精品解析：广东汕头市潮阳区泉塘初级中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

2023~2024学年上学期九年级二阶考试 数学科试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列图形是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 3. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是 ( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 4. 下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是（ ） A. y=(x-2)2+1 B. y=(x+2)2+1 C. y=(x-2)2-3 D. y=(x+2)2-3 5. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图所示，直线AB， AD与⊙O分别相切于点B， D， C为⊙O上一点，且∠BCD=140°，则∠A的度数是（ ） A. 70° B. 105° C. 100° D. 110° 7. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. 24或 D. 8. 如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（　　） A. ﹣ B. ﹣2 C. π﹣ D. ﹣ 9. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 若函数y=x2(x≥0)的图象与直线y=kx+k+1有公共点，则k的取值范围是（ ） A. k≤0 B. k≤－1 C. k≥－1 D. k为任意实数 二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分． 11. 方程的解为：________． 12. 将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，在向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是________． 13. 已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值是_____． 14. 一只盒子中有红球个，白球个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的和是_____． 15. 正六边形的边心距与边长之比为________． 16. 如图，矩形中，，，连接，和分别是和的内切圆，则的长是___________． 17. 如图，一段抛物线：y=-x(x-3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3； …… 如此进行下去，直至得C13．若P（37，m） 在第13段抛物线C13上，则m =_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 18. 先化简，再求值：，其中a是一元二次方程的根． 19. 如图，已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-2,3)、B(-6,0)、C(-1,0). （1）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转 90°. 画出图形，直接写出点B的对应点的坐标； （2）请直接写出：以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标. 20. 已知k是常数，抛物线的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点． （1）求k的值． （2）若点P在抛物线上，且点P到y轴的距离是2，求点P的坐标． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 21. 某兴趣小组为了了解本校学生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校40名学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图： 根据以上信息解答下列问题： （1）课外体育锻炼情况统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为 ；“经常参加课外体育锻炼的学生最喜欢的一种项目”中，喜欢足球的人数有 人，补全条形统计图． （2）该校共有1200名学生，请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数有多少人？ （3）若在“乒乓球”、“篮球”、“足球”、“羽毛球”项目中任选两个项目成立兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率． 22. 如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD． （1）求证：； （2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和． 23. 关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，存不存在这样的实数k，使得？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分． 24. 如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状： ； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积． 25. 如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为；矩形的顶点A与点O重合，、分别在x轴、y轴上，且，． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）将矩形以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒，直线与该抛物线的交点为N（如图2所示）． ①当时，判断点P是否在直线上，并说明理由； ②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年上学期九年级二阶考试 数学科试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列图形是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断． 【详解】解：A选项，是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； B选项，是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； C选项，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D选项，是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意． 2. 用配方法解方程，配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可． 【详解】方程， 整理得：， 配方得：，即， 故选A． 3. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是 ( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm， 由勾股定理得：斜边AB=5cm， 以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则圆过AB的中点，BC>r， 所以⊙C 与直线AB 的位置关系是相交. 故选：A．　 4. 下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是（ ） A. y=(x-2)2+1 B. y=(x+2)2+1 C. y=(x-2)2-3 D. y=(x+2)2-3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对称轴为直线x=2排除B、D，再将点（0，1）代入A、C两个抛物线解析式检验即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线x=2， ∴B、D选项不符合题意， 将点（0，1）代入A中，得（x-2）2+1=（0-2）2+1=5，故A选项错误， 代入C中，得（x-2）2-3=（0-2）2-3=1，故C选项正确． 故选∶C． 【点睛】本题考查学生对二次函数顶点式的掌握，难度较小，二次函数的顶点式解析式为，顶点坐标为，对称轴为 5. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】2014年投入为2500（1+x），2015年投入为2500（1+x）（1+x）， ∴可列方程为：2500（1+x）2=3600； 故选：B． 6. 如图所示，直线AB， AD与⊙O分别相切于点B， D， C为⊙O上一点，且∠BCD=140°，则∠A的度数是（ ） A. 70° B. 105° C. 100° D. 110° 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：过点B作直径BE，连接OD、DE．根据圆内接四边形性质：对角互补，可求∠E=180°﹣∠BCD =180°﹣140°=40°；根据圆周角定理求∠BOD=80°；根据切线的性质可知∠OBA=∠ODA=90°，根据四边形内角和定理可求得∠A=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°． 故选C． 考点：切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质 7. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. 24 B. 48 C. 24或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=6，x2=10，当第三边长为6时，利用等腰三角形的性质和勾股定理可计算出底边上的高=，则根据三角形面积公式可计算出此时三角形的面积；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：， ， 或， 所以，， 当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高，此时三角形的面积， 当第三边长为10时，∵, ∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积． 故选C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直角三角形的判定和勾股定理的应用． 8. 如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（　　） A. ﹣ B. ﹣2 C. π﹣ D. ﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】过O作OECD于点E，根据AB是⊙O的切线，得出∠ABO=90°，求出即可． 【详解】如图，过O作OECD于点E， AB是⊙O的切线， ∠ABO=90°， ∠A=30°， ∠AOB=60°， ∠COD=120°， OC=OD=2， ， OE=1，CD=2DE=， ． 故选A． 【点睛】本题考查扇形的面积，三角形的面积，阴影部分的面积，掌握扇形的面积，三角形的面积，阴影部分的面积世界关键． 9. 在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据x个队参赛，每队与其余个队各赛1场，每两队仅赛1场，总场数为36，列出方程即可． 【详解】解：设有x个队参赛，根据题意可列方程为： ， 整理得：． 10. 若函数y=x2(x≥0)的图象与直线y=kx+k+1有公共点，则k的取值范围是（ ） A. k≤0 B. k≤－1 C. k≥－1 D. k为任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数与一次函数有交点，可将它们的解析式组成一元二次方程，然后利用根的判别式和交点所在的象限判断即可． 【详解】解：的图象与直线有公共点， 有实数根， ， ∴，， 此时k为任意值， 又， 一次函数与二次函数函数的交点在第一象限或原点，其横坐标为k+1， 即， 解得：． 故选C． 【点睛】主要考查了两函数的交点问题，两函数有公共点：说明两函数有一个交点或两个交点，可利用方程组→一元二次方程→△≥0的问题解决． 二、填空题：本大题7小题，每小题4分，共28分． 11. 方程的解为：________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．将方程移项化为一般形式，再通过因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 因式分解得， 所以或， 解得：，． 故答案为：，． 12. 将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，在向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是________． 【答案】y=（x-1）2+2． 【解析】 【详解】抛物线平移不改变a的值． 解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（1，2）．可设新抛物线的解析式为y=（x-h）2+k，代入得y=（x-1）2+2． 故填：y=（x-1）2+2． 解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 13. 已知点A（a，1）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b的值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】∵点A（a，1）与点B（−4，b）关于原点对称， ∴a＝4，b＝−1， 则a＋b的值是：4−1＝3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键． 14. 一只盒子中有红球个，白球个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的和是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了随机事件概率的计算，分式方程的运用，理解取得白球的概率与不是白球的概率相同的含义列式，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：红球个，白球个，黑球个， ∴取出白球的概率为，取出的不是白球的概率为， ∵取得白球的概率与不是白球的概率相同， ∴， ∴， 当时，原分式方程有意义， ∴与的和是， 故答案为： ． 15. 正六边形的边心距与边长之比为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，得到等边三角形，作出边心距，设未知数，直接求出每边长度直接比即可． 【详解】如图所示，连接，过作于， ∴正六边形的边心距与边长之比即求之比， ∵在正六边形中，，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查正多边形的性质，解题关键是正六边形内部会形成等边三角形，即可将每条边都用未知数表示出来． 16. 如图，矩形中，，，连接，和分别是和的内切圆，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质得到，全等的两个三角形内切圆的半径相等；利用勾股定理求出的长度，再计算出内切圆的半径；构造直角三角形求解． 【详解】解：四边形是矩形 ，， 又， ， 和的半径相等， 在中，，， ， 的半径 ； 连接P、Q，过点Q作，过点P作交于点E，则，如下图所示： 在 中， ， ， ． 【点睛】掌握“直角三角形内切圆的半径两条直角边的和减去斜边．”是解题的关键． 17. 如图，一段抛物线：y=-x(x-3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1； 将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2； 将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3； …… 如此进行下去，直至得C13．若P（37，m） 在第13段抛物线C13上，则m =_______． 【答案】2 【解析】 【详解】根据题意，得 C1：y=-x(x-3)（0≤x≤3）； C2：y=(x-3)(x-6)（3≤x≤6）； C3：y=-(x-6)(x-9)（6≤x≤9）； C4：y=(x-9)(x-12)（9≤x≤12）； …… C13：y=-(x-36)(x-39)（36≤x≤39）． 对于C13有：当x＝37时，y＝2，所以，m＝2， 故答案为2． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 18. 先化简，再求值：，其中a是一元二次方程的根． 【答案】 【解析】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，解一元二次方程得出，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， 解方程可知， ∴原式． 19. 如图，已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-2,3)、B(-6,0)、C(-1,0). （1）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转 90°. 画出图形，直接写出点B的对应点的坐标； （2）请直接写出：以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标. 【答案】 （1）△ABC旋转后的△A′B′C′如图所示， 点B的对应点的坐标为（0，-6）； （2）（-7，3），（-5，-3），（3，3） 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B′的坐标； （2）根据平行四边形的对边平行且相等，分AB、BC、AC是对角线三种情况分别写出即可． 【详解】（1）略 （2）若AB是对角线，则点D（-7，3）， 若BC是对角线，则点D（-5，-3）， 若AC是对角线，则点D（3，3）． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的对边平行且相等的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，难点在于（2）分情况讨论． 20. 已知k是常数，抛物线的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点． （1）求k的值． （2）若点P在抛物线上，且点P到y轴的距离是2，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是y轴，求出，，再结合抛物线与x轴有两个交点得出，从而即可得解； （2）由（1）得抛物线解析式为，由题意可得点P的横坐标是2或，再分别代入解析式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是y轴， ∴， 解得，， 又∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式为， ∵点P在抛物线上，且到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标是2或， 当时，；当时， ∴点P的坐标为或 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 21. 某兴趣小组为了了解本校学生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校40名学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图： 根据以上信息解答下列问题： （1）课外体育锻炼情况统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为 ；“经常参加课外体育锻炼的学生最喜欢的一种项目”中，喜欢足球的人数有 人，补全条形统计图． （2）该校共有1200名学生，请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数有多少人？ （3）若在“乒乓球”、“篮球”、“足球”、“羽毛球”项目中任选两个项目成立兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法求恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率． 【答案】（1）144°，1；（2）180；（3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）用“经常参加”所占的百分比乘以360°计算得到“经常参加”所对应的圆心角的度数；先求出“经常参加”的人数，然后减去其它各组人数得出喜欢足球的人数；进而补全条形图； （2）用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解； （3）先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”所占结果数，然后根据概率公式求解． 试题解析：（1）360°×（1﹣15%﹣45%）=360°×40%=144°； “经常参加”的人数为：40×40%=16人，喜欢足的学生人数为：16﹣6﹣4﹣3﹣2=1人； 补全统计图如图所示： 故答案为144°，1； （2）全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数约为：1200×=180人； （3）设A代表“乒乓球”、B代表“篮球”、C代表“足球”、D代表“羽毛球”，画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中选中的两个项目恰好是“乒乓球”、“篮球”的情况占2种，所以选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率是=． 点睛：本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图． 22. 如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD． （1）求证：； （2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和． 【答案】（1）证明：由旋转性质得： 是等边三角形 所以 ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用旋转的性质证明△ABD为等边三角形，则可证，即再根据平行线的判定证明即可． （2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解． 【详解】（1） 略 （2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1， 所以A，C两点经过的路径长之和为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、弧长公式等知识，熟练掌握这些知识点之间的联系及弧长公式是解答的关键． 23. 关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，存不存在这样的实数k，使得？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系． （1）根据一元二次方程方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，列出不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，以及，得到，进行求解即可． 掌握根的判别式与根的个数之间的关系，以及根与系数的关系，是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意，得：， 解得：； 【小问2详解】 存在， 由题意，得：， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分． 24. 如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状： ； （2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积． 【答案】（1）等边三角形； （2）PA+PB=PC； 证明：如图1，在PC上截取PD=PA， 连接AD． ∵∠APC=60°． ∴△PAD是等边三角形． ∴PA=AD， ∠PAD=60°， 又∵∠BAC=60°， ∴∠PAB=∠DAC． ∵AB=AC． ∴△PAB≌△DAC． ∴PB=DC． ∵PD+DC=PC， ∴PA+PB=PC． （3）当点P为的中点时，四边形APBC面积最大值为 【解析】 【分析】（1）根据圆周角的定义可得圆周角相等，他们所对的弦也相等得出AC=BC，同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BPC=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得三角形ABC为等边三角形． （2）在PC上截取PD=PA，连接AD，得出△PAD为等边三角形，再根据已知条件得出△PAB≌△DAC，得出PC=DC，PD+DC=PC，等量代换得出结论． （3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由，如图过点P作PE⊥AB，CF⊥AB垂足分别为点E，点F，四边形APBC的面积为△APB与△ACB的和，底相同，当PE+CF最大时，四边形的面积最大，因为直径是圆中最大的弦，即PE+CP=直径，即P为的中点时，面积最大． 【详解】（1）等边三角形； 由圆周角定理得，∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°， ∴△ABC是等边三角形； 故答案为等边三角形； （2）略 （3）当点P为的中点时，四边形APBC面积最大． 理由如下：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E， 过点C作CF⊥AB，垂足为F． ∵S△PAB=AB·PE．S△ABC=AB·CF． ∴S四边形APBC=AB（PE+CF）． 当点P为的中点时，PE+CF=PC．PC为⊙O的直径． ∴此时四边形∠PAD=60°∠PAD=60°面积最大． 又∵⊙O的半径为1， ∴其内接正三角形的边长AB=． ∴S四边形APBC=×2×=． 25. 如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为；矩形的顶点A与点O重合，、分别在x轴、y轴上，且，． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）将矩形以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒，直线与该抛物线的交点为N（如图2所示）． ①当时，判断点P是否在直线上，并说明理由； ②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①当时，点P不在直线上，理由如下： 令，则， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 由题意可得，当时，点的坐标为， 将代入直线的解析式可得， ∴当时，点P不在直线上； ②存在最大值，为 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将代入抛物线解析式计算即可得出结果； （2）①求出，待定系数法求出直线的解析式为，由题意可得，当时，点的坐标为，将代入直线的解析式计算即可得出结果； ②由题意可得：平移后，，,，，，求出，从而可得，结合，得出四边形为梯形，根据得出关于的表达式，结合二次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点M的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线的解析式经过原点， ∴将代入抛物线解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①略 ②∵，，四边形为矩形， ∴由题意可得：平移后，，,，，， ∵点在抛物线上，且横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为梯形， ∴ ， ∵，， ∴当时，取得最大值，为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $