精品解析：河北张家口市第五中学2026-2027学年九年级数学9月学情自测试题

九年级数学学科成果展示 一、选择题（共20小题） 1. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 4、、1 B. 4、2、 C. 4、、 D. 4、2、1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；因此此题可根据“一元二次方程，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项”进行求解即可． 【详解】解：由方程可知：二次项系数、一次项系数、常数项分别为4、、1； 故选A． 2. 用配方法解方程时，原方程应变为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项后配方，将方程左边化为完全平方式． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 配方得：． 故选：A． 3. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、2、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，能成比例； B．，不能成比例； C．能成比例； D．，能成比例． 故选B 4. 若，则的值是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】设比例系数k，将用含k的式子表示，代入化简求值． 【详解】解：设， 则，， 代入得． 5. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义与解，解一元二次方程，将代入原方程可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据一元二次方程的定义可得出，进而可得出，据此可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为0，， ∴将代入，得：， 解得，． ∵方程是一元二次方程， ， ． ∴ 故选：C． 6. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得到两个三角形的相似比，而相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，由此得解． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应角平分线的比为． 故选：D． 7. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，先根据最长边之比得出相似比，再结合周长之和求解较小三角形的周长即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的最长边分别为和， ∴它们的相似比为 ∴它们的周长比为， 设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为， ∵它们的周长之和为， ∴， 解得， ∴较小三角形的周长为， 故选：A． 8. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 9. 如图，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，在中，，是边上的高，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 11. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，无法得到，故本选项符合题意； 12. 如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（ ）种不同的剪法． A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 13. 已知点P是的黄金分割点，．记为边长的正方形的面积为，以，为邻边的平行四边形面积为，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，利用平行四边形的性质求解，根据正方形的性质求面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用黄金分割的性质得到与的关系，再结合平行四边形高的取值范围比较面积大小． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，且， ∴（黄金分割性质：较长线段的平方等于整条线段与较短线段的乘积）， ∵是以为边长的正方形的面积， ∴， ∵是以、为邻边的平行四边形的面积， 取为底，对应的高为， 根据平行四边形面积公式，， 由垂线段最短可知，平行四边形的高， ∴， 即，也就是， 故选：A． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将放大到原来的倍，则点的对应点的坐标是( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．根据位似变换的性质，给点的坐标分别乘以即可． 【详解】解：由题可知，为位似中心，且相似比为，且， 点的对应点坐标为或，即或． 故选：D． 15. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（ ） A. －1 B. －1或 C. D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，进行分类讨论即可． 【详解】解：若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴得，不成立，舍去， ∴x的值为－1或， 故选：B． 【点睛】本题考查新定义以及一元二次方程，理解材料中的定义，准确进行分类讨论，并准确求解一元二次方程是解题关键． 16. 如图，点O是内一点，连接，点D，E，F分别是的中点，已知的面积是1，有以下结论：①；②；③；④其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据点分别是的中点，判断出两个三角形相似，再利用三角形的相似比可依次判断各个结论的正误． 【详解】解：∵点O是内一点，连接，点D，E，F分别是的中点， ∴，且，，且，，且， ∴，故①正确； ∴，故②错误； ∵，， ∴，故③正确； ∵，且， ∴，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的判定与性质、三角形的中位线性质以及相似三角形的性质． 17. 为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，、、三点共线，则旗杆的高度为（ ） A. 13.5米 B. 12.5米 C. 11.9米 D. 10.5米 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB=EF=1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，即可求得AH，最后根据AB=AH+HB即可解题． 【详解】设CD与EH交于点G 由题意得：EF=GD=BH=1.6,BD=EH=15，EG=DF=2 ∴CG=CD-GD=1.4, ∵CD⊥FB，AB⊥FB， ∴CD∥AB， ∴△CGE∽△AHE， ∴， 即：， ∴AH=11.9， ∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5（m）． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度． 18. 如图，四边形的对角线与相交于点O，且，则①；②．下列关于①②的判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①②都错误 【答案】B 【解析】 【分析】首先由、是对顶角，可得，再结合已知及相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：∵，， ∴，故①正确； 在与中，只有，再找不到任何一对角相等，也不能说明夹此角的两边对应成比例，故②错误． 19. 如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（ ）秒后，与相似． A. 2 B. C. 或2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设x秒后，与相似，可表示出，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设x秒后，与相似，则， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故经过2秒或秒后，与相似， 故选：． 20. 如图，正方形边长为1，点M是对角线上一点，，连接，将绕点B顺时针旋转，得到的延长线与的延长线交于点E，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用旋转性质证明，得出及，通过角度计算证明为等腰三角形，从而． 【详解】解：连接， ∵正方形边长为， ∴，，，． ， ∴． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，． ∵，， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∵在延长线上， ∴． ∴． 在中，，， ∴． ∴． 在中，． ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 二、解答题（共5小题） 21. （1）当x为何值时，代数式的值等于0？ （2）当x为何值时，代数式的值等于42？ （3）当x为何值时，代数式的值与代数式的值相等？ 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】 【分析】各项根据题意列出方程，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 分解因式得：， 解得：，， ∴当x＝1或12时，代数式的值等于0； （2）根据题意得：， 即， 分解因式得：， 解得：，， ∴当x＝－2或15时，代数式的值等于42； （3）根据题意得：， 即， 分解因式得：， 解得：，， ∴当x＝或3时，代数式的值与代数式的值相等． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 22. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围． （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求a的值． 【答案】（1）且； （2）的值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根、一元二次方程根的判别式得出、，进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式的变形得到，由此解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 即， 解得， ∴且； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ， ， ∴或， 解得（且，故舍去），， ∴的值为． 23. 如图，点、在线段上，是等边三角形，且，求的度数． 【答案】120°． 【解析】 【详解】试题分析：根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案． 解：∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD=60°， ∴∠ACP=120°， ∵△ACP∽△PDB， ∴∠APC=∠B，又∠A=∠A， ∴△ACP∽△ABP， ∴∠APB=∠ACP=120°． 考点：相似三角形的性质． 24. 综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）200，2000 （2）该玩偶的售价为44元 （3）商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元；理由： 设该玩偶的售价为x元，此时利润能达到2500元， 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴该一元二次方程没有实数根，∴ 商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）先计算降价后增加的销量，再计算总利润即可； （2）设出售价，根据利润关系列一元二次方程求解即可； （3）设利润能达到2500元，列方程后利用判别式判断方程是否有实根即可解答． 【小问1详解】 解： ∵当售价定为50元时，每天卖出100个，售价每降1元多卖10个． ∴当售价为40元时，降价金额为元，增加玩偶的数量为：个，商店每天卖出该玩偶的数量是个， ∴每天的利润为元． 【小问2详解】 解：设该玩偶的售价为x元， 由题意可得：， 整理得：，解得：，均符合． 所以在利润相同的情况下，售价越低销量越高，越有利于尽快清空库存，故舍去售价较高的46元. 答：该玩偶的售价为44元． 【小问3详解】 解：略． 25. 感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 【答案】 感知：（1）；应用： （2）①证明：∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B， ∴∠BAP=∠CPD， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCD； ②3.6；拓展： （3）2或 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解； （2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证； ②根据相似三角形的性质计算，即可求解； （3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解． 【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE， ∴， ∴， 故答案为：； 应用：（2）①略 ②BC=12，点P为BC中点， ∴BP=PC=6， ·∵△ABP∽△PCD， ∴，即， 解得：CD=3.6； 拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD， ∴PC=AB=10， ∴BP=BC-PC=12-10=2； 当AP=AD时，∠ADP=∠APD， ∵∠APD=∠B=∠C， ∴∠ADP=∠C，不合题意， ∴AP≠AD； 当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B， ∵∠C=∠C， ∴△BCA∽△ACP， ∴，即， 解得：， ∴， 综上所述，当为等腰三角形时， BP的长为2或 ． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科成果展示 一、选择题（共20小题） 1. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 4、、1 B. 4、2、 C. 4、、 D. 4、2、1 2. 用配方法解方程时，原方程应变为（ ） A. B. C. D. 3. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、2、 4. 若，则的值是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 5. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或 6. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ） A. B. C. D. 7. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 8. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在中，，是边上的高，，则的值是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（ ）种不同的剪法． A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 13. 已知点P是的黄金分割点，．记为边长的正方形的面积为，以，为邻边的平行四边形面积为，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将放大到原来的倍，则点的对应点的坐标是( ) A. B. C. 或 D. 或 15. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（ ） A. －1 B. －1或 C. D. 1或 16. 如图，点O是内一点，连接，点D，E，F分别是的中点，已知的面积是1，有以下结论：①；②；③；④其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 17. 为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，、、三点共线，则旗杆的高度为（ ） A. 13.5米 B. 12.5米 C. 11.9米 D. 10.5米 18. 如图，四边形的对角线与相交于点O，且，则①；②．下列关于①②的判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①②都错误 19. 如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（ ）秒后，与相似． A. 2 B. C. 或2 D. 或2 20. 如图，正方形边长为1，点M是对角线上一点，，连接，将绕点B顺时针旋转，得到的延长线与的延长线交于点E，则长为（ ） A. B. C. D. 二、解答题（共5小题） 21. （1）当x为何值时，代数式的值等于0？ （2）当x为何值时，代数式的值等于42？ （3）当x为何值时，代数式的值与代数式的值相等？ 22. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围． （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求a的值． 23. 如图，点、在线段上，是等边三角形，且，求的度数． 24. 综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 25. 感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $