精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2025-2026学年高一上期01月测试（二）

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一上期01月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像构成，则“心形”在轴上方的图像对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数.对于，都有成立，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 5. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 6. （ ） A. B. C. D. 1 7. 已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（，，）的图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能取值有（　　） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，则（ ） A. B. C. D. 10. 若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则（ ） A. 函数图象关于直线对称 B. C. 函数图象关于点中心对称 D. 当时， 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径为2，圆心角为1，则扇形的周长为______. 13. 已知角满足，则___________. 14. 已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式． （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图象的对称中心和对称轴． 17. 已知函数 （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的值域； （3）已知为锐角，且，求的值. 18. 已知函数 ，； （1）解不等式： ； （2）求证： 为定值，并求的值； （3）若满足 ，满足，求 的值. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可以将其推广为： 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）已知函数的定义域为，且图象关于点对称，求的值： （2）已知函数，. （i）根据以上结论，求出函数图象的对称中心，并求在的值域. （ii）是否存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有3个不等根，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一上期01月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解指数、对数不等式得到集合的范围，再计算即可. 【详解】因为，所以 ，又因为，所以 所以 故选：B 2. 对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知定义依次判断充分性和必要性即可. 【详解】由得：，又，，充分性成立； 当时，若，，则，必要性不成立； “”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像构成，则“心形”在轴上方的图像对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入计算，即可排除A，由函数的奇偶性即可判断BD，然后分别验证函数的奇偶性以及单调性即可判断C 【详解】A选项：时，，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数，不符合题意，故B错误； C选项：记，则，故为偶函数，当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减，且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C 4. 已知函数.对于，都有成立，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件判断出在R上单调递减，再根据解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】因为对于，都有成立， 所以函数在R上单调递减， 故，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 5. 若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易得函数与的周期相等，从而可求出，再根据余弦函数和正切函数的对称性分别求出两个函数的对称中心，进而可得出答案. 【详解】因为函数的相邻对称中心的距离都是半个周期， 且函数与函数图象的对称中心完全一致， 所以函数与的周期相等， 则函数的周期，即，所以， 则， 令，故， 令，则， 故，解得， 因为，所以． 故选：D． 6. （ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简计算即可. 【详解】原式 . 故选：A 7. 已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式可证明 ，由此可证明，再构造函数，证明其值小于零，进而结合指数函数的单调性证明，可得答案. 【详解】因为， 故 ，即 ， 又，即，故 ， 令 ， 则 ， 即有，所以， 即，即，故，故. 故选：D 8. 已知函数（，，）的图象关于轴对称，且在区间上不单调，则的可能取值有（　　） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，此时，结合函数在区间上不单调，求得，即可求解. 【详解】由函数的图像关于轴对称，可得， 因为，可得，所以， 又由，可得， 当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意； 当时，可得，可得在上单调递减，不符合题意； 当时，可得，可得在上不单调，符合题意； 当时，可得，可得在上单调递增，不符合题意； 当时，则函数的最小正周期为，此时， 所以函数在上不是单调函数，符合题意， 所以，所以满足条件的有9个. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ABCD的正误. 【详解】对于A，因为， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C，因为，故，当且仅当时等号成立， 故，故C成立； 对于D，因为，故，故， ，当且仅当时等号成立， 故D成立， 故选：ACD. 10. 若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则（ ） A. 函数图象关于直线对称 B. C. 函数图象关于点中心对称 D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，对称性和周期性逐个选项进行判断即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且， 又，所以关于对称，故A错误； ， 所以 所以函数的周期为4 ，，故B正确； 要证明函数图象关于点中心对称，需证明。 由题意，，又因为为奇函数， 又， 因此，故C正确； 因为当时，， 设，则， 所以， 当时也成立， 所以当时，，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间单调递增 B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用符合函数的单调性判断A，计算出即可判断B，利用换元法求出函数的值域，即可判断C，求出函数在上的单调性，即可画出函数在区间的图象，结合图象分类讨论，即可判断D. 【详解】对于A：当时， 所以， 因为在上单调递增，又， 所以， 因为，即，所以，即， 所以，所以， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上不单调，即在区间不单调，故A错误； 对于B：因为， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：因为， 令，则，令，， 则在上单调递增，在上单调递减，又，，， 所以，所以的值域为，故C正确； 对于D：当时，所以， 由A选项可令且， 则当时单调递增， 令，即时在上单调递增，且， 所以在上单调递减， 又，令，即时在上单调递减，且， 所以在上单调递增， 当，即时在上单调递减，且， 所以在上单调递减， 又，，， 所以在上的函数图象如下所示： 由图可知： ①当时与有且仅有一个交点， 即关于的方程在区间的实数根为； ②当或时与有两个交点， 即关于的方程在区间有两个实数根，且两根关于对称， 所以两根之和为； ③当时与有四个交点， 即关于的方程在区间有四个实数根，不妨设为且， 所以与关于对称，与关于对称， 所以； ④当或时与无交点， 即关于的方程在区间无实数根； 综上可得，若关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为，故D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：对于D选项关键是分析出函数的单调性，结合函数图象，将方程的解转化为函数与函数的交点问题，结合函数的对称性求出方程的根的和. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径为2，圆心角为1，则扇形的周长为______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式计算直接得出结果. 【详解】由题意知，扇形的弧长为， 所以扇形的周长为. 故答案为：6 13. 已知角满足，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】对已知条件进行平方，先求出，再由角的象限判断，计算可得出结论. 【详解】由，得，所以. 又由，知，由，得， 所以，所以， 所以 故答案为： 14. 已知函数，对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对钩函数的单调性，结合绝对值的性质、三角形的性质进行求解即可. 【详解】要想对任意实数，使得以，，数值为边长可构成三角形，只需， 设， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 因为， 所以， 当时，即时， ，此时， 因此由，而， 所以； 当时，即当时， 此时，此时， 因此由，而， 所以， 若时，即时， 若，即当时， 显然此时， 由，显然， 若，即当时， 显然此时， 因此由，而， 综上所述：实数的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用对钩函数的单调性求出的最值，再结合最值的正负性分类讨论. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性求出集合，再利用并集的概念运算； （2）根据一元二次不等式求解集合，再根据是的真子集求m的取值范围. 【小问1详解】 ， ， 故. 【小问2详解】 ， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，得， 故实数m的取值范围为. 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式． （2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图象的对称中心和对称轴． 【答案】（1） （2）对称中心，对称轴， 【解析】 【分析】（1）观察图象得到、及图象上点，由求，代入点求，得到解析式； （2）由图象变换得到解析式，整体代换求解对称中心和对称轴. 【小问1详解】 由图，，，所以，，所以， 又图象过点，所以，所以， 解得，又，所以， 所以. 【小问2详解】 将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数， 再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到， 由，解得；由，解得， 所以图象的对称中心为，对称轴. 17. 已知函数 （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的值域； （3）已知为锐角，且，求的值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化简为，然后根据正弦函数的单调性求解单调递增区间即可； （2）由得，然后根据正弦函数性质求解值域即可； （3）设，根据得，根据同角三角函数基本关系及二倍角公式得，，最后利用两角差正弦公式化简求值即可. 【小问1详解】 . 令， 所以的单调递增区间为，； 【小问2详解】 当时，所以，所以，所以的值域为； 【小问3详解】 设，则， 由于，故， 所以，所以，， 故. 18. 已知函数 ，； （1）解不等式： ； （2）求证： 为定值，并求的值； （3）若满足 ，满足，求 的值. 【答案】（1） （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质化简不等式，结合换元法、一元二次不等式的解法、对数函数的单调性进行求解即可； （2）根据指数的运算性质，结合定值的特征运用倒序相加进行求解即可； （3）根据所给的两个等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【小问1详解】 已知，则， ， 所以不等式可化为， 令，则不等式变为， 即，解得或， 当时，， 当时，， 所以，不等式的解集为. 【小问2详解】 已知，则，， 所以为定值， 令， 则， 两式相加得，所以， 即的值为. 【小问3详解】 已知满足，即， 已知满足，即， 令， 则原方程组可化为和， 而可化为， 设，因为函数都是实数集上的增函数， 所以函数是实数集上的增函数， 由，， 所以有， 因为函数是实数集上的增函数 所以，即，， 所以. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可以将其推广为： 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）已知函数的定义域为，且图象关于点对称，求的值： （2）已知函数，. （i）根据以上结论，求出函数图象的对称中心，并求在的值域. （ii）是否存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有3个不等根，若存在，求出实数与的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（i）函数图象的对称中心为，在的值域为；（ii）实数的取值范围为：，的取值范围为：． 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性得，赋值求得，从而得所求； （2）（i）设的对称中心为，根据对称性列方程，比较系数即可得解析式，根据复合函数单调性求解最值即可得在的值域；（ii）令，，，根据范围得出的取值范围，由题意可得关于的方程在区间有两解，且有两个不等根，只有一个根，列出不等式组得出的范围，从而得的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，且图象关于点对称， 则函数为奇函数， 所以， 则令得，令得，即， 所以； 【小问2详解】 （i）设的对称中心为，函数为奇函数， 则恒成立， 所以 整理得，故，解得， 所以函数的对称中心为， 则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单增， 所以，故在的值域为； （ii）令，由（i）知， 令，因为在单调减，在单调递增， 且，又 则①当时，方程有两个不等根且， 则，所以； ②当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1， 又方程转化为 设， 由二次函数与的图象特征， 原题目等价于：对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根，， 且有两个不等根，只有一个根，则必有， 当时，结合二次函数的图象， 则有，解之得； 综上，实数的取值范围为：； 此时，则其根，故必有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $