0。 把目标式拆开：。由， ， 等号当时成立，此时，，都满足 x > 0，y > 0。 所以的最小值为，选 B。 【点拨】两道门槛都在「翻译」上：比例 AD = 2DB 翻译成，共线「E 在 CD 上」翻译成两个系数之和为 1，于是得到。有了这个约束，把乘上（它的值正是 1），展开后就冒出与这一对「积为定值」的项，基本不等式一用就完。最后别忘了回代确认 x、y 都为正——等号真能取到，答案才站得住。 【例 3】 策略三 · 坐标法 题注：∠A = 90°，正好把 A 放在原点、两条直角边放在坐标轴上。点 P 在 BC 上，横坐标一设，纵坐标就由直线方程定出来，数量积直接化为二次函数。 （2025·北京延庆区模拟）在 △ABC 中，∠A = 90°，AB = AC = 4，点 M 为边 AB 的中点，点 P 在边 BC 上，则的最小值为 ______。 【答案】 【解析】以 A 为坐标原点、AB 所在直线为 x 轴、AC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B(4, 0)，C(0, 4)，M(2, 0)。 点 P 在 BC 上，设 P(u, 4 − u)（0 ≤ u ≤ 4）。 则，， 。 这是开口向上的二次函数，对称轴落在 [0, 4] 内，所以最小值为。 所以的最小值为。 【点拨】建系之前先看有没有直角——本题的 ∠A = 90° 就是把坐标轴摆上去的许可证。P 在 BC 上的约束，只用一个横坐标 u 就描述完了，纵坐标随之确定，参数范围也一目了然。算到最后是一个二次函数，把对称轴与区间对一下才出答案；这一步的对齐不能省，否则容易把区间外的最值点当成答案。 【例 4】 策略四 · 数量积的三条路线 题注：模与夹角都从圆上读出来，三条路线都走得通：坐标式把动点参数化直接算，几何式把数量积看成「投影 × 定长」，定义式则要先表示夹角。 （2026·石家庄调研）已知圆 O 的半径为 2，弦 AB = 2，D 为圆 O 上的动点，则的最小值为（　） A．−1　B．−2　C．−4　D．−6 【答案】B（−2） 【解析】因为，，所以 △OAB 是等边三角形，。 方法一（坐标式）以 O 为原点、OA 所在直线为 x 轴建系，则 A(2, 0)，，设 D(2cos θ, 2sin θ)。 则，， ， 当时取最小值 4×(−1) + 2 = −2。 方法二（几何式·投影）取弦 AB 的中点 M，以 M 为原点、AB 所在直线为 x 轴建系，则 A(−1, 0)，B(1, 0)，。 此时；D 在圆 O 上，设，于是。 这个式子可以读成几何语言：是定长，在方向上的投影等于 2cos θ + 1，它在 [−1, 3] 上取值，所以数量积在 [−2, 6] 上取值。 方法三（定义式）记与的夹角为 α，则。要让这个值最小，就要让 AD 在 AB 方向上的投影最小——这与方法二说的是同一件事，只是定义式还得先把与 α 分别表示出来，绕了一圈。 所以的最小值为 −2，选 B。 【点拨】三条路线走的是同一座山。坐标式把 D 参数化以后直接展开，最省心；几何式抓住「是定长」，于是数量积完全由在上的投影决定，投影最小则数量积最小。定义式在这里反而最慢，因为它要求把模与夹角分别算出来。记住一句判据：谁的模是定值，就把谁当「刻尺」，把另一个向量往它身上投影。 五、巩固练习 1. 模与数量积 · 平方展开加三角不等式 （2025·北京）在平面直角坐标系 xOy 中，，。设 C(3, 4)，则的取值范围是（　） A．[6, 14]　B．[6, 12]　C．[8, 14]　D．[8, 12] 【答案】D 【解析】由两边平方得，即，所以。 把目标向量统一换到以 O 为起点：，而。 两边平方：。 因为，所以，由得。 所以，，选 D。 【点拨】最难的一步是「把未知换成已知」：里混着 C、A、B 三个点，直接算不下去；统一改写成从 O 出发的三个向量后，、、全是已知数，只剩一个未知量，再用把它框住，范围就出来了。凡是式子里混着好几个不动点，先试试把它们都换到同一个起点上。 2. 数量积 · 平方作差 （2026·新课标Ⅱ卷）已知向量，满足，，则（　） A．　B．　C．　D． 【答案】D（） 【解析】由两边平方得； 由两边平方得。 两式相减，与同时消去，得， 所以，选 D。 【点拨】两个模长平方一相减，与一起消失，只剩下——所以不必先求出、各是多少。只要题面同时给出与这一对，就该想到用平方作差。 3. 共线的系数和 · 基本不等式 （2025·齐齐哈尔模拟）已知向量，不共线，，，其中 λ > 0，μ > 0。若 A、B、C 三点共线，则 λ + 4μ 的最小值为（　） A．5　B．4　C．3　D．2 【答案】B（4） 【解析】A、B、C 三点共线，所以存在实数 k 使，即。 因为、不共线，比较两边系数得 λ = k，1 = kμ，所以 λμ = 1。 由 λ > 0，μ > 0 得， 等号当 λ = 4μ 时成立，此时 λ = 2，，所以 λ + 4μ 的最小值为 4，选 B。 【点拨】「两个不共线向量相等」会得到一组系数等式：对应系数必须分别相等。这一组等式把 λ 与 μ 绑成 λμ = 1，最值问题就落到基本不等式上。用不等式之前先确认两个量都为正——题面已经写明 λ > 0、μ > 0，但交代这一步不能省。 4. 坐标法 · 正方形中的动点 （2026·湖南部分学校联考）已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 满足（λ > 0），则的最大值为 ______。 【答案】−12 【解析】以 A 为坐标原点、AB 所在直线为 x 轴、AD 所在直线为 y 轴建系，则 A(0, 0)，B(4, 0)，C(4, 4)，D(0, 4)。 由得 P(4λ, 0)，所以，。 。 这是开口向下的二次函数，对称轴满足 λ > 0，所以当时取到最大值。 所以的最大值为 −12。 【点拨】待求量写成关于 λ 的二次函数以后，开口方向决定这里是「最大值」还是「最小值」：本题开口向下，所以对称轴处的值就是最大值，而恰好落在 λ > 0 内。还要注意与的起点不同，写坐标时别把顺序弄反——顺序一错，数量积整体换号。 5. 基底法 · 单位向量作基底 （2025·合肥段考）在平行四边形 ABCD 中，，，则 cos∠BAD 的取值范围是 ______。 【答案】 【解析】记，，，则三者都是单位向量，且与的夹角就是 ∠BAD。 题设化为。两边平方：。 代入，得，即。 由得，所以。 【点拨】把三个方向上的向量各自缩成单位向量，题设就变成三条单位向量的关系式——单位向量是基底法里最顺手的基底。等式两边同时平方，左边出现，而单位向量的数量积就是夹角余弦，题目要的量自然浮出来。平方是「把向量等式变成数量等式」最省事的桥，凡是等式里同时出现模与和差，都可以先试它。 6. 综合 · 基底、投影与系数（多选） （多选）（2025·菏泽模拟）已知 △ABC 中，，AB = BC = 2，M 是 AC 的中点，动点 P 在以 AC 为直径的半圆弧上（该半圆弧与点 B 分别位于 AC 的两侧），则（　） A． B．的最小值为 −2 C．在上的投影向量为 D．若，则 x + y 的最大值为 【答案】ABD 【解析】由 AB = BC = 2、，得，所以且 BM = 1。 以 M 为原点、AC 所在直线为 x 轴建系，取 B(0, −1)，则，；设（0 ≤ θ ≤ π）。 A：因为 M 是 AC 的中点，由向量加法的平行四边形法则得，正确。 B：。 当 θ ∈ [0, π] 时，的最小值为，所以的最小值为，正确。 C：，；，所以在上的投影向量为，与题给的不符，错误。 D：由得， 所以，当 sin θ = 1（即）时取最大值，正确。 所以选 ABD。 【点拨】这是一道把前面几条策略串起来的题：选项 A 考中点和平行四边形法则，选项 C 考投影向量的公式，选项 B、D 都要先建系把动点参数化。建系时把 AC 放在 x 轴上、M 放在原点，是因为弦的中垂关系让 B 的坐标立刻变成 (0, −1)，半圆弧的参数也最整齐。投影向量的公式分母是而不是，中间那个平方最容易漏。 六、拓展 极化恒等式：对任意两个向量都有，它把数量积换成两个模的平方差（2026 年新课标Ⅱ卷那道题，用它一步就能算出来）。若 D 是 AB 的中点，则；若 EF 是圆 C 的直径，则（r 为半径）。数量积于是变成「点到定点的距离的平方」，最值问题落到「点离定点最近」这一句话上。这一条在高考题里出现频率不低，属于典型的「会了更快、不会也能做」的结论。 定比分点公式：若 D 在 BC 上且 BD : DC = m : n，则（O 为任意一点）。它的实质还是平面向量基本定理：把 BC 上的点写成两个端点向量的线性组合，系数之比等于线段长度比的反比。遇到「E 是 CD 的中点、F 在 BD 上」这类条件，用它可以直接写出系数，不必每次从基本定理重新推。 欧拉线定理：三角形的外心 O、重心 G、垂心 H 三点共线，且 GH = 2GO；同时（G 为重心），（D 为 BC 的中点）。这条定理 1765 年由欧拉在《三角形的几何学》中给出，把外心、重心、垂心三个本来各自独立的点用一条直线串了起来，做向量题时可以把其中任意两个互相表示，减少未知量。 学科网（北京）股份有限公司 $ 向量问题的常见解题策略 向量问题的常见解题策略 一、知识要点 （一）向量为什么能「一题多解」 1. 向量兼有「形」与「数」两重身份。作为形，它有长度和方向，加减法对应三角形法则与平行四边形法则；作为数，选定基底之后可以写成线性组合或坐标，运算全部变成代数式。找解题策略，说到底就是在「用形」与「用数」之间挑一条更短的路。 2. 本学案把常见的综合问题归成四条策略：基底法、坐标法、数量积的三条路线、共线的系数和。拿到题先判断它属于哪一条，再动手——这一步判断比后面的计算更决定成败。 3. 判断用哪条策略，看三件事：条件是否集中在同一个顶点附近（基底法）；图中是否出现直角、正方形、正三角形、圆或正多边形（坐标法）；题面里是否有向量的模、夹角或数量积（数量积与模的路线）。方向定了就一路走到底，中途换来换去最容易把系数弄错。 （二）四条策略怎么用 4. 基底法。平面向量基本定理保证：只要、不共线，平面内任何向量都能唯一地写成的形式，所以选基底就是选「已知条件最集中的两条边」。关键在于「一路换到底」：把每个向量都用基底写出来，再用方程定下系数；遇到比例、中点、分点，先翻译成系数，中途不要换基底。 5. 坐标法是基底法的特例，取两个互相垂直的单位向量作基底。建系的要点是「把已知点放轴上」：把直角顶点、圆心或对称中心放在原点，把已知长度的边放在坐标轴上，让尽量多的点坐标是整数或简单的无理数。 6. 建系之后要给动点设参数。动点在圆上，设成 (r cos θ, r sin θ)；动点在线段或直线上，直接用横坐标作参数，另一个坐标由方程解出。参数的范围由动点原本所在的区域决定，不要漏。 7. 数量积有三条常见路线：定义式适合夹角与模都清楚的情形；坐标式适合建系之后；几何式把在方向上的投影乘上，适合「一个向量长度固定、另一个在动」的情形。三条都通时，选计算量最小的那条。 8. 模的处理一律先平方：。求模的最值于是变成求数量积的最值，平方之后通常是二次式或三角函数式。算出平方的最大值后不要忘记开方取正，并交代取到最值时参数是多少。 9. 共线的系数和是一条有力约束：若 A、B、P 三点共线，O 为直线 AB 外一点，则成立的充要条件是 x + y = 1。这是平面向量基本定理的直接推论。反过来，把目标向量写成两个共线端点向量的线性组合，读一眼系数和就得到参数之间的等式。 （三）算出结果以后怎么收尾 10. 能用三角不等式的直接用：，取加号时在与同向时取等，取减号时在反向时取等；下界由一步得到。只问最值时，这条路常常一步到位。 11. 不能直接套不等式时用基本不等式：把目标式整理成「积为定值的两项之和」或「和为定值的两项之积」，把这两项分别记作 u 与 v（都为正），再用。整理的方向由已知的定值决定——只有定值的那一侧，才配得出常数。 12. 收尾要把等号交代清楚。用基本不等式求最值，要说明各项为正且能取到相等；用二次函数求最值，要说明对称轴落在参数范围内。取不到的界只能写成严格不等号，并在答案里写出等号成立时各量的取值。 二、方法提炼 方法1　基底法：选一组不共线向量作基底，把题目里出现的每个向量都用它线性表示，再用数量积的定义、共线条件或模的平方把问题化成代数式。适合条件集中在同一个顶点附近、题面里出现比例与中点的图形。 方法2　坐标法：图形里有直角、正方形、正三角形、圆或正多边形时，建系把向量坐标化：数量积变成坐标相乘再相加，最值问题变成函数或三角函数问题，取值范围由动点原本所在的区域决定。要点是让已知点尽量落在坐标轴上。 方法3　数量积的三条路线：定义式管夹角与模，坐标式管建系之后的计算，几何式（投影）管「一个向量固定、另一个在动」。该用哪一条，先看题面里谁的模是已知的；三条都走得通时，选计算量最小的那条。 方法4　共线的系数和：三点共线等价于「以该直线外一点为起点，两个系数之和为 1」。把向量写成两个共线向量的线性组合，读系数和就得到参数之间的等式约束，再配合基本不等式或二次函数求最值。 三、易错提醒 ◆ 向量不能约分。推不出，因为可能垂直于。数量积有分配律却没有消去律，见到在等式两边「约去」的写法要立刻停手。 ◆ 平方之后别丢符号。可以是负数，把它当成正数用会漏掉一半解。求的最值时，平方展开里那一项是，符号写反就会得到方向相反的答案。 ◆ 建系之后忘写范围。动点在圆上、线段上或某个区域内时，参数有自己的取值范围。求出函数的对称轴或最值点后，必须回看它是否落在范围里；取不到就退到端点去比。 ◆ 共线条件用错起点。中「x + y = 1」成立的前提是 O 不在直线 AB 上，且三个向量从同一个起点 O 出发。换一个起点，系数要整体重算，不能直接沿用。 ◆ 三角形法则与平行四边形法则混用。是首尾相接的三角形法则；用平行四边形法则得到的是对角线，不是把两条边长相乘。加减方向弄反后面全错，动手画一个小图确认最省事。 ◆ 基本不等式求最值忘了交代等号。用之前要先说明各项为正，用完要回代确认两项真的能相等；等号取不到时，那个「最值」其实只是取不到的界，只能写严格不等号。 四、例题精讲 【例 1】 策略一 · 基底法 题注：平行四边形两条邻边的夹角与面积都已知，于是 |AB|·|AD| 与 AB·AD 都是定值。先用「共线」把 F 的位置翻译成系数定出 λ，再把目标向量平方展开，最后用基本不等式收尾，全程没有离开过基底 {AB, AD}。 （2025·天津部分区模拟）已知平行四边形 ABCD 的面积为，，点 E 在边 BC 上且。若 F 为线段 DE 上的动点，且，则 λ = ______，的最小值为 ______。 【例 2】 策略二 · 共线的系数和 题注：E 在 CD 上运动，说明 C、E、D 三点共线。把用 {AB, AC} 表出以后，共线条件立刻给出两个系数之间的等量关系，把它代入目标式，二元最值就压成一元。 （2025·铜川模拟）在 △ABC 中，D 是 AB 边上的点，满足 AD = 2DB，E 在线段 CD 上（不含端点），且（x，y ∈ R），则的最小值为（　） A．　B．　C．　D．8 【例 3】 策略三 · 坐标法 题注：∠A = 90°，正好把 A 放在原点、两条直角边放在坐标轴上。点 P 在 BC 上，横坐标一设，纵坐标就由直线方程定出来，数量积直接化为二次函数。 （2025·北京延庆区模拟）在 △ABC 中，∠A = 90°，AB = AC = 4，点 M 为边 AB 的中点，点 P 在边 BC 上，则的最小值为 ______。 【例 4】 策略四 · 数量积的三条路线 题注：模与夹角都从圆上读出来，三条路线都走得通：坐标式把动点参数化直接算，几何式把数量积看成「投影 × 定长」，定义式则要先表示夹角。 （2026·石家庄调研）已知圆 O 的半径为 2，弦 AB = 2，D 为圆 O 上的动点，则的最小值为（　） A．−1　B．−2　C．−4　D．−6 五、巩固练习 1. 模与数量积 · 平方展开加三角不等式 （2025·北京）在平面直角坐标系 xOy 中，，。设 C(3, 4)，则的取值范围是（　） A．[6, 14]　B．[6, 12]　C．[8, 14]　D．[8, 12] 2. 数量积 · 平方作差 （2026·新课标Ⅱ卷）已知向量，满足，，则（　） A．　B．　C．　D． 3. 共线的系数和 · 基本不等式 （2025·齐齐哈尔模拟）已知向量，不共线，，，其中 λ > 0，μ > 0。若 A、B、C 三点共线，则 λ + 4μ 的最小值为（　） A．5　B．4　C．3　D．2 4. 坐标法 · 正方形中的动点 （2026·湖南部分学校联考）已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 满足（λ > 0），则的最大值为 ______。 5. 基底法 · 单位向量作基底 （2025·合肥段考）在平行四边形 ABCD 中，，，则 cos∠BAD 的取值范围是 ______。 6. 综合 · 基底、投影与系数（多选） （多选）（2025·菏泽模拟）已知 △ABC 中，，AB = BC = 2，M 是 AC 的中点，动点 P 在以 AC 为直径的半圆弧上（该半圆弧与点 B 分别位于 AC 的两侧），则（　） A． B．的最小值为 −2 C．在上的投影向量为 D．若，则 x + y 的最大值为 六、拓展 极化恒等式：对任意两个向量都有，它把数量积换成两个模的平方差（2026 年新课标Ⅱ卷那道题，用它一步就能算出来）。若 D 是 AB 的中点，则；若 EF 是圆 C 的直径，则（r 为半径）。数量积于是变成「点到定点的距离的平方」，最值问题落到「点离定点最近」这一句话上。这一条在高考题里出现频率不低，属于典型的「会了更快、不会也能做」的结论。 定比分点公式：若 D 在 BC 上且 BD : DC = m : n，则（O 为任意一点）。它的实质还是平面向量基本定理：把 BC 上的点写成两个端点向量的线性组合，系数之比等于线段长度比的反比。遇到「E 是 CD 的中点、F 在 BD 上」这类条件，用它可以直接写出系数，不必每次从基本定理重新推。 欧拉线定理：三角形的外心 O、重心 G、垂心 H 三点共线，且 GH = 2GO；同时（G 为重心），（D 为 BC 的中点）。这条定理 1765 年由欧拉在《三角形的几何学》中给出，把外心、重心、垂心三个本来各自独立的点用一条直线串了起来，做向量题时可以把其中任意两个互相表示，减少未知量。 学科网（北京）股份有限公司 $