精品解析：河北邯郸市馆陶县三中芦中联考2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考试卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 函数有最大值为 5. 根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 小明发现某些函数图像上的三点满足如下性质：对于任意非零实数k，存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列函数不具备该性质的是（ ） A. B. C. D. 8. 在第十五届全运会女子米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹近似看成抛物线的一部分，其身体重心相对于水面的竖直高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系如下表所示，下列结论正确的是（ ） … … A. 运动员的重心相对水面的最大高度是 B. 运动轨迹路线的对称轴是直线 C. 当时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D. 当时，运动员入水 9. 如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. D. 10. 对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（ ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 12. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 13. 在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 14. 当时，二次函数的最大值为8，则a=_______． 15. 如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是__________． 16. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．其中：17-20每题8分，21-24题每题10分． 17. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1） （2） （3） （4） 18. 某商店经销一种成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每千克每涨元，月销售量就减少，解答以下问题． （1）当销售单价定为每千克元时，计算销售量和月销售利润； （2）设销售单价为每千克元，月销售利润为元，请求出与之间的函数关系式； （3）若商店想减少库存，并使得月销售利润达到元，则销售单价应为每千克多少元？ 19. 已知二次函数（为常数且）． （1）当点在该二次函数图象上时，求的值． （2）已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 20. 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： （1）若方程的两个实数根为，，则 ． （2）已知实数m，n满足，，且，求 的值． （3）已知实数p，q满足，，且，求的值． 21. 抛物线与直线交于A，B两点，已知点A的横坐标为1． （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差小于4，求t的取值范围． （3）当时，将抛物线沿y轴翻折，得到如图所示的复合图象，记为W．若直线向左平移n个单位长度后与图象W有三个交点，请直接写出n的值． 22. 某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． （1）求n与x的函数关系式； （2）①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； （3）当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 23. 如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； （3）在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”． 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足：，水平面是直线，与“包络线”交于，两点（点在点的左侧），其中一条水流所在抛物线经过点． 【解决问题】 （1）当，时， ① ； ②求抛物线的解析式． （2）若抛物线的顶点坐标为，求“包络线”的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考试卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~26章． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 2. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握二次函数的平移规律是解题关键． 【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位， ∴解析式变为； ∵再向上平移1个单位， ∴解析式变为 故选：B． 3. 足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环赛制的比赛场次规律，设出球队数量，列方程求解，舍去不合题意的负根即可求出答案． 【详解】单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28场， 设参加比赛的球队数量是，列方程 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 球队数量为正整数， （舍去）， ． 参加比赛的球队数量是8． 4. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 函数有最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将二次函数配方为顶点形式，分析开口方向、顶点坐标、抛物线的增减性和最值． 【详解】解：，， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，当 时，随的增大而增大，函数最大值为 ； 故D正确． 故选：D． 5. 根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程与二次函数的关系，灵活运用函数值的符号变化是解题的关键．根据二次函数的函数值在时为负、时为正，进而判断出方程的一个解的取值范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，的值会从负变为正，即存在使得， 方程的一个解的取值范围是． 故选：． 6. 对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次函数顶点式得到顶点坐标，再根据题目给出的“点值”定义列一元一次方程，即可求解出的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式 ， ∴该二次函数图象的顶点坐标为 ， ∵顶点的“点值”为 ， 且点值定义为 ， ∴代入顶点坐标得 ， 整理得 ， 解得 . 7. 小明发现某些函数图像上的三点满足如下性质：对于任意非零实数k，存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列函数不具备该性质的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与性质，熟练掌握常见函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意可知，具备该性质的函数需满足，对于任意非零实数k，函数图象经过第二象限或者第四象限，对各选项进行分析即可． 【详解】解：∵对于任意非零实数k，存在位于轴同侧的、、三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号； ∴具备该性质的函数需满足，对于任意非零实数k，函数图象经过第二象限或者第四象限， ∵当时，的图象经过第一、二、三象限， 当时，的图象经过第一、二、四象限， ∴选项A不符合题意； ∵当时，的图象经过第一、二象限， 当时，的图象经过第三、四象限， ∴选项B不符合题意； ∵当时，的图象经过第一、三象限， 当时，的图象经过第二、四象限， ∴选项C符合题意； ∵当时，的图象经过第一、二象限， 当时，的图象经过第三、四象限， ∴选项D不符合题意．   故选：C． 8. 在第十五届全运会女子米跳台跳水比赛中，某运动员在完成某一跳后，其运动轨迹近似看成抛物线的一部分，其身体重心相对于水面的竖直高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系如下表所示，下列结论正确的是（ ） … … A. 运动员的重心相对水面的最大高度是 B. 运动轨迹路线的对称轴是直线 C. 当时，运动员的重心相对于水面的高度持续升高 D. 当时，运动员入水 【答案】C 【解析】 【分析】利用表格数据结合二次函数的对称性求出对称轴，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：由表格可知，当和时，的值相等，均为， 抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称， 对称轴为直线，故B错误； 运动轨迹是开口向下的抛物线，顶点在对称轴处， 运动员重心相对于水面的最大高度大于，故A错误； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 即运动员的重心相对于水面的高度持续升高，故C正确； 根据抛物线对称性，和时，值相等， 即时，，重心高度仍为，运动员未入水，故D错误． 9. 如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和反比例函数综合，函数图像和不等式的关系，首先根据题意得到抛物线与双曲线的交点的横坐标是，结合图像求解即可． 【详解】解：∵双曲线和双曲线关于y轴对称，抛物线与双曲线的交点的横坐标是1， ∴抛物线与双曲线的交点的横坐标是，如图所示， ∴由图象可得，当时，抛物线的图像在双曲线的图像下面 ∴当时， ∴关于x的不等式的解集是． 故选：D． 10. 对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（ ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义代入验证，结合根的判别式的符号判断每个结论的正确性，逐一定证即可． 【详解】解：①将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，其判别式，对于方程，其判别式，因为，，因此，方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的根，代入得，整理得，当时，等式不一定成立，故③错误； ④已知，代入方程的判别式得： ， 若，需且，可得，与题设矛盾，因此恒成立，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，①②④正确． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设矩形两条边长分别为，，由题意得，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再结合勾股定理表示出矩形对角线长，利用完全平方公式变形计算即可得到结果． 【详解】解：设矩形的两条边长分别为，． 由题意得，，是一元二次方程的两个根， ∴，． ∵矩形的对角线长为， ∴． 12. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 13. 在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮一人分享给相同数量的人，则每轮平均一人分享给___________ 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程—传播问题解应用题，正确的列出方程是解题的关键．设每轮平均一人分享给x人，根据“经过两轮分享后，共225人掌握此技巧”列方程求出x的值即可． 【详解】解：设每轮平均一人分享给x人，根据题意得 ， ，（舍去）， ∴每轮平均一人分享给14个人． 故答案为：14． 14. 当时，二次函数的最大值为8，则a=_______． 【答案】或 【解析】 【分析】先计算二次函数的对称轴为直线，然后分，两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，y取最大值8，代入解析式得：， 解得； 当时，在内， 当时，y取最大值8，代入解析式得：， 解得． 综上，为或． 15. 如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，不等式组，因式分解，掌握知识点是解题的关键． 先分别求出二次函数与一次函数的解析式，再令，当时，求出，继而当时，即，推断出，求解即可． 【详解】解：将，分别代入得 ， 解得， ∴二次函数， 将代入得 ， 解得， ∴一次函数， 令，当时， ， 即， 解得， ∵当时， 即， ， ∴， 即或（无解） 解得． 故答案为：． 16. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称轴为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴解方程组得， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．其中：17-20每题8分，21-24题每题10分． 17. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），                      （2），             （3），                （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：原方程可变形为， 因式分解，得， 或， ，． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 解得，； 【小问4详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 18. 某商店经销一种成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每千克每涨元，月销售量就减少，解答以下问题． （1）当销售单价定为每千克元时，计算销售量和月销售利润； （2）设销售单价为每千克元，月销售利润为元，请求出与之间的函数关系式； （3）若商店想减少库存，并使得月销售利润达到元，则销售单价应为每千克多少元？ 【答案】（1）销售量：；月销售利润：元 （2）； （3）销售单价应为每千克元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）利用月销售量（销售单价-30），即可求出月销售量，利用月销售利润=销售每千克的利润×月销售量，即可求出月销售利润； （2）根据月销售利润=销售每千克的利润×月销售量，即可得出与之间的函数关系式； （3）根据题意得出关于的一元二次方程，解之，根据题意为减少库存（即增大销量），应选取较小的销售单价，即可得出结论． 【小问1详解】 解：销售量：． 月销售利润：（元）； 【小问2详解】 解：． 与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：设销售单价为每千克元， 则， 整理，得， 解得，， 要减少库存， ∴， 答：销售单价应为每千克元． 19. 已知二次函数（为常数且）． （1）当点在该二次函数图象上时，求的值． （2）已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①证明：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ， 为到抛物线对称轴直线的距离， 为到抛物线对称轴直线的距离， ， 抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， ； ② 【解析】 【分析】（1）把点代入二次函数解析式即可解答； （2）①当时，抛物线开口向下，根据二次函数解析式可得对称轴为直线，根据题意推出到对称轴的距离比到对称轴的距离小即可解答； ②根据，可得或，代入不等式即可解答． 【小问1详解】 解：把代入抛物线解析式， 得， 解得； 【小问2详解】 ①略 ②解： 或， 当时，， ， 解得， 解得， ∴不等式组无解； 当时，即， ， ， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 综上，． 20. 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值． 解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， ∴． 解决以下问题： （1）若方程的两个实数根为，，则 ． （2）已知实数m，n满足，，且，求 的值． （3）已知实数p，q满足，，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是看懂材料，熟练掌握根与系数的关系． （1）根据根与系数得，，再将所求式子变形为，即可整体代入求值； （2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得到，，接着把利多项式乘多项式法则展开，然后利用整体代入的方法计算； （3）把整理后得到，整理后得到，则p、可看作方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到，，然后将所求式子变形为，利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ，，且， 、可看作方程的两个不等的实数根， ，， ； 【小问3详解】 解：，即， ， ∴方程两边除以得：， ，即，且， 、可看作方程的两个不等的实数根， ，， ． 21. 抛物线与直线交于A，B两点，已知点A的横坐标为1． （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差小于4，求t的取值范围． （3）当时，将抛物线沿y轴翻折，得到如图所示的复合图象，记为W．若直线向左平移n个单位长度后与图象W有三个交点，请直接写出n的值． 【答案】（1）， （2） （3）2或3 【解析】 【分析】（1）根据点A的横坐标为1，代入，得，可得A点坐标；再将A点坐标代入，可得m的值，进而得出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式变形为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标； （2）首先，根据题意得二次函数的最小值为，当时，在抛物线对称轴的左侧，最大值与最小值的差小于4，然后，判断在对称轴右侧的部分的最大值为，令，解得(舍去)或，再结合函数图象即可得出结论； （3）当直线平移后与图象W有三个交点时，有两种情况并画出函数图象，再得到抛物线沿y轴翻折后所得新抛物线的解析式为，直线平移后的函数解析式为，情况①：联立沿y轴翻折后的抛物线及平移后的函数的解析式，当时，直线与图象W有三个交点，此时，情况②：当直线过点时，直线与图象W有三个交点，此时，，解得． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴点A的坐标为． 将代入， 得，解得． ∴抛物线的函数解析式为． ， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的开口向上，顶点坐标为， ∴二次函数的最小值为． 当时， 将代入，得，而， 当时，， 令， 解得(舍去)或． 结合函数图象，可得t的取值范围是； 【小问3详解】 解：当直线平移后与图象W有三个交点时，有两种情况，如图所示． 抛物线沿y轴翻折后所得新抛物线的解析式为， ∵直线向左平移n个单位长度， ∴直线平移后的函数解析式为． 情况①：令，整理，得． 当时，直线与图象W有三个交点，此时． 情况②：∵将代入，得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 当直线过点时，直线与图象W有三个交点，此时，，解得． 综上所述，n的值为2或3． 【点睛】能得出抛物线的函数解析式为，并能变形为顶点式求得抛物线的顶点坐标；能根据二次函数的图象与性质，在当时，根据对称轴左右两边的数值进行判断；能准确得出抛物线沿y轴翻折，得到复合图象及直线向左平移n个单位长度，再根据情况进行“分类讨论”是本题解题的关键． 22. 某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． （1）求n与x的函数关系式； （2）①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； （3）当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）①315（元）；②400（元） （3）原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）①先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量可以卖完，再根据“总利润单升利润自制产量”，即可求解；②先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量没有卖完，再根据“总利润单升利润市场需求量未卖出的成本”，即可求解； （3）设奶茶小店每天获得的利润为w元，根据m和n的大小分类讨论，分别列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质和x的取值范围，分别求出w的最大值，最后进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：设n与x的函数关系式为， 由题意得，，解得， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，，， ∵，∴基底原液可全部卖完， 奶茶小店每天销售基底原液利润为：（元）； ②当时，，， ∵，∴基底原液无法卖完． 奶茶小店每天销售基底原液获得的利润为：（元）． 【小问3详解】 解：设奶茶小店每天获得的利润为w元， ①当每天的产量不大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则， ∵，对称轴为直线，∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，（元）； ②当每天的产量大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则 ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，（元）， ∵ ∴原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元． 23. 如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； （3）在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点Q的坐标为或或或或． 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 24. 【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”． 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足：，水平面是直线，与“包络线”交于，两点（点在点的左侧），其中一条水流所在抛物线经过点． 【解决问题】 （1）当，时， ① ； ②求抛物线的解析式． （2）若抛物线的顶点坐标为，求“包络线”的解析式． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①将代入，再令，求出点与点得坐标，从而求出得值； ②容易判断抛物线经过原点，故设，将点代入，得，则．联立两个抛物线可得，根据题意，只有一个交点，则，解得，从而得出抛物线的解析式； （2）根据抛物线顶点坐标，过点求出解析式为，联立两条抛物线可得，由，解得，从而得出“包络线”的解析式． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴； ②由图可知，抛物线经过原点，故设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， ∴， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线与抛物线，并消去，得， ， 整理，得， ∵两条抛物线有且仅有一个交点， ∴， 整理，得， 因式分解，得， 解得， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线与抛物线，并消去，得， ， 整理，得， ∵两条抛物线有且仅有一个交点， ∴， 解得， ∴“包络线”的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $