四川达州市宣汉县天生中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

四川省达州市宣汉县天生中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．3x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2﹣2＝0 D．x2＝1 2．下列命题是真命题的是（　　） A．四条边都相等的四边形是正方形 B．四个角相等的四边形是矩形 C．平行四边形，菱形，矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形一定是菱形 3．下列图形中，不是相似图形的一组是（　　） A． B． C． D． 4．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．24 C．15 D．12 5．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A．2m B．4m C．6m D．8m 6．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　） A．12（1+x）＝17 B．17（1﹣x）＝12 C．12（1+x）2＝17 D．12+12（1+x）+12（1+x）2＝17 7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（　　） A．60° B．45° C．30° D．22.5° 8．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（　　） A． B． C． D．1 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．把方程（x+1）（2x﹣3）＝2化成一般形式是_________． 10．如图，延长正方形ABCD的BC边至点E，使得CE＝AC．连结AE交边CD于点F，则∠AFC的大小是_________, 11．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的长为 　　 cm． 12．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m﹣9的值为 　　 ． 13．如图，矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，若AB＝9，BC＝3，则折痕EF的长度为　　 ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0； （2）2x（x﹣1）＝3﹣3x． 15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6，求出m的值． 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，8），B（4，4），C（10，4），△A1B1C1与△ABC关于原点O位似，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，其中B1的坐标是（2，2）． （1）△A1B1C1和△ABC的相似比是 　　 ； （2）请画出△A1B1C1； （3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是 　　 ； （4）△A1B1C1的面积是 　　 ． 17．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB和AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接AF，BF． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若∠AFB＝90°，试判断四边形BCFD的形状，并加以证明． 18．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A（﹣2m，m+2）在x轴上，点C（n﹣1，6n）在y轴上，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的路线移动（即沿着长方形的边移动一周）． （1）分别求出A，C两点的坐标； （2）当点P移动了4秒时，求出点P的坐标； （3）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，求满足条件的点P的坐标及相应的点P移动的时间． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．已知，则的值为 　　 ． 20．已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2025﹣m2+m的值是 　　 ． 21．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标是（1，3），则AC的长是 　　 ． 22．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，AM+BM+CM的最小值是　　 ． 23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，过点B作BD⊥AB，交CE的延长线于点D，若BD＝4，CD＝8，则AC＝　　 ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．某商店从厂家以每件25元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为50元，每天可卖出30件，经市场调查发现，如果每件降价2元，则销量增加20个，设每件商品降价x元时： （1）每天可销售　　 件，每件盈利　　 元．（用含x的代数式表示） （2）为尽量减少库存，每件商品降价多少元时，可每天获利750元？ 25．如图1，已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，AD上的动点，满足AE＝DF，连接点DE，CF交于点G． （1）求证：CF⊥DE； （2）如图2，连接AC与DE交于点H，恰好点G是DH的中点． ①求DF的长； ②如图3，点P为CF上一点，PQ⊥AC，垂足为点Q，求PH+PQ的最小值． 26．如图1．在正方形ABCD中，点E是BC上﹣动点，将正方形沿着AE折叠，使点B落在F处，连接BF、AF，延长BF交CD于点G． 【初步探究】（1）在E的运动过程中，△ABE与△BCG始终保持全等的关系，请说明理由． 【深入探究】（2）把图1中的AF延长交CD于点H，如图2，若，BE＝7，求线段CE的长． 【拓展延伸】（3）如图3，将正方形改成矩形，同样沿AE折叠，连接BF，延长BF、AF交直线CD于点G、H两点，若，，直接写出的值______________________. （用含m的代数式表示） 参考答案 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．3x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2﹣2＝0 D．x2＝1 【解答】解：A．3x+1＝0未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．y2+x＝1含有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．x2﹣2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意； D．等式左边不是整式，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列命题是真命题的是（　　） A．四条边都相等的四边形是正方形 B．四个角相等的四边形是矩形 C．平行四边形，菱形，矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形一定是菱形 【解答】解：A、四条边都相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、四个角都相等的四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意； C、菱形、矩形都是既是轴对称图形，又是中心对称图形，平行四边形只是中心对称图形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是矩形，则原来的四边形不一定是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：B． 3．下列图形中，不是相似图形的一组是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意； D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意； 故选：D． 4．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．24 C．15 D．12 【解答】解：方程x2﹣8x+15＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣5）＝0， 可得x﹣3＝0或x﹣5＝0， 解得：x＝3或x＝5， 当AB＝3时，3+3＝6，不能构成三角形，舍去； 当AB＝5时，菱形面积为24； 故选：B． 5．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A．2m B．4m C．6m D．8m 【解答】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝8m； ∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°， ∴∠ECD＝∠F， ∴△EDC∽△CDF， ∴，即DC2＝ED•FD＝2×8＝16， 解得CD＝4m． 故选：B． 6．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　） A．12（1+x）＝17 B．17（1﹣x）＝12 C．12（1+x）2＝17 D．12+12（1+x）+12（1+x）2＝17 【解答】解：设游客人数的年平均增长率为x， 则2016的游客人数为：12×（1+x）， 2017的游客人数为：12×（1+x）2． 那么可得方程：12（1+x）2＝17． 故选：C． 7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（　　） A．60° B．45° C．30° D．22.5° 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA， ∴∠AOE＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD， ∵∠EAC＝2∠CAD， ∴∠EAO＝∠AOE， ∵AE⊥BD， ∴∠AEO＝90°， ∴∠AOE＝45°， ∴∠OAB＝∠OBA（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠BAE＝∠OAB﹣∠OAE＝22.5°． 故选：D． 8．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（　　） A． B． C． D．1 【解答】解：过D′作D′E⊥AB于E，如图所示： 设正方形边长为a， ∵∠DAD′＝30°， ∴∠D′AB＝90°﹣30°＝60°， 在Rt△AD′E中，∠D′AB＝60°，D′A＝a，则， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是． 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．把方程（x+1）（2x﹣3）＝2化成一般形式是 　2x2﹣x﹣5＝0　 ． 【解答】解：（x+1）（2x﹣3）＝2， 2x2﹣3x+2x﹣3＝2， 2x2﹣x﹣5＝0， 故答案为：2x2﹣x﹣5＝0． 10．如图，延长正方形ABCD的BC边至点E，使得CE＝AC．连结AE交边CD于点F，则∠AFC的大小是_112.5度________, 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，， ∴∠CAE+∠E＝∠ACB＝45°， ∵CE＝CA， ∴∠CAE＝∠E＝22.5°， ∴∠AFC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACD＝180°﹣22.5°﹣45°＝112.5°， 故答案为：112.5度 ． 11．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，若AC＝16cm，那么AB的长为 　（88）　 cm． 【解答】解：∵点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝16cm， ∴ABAC16＝（88）（cm）， 即AB的长为（88）cm， 故答案为：（88）． 12．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m﹣9的值为 　﹣6　 ． 【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根， ∴2m2﹣3m﹣1＝0， ∴2m2﹣3m＝1， ∴6m2﹣9m﹣9＝3（2m2﹣3m）﹣9＝3×1﹣9＝﹣6， 故答案为：﹣6． 13．如图，矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，若AB＝9，BC＝3，则折痕EF的长度为　　 ． 【解答】解：如图，过E作EG⊥DC于G， 在矩形ABCD中，AB＝DC＝9，AB∥DC，AD＝BC＝3，∠A＝∠ADC＝90°， ∴∠A＝∠ADG＝∠DGE＝90°， ∴四边形ADGE是矩形， ∴EG＝AD＝3，AE＝DG， 设AE＝x，则DE＝BE＝9﹣x， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2， ∴x2+32＝（9﹣x）2， 解得：x＝4， ∴AE＝4， ∴BE＝DE＝AB﹣AE＝9﹣4＝5， ∵∠DEF＝∠BEF，∠BEF＝∠DFE， ∴∠DFE＝∠DEF， ∴DF＝DE＝5， ∴GF＝1， 在Rt△EFG中，由勾股定理得：， 故答案是：． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0； （2）2x（x﹣1）＝3﹣3x． 【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0， x2+2x+1＝5， （x+1）2＝5， ， ∴，； （2）2x（x﹣1）＝3﹣3x， 2x（x﹣1）﹣（3﹣3x）＝0， （x﹣1）（2x+3）＝0， x﹣1＝0或2x+3＝0， ∴x1＝1，． 15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6，求出m的值． 【解答】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根． ∴Δ≥0， ∴[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+3）≥0， 解得：m≥1； （2）∵x1+x2＝2（m+1），， 又∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝m+6， ∴m2+3﹣2（m+1）+1＝m+6， 解得m＝4，m＝﹣1（舍去）， ∴m＝4． 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A（4，8），B（4，4），C（10，4），△A1B1C1与△ABC关于原点O位似，A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，其中B1的坐标是（2，2）． （1）△A1B1C1和△ABC的相似比是 　　 ； （2）请画出△A1B1C1； （3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是 　（a，b）　 ； （4）△A1B1C1的面积是 　3　 ． 【解答】解：（1）△A1B1C1和△ABC的相似比是；故答案为：； （2）如图所示：△A1B1C1即为所求； （3）BC边上有一点M（a，b），在B1C1边上与点M对应点的坐标是（a，b）；故答案为：（a，b）； （4）△A1B1C1的面积是：2×3＝3．故答案为：3． 17．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB和AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接AF，BF． （1）求证：△ADE≌△CFE； （2）若∠AFB＝90°，试判断四边形BCFD的形状，并加以证明． 【解答】证明：（1）∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， ∵CF∥AB， ∴∠ADE＝∠CFE， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）； （2）四边形BCFD是菱形， 证明：由（1）知：AD和CF平行且相等， ∵AD＝BDAB， ∴BD和CF平行且相等， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∵∠AFB＝90°，点D为AB的中点， ∴DF＝BD， ∴▱BCFD是菱形， 即四边形BCFD是菱形． 18．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A（﹣2m，m+2）在x轴上，点C（n﹣1，6n）在y轴上，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的路线移动（即沿着长方形的边移动一周）． （1）分别求出A，C两点的坐标； （2）当点P移动了4秒时，求出点P的坐标； （3）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，求满足条件的点P的坐标及相应的点P移动的时间． 【解答】解：（1）∵点A（﹣2m，m+2）在x轴上，点C（n﹣1，6n）在y轴上， ∴m+2＝0，n﹣1＝0， ∴m＝﹣2，n＝1， ∴点A（4，0），点C（0，6）； （2）由（1）得可知：点A（4，0），点C（0，6）， 当点P移动了4秒时，移动的路程为：4×2＝8， ∴此时点P在CB上，且CP＝2， ∴点P（2，6）； （3）①如图1所示，当点P在OC上时， ∵△OBP的面积是10， ∴OP•BC＝10，即OP×4＝10， 解得：OP＝5， ∴点P的坐标为（0，5）， ∴运动时间为5÷2（秒）； ②如图2所示，当点P在BC上时， ∵△OBP的面积是10， ∴BP•OC＝10，即BP×6＝10， 解得：BP， ∴CP， ∴点P的坐标为（，6）， ∴运动时间为（6）÷2（秒）； ③如图3所示，当点P在AB上时， ∵△OBP的面积为10， ∴BP•OA＝10，即BP×4＝10， 解得：BP＝5， ∴AP＝1， ∴点P的坐标为（4，1）， ∴运动时间为（6+4+5）÷2（秒）； ④如图4所示，当点P在OA上时， ∵△OBP的面积是10， ∴OP•AB＝10，即OP×6＝10，解得OP， ∴点P的坐标为（，0）， ∴运动时间为（6+4+6+4）÷2（秒）， 综上所述：①P的坐标为（0，5），运动时间为（秒）；②点P的坐标为（，6），运动时间为（秒）；③点P的坐标为（4，1），运动时间为（秒）；④点P的坐标为（，0），运动时间为（秒）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．已知，则的值为 　　 ． 【解答】解：设a＝5k，b＝6k， ∴， 故答案为：． 20．已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2025﹣m2+m的值是 　2024　 ． 【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝0，得m2﹣m﹣1＝0， 所以m2﹣m＝1， 所以2025﹣m2+m＝2025﹣（m2﹣m）＝2025﹣1＝2024． 故答案为：2024． 21．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标是（1，3），则AC的长是 　　 ． 【解答】解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M， ∵点B的坐标是（1，3）， ∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB， ∵四边形OABC是矩形， ∴AC＝OB， ∴AC． 22．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，AM+BM+CM的最小值是　　 ． 【解答】解：将△ABM绕点B逆时针旋转60°，得到△A′BM′，图形如下： 则BM＝BM′，∠MBM′＝∠A′BA＝60°，AM＝A′M′，A′B＝AB＝4， 所以△BMM′为等边三角形，即BM＝MM′， 则AM+BM+CM＝A′M′+M′M+CM≥A′C，当C、M、M′、A′共线时取等号， 因为AB＝4，且∠ABC＝60°， 所以∠A′BC＝∠A′BA+∠ABC＝60°+60°＝120°， 在△A′BC中，∠A′BA+∠ABC＝120°，A′B＝BC＝4， 所以∠BA′H＝30°，BH⊥A′C， 则，，， 所以AM+BM+CM的最小值是． 故答案为：． 23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，过点B作BD⊥AB，交CE的延长线于点D，若BD＝4，CD＝8，则AC＝　　 ． 【解答】解：如图所示，过点C作CF⊥AB于点F， 设CE＝x，则DE＝CD﹣CE＝8﹣x， ∵在Rt△ABC中，点E为AB的中点， ∴AE＝BE＝CE＝x， ∵BD⊥AB， ∴∠EBD＝90°， ∴BE2+BD2＝DE2，即x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴AE＝BE＝CE＝3，DE＝8﹣3＝5， ∵CF⊥AB， ∴∠CFE＝∠CFA＝90°， ∴∠CFE＝∠EBD， 又∵∠CEF＝∠DEB， ∴△CFE∽△DBE， ∴，即， 解得：EF，CF， ∴AF＝AE﹣EF， ∵∠CFA＝90°， ∴AC； 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．某商店从厂家以每件25元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为50元，每天可卖出30件，经市场调查发现，如果每件降价2元，则销量增加20个，设每件商品降价x元时： （1）每天可销售　（30+10x）　 件，每件盈利　（25﹣x）　 元．（用含x的代数式表示） （2）为尽量减少库存，每件商品降价多少元时，可每天获利750元？ 【解答】解：（1）若每件商品的售价为50元，每天可卖出30件，如果每件降价2元，则销量增加20个，则： 根据题意：设每件商品降价x元时，每天可销售（30+10x）件，每件盈利50﹣x﹣25＝（25﹣x）元， 故答案为：（30+10x）；（25﹣x）； （2）根据题意得：（30+10x）（25﹣x）＝750， 解得x1＝0，x2＝22， ∵要更有利于减少库存， ∴x＝22， 答：每件商品应降价 22元． 25．如图1，已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是AB，AD上的动点，满足AE＝DF，连接点DE，CF交于点G． （1）求证：CF⊥DE； （2）如图2，连接AC与DE交于点H，恰好点G是DH的中点． ①求DF的长； ②如图3，点P为CF上一点，PQ⊥AC，垂足为点Q，求PH+PQ的最小值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝AD，∠CDF＝∠DAE＝90°， 在△CDF和△DAE中， ， ∴△CDF≌△DAE（SAS）， ∴∠DCF＝∠ADE， ∴∠DCF+∠CDG＝∠ADE+∠CDG＝∠CDA＝90°， ∴∠DGC＝90°， ∴CF⊥DE； （2）解：①在Rt△ACD中，AD＝CD＝4， 由勾股定理得：， ∵DG＝GH，CG⊥DH， ∴CD＝CH， ∴∠CDH＝∠CHD， ∵四边形ABCD为正方形， ∴CD∥AB， ∴∠CDH＝∠AEH， ∴∠CHD＝∠AEH， ∵∠AHE＝∠CHD， ∴∠AHE＝∠AEH， ∴AH＝AE， 又∵AE＝DF， ∴DF＝AH， ∴； ②作PK⊥CD，垂足为点K， ∵CD＝CH，CG⊥DH， ∴CG平分∠DCH， 又∵PQ⊥CH，PK⊥CD， ∴PQ＝PK， ∴PH+PQ＝PH+PK， ∴当点H，P，K三点共线时，PH+PQ的值最小， 此时HK⊥CD，PH+PQ的最小值为HK， ∵ABCD是正方形， ∴∠DCA＝45°， ∴∠CHK＝45°＝∠DCA， ∴HK＝CK， 在Rt△CHK中，由勾股定理得：CK2+HK2＝CH2， ∴2HK2＝42， ∴， 故PH+PQ的最小值为． 26．如图1．在正方形ABCD中，点E是BC上﹣动点，将正方形沿着AE折叠，使点B落在F处，连接BF、AF，延长BF交CD于点G． 【初步探究】（1）在E的运动过程中，△ABE与△BCG始终保持全等的关系，请说明理由． 【深入探究】（2）把图1中的AF延长交CD于点H，如图2，若，BE＝7，求线段CE的长． 【拓展延伸】（3）如图3，将正方形改成矩形，同样沿AE折叠，连接BF，延长BF、AF交直线CD于点G、H两点，若，，直接写出的值 　或　 （用含m的代数式表示） 【解答】（1）证明：由折叠性质可得AE⊥BF， ∴∠EBF+∠ABF＝90°， 又∵∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠EBF＝∠BAE． 又∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABE＝∠BCG＝90°，AB＝BC， 在△ABE与△BCG中， ， ∴△ABE≌△BCG（ASA）． （2）解：由折叠性质可得AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB， 又∵AB∥GH， ∴∠ABF＝∠FGH， 又∵∠AFB＝∠GFH， ∴∠FGH＝∠GFH． ∴FH＝GH， 设CH＝3x，FH＝GH＝4x， ∴CG＝4x+3x＝7x， 由（1）可得BE＝CG＝7， 即7x＝7，解得：x＝1． 由勾股定理可得：EF2+FH2＝CE2+HC2， 即CE2＝72+42﹣32＝56， ∴CE． （3）解：根据条件，设BC＝m，AB＝1． ①当H在线段CD上时， 由折叠可得AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB， 又∵AB∥GH， ∴∠ABF＝∠FGH， 又∵∠AFB＝∠GFH， ∴∠FGH＝∠GFH． ∴FH＝GH， 设CH＝3x，FH＝GH＝4x， ∴CG＝4x+3x＝7x． 由折叠性质可得AE⊥BF， ∴∠EBF+∠ABF＝90°， 又∵∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠EBF＝∠BAE． 又∵∠ABE＝∠BCG＝90°， ∴△ABE∽△BCG． ∴，即， ∴BE． 由勾股定理可得：EF2+FH2＝CE2+HC2， 即，解得：CE． ∴． ②当H在DC的延长线上时，如图4所示， 同理可得，HC＝3x，FH＝GH＝4x， ∴CG＝x． 同理可证明△ABE∽△BCG， ∴，即， ∴BE． 由勾股定理可得：EF2+FH2＝CE2+HC2， ∴，解得：CE， ∴． 综上，的值为：或． 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $