精品解析：河南省信阳高级中学北湖校区2026-2027学年高一上学期9月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2026-2027学年高一上期09月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题集合可得集合， 集合的真子集个数为，故的真子集个数为. 2. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据属于关系、相等关系及包含关系的定义判断可得. 【详解】选项A：空集的定义是不含任何元素的集合，因此，该关系错误； 选项B：是包含元素的非空集合，和不含任何元素的空集不可能相等，该关系错误； 选项C：是以空集作为唯一元素的集合，和元素为数字的集合元素完全不同，不可能相等，该关系错误； 选项D：因为规定：“空集是任意集合的子集”，因此，该关系正确. 3. 下列结论中正确的个数是（ ） ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“”是全称量词命题； ③命题“”的否定为“”； ④命题“是的必要条件”是真命题； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案. 【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误； 对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确； 对于③：命题，则，故③错误； 对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确； 所以正确的命题为②④， 故选：C 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】 利用不等式性质逐一判断即可. 【详解】选项A中，若，，则，若，，则，故错误； 选项B中，取 ，满足，但，故错误； 选项C中，若，则两边平方即得，故正确； 选项D中，取，满足，但，故错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用不等式性质判断大小，属于基础题. 5. 已知，，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用作差比较，即可得到与的大小关系，得到答案. 【详解】由题意，， 则， 所以，即， 故选C. 【点睛】本题主要考查了代数式的比较大小，其中解答中熟练应用不等式的性质，利用作差比较法进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. 已知非空集合和，规定，且，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用题中给出的集合的定义，发现表示的是集合和的交集，,即，结合图即可判断. 【详解】设全集为, 由：，且， ∴，且. 故选：B. 7. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间是区间的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 8. 若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解． 【详解】由两个正实数满足， 即，， 所以， 当且仅当时等号成立， 又恒成立， 所以，解得． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，均不为0，记的所有可能取值组成的集合为，则中的元素为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据的情况，分类讨论即可求解. 【详解】由题意得：， 当时，，故B正确； 当时，，故C正确； 当时，，故A正确； 当时，，故D错误. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用作差法判断选项A；利用不等式的性质判断选项B；利用不等式的性质判断选项C；利用列举法判断选项D． 【详解】A项，=所以A选项是错误的； B项，若，可得：，故，故B正确； C项，若可得，由可得：，故C正确； D项，举当时，则不成立，故D不正确； 故选：BC． 11. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A变形已知等式，推导的取值范围，选项B应用均值不等式求解，选项C利用的代换变形，应用均值定理求解，选项D将所求式子变形为，求最值. 【详解】正实数，满足，， ，，选项A正确； ，，， 当且仅当时，即时，等号成立，选项B正确； ， 当且仅当，即时，即等号成立，选项C错误； ， ，，，选项D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，所以. 又，所以. 13. 满足的集合A共有______个 【答案】63 【解析】 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． 14. 已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合或 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求出时集合，再根据补集与并集的定义求解即可； （2）根据得到集合A与集合B没有公共元素，分类讨论求出的范围． 【小问1详解】 时，集合或， 所以， 因为集合， 所以； 【小问2详解】 ，或，，两个集合均为非空数集， 因为，所以与没有公共元素. 当，即时，，此时，不合题意； 当，即时，，解得； 综上，实数的取值范围是 16. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）不存在实数使. 【解析】 【分析】(1) ①当时，由，得，满足题意; ②当时,根据子集关系列式可解得; (2)根据两个集合的子集关系列式无解,故不存在实数. 【详解】（1）①当时，由，得，满足题意； ②当时，如图所示， 且与不能同时取等号，解得． 综上可得，的取值范围是：． （2）当时，如图所示， 此时，，即， ∴不存在，即不存在实数使． 【点睛】本题考查了根据集合间的子集或真子集关系,容易漏掉空集情况,属于中档题. 17. 如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 （1）设，试用表示AP，并求的取值范围； （2）当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 【答案】（1） （2）m时，取得最小值1200. 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似表示出，再由不等关系即可解得的取值范围； （2）求得面积的表达式，再利用基本不等式可求得当m时，取得最小值1200. 【小问1详解】 依题意可得， 所以，即，可得； 因此， 又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即， 解得， 即； 【小问2详解】 易知， 所以 由基本不等式可得； 当且仅当时，即时，等号成立， 此时取得最小值1200； 因此m时，取得最小值，最小值为1200. 18. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）求集合； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】 （1）根据存在性命题为真的条件，结合二次函数判别式大于0求解集合； （2）将代入对应方程求出的可能值，再验证交集是否符合要求； （3）由得，分为空集、非空两类，结合判别式和韦达定理求解的范围. 【小问1详解】 命题为真，即存在使得成立， 二次函数的图象开口向上，故需判别式， 所以  ，解得，因此集合； 【小问2详解】 由得， 将代入对应方程得：  ， 化简得，解得或， 当时，方程为，根为、， 此时，，不符合条件，舍去； 当时，方程为，根为、， 此时，，符合条件， 综上，； 【小问3详解】 由得，分两类讨论： ① 当时，方程无实根， 判别式 ，解得，符合条件； ② 当时，方程有实根，需满足，且两根均为负， 由韦达定理得：  ，分别解得、、或， 所以， 综合两类情况，实数的取值范围是或. 19. 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）二次函数有且仅有一个不动点，求a的值； （3）若二次函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值. 【答案】（1）不动点为和1； （2），不动点为4 （3）6 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，解该一元二次方程即可得解； （2）根据不动点概念，分类讨论方程的根，计算即可. （3）根据题意，转化为有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系，得到，且，化简，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 令，可得，可得， 解得，，所以二次函数的不动点为和1. 【小问2详解】 令， 可得， 因为，所以，，解得. 即时，不动点为4. 【小问3详解】 二次函数有两个不相等的不动点，，且，， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，且，， 因为，，即，解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2026-2027学年高一上期09月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列结论中正确的个数是（ ） ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“”是全称量词命题； ③命题“”的否定为“”； ④命题“是的必要条件”是真命题； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知，，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知非空集合和，规定，且，那么等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，均不为0，记的所有可能取值组成的集合为，则中的元素为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则______． 13. 满足的集合A共有______个 14. 已知，，则的最小值为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合或 （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 17. 如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 （1）设，试用表示AP，并求的取值范围； （2）当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 18. 已知命题，，集合为命题为真命题时实数的取值集合．集合． （1）求集合； （2）若，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 19. 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）二次函数有且仅有一个不动点，求a的值； （3）若二次函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $