精品解析：河北省张家口市宣化区第五中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

宣化五中教育集团2025-2026学年第一学期十二月考试 九年级数学试卷 （90分钟，满分100分） 一、选择题（每小题3分，共42分） 1. 在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图像大致是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，是的外接圆，则点O是的（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三角形三内角角平分线的交点 4. 把Rt△ABC的三边都扩大十倍，关于锐角A的正弦值：甲同学说扩大十倍；乙同学说不变；丙同学说缩小十倍.那么你认为正确的说法应是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 都不正确 5. 如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1:6的斜坡铺设管道.下列等式成立的是（ ） A. sinα = B. cosα= C. tanα= D. tanα=2 7. 如图1是第七届国际数学教育大会()的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．如果已知， ，则的值是( ) A. B. C. D. 8. 若函数为反比例函数，则m的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 9. 下列计算错误的个数是（　　） ①sin60°﹣sin30°=sin30° ②sin245°+cos245°=1 ③（tan60°）2= ④tan30°= A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知是反比例函数的图象上的三个点，并且，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 11. 图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为4的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE，  ②AE=BE ， ③OD=DE， ④∠AEO=∠C， ⑤弧AE=弧AEB，正确结论的个数是（　　） A. 2                                            B. 3                                            C. 4                                            D. 5 13. 关于三角函数有如下的公式：，由该公式可求得的值是（   ） A. B. C. D. 14. 有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ） A. 淇淇说的对，且的另一个值是115° B. 淇淇说的不对，就得65° C. 嘉嘉求的结果不对，应得50° D. 两人都不对，应有3个不同值 二、填空题（每题3分，共12分） 15. 如图，在边长为1的正方形网格中，若一段圆弧恰好经过四个格点，则该圆弧所在圆的圆心是图中的点_______． 16. 如图，．若，，则___________． 17. 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为______cm． 18. 如图，都是等腰直角三角形，直角顶点都在函数的图像上．若三角形依次排列下去，则点的坐标是___________． 三、解答题 19. 计算 （1）； （2）解方程 20. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．在计算时，如图，在中，，延长使，连接，得，所以，类比这种方法，计算（画图并写出过程） 21. 某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克售出，每天可售出200千克，经调查，售价每降0.1元，每天多卖40千克，另外，每天的其它固定成本为24元．该经营户要想盈利200元，每千克售价应是多少元？ 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E． （1）求证：BE=CE； （2）若BD=2，BE=3，求AC的长． 23. 如图，已知一次函数的图象和反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数，一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据函数图象，直接写出使反比例函数值小于一次函数值的值的取值范围． 24. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣化五中教育集团2025-2026学年第一学期十二月考试 九年级数学试卷 （90分钟，满分100分） 一、选择题（每小题3分，共42分） 1. 在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了余弦的定义，解题的关键是掌握直角三角形中，余弦等于邻边与斜边的比． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2. 反比例函数的图像大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键； 根据反比例函数的比例系数，得出函数图像是位于第二四象限的双曲线，据此判断即可． 【详解】解：由知，， ∴反比例函数经过第二、四象限， 故选：A． 3. 如图，是的外接圆，则点O是的（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三角形三内角角平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案． 【详解】是的外接圆， 点O是的三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，正确把握外心的定义是解题的关键． 4. 把Rt△ABC的三边都扩大十倍，关于锐角A的正弦值：甲同学说扩大十倍；乙同学说不变；丙同学说缩小十倍.那么你认为正确的说法应是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义，知：三角函数的大小只与角的大小有关，与角的两边长度无关． 【详解】根据锐角三角函数的概念，知 把Rt△ABC的三边都扩大十倍，关于锐角A的正弦值不变. 故选B. 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键. 5. 如图，的顶点位于正方形网格的格点上，若，则满足条件的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查角的正切，因此此题可结合网格特点，利用正切的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项符合题意； B、，则此项不符合题意； C、，则此项不符合题意； D、，则此项不符合题意； 故选：A 6. 如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1:6的斜坡铺设管道.下列等式成立的是（ ） A. sinα = B. cosα= C. tanα= D. tanα=2 【答案】C 【解析】 【分析】根据坡度的定义解答． 【详解】解：根据坡度的定义可知，tanα=BC：AC=1：6=． 故选：C． 【点睛】本题考查了坡度的定义：坡度（slope）是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（ 或叫做坡比）用字母i表示，即坡角的正切值（可写作：i=tan坡角）． 7. 如图1是第七届国际数学教育大会()的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．如果已知， ，则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，得出，在中，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ， ∴， 在中，， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数关系是解题的关键． 8. 若函数为反比例函数，则m的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义进行解答即可． 【详解】解：是反比例函数， 解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题关键． 9. 下列计算错误的个数是（　　） ①sin60°﹣sin30°=sin30° ②sin245°+cos245°=1 ③（tan60°）2= ④tan30°= A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】A. sin60°﹣sin30°=−≠sin30°，故A错误； B. sin245°+cos245°=1，故B正确； C. (tan60°)2=3，故C错误； D. tan30°=，故D错误； 故选C. 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，熟记这些特殊角的三角函数值是解此题的关键. 10. 已知是反比例函数的图象上的三个点，并且，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数的系数判断出函数图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再根据，判断出，，的大小．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的系数 图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， 又∵， 点，，在第二象限， ∴． 故选：C． 11. 图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为4的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：图1中，阴影面积为xy＝4； 图2中，阴影面积为xy＝×4＝2； 图3中，阴影面积为2×xy＝2××4＝4； 图4中，阴影面积为4×xy＝4××4＝8； 则阴影面积为4的有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积． 12. 如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE，  ②AE=BE ， ③OD=DE， ④∠AEO=∠C， ⑤弧AE=弧AEB，正确结论的个数是（　　） A. 2                                            B. 3                                            C. 4                                            D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】已知OE是⊙O的半径，D是弦AB的中点，可根据垂径定理的推论来判断所给出的结论是否正确． 【详解】解：∵OE是⊙O的半径，且D是AB的中点， ∴OE⊥AB，弧AE=弧BE=弧AEB；（故①⑤正确） ∴AE=BE；（故②正确） 由于没有足够条件能够证明③④一定成立，所以一定正确的结论是①②⑤； 故选B． 【点睛】此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及垂径定理的推论；垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧． 13. 关于三角函数有如下的公式：，由该公式可求得的值是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，代入特殊三角函数值计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，灵活运用公式把一般角转化为特殊角的和或者差是解题的关键． 14. 有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ） A. 淇淇说的对，且的另一个值是115° B. 淇淇说的不对，就得65° C. 嘉嘉求的结果不对，应得50° D. 两人都不对，应有3个不同值 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵∠BOC=130°， ∴∠A=65°， ∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补． 故∠A′＝180°−65°＝115°． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键． 二、填空题（每题3分，共12分） 15. 如图，在边长为1的正方形网格中，若一段圆弧恰好经过四个格点，则该圆弧所在圆的圆心是图中的点_______． 【答案】C 【解析】 【详解】圆心是弦EF和弦FG的中垂线的交点，是C．故选C． 16. 如图，．若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据三角形内角和为，求得，再根据相似三角形的对应角相等，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 故答案为：． 17. 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长． 【详解】解：作OD⊥AB于D，连接OA． 根据题意得：OD=OA=1cm， 再根据勾股定理得：AD=cm， 根据垂径定理得：AB=2cm． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理以及垂径定理．注意由题目中的折叠即可发现OD=OA=1． 18. 如图，都是等腰直角三角形，直角顶点都在函数的图像上．若三角形依次排列下去，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的综合应用，掌握等腰直角三角形的性质和反比例函数的性质是解题的关键． 过点作轴，可知点坐标为，点坐标为，求出直线的解析式为，根据，求得直线的解析式为，联立直线与反比例函数的解析式，求得点坐标为，点坐标为，同理可求得点坐标为，点坐标为，依此类推，可知点的坐标是． 【详解】解：如图，过点作轴， 由图可知点坐标为，且点为的中点， 点坐标为， 可知点坐标为， 直线的解析式为， ， 的解析式与的解析式一次项系数相等， 设的解析式为， 将代入，得，解得， 直线的解析式为， 联立直线与反比例函数的解析式，得， 化简得， 解得或（不合题意，舍去）， 点坐标为， 点坐标为， 同理可求得点坐标为，点坐标为， 依此类推，点的坐标是． 故答案为：． 三、解答题 19. 计算 （1）； （2）解方程 【答案】（1） （2）, 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数值的混合运算和解一元二次方程． （1）代入特殊角的三角函数值进行计算即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ∴ ∴, 20. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．在计算时，如图，在中，，延长使，连接，得，所以，类比这种方法，计算（画图并写出过程） 【答案】 解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°， 设AC=BC=1，则AB=BD=， ∴tan22.5°==． 【解析】 【分析】在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，设AC=BC=1，则AB=BD=，根据tan22.5°=计算即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角． 21. 某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批西瓜，以3元/千克售出，每天可售出200千克，经调查，售价每降0.1元，每天多卖40千克，另外，每天的其它固定成本为24元．该经营户要想盈利200元，每千克售价应是多少元？ 【答案】2.8元或2.7元 【解析】 【分析】此题重点考查一元二次方程的解法、列一元二次方程解应用题，正确地用代数式表示每千克西瓜的利润及每天的销售量是解题的关键． 设每千克售价为x元，则每千克西瓜的利润为元，每天的西瓜销售量可表示为千克，若每天盈利200元，则，求得，，据此解答． 【详解】解：设每千克售价为x元， 根据题意得， 整理得， 解得，， 答：每千克售价应是2.8元或2.7元． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E． （1）求证：BE=CE； （2）若BD=2，BE=3，求AC的长． 【答案】 (1)证明：连接AE，如图， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC=90°， ∴AE⊥BC， 而AB=AC， ∴BE=CE； （2）9 【解析】 【分析】（1）连接AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE； （2）连接DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接DE，如图， ∵BE=CE=3，∴BC=6， ∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA， ∴△BED∽△BAC， ∴，即， ∴BA=9， ∴AC=BA=9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质和圆周角定理，解题的关键是作好辅助线. 23. 如图，已知一次函数的图象和反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数，一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据函数图象，直接写出使反比例函数值小于一次函数值的值的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用图象求出交点坐标是解题的关键； （1）根据点位于反比例函数的图象上，利用待定系数法求出反比例函数解析式，将坐标代入反比例函数解析式，求出的值，从而得到，进而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）先求出一次函数与轴的交点为的坐标为，从而得到，再有，可知的高为，的高为，最后根据即可求解； （3）根据题意找出符合反比例函数值小于一次函数值的图象，即可得到值的取值范围． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数中，得， ∴反比例函数的解析式为：， 将代入中，得，解得， ∴点， 将点，代入一次函数中，得， 解得， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：由图象可知一次函数与轴的交点为， ∴当时，， ∴点， ∴， 由（1）知点，， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：由图象可知，反比例函数值小于一次函数值的值的取值范围为：或． ． 24. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积； （1）连接，先证明，再由垂径定理得到，然后设的半径，在中，利用勾股定理得到，列方程计算即可； （2）由，求出等边三角形的边长，再分别求出，，最后根据计算即可． 【小问1详解】 解∶∵，， ∴， ∴， ， ， 如图，连接， 设的半径， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为； 【小问2详解】 解∶∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $